기대

엔지니어로 살면서도 수학은 늘 어려웠다. 그래서 싫었다. 그래도 생각은 늘 수학적으로 했던 것 같다. 늘 아귀 맞춰 설명하려 했고, 설명이 되지 않는 건 받아들이지도 않고 남에게 주장하지도 못했다. 그러고 보니 내게는 수학이 논리를 뜻하는 것이었던 모양이다.

비록 수학은 싫어했지만 사회현상을 수학적으로 풀어내는 건 매우 재미있어 한다. 그래서 레일라 슈넵스 부녀가 쓴 ＜법정에 선 수학＞이라는 책을 보자 그저 제목만으로 끌렸다. 짐작했던 대로 수학으로 판결의 오류를 밝혀낸 이야기였다. 다단계 사기의 전형으로 유명한 폰지 사기에 이용된 수학적 모델, UC버클리 대학원 입학시험 합격률 통계를 분석해 성차별을 밝혀낸 일, 간호사가 환자 살인사건의 용의자로 몰린 것을 근무기록과 사건발생 시간을 연계분석해서 무죄를 밝혀낸 일. 그 중에서 단연 압권은 알프레드 드레퓌스 사건에서 그를 간첩으로 몰아간 근거가 되었던 ‘확률을 이용한 필적감정’이었다. 그러나 책은 줄거리만큼 흥미롭지 않았다. 엄청난 수식을 써가며 설명한 것도 아니고 그저 도표 몇 개를 보여주며 논리적으로 이야기를 풀어간 것인데도 도저히 따라갈 수 없었다. 결국 뒤쪽은 건성으로 읽고 책을 덮었다. 그렇기는 해도 드레퓌스 사건의 전말은 매우 흥미로웠다.

＜법정에 선 수학＞과 거의 동시에 눈에 들어온 책이 있었다. ‘수학적 사고의 힘’이라는 부제가 붙은 ＜틀리지 않는 법＞이었다. 재미와 전문성 두 마리 토끼를 잡은 보기 드문 수작이라는 출판사 소개 글에 이끌려 무려 600페이지가 넘는데도 읽을 엄두를 내보기로 했다. 맛보기로 실어놓은 본문에 ‘생존편향 오류’가 들어있는 것도 궁금증을 부추겼다.

권면

일상생활 중 수학적인 계산이 필요한 일이 얼마나 될까? 그렇기 때문에 졸업하고 나면 수학책은 다시 볼 일이 없을 것으로 생각하고, 또 사실이 그렇기도 하다. 하지만 수학은 생각보다 우리 삶에 깊이 영향을 미치고 있다. 저자는 “수학에서 적분은 축구에서의 웨이트트레이닝이나 체조와 같다. 네가 축구를 정말 잘하고 싶다면 지루하고 반복적이고 무의미해 보이는 훈련을 엄청나게 많이 해야 해. 프로선수들이 그런 기초훈련을 실제로 써먹느냐고? 물론 그들이 웨이트를 들거나 도로 표지판 고깔들 사이를 지그재그로 누비는 모습을 우리가 볼 일은 없겠지. 하지만 선수들이 매주 그런 지루한 기초훈련을 통해서 쌓은 힘, 속력, 통찰, 유연성을 사용하는 모습은 볼 수 있다.”고 설명한다. 그러면서 수학은 우리가 이성적으로 사고하는 방식에 깊숙이 얽혀 있으며, 우리가 틀리지 않도록 도와주는 과학이고, 그것으로 세상을 더 깊게, 더 올바르게, 더 의미 있게 이해할 수 있다며 수학과 친밀해지기를 권고한다.

흥분

논리학에서 자주 인용되는 ‘생존편향 오류(survivorship bias)’는 알고 보니 2차 세계대전 당시 컬럼비아대학 통계학 교수였던 아브라함 발드가 전쟁지원 기밀프로그램인 SRG(Statistical Research Group)에서 밝혀낸 사실이었다.

그들은 전투기 취약부분을 보강하기 위해 피격상태를 분석했다. 그 결과 피격지점이 대부분 날개와 꼬리에 집중되어 있었고, 따라서 해당 부분을 보강하라는 결론을 내리는 것이 합리적일 것으로 보였다. 하지만 조종석과 엔진 부분을 집중적으로 보강하는 것으로 결론 내렸다. 전투기 각 부분이 적군의 총탄에 손상을 입을 확률이 비슷한데, 조종석과 엔진에 피격흔적이 없다는 것은 그곳이 손상되면 추락해 돌아오지 못할 치명타가 되었기 때문이라는 것이다.

저자는 아브라함 발드의 이론을 “야전병원에 총을 가슴에 맞은 사람보다 다리에 맞은 사람이 많은 건, 가슴에 맞은 사람이 많지 않아서가 아니라 가슴에 맞은 사람들은 살아남지 못했기 때문”이라고 풀어서 설명한다. 그러면서 “수학자는 늘 어떤 가정을 품고 있는지, 그 가정은 정당한지 물어야 한다”고 말한다. 말하자면 ‘날개와 꼬리를 보강해야 한다고 생각한 사람’들은 자신도 모르게 ‘기지로 복귀한 전투기 전체에서 무작위로 추출된 것’이라고 생각했다는 것이다. 치명타를 입은 전투기들은 돌아오지 못하고 치명적이지 않은 곳에 총격을 입은 전투기만 돌아왔음에도 불구하고.

저자는 이 이론이 뮤추얼펀드에도 동일하게 적용된다고 설명한다. “모든 뮤추얼펀드는 영원하지 않다. 어떤 펀드는 장수하고 어떤 펀드는 일찍 죽는다. 죽은 펀드는 대체로 돈을 못 번 펀드이다. 그러니 어느 시점에 살아남은 펀드만 가지고 과거 십 년간 운영된 모든 펀드의 가치를 판단하는 것은 기지로 복귀한 전투기의 총알구멍만 헤아려서 조종사들의 전투능력을 판단하는 것과 마찬가지다. 만일 총알구멍이 비행기 한 대당 두 개 이상은 절대 발견되지 않는다면 그것은 무슨 뜻일까? 그것은 조종사들이 적의 포화를 피하는데 뛰어나다는 뜻이 아니라 두 번 맞은 비행기는 죄다 불길에 휩싸여 추락했다는 뜻이다.”

책을 열자 프롤로그에 이 글이 실렸다. 그러면서 “수학을 가르쳐야 하는 이유는 사람보다 컴퓨터가 효율적으로 더 잘할 수 있는 적분이나 선형회귀 같은 것을 익숙하게 풀도록 만들기 위해서가 아니라”고 말한다. 문제를 푸는 방식은 적절한지, 문제 푼 결과가 타당한지를 평가하는 일은 사람 밖에 할 수 없고, 그러기 위해 수학을 가르친다는 것이다. 그러니 단순히 문제풀이만 가르치는 건 수학의 당초 목적에 어긋나는 것이다.

저자는 그렇다고 해서 구구단 외우기와 같은 기계적인 교육은 폐지하자는 일부 개혁주의자의 주장에 동조할 수 없다고 분명하게 선을 긋는다. 수학적 사고 과정에서 단순한 계산을 위해 그때마다 계산기를 찾아야 한다면 사고에 필요한 속도를 낼 수 없기 때문이다. 단어의 철자를 일일이 찾아가면서 시를 쓸 수는 없는 법이니 말이다.

낙심

여기까지 읽으면서 여러 번 무릎을 쳤다. 바로 내가 찾던 책이었기 때문이다. 하지만 아쉽게도 그렇게 쉬운 말로 선명하게 수학의 목적과 필요성을 풀어낸 글은 프롤로그가 전부였다. 그 이후에는 복잡한 수식과 그래프, 그리고 이해할 수 없는 난해한 이론이 이어졌다. 읽다가 도중에 손들고 만 ＜법정에 선 수학＞보다 더 어려웠다. 머리에 쥐가 나도록 열흘 가까이 씨름해서 결국 마지막 장에 이르기는 했지만, 솔직히 뭘 읽었는지도 잘 모르겠다.

그렇다고 해서 건진 게 전혀 없는 건 아니다. 평소에 갖고 있었던 궁금증 하나를 풀 수 있었고, 오랫동안 궁금해 하지도 않고 당연하게 여겼던 사회현상의 바탕에 그럴 수밖에 없는 수학적 원인이 있었다는 흥미로운 글도 읽었다. 하지만 수학책은 역시 수학책이어서 그동안 소원했던 수학과 다시 친해져보겠다는 각오가 영 무색하게 되었다. 아마 앞으로 수학책에 관심을 가져볼 일이 다시 있을 것 같지는 않다.

회귀

프로야구 시즌이 시작되면 첫 달에는 언제나 경이로운 타율이 쏟아진다. 올해도 예외 없이 그런 일이 일어났는데, 외국인 타자 하나는 초반 잠깐이기는 했지만 5할을 넘기기도 했다. 하지만 시즌이 진행되면서 여느 때처럼 타율이 내려가 올해 수위타자 최형우는 0.354로 시즌을 마감하였다. 나는 왜 타자들이 시즌초반의 맹렬한 타율을 유지하지 못하는지 늘 궁금했다. 저자는 이를 ‘회귀’로 설명하고 있다.

첫 소설로 대박을 터뜨렸던 신예 작가의 두 번째 소설이나 데뷔 음반이 엄청나게 유행했던 밴드의 두 번째 앨범이 첫 번째만큼 좋은 경우가 드문 것이나, 다년계약에 성공하는 선수가 이후 시즌에서 성적이 이전만 못한 것이 모두 회귀 때문이라는 것이다. 저자는 예술적 성공은 인생의 모든 것이 그렇듯 재능과 운의 결합이니 평균으로 회귀가 적용된다고 설명한다. 이어서 다년계약에 성공한 선수는 더 열심히 할 금전적 동기가 없기 때문이라기보다는 애초에 그들이 엄청나게 훌륭한 한 해를 보냈기 때문에 그 결과로 다년계약을 따낸 것이라고 설명한다. 그러니 이들이 이후에 정상적인 수준으로 회귀하지 않는다면 그것이야말로 정말 기이한 일일 것이라고 말한다.

이러한 현상은 매년 올스타 휴식기에 열리는 홈런더비에서도 동일하게 일어난다. 홈런더비는 최고 강타자들이 배팅연습용 구질을 던지는 투수를 상대로 누가 더 많은 홈런을 날리는지 경쟁하는 대회인데, 그렇기 때문에 타격 타이밍이 흐트러져서  휴식기 직후 몇 주 동안은 홈런을 치기가 더 어렵다고 불평하기도 한다. 이른바 홈런더비의 저주이다. 하지만 저자는 저주 같은 것은 없으며, 더비에 참가한 선수들은 시즌 전반을 엄청나게 훌륭하게 보냈기 때문에 그 자리에 선 것이고, 그래서 회귀에 따라 그들의 후반 기록은 평균적으로 전반의 페이스에 미칠 수가 없다고 설명한다.

통찰

읽으면서 얻은 일상과 관련된 통찰 몇 가지

○ 인과관계에서 오는 상관관계와 그렇지 않은 상관관계를 가려내는 것은 미치도록 어려운 일이다.

○ 다수결은 간단하고 깔끔하고 공정한 기법으로 느껴지지만 단 두 선택지 사이에서 결정할 때만 최선의 기법이다. 선택지가 둘을 넘어서면 다수결의 선호에 모순이 스미기 시작한다.

○ 음수(陰數)가 될 수 있는 상황에서는 퍼센트를 논하지 말라. 음수가 퍼센트와 같은 산술과 결합되면 뭔가 우리의 직관을 혼선시키는 측면이 생겨난다.

○ 우리는 ＜발생확률이 대단히 낮다＞는 것을 ＜사실상 불가능한 일이다＞는 뜻으로 여기기 쉽다. 그러나 무언가 불가능하다는 것과 확률이 대단히 낮다는 것은 전혀 같지 않다. 비슷하지도 않다. 불가능한 일은 절대 벌어지지 않지만 확률이 낮은 일은 많이 벌어진다.

조던 엘렌버그 님의 틀리지 않는 법 리뷰입니다. 제가 이런 수학적 사고를 가볍고 쉽게 다룬 글을 좋아하는데, 이 책이 딱 그런 것 같아서 좋았습니다. 교수님 유머라고 하나요? 어려운 개념을 조금 유머러스하게 설명해주는 부분이 좋았고, 실생활에서 수학이 어떻게 사용되는지 구체적으로 잘 설명해 유익했습니다. 수학은 틀리지 않는 법이 있어서 참 좋은 것 같습니다...인생도 그랬으면 좋겠네요.

예상보다는 수학(수식, 개념 등)이 많이 등장하지 않은 것 같았다. 하지만, 예상했던 수학이 어쩌면 편협한 지식과 경험에서 비롯된 가정이었음을 생각하게 해준 책이었다. 수학을 사랑하는 사람이, 세상을 좀 더 수학적으로 아름답게?(수학의 기준에 맞추어 조화롭게) 살아가는 혹은 바꿔나가는 방안에 대한 이야기를 잘 정리한 글들로 볼 수 있겠다.

다소 냉정하게 들릴 수 있는 이야기를 인용하자면, "미국내 방위조직이 예로부터 정확히 이해했던 한 가지 사실은 어떤 나라가 전쟁에서 이기는 것은 상대 나라보다 좀 더 용감해서, 좀 더 자유로워서, 혹은 신의 총애를 약간 더 받아서가 아니라는 점이다. 보통은 비행기가 5% 덜 추격되는 쪽, 연료를 5% 덜 쓰는 쪽, 혹은 보병들에게 95%의 비용으로 5% 더 많은 영양을 지급하는 쪽이 이긴다. 이런 이야기는 전쟁 영화에는 나오지 않지만, 실제 전쟁은 이런 내용으로 이루어진다." 상당히 멋지다고 느껴졌다. 주제가 전쟁인게 꺼림직하지만... 수학이 어디에 쓰이는가? 라는 질문, 중고등학교때 나름 수학을 좋아하는 편이었던 나에게도, 막연히 나중에 어디에나 보편적으로 쓰이고 배경 지식으로, 지적 능력으로 기능하게 될꺼야라는 식의 선생님이나 지인들의 말을 막연히 믿으면 살았던 것, 그리고 지금도 거기에서 별로 달라지지 않았던 것을 돌이켜 보면, 이런 식의 명확한 사례 제시는 꽤나 도움이 된다. 저자 스스로도 이같은 막연한 전망의 사례를 이야기한 바도 있다. 하지만, 어느 순간부터 실용적인 정책과 철학에 대한 호감을 가지면서, 이같은 사례는 웬지 더 피부에 와 닿는 듯한 생각이 든다. 현재 몸담고 있는 조직에서, 수년간 B/C에 대해 고민하던 일을 하다가, 지금 당장 국제관계... 라는 모호한 업무를 담당하는 시점에, 여전히 Cost Recovery라는 개념을 중요하게 고려하고 싶은 시점에서... 이런 계산을 하려고 한다는 것, 도전적인 자세임에 틀림없다. 무지 어렵겠지만서두...

하지만 저자는 숫자를 객관적인 척 하면서 거론하는 것의 위험을 다양한 방식으로 이야기한다. 가장 기가막혔던 사례가 다음이었다. "2001년 12월 미하원은 일련의 공격으로 이스라엘인 26명이 사망한 것은 ＜미국에 적용한다면 1,200명이 죽은 것과 같다＞고 말했다. 뉴트 깅그리치는 2006년에 ＜이스라엘에서 8명이 죽은 것은 인구 규모를 감안할 때 미국인 약 500명이 죽는 것과 같음을 명심하자＞ 고 말했다." 아... 이 뭔 개소리냐? 저자는 이런 선형적인 비유의 몰상식함을 수학적으로 분석한다고도 할 수 있다. 이와 유사한 선형적인 무리한 비유의 사례를 여럿 언급하면서, 내가 무척 통쾌해했던 다음과 같은 이야기도 한다. "스티븐 핑커는 인류 역사 내내 세상의 폭력성이 꾸준히 줄었다고 주장한 최근 베스트셀러 '우리 본성의 선한 천사'에서 비슷한 논점을 강조했다. 20세기는 강대국 정치에 휘말려 수많은 사람이 희생된 시기로 악명이 높다." 뭔 얘기냐면, 30년 전쟁에서는 세계 인구중 100명에 1명을 죽인 꼴인데, 현재 그런 일이 벌어진다면 양차 세계대전의 사망자를 더한 것보다 많은 7000만명이 죽을 것이다. ... 이게 말이 되는 이야기냐? 핑커의 '빈서판'에서 거론되었던 각종 통계들에 대해 상당부분 불만과 의구심을 가지던 나에게, 강력한 논리적인 비판의 근거를 제시하는 부분으로 보였다. 그래, 많은 지성인, 집단, 국가들이 이와 같은 통계 적용의 오류를, 통계 수치의 과대해석의 오류를 저지르는 것은 뭐... 그냥 한계라고 볼 수 있겠다. 이상적으로 그냥 한명 한명의 목숨에 대해 동일하게 볼 수만도 없겠지만(흑), 그렇다고 통계수치를 기계적으로 여기저기 적용하는 것, 그것의 오류를 수학자가 이야할 줄이야... 

저자의 주장은 수학자가 비록(?) '엄밀함'을 추구하지만, 그렇기 때문에 현실 세계에서 각종 제도나 정책들이 '엄밀하려고 하는, 혹은 엄밀한 척 하는 모습'의 한계를 좀 더 잘 지적할 수 있는 것이라 하겠다. 그러다 보니 정책의 비용과 재정의 낭비에 대해서 이런 발칙하고도 참신한 이야기를 하는게 아닌가 싶다. "우리가 ... 물어야 할 질문은 ＜왜 우리는 납세자의 돈을 낭비하는가?＞가 아니라 ＜납세자들의 돈을 얼마나 낭비하는 것이 바람직한가?＞이다. 스티글러의 말을 빌리자면, 정부가 낭비를 전혀 하지 않는다면, 우리는 정부의 낭비를 막는데 너무 많은 시간을 쓰고 있는 것이다." 참 현실타협적인 이야기라 하겠다. 그러나 다양한 개인과 집단이 선호하는 정책과 수반되는 비용, 그 총합을 조정하는 입장에서 '낭비'라는 것이 어떻게 수학적으로 정의될 수 있는가를 고려할 때, 그것을 없앤다는 개념은 원칙적으로 불가능하다는 것을 차분히 논증하고 있다고 할 수 있다. 이는 무수히 많은 방향으로 뻗쳐있는 벡터들을 한 방향으로 정향할 수 있는 선형식을 만든다는 것과 같은 불가능의 문제라고 말할 수 있을까?

그러면 왜 이렇게 현실은 복잡하고 비선형적인가? 꼭 그에 대한 답은 아니겠으나, "세상에는 알려진 미지의 것과 알려지지 않은 미지의 것이 있으며 두 가지는 다르게 다뤄져야 한다"는 저자의 인용구에서 부분적으로 이유를 찾을 수 있겠다. 세계의 동력학이라는게 있다면, 아직 그 작용과 운동방식에 대한 모든 요소들 중에도 밝혀지지 않은 것들이 있을 수 있겠으나, 그 요소들 사이의 비선형적 관계(3체 운동과 같이)는 어쩔 수 없는 것이라 하지 않을 수 없다. 그것들이 왜 알 수 없는 것인지를 명확히 정리하는 것이 수학의 일일까?.... 저자가 예시를 하는 빨간공과 검은공 게임의 예를 들자면, "결정 이론 문헌에는 전자에 해당하는 미지를 위험이라고 부르고 후자는 불확실성이라고 부른다. 위험한 전략은 수치적으로 분석할 수 있지만, 불확실한 전략은 엘즈버그가 보여 주었듯이 형식 수학의 분석 범위를 넘어선다."라고 한다. 불확실함의 정도를 수학적으로 범위지을 수 있을지 모르겠으나, 그 전략은 수학의 범주 밖이라고 고백하고 있다. 이 사례에서 날씨/기후 예측에 대한 생각이 들더라. 아주 거칠게 날씨정보에 대한 관측은 위험의 문제이고, 예측은 불확실의 문제이며, 기상학은 그 불확실함의 범위를 파악하고, 그 범위의 한계까지 구현하는 것이다. 파악은 순수학문의 범주, 구현은 응용학문의 범주... 이렇게. 그리고 현실은 규정된 불확실험의 범위가 나름 학문의 발전에 따라 조금씩 변동하고(줄어들고) 있는 상태로 인해, 예측이 틀렸을 경우에 대한 설명으로 불확실함이라는 근거/변명가 대중들의 동감을 얻기가 어렵고, 동시에 인간사회의 범주에서 비롯되었다고 할 수 있을, 그러니까 다른 차원의 위기의 범주에서 파생된 기후변화가 그 불확실함의 범위를 또한 변동시키고 있기 때문에 무언가 새로운 차원의 불확실함의 범위를 분석해야 하는 어려운 상황이라까? ... 스스로는 만족스러운 규정인데, 누군가를 설득할 자신은 아직까지 없네. 쩝~

그러한 복잡함과 불확실함의 세상에서, 다시금 통계의 의미와 사례를 되집는 부분에서 저자는 우생학의 골턴이 가졌던 합리성과 불합리함을 언급한다. 트렌드의 변화...평균화의 사례를 들면서 말이다. 그러면서 수학자들의 까칠한(?) 성격을 보여주는 아주 재밌는 말을 인용하는데... "그 책의 논지는, 정확하게 해석할 경우, 본질적으로 시시한 사실에 불과합니다. - 그런 수학적 결론을 ＜증명＞하기 위해서 무수한 사업 부문들의 수익과 지출비에 대해 길고 값비싼 수치 연구를 수행한다는 것은 구구단을 중명하기 위해서 코끼리들을 행과 열로 배열해 보고 그 밖에도 무수한 종류의 동물들을 동원해서 똑같은 실험을 반복해 보는 것과 마찬가지입니다. 그런 작업은 어쩌면 재미있을지 모르고 교육적 가치도 조금은 있을지 모르겠지만, 동물학에도 수학에도 전혀 중요한 기여를 하고 있지 않습니다." 캬~! 어떤 사례에 대한 이야기냐면, 사업자들의 수치를 분석해보니, 속된말로 대를 이어가는 부자들이 매우 드물더라는 사실을 확인한 사람이(산수에는 강했지만 수학에 약한), 이게 대단한 수학의 법칙인 것처럼 생각하는 것에 대한 수학자의 비평이란다. 골턴은 명확히 이해했던, 그래서 그 이해를 바탕으로 회귀분석을 개발(?)하기까지 했었던 데이터의 회귀 특성이라는 당연한 사실인데 말이다. 재밌는 부분이 여럿 있었으나, 특히 이 까칠한 유머인용 부분에선 웃음이 터져나오더라.

끄트머리에는 불확실한 사실에 대해 불확실한 정도를 명시하면서 의견을 제시하는 것에 대한 저자의 생각을 주로 기술한 것 같다. "권고가 틀릴지도 모른다는 이유에서 아무 권고도 내지 않는 것은 확실히 패하는 전략이라는 것이다. 이것은 조지 스티글러가 비행기를 좀 더 놓치라고 조언했던 것과 비슷한 상황이다. 확실히 옳다고 자신할 수 있을 때만 조언을 주는 것은 조언을 충분히 주지 않는 것이다." 이 문구가 있던 챕터의 소제목은 '틀리는 것이 늘 틀린 것만은 아니다'였다. 웬지 직장의 기본 입무인 날씨예보에 관여하는 사람들이 좋아할 수 밖에 없는 문구라고 본다. 앞에 언급했던 불확실함과 위기에 대한 정리와 연결되기도 하고. 다양한 분석의 결과를 바탕으로 어떠한 조언을 할 때, 무엇보다 '상관관계가 인과관계는 아님'을 확실히 해야 하고, 그렇기 때문에 어떤 수치에 대해서 수학적인 입장들은 가능한 명확히 나와야한다. 불확실한 정도를 명시하면서. 끄트머리에 미국 선거에 대해서 그런 입장을 취한 네이트 실버의 행적을 저자는 높게 평가한다. 수학적으로 옳은 분석/권고의 방식이라 하면서. 

선거/선택의 문제에 대해 점균류와 고어-부시간의 대결이 있었던 플로리다의 상황을 설명한 부분도 재미있었는데... 어쨌든 결론은 확실하지 않은 만큼을 가능한 명확히 설명하라는 주문으로 반복할 수 있겠다. 그것이 (수학적) 지성의 올바른 방식이 아닐까 하는 가정하에서 말이다. 그리고 그 올바른 지성은 스스로 항상 다음과 같은 성찰이 요구되는 것이리라. "피츠제럴드가 표사했던 ＜일류지성＞의 조건은 곧 그가 자기 자신의 지성을 일류라고 부를 수없다는 뜻이었다." 다만, 선거의 경우... 정치의 경우... 그런 정보가 제공되더라도 대중들이 크게 바뀔지는 여전히 알 수 없을 듯 하다. "요즘 정치학 문헌에서 상식이 되어 버린 그 사실이란, 부동표들이 결정을 못 내리는 것은 정치적 신조의 선입견에 사로잡히지 않은 책 양 후보자의 장점을 신중하게 저울질하기 때문이 아니라 대체로 신경을 거의 안 쓰기 때문이라는 것이다."라는 인용에서 예시되듯이, 선택의 확실함을 모호하게 만드는데 기여하는 부동표의 경우, 선택자의 무관심/무지가 주 원인인데.... 상세한 정보가 도움이 될런지 회의적이니까. 스스로 일류지성이라고 말을 못하는 성찰을 유지해야 하지만, 이류, 삼류지성의 순수하고 무고한 다수의 부동표~! 이것이 우리가 살아가는 세상의 또 다른 단면일테니까. 

마지막으로 저자가 지도교수에게 들었다는 조언을 언급하고 싶다. "어떤 정리를 증명하는 일에 매달리고 있다면 낮에는 그것을 증명하려 애쓰고 밤에는 반증하려 애써 보라는 것이다." 평범한 생활철학 같기도 한, 하지만 매우 수학적인 이 조언을 열심히 생각해봐야겠다.