7세기 인도의 수학자 브라마굽타는 0을 그저 자릿수표시자가 아니라 하나의 ‘수’로 다루는 규칙을 제시했다. 이 규칙에는 ‘양수와 0을 더한 값은 양수이다’, ‘0과 0을 더한 값은 0이다’ 등이 들어 있다. 0을 단순히 자릿수표시자가 아니라 하나의 수로 생각했다는 점에서 그는 상당히 진보한 사람이었다. 이렇게 0을 포함하는 힌두-아라비아 숫자 체계는 1202년에 피사의 레오나르도(후에 피보나치Fibonacci로 알려짐)가 펴낸 『산술 교본Liber Abaci』을 통해 서구세계에 전파되었다. 북아프리카에서 자라나 힌두-아라비아 산수를 교육받은 그는 힌두 기호 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9에 덧붙인 기호 0의 힘을 잘 인지하고 있었던 것이다. --- p.13

수학자들은 파이에 매혹되었다. 람베르트는 파이가 분수가 될 수 없음을 증명했고 1882년에 독일의 수학자 페르디난트 폰 린데만은 파이와 관련된 가장 유명한 미해결 문제를 풀어냈다. 파이가 초월수임을, 즉 대수방정식(x의 거듭제곱만을 포함하는 방정식)의 해가 될 수 없음을 증명한 것이다. 이 ‘시대의 수수께끼’를 풀어냄으로써 린데만은 ‘주어진 원과 같은 넓이의 정사각형을 만드는 문제Squaring the circle’에도 방점을 찍었다. 한 원을 주고 자와 컴퍼스만을 이용해서 그것과 같은 넓이를 가진 정사각형을 작도하는 것이 도전과제였다. 린데만은 결론적으로 그것이 불가능함을 증명했다. 이를 뜻하는 영어 표현인 ‘squaring the circle’은 ‘불가능’이라는 의미로 사용되기도 한다. --- p.39

피보나치수열은 해바라기 속에 들어있는 씨앗의 개수로부터 만들어지는 나선의 수(예를 들어 한 방향으로 나선이 34개이면, 다른 방향으로는 55개가 된다)처럼 자연에서도 찾아볼 수 있고, 건축가들이 설계하는 방과 건물의 비율 등에서도 찾아볼 수 있다. 클래식 음악 작곡가들은 벨라 바르토크Bela Bartok의 무용모음곡이 이 수열과 연관되었다고 생각해왔으며, 더불어 이것을 영감의 원천으로 사용해왔다. 현대음악을 살펴보면, 브라이언 트랜소우Brian Transeau(BT라고 알려짐)는 자신의 앨범 「This Binary Universe」에 피보나치수열에서 나오는 궁극의 비율에 대한 경의의 표시로 ‘1.618’이라는 곡을 실었다. --- pp.72-73

폭 210밀리미터, 길이 297밀리미터인 A4 용지를 한 장 꺼내서 보면, 폭에 대한 길이의 비율은 297/210이고, 이 값은 대략 1.4142 정도이다. 국제표준의 A 규격 용지들은 짧은 쪽 길이가 b라면 긴 쪽의 길이는 언제나 1.4142*b로 잡는다. A4 용지에서 b=210밀리미터인 반면, A5에서는 b=148밀리미터이다. 용지 크기에 사용되는 A 규격에는 임의로 설정한 규격에서는 볼 수 없는 대단히 바람직한 특성이 있다. 만약 A 규격 용지를 가운데서 접으면, 그렇게 반으로 접혀 나오는 작은 두 직사각형은 원래의 큰 직사각형과 정비례 관계가 된다. 똑같이 생긴 두 개의 작은 직사각형이 다시 등장하는 것이다. 이런 식으로 A4 용지를 반으로 접으면 A5 용지 두 장이 나온다. 마찬가지로 A5 용지를 반으로 접으면 A6 용지가 두 장이 나온다. 반대로 A3 용지는 A4 용지 두 장으로 만들어진다. A 규격에서는 번호가 작을수록 종이는 더 커진다. --- pp.78-79

‘만약 도로 위에 차가 많이 없으면, 공해를 견딜 만할 것이다. 도로 위의 차를 줄이든지 통행료를 징수하든지, 아니면 둘 다 해야 한다. 만약 통행료를 징수하면, 여름은 참을 수 없을 정도로 더워질 것이다. 그런데 사실 이번 여름은 상당히 시원한 것으로 드러나고 있다. 따라서 필연적으로 이런 결론이 나온다. 공해가 견딜 만한 수준이다.’ 한 일간지 사설에 나온 이 논증은 타당한가, 아니면 비논리적인가? --- p.102

동적 체계는 자신의 상평형그림에서 위상그림을 끌어당기는 ‘끌개Attractor’를 갖고 있는 것으로 생각할 수 있다. 단진자의 경우에는 추가 최종적으로 향하고 있는 한 점이 끌개이고, 그 한 점은 바로 원점 위에 놓여있다. 이중진자의 경우에는 좀더 복잡하지만, 심지어 여기에서도 위상그림은 어느 정도 규칙성을 보여주고 상평형그림 속 점의 집합을 향해 끌리게 될 것이다. 이런 체계의 경우에는 이 점들의 집합이 프랙탈을 형성하기도 한다. 이것을 ‘이상한’ 끌개라고 부르며, 명확한 수학적 구조를 가지게 될 것이다. 따라서 카오스라는 말처럼 모든 것이 꼭 뒤죽박죽인 것은 아니다. 새로운 카오스이론에 따르면 이것은 그다지 혼돈스럽지 않은, ‘규칙적인’ 혼돈이다. --- p.167

확률의 수학적 이론은 17세기에 수학자 블레즈 파스칼과 피에르 페르마, 그리고 전문도박사 앙트완 공보(슈발리에 드 메르라고도 불렸다), 이 세 사람이 도박에 관한 논의를 하는 과정에서 전면에 등장했다. 그들은 간단한 게임 속에서 대단히 헷갈리는 부분을 마주하게 되었다. 슈?리에 드 메르의 질문은 이랬다. 주사위 하나를 4번 던져서 ‘6’이 나올 가능성과, 주사위 두 개를 24번 던져서 두 개 모두 ‘6’이 나올 가능성 중 어느 것이 더 큰가? 당신이라면 어느 쪽에 판돈을 걸겠는가? 그 당시 사람들은 24번 던지는 쪽이 던지는 횟수가 많아 아무래도 유리할 것이라고 생각했다. 하지만 확률을 분석해내자 이런 생각은 깨지고 말았다. --- pp.193-194

스토쿠에서는 숫자가 일부 채워진 9*9 정사각형이 주어진다. 문제는 주어진 숫자를 단서로 이용해서 나머지 칸을 채우는 것이다. 각각의 가로줄과 세로줄에는 숫자 1, 2, 3, …, 9가 하나씩 모두 정확하게 포함되어야 하고, 이 원칙은 그 안에 들어있는 작은 3*3의 정사각형에도 마찬가지로 적용된다. 스도쿠(‘외로운 숫자’라는 뜻)는 1970년대 말에 발명된 것으로 생각된다. 1980년대에 일본에서 인기를 끌다가 2005년에는 전 세계적으로 선풍적인 인기를 끌게 되었다. 이 퍼즐의 매력은 단어퍼즐과는 달리 단어를 많이 몰라도 시도해볼 수 있고, 재미도 그 못지않다는 점이다. 머리를 쥐어뜯게 만드는 이 두 가지 퍼즐에 중독된 사람들은 비슷한 점이 많다. --- p.265

72의 법칙은 주어진 퍼센트 비율을 바탕으로 돈을 두 배로 늘리는 데 필요한 단위시간의 숫자를 어림잡는 법칙이다. 72의 법칙은 하루 단위, 월 단위에 모두 적용 가능하다. 두 배로 불어나는 시기를 구하려면 그저 72를 이율로 나누면 된다. 이것을 계산하면 72/7=10.3으로 김복리 씨의 원금은 약 11년 정도면 두 배로 불어날 것이고, 이것은 김단리 씨의 15년보다 훨씬 빠르다. 이 법칙은 근사치만을 말해주지만 빠른 판단이 필요할 때는 꽤 쓸모 있는 방법이다. --- p.279

페르마의 마지막 정리는 디오판토스 방정식에 관한 것으로, 난제 중의 난제였다. 디오판토스 방정식이란 정수해만을 허용하는 방정식을 말한다. 이 방정식의 이름은 정수론에서 이정표로 자리 잡은 책 『산술Arithematica』을 남긴 디오판토스의 이름을 딴 것이다. 17세기 인물인 피에르 페르마Pierre de Fermat는 변호사이자 프랑스 툴루즈의 정부 공무원이기도 했다. 다재다능한 수학자였던 그는 정수론 분야에서 높은 명성을 누렸으며, ‘페르마의 마지막 정리’를 통해 수학에 마지막 기여를 하였고, 또 세상에 널리 알려지게 되었다. 페르마는 이 정리를 증명해내고는, (아니면 증명했다고 생각해서) 가지고 있던 디오판토스의 『산술』 여백에 “정말 놀라운 증명 방법을 발견하였으나, 여백이 좁아 적지 못한다”라고 적어놓았다.

세상을 이해하는 첫 걸음, ‘수학’
50개의 결정적 사건으로 수학의 모든 것을 탐한다!

최근 IBM 미국 본사는 100명이 넘는 수학자를 직원으로 채용했다. 미국 아멕스카드 본사에도 200명 이상의 수학 박사학위 소지자가 근무하고 있다고 한다. 세계 최고의 기업들이 점차 수학자들의 연구실이 되어가고 있는 특별한 이유가 있을까? 이러한 현상의 원인으로 전문가들은 현대의 엄청난 수적 자료들을 들고 있다. 평범한 일상생활 속에서도 수없이 발생되는 온갖 데이터들 중 가치 있는 정보를 뽑아내고, 그것을 패턴화하는 것이 무엇보다 중요한 일이 되었기 때문이다. 즉, 이러한 작업에 꼭 필요한 인재로 수학자들이 지목된 것이다. 수학의 바람몰이는 우리나라에서도 예외 없이 진행되고 있다. 수학과 출신 학생들의 취업은 큰 무리가 없는 한 어렵지 않은 일이 되었고, 금융.보험 업계를 비롯하여 마케팅.생명공학.기계공학 분야의 수요도 두드러진다. ‘수학’이 지배하는 세상이 오고 있다.

『위대한 수학』은 이처럼 수학의 지배력이 커지고 있는 세상에서 커다란 도움을 주는 책이다. 고대수학에서 현대수학, 이론수학에서 실용수학, 일상생활의 수학에서 좀더 심오한 수학까지 단 한 권의 책으로 중요하고 꼭 필요한 수학 개념을 모두 만날 수 있다. 저자 토니 크릴리 교수는 50개의 핵심적인 수학 개념을 정확성을 잃지 않으면서도 쉽고 재미있게 서술하여 한층 더 가벼운 마음으로 수학을 만날 수 있게 했다.

부인할 수 없는 ‘수학’의 지배력
이제, 피하지 말고 마주하라

흔히 ‘수학’ 하면 막연히 어렵게만 생각하는 경향이 있다. 학년이 올라갈수록 점점 더 멀어지고, 대입 수학능력시험에서조차 문제를 풀기는커녕 내리 한 번호로 답을 찍고는 흐뭇한 미소로 시험장을 나서기도 한다. 그렇게 수학을 졸업하고 나면 후련함과 함께 다시는 수학의 근처에도 가지 않게 된다. “수학은 일상생활에 아무런 쓸모가 없어!”라고 하면서 말이다.

그런데 어찌된 일인지 출근하는 지하철 안에서는 스도쿠를 풀기에 여념이 없고, 현명한 재테크를 위해 복리적금을 찾아 헤매곤 한다. 뿐만 아니라 언제나 황금비율을 꿈꾸며, 보다 경제적인 이동경로를 찾아 고심하고, 로또에 당첨될 확률을 가슴속에 새기며, 납득이 가지 않는 일에 대해서는 ‘증명을 해보라’면서 목소리를 높이기도 한다. 우리들 자신도 모르는 사이에 수학의 원리를 터득하고, 위대한 수학자들의 발견 속에서 세상을 살고 있었던 것이다.

이 책은 0의 기원으로 이야기를 시작하여 리만 가설로 끝을 맺는다. 아주 기본적인 수학부터 좀더 학문적인 수학까지 이야기를 펼치는 것이다. 뿐만 아니라 일상생활에서 사용할 수 있는 수학 또한 포함하고 있다. 이 모든 것은 무심코 지나쳤지만 결코 우리와 떼려야 뗄 수 없는 수학의 실체이다. 위에서 말한 것처럼 시간을 보내기에 안성맞춤인 스도쿠는 ‘마방진’의 원리에서 비롯된 것이며, 복리는 이자의 마술을 충실히 보여주는 수학의 예이다. 건축가들의 이상향인 황금비는 이미 오래전 수학자들이 풀어낸 수학의 신비이며, 보다 경제적인 이동경로는 ‘외판원의 순회 문제’로 잘 알려져 있다. 로또 당첨 확률이나 ‘증명해보라’는 외침은 굳이 언급하지 않아도 수학과의 관련성을 부인할 길이 없을 것이다.

교과서엔 없는 진짜 수학,
짜릿한 수학본능을 잠 깨우다!

『위대한 수학』은 학교에서는 결코 접할 수 없었던 진짜 수학을 만나게 해준다. 시험을 위해 존재했던 학교 수학은 우주의 원리를 깨닫게 하고 더 나아가 이 세상을 보다 합리적으로 살게 하는 수학의 본래 모습을 상당부분 감추고 있다. 이 책은 수학의 헛된 가면을 벗기고 진실하고 적나라한 수학의 맨얼굴을 가감 없이 드러낸다. 각 개념들의 역사적 기원을 바탕으로 수백 년 수천 년을 지나며 정립된 수학 이야기들을 꼼꼼하게 짚어내, 학문으로서의 수학을 얻음과 동시에 자연스럽게 논리적 추론 능력을 배양시킨다. 수학은 더 이상 모르고 살 수만은 없는 학문이 되었다. 이제, 세상을 지배하는 수학의 영향력을 인정하고 그것을 향해 전진해야 하는 때이다. 『위대한 수학』과 함께 당신의 죽어있던 수학본능을 잠 깨워 수학세상을 이끌어 가는 참된 리더가 되어보자.