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수학이 필요한 순간

: 인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가

[ 양장 ]
리뷰 총점8.0 리뷰 35건 | 판매지수 131,559
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국내도서 174위 | 국내도서 top20 8주
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품목정보

품목정보
출간일 2018년 08월 03일
쪽수, 무게, 크기 328쪽 | 424g | 130*197*30mm
ISBN13 9791186560785
ISBN10 1186560789

책소개 책소개 보이기/감추기

상품 이미지를 확대해서 볼 수 있습니다. 원본 이미지
“결국 모든 삶은 수학적으로 사고할 수밖에 없습니다”
인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를
현대 수학으로 풀어낸 7개의 강의

_세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대학 교수의 아름다운 명강의
_네이버커넥트재단, 카오스재단을 휩쓴 화제의 강의를 책으로 만나다


우리가 익숙하게 사용하는 연산, 매일 이야기하는 확률, 쉽게 그리는 좌표 등도 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 이론이었다. 페르마, 뉴턴, 아인슈타인은 물론, 지금 잘 알지 못하는 현대 수학 이론들도 언젠가는 자연스럽게 떠올리는 상식이 될 것이다. 결국 인간은 ‘수학적 사고’를 하는 존재이기 때문이다.

한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수. 그가 인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를 총 7개의 강의를 통해 풀어냈다. 『수학이 필요한 순간』은 현대 수학의 대가가 복잡하고 어려운 수학의 세계를 누구나 이해할 수 있는 상식적인 언어로 설명한 놀라운 작업이다. 이 책을 통해 우리는 인간이 우주를 이해하는 법도, 윤리적인 판단까지도 수학적 사고를 바탕으로 하고 있음을 깨닫게 된다. 더 깊게 생각하는 데서 오는 짜릿하고 매력적인 희열에 빠지게 될 것이다.

목차 목차 보이기/감추기

지은이의 말
이 책을 펴내며

시작하며
수학은 인간의 직관에 영향을 미칩니다. 확률 이론은 17세기에야 시작되었지만 지금 사람들은‘ 37%의 비 올 확률’을 읽고 이해하는 데 무리가 없습니다. 오늘날 인간이 가진 상상력에 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다.

1강 수학은 무엇인가
갈릴레오는 말했습니다. “우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적인 언어다.” 수학은 특정한 종류의 논리나 사고가 아니라, 우리의 일상과 우주를 이해하는 상식에 다름 아닙니다.

2강 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견
페르마와 데카르트의 좌표계, 아인슈타인의 상대성 이론 등 위대한 발견들을 살펴보다 보면 수학적 사고가 왜 필요한지 느낄 수 있습니다. 지금 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 앞으로 어떤 질문을 원하는지를 찾아가는 것입니다.

3강 확률론의 선과 악
하이드파크에서 10명이 살해되었다. 이 일은 큰일일까요, 아닐까요? 한 사람이라도 죽으면 안 되겠지만, 수만 명을 죽음으로 몰 수도 있었던 테러를 막는 과정에서 10명이 희생되었다면? 이런 윤리적인 판단 속에도 수학의 확률이 작동하고 있습니다.

4강 답이 없어도 좋다
대표자를 뽑는 가장 좋은 방법은 뭘까요? 수많은 선출 방법을 살펴보면, 방법마다 완전히 다른 결과가 나올 수 있음을 알 수 있습니다. 그러면 이 방법들은 다 틀린 걸까요? 완벽하지 못하다고 해서 포기하기보다는 제한적인 조건에서 이해하는 것이 수학적으로 중요합니다.

5강 답이 있을 때, 찾을 수 있는가
19세기 청혼 문화를 알고 있지요? 남녀가 청혼, 약혼, 파혼, 결혼이라는 단계를 거치면서 짝을 찾는 겁니다. 만약 남녀 각각 100명이 짝을 지을 때 안정적인 답이 있을까요?‘ 좋아하는 마음은 복잡해도 답은 항상 있습니다.’ 답이 있다는 걸 수학은 도대체 어떻게 증명할까요.

6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산
우주가 휘어져 있다고 합시다. 이를 말로 표현할 수는 있어도 정확하게 알기는 어렵습니다. 내면 기하라는 개념이 없이는 우주가 휘어졌다는 주장을 하기 불가능합니다. 상상할 수 없는 것을 상상하는 것은 어떻게 가능하게 될까요.

마치며
수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다 .

특강 숫자 없이 수학을 이해하기
수학이라고 하면 숫자가 제일 먼저 떠오릅니다. 엄밀히 말해 숫자와 수는 다릅니다. 수는 수체계를 이루는 여러 원소 중 하나입니다. 우리는 숫자를 전혀 사용하지 않고도 연산을 할 수 있습니다.

추천의 말

저자 소개 (1명)

YES24 리뷰 YES24 리뷰 보이기/감추기

보통의 언어로 한 걸음씩 생각의 가장 깊은 곳까지 가 닿는 즐거움
박형욱 (kaeti@yes24.com)
2018-08-23
수학은 무엇인가? 즉답이 어렵다. 대답에 앞서 얼마간의 정적에 잠기게 할 질문이지 않은가? 어쩌면 답을 찾기보다 그 질문의 영향력 하에서 벗어나는 방법을 더 절실히 찾게 될지도 모르겠다. 그래도, 아니 그래서 이 책에 실린 일곱 개의 강의 중 첫번째 강의의 첫번째 문장은 이것이다. ‘수학은 무엇인가요?’ 책은 여기에서 시작해 끊임없이 묻고 또 물어가며 가능한 답을 찾기 위한 대화를 이어간다. 수학이 쉽지 않은 이들도 결코 소외시키지 않는 대화다.

저자는 세상을 이해하기 위해서는 결국 수학적 사고가 필요하고, 우리는 이미 누구나 수학적 사고를 통해 주변의 것들을 받아들이고 있다고 말한다. 당신이 아무리 자신을 수학과는 거리가 먼 사람이라 생각 한대도 말이다. 그는 점차적인 문답을 통해 각자의 수학적 사고를 스스로 발견할 수 있게 하는데, 이 과정이 무척 재미있다. 비교적 가벼운 일상의 주제부터 우주에 관한 이야기까지, 그 폭과 깊이를 더해가면서 머리가 뜨끈해질 때까지 실컷 생각하고 나면 마음껏 울어버리고 난 뒤의 후련함 같은 것을 맛보게 되는 것이다.

일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 어쩌면 대범하게도 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다. (p.266)

수학은 무엇인가? 앞서 ‘책은 가능한 답을 찾기 위한 대화를 이어간다.’고 표현했으나, 역시 명확한 답을 내리기는 어렵다. 수학이 ‘정답을 찾는 일’이 아닌 것과 같이. 이 책에서 소개하는 수학은 저자의 말처럼 ‘세상을 이해하고 설명하는 방식’일 것이다. 차라리 수학이 찾아내는 것은 답이 아니라 질문이라 하겠다. 일곱 개의 강의에 담긴 수많은 물음표들 사이를 오가는 동안 우리는 어느새 생각의 가장 깊은 곳에 가 닿게 될 것이다.

책속으로 책속으로 보이기/감추기

지금 우리에게 다소 어려운 문제들도 언젠가는 상식이 될 것입니다. 오늘날 인간이 가지고 있는 지능과 상상력에 어떤 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다. 반대로 어떤 새로운 사고가 공통된 상식이 되는 과정도 수학적인 이해력을 바탕으로 가능하게 될 것입니다. ---「시작하며」중에서

제가 대학에서 수학을 전공하러 온 학생들 중에서도 수학적인 증명이 무슨 특별한 사고라고 생각하는 학생들이 굉장히 많습니다. 하지만 증명은 특별한 기술을 요구하는 것이 아니라, 그냥 명료하게 설명하는 것입니다. 보통 우리가 말하는 ‘분명하게’와 다를 바가 없습니다. ---「1강 수학은 무엇인가」중에서

우리는 살면서 여러 질문을 하죠. 그런데 질문을 하면서도 어떤 종류의 답을 원하는지 분명치 않을 때가 많습니다. 가령 x를 구한다고 했을 때 답이 만족스러운 답일 수도 있고 불만족스러운 답일 수도 있습니다. 그런데 사실 뉴턴의 경우처럼 어떤 답을 우리가 만족스러운 답으로 받아들이느냐 자체가 분명치 않은 경우가 더 많습니다. 따라서 과학적인 이론을 전개하는 과정에서‘ 적당한 답의 틀’을 만드는 것 자체도 중요합니다. ---「2강 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견」중에서

여러분은 선한 사람입니까? 악한 사람입니까? 그런 판단은 무엇을 기준으로 내릴 수 있을까요? 어려운 사람을 많이 돕는 사람이 선한 사람일까요? 아니면 법을 어기지 않는 사람이 선한 사람일까요? 저는 가끔 학생들에게 이런 질문을 합니다. 가령 작년에 런던 하이드파크에서 총 10명이 살해됐다. 이는 큰일일까요, 아닐까요? ---「3강 확률론의 선과 악」중에서

수학사에는 틀린 증명과 틀린 정리가 굉장히 많습니다. 그런데 오히려 그 수많은 실패가 현상을 이해하게 하는 데 더 큰 도움을 주곤 합니다. 우리에게 주어진 제약이 무엇인가를 확인하게 하기 때문입니다.‘ 애로의 불가능성 정리’ 역시 제한점을 마련하고, 거기서 끝난 것이 아니라 이후 연구자들에게 지표가 되어주었습니다. ---「4강 답이 없어도 좋다」중에서

이 질문에 대한 요점은 찾을 수 있다는 것뿐만 아니라 ‘효율적으로’ 찾을 수 있다는 것입니다. 상당히 많은 수학적인 문제가 세 가지 이슈를 한꺼번에 가지고 있습니다. 첫 번째는 해가 있느냐 없느냐, 두 번째는 찾을 수 있느냐, 세 번째는 찾을 수 있어도 효율적으로 찾을 수 있느냐. 누구는 효율적으로 느끼고 누구는 비효율적으로 느끼는 방식이 아니라 객관적인 의미를 부여할 수 있는 효율성이라는 게 있을까요? 이 효율성의 정의와 그에 관련된 이론은 수학과 계산과학에서 상당히 활발히 연구되고 있기도 합니다. ---「5강 답이 있을 때, 찾을 수 있는가」중에서

일반 상대성 이론에 따르면, 중력을 느낀다는 것 자체가 시공간의 곡률을 느끼는 과정이라고 봅니다. 시공간이 휘어졌기 때문이라는 겁니다. 여기서 중요한 건 기본적인 착안입니다. 공간이 휘어서, 우주가 휘어서 중력을 느낀다면, 그럼 우주가 휘어졌다는 게 뭘 의미하는가? 이걸 그럴싸하게 말로 표현할 수는 있어도 사실 직관적으로도 알기 어렵습니다. 우주가 휘어졌다는 게 무슨 뜻인지 알기 어려운 이유가 뭘까요? 우리가 우주 안에 있기 때문이 아닐까요. 우리는 우주의 밖에서 우주를 들여다볼 수 없으니까요. 그렇기 때문에 내면기하의 개념 없이 우주가 휘어졌다는 주장을 하기가 불가능한 겁니다. ---「6강 ‘우주의 실체, 모양과 위상과 계산」중에서

일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 어쩌면 대범하게도 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다.
---「 마치며」중에서

출판사 리뷰 출판사 리뷰 보이기/감추기

세계적인 수학자 김민형 교수가 전하는 아름다운 수학의 세계
_인간의 놀라운 사고 능력과 수학에 관한 7개의 강의


17세기에 발명된 확률 이론은 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 수학 이론이었지만 지금은 누구나 ‘37%의 비 올 확률’을 읽고 이해할 수 있다. 세상을 관찰하며 떠오른 직관은 정교하게 다듬어져 하나의 이론이 되고, 이는 점차 널리 활용되며 많은 사람들의 상식이 되었다. 세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대 교수는 이런 과정이 수세기 동안 거듭되고 축적되면서 인간의 사고 능력은 끊임없이 확장하고 있으며, 이러한 경향은 더욱 가속화될 것이라고 말한다. 지금은 우리에게 아주 복잡한 현대 수학이론들도 머지않아 누구나 자연스럽게 떠올리는 상식이 된다는 것이다.

김민형 교수의 신간『수학이 필요한 순간』은 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담고 있다. 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 만날 수 있다. 그가 진행한 다양한 대중 강연의 내용을 포함하여 1년여에 걸쳐 진행된 강의를 총망라한 이 책은 이 시대에 필요한 수학적 사고에 관한 깊은 탐구와 메시지를 오롯이 담고 있다. 마치 강의실에 앉아 있는 듯 질문과 답으로 구성된 이 책을 따라 차근차근 생각의 온도를 높여가다 보면, 어느덧 수학의 매력에 푹 빠져 있는 자신을 발견하게 된다. 노벨 경제학상을 받은 게일 섀플리 이론이나 애로의 불가능성의 정리, 오일러의 수나 내면 기하처럼 물리학과 수학의 경계를 넘나드는 현대 수학의 개념들까지도 상식적인 언어만으로 쓰여 있어 누구든 끝까지 읽어나갈 수 있다.

인간은 얼마나 깊이 생각할 수 있는가?
_일상부터 우주에 대한 탐구까지 ‘수학이 필요한 순간들’


‘수포자’에게 수학은 늘 두려운 존재다. 하지만 수학을 못하는 사람도, 이미 누구나 ‘수학적 사고’를 하고 있다. 수학적 사고란 인간이 세계를 사고하는 가장 기본적이고 근본적인 능력이기 때문이다.『수학이 필요한 순간』은 우리 안의 수학적 사고를 발견하게 만드는 책이다. 이 책에 의하면 수학은 우리가 모르는 것이 무엇인지 정확하게 질문을 던지고 그에 필요한 개념적 도구를 만들어가는 과정이다. “빛은 어떻게 이동하는가?”라는 17세기의 과학자 페르마의 질문이 몇백 년에 걸쳐 뉴턴의 운동법칙, 아인슈타인의 상대성이론으로 발전한 것처럼, 수학의 질문은 수 세기를 이어가며 세상을 탐구해간다.(2장, ‘역사를 바꾼 3가지 수학적 발견’ 중에서)

우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 예를 들어 철학 영역이라 알려진 트롤리 문제, “망가진 자동차에서 누구를 살릴 것인가?”는 현재 MIT에서 자율주행 자동차에 들어갈 프로그램을 제작하기 위한 게임으로도 활용되고 있다. 피실험자들이 위험한 상황 앞에서 내릴 ‘윤리적인 판단’을 확률 데이터, 즉 수학적인 문제로 만들고 있는 것이다(4강 ‘확률론의 선과 악’). 이는 과학기술이 윤리적으로 사용되는가의 쟁점에서 더 나아가 다가올 미래에는 인간의 윤리 자체가 확률의 문제가 될 수 있음을 시사한다.

시공간과 우주에 대한 근본적인 이해 역시 수학이 없이는 가능하지 않다. 중력은 우주가 휘어졌기 때문에 발생한다는 물리학의 기본 가정은 ‘내면기하’라는 수학적 개념 없이는 설명할 수 없으며, 양자장론이나 초끈이론처럼 최신 물리학의 연구는 우주에 존재하는 수학적 구조를 발견하는 과정과 다름없다.(6강, 우주의 실체 모양과 위상과 계산) 이처럼 현대 수학이 이룩한 주요한 발견과 증명은 우리로 하여금 기존의 세계관과 통념을 뛰어넘으며 자연과 우주에 관해 불가능한 것을 상상하도록 만든다.

생각의 근육을 키우다
_포기하지 않고 더 깊이 사고하게 만드는 수학의 힘


꼭 수학이 아니더라도, 문제를 사고하는 과정에 조금이라도 부하가 걸리거나 오답을 마주하면 사람들은 이를 포기하거나 건너뛰고 싶어 한다. 하지만 수학의 역사에서 중요한 계기는 오히려 답이 틀렸거나 없는 상황일 때 더 많이 일어났다. 4강 ‘답이 없어도 좋다’는 ‘민주주의란 무엇인가?’라는 질문으로 시작한다. 대표자를 선출하는 방법에는 수십 가지가 있지만 그 어떤 것도 완벽할 순 없다. 하지만 수없이 많은 사회문화적 고려사항과 현실적 딜레마에도 불구하고 제한적인 조건에서 문제를 이해하고 적당한 답의 틀을 만들 때 오히려 문제의 본질에 다가설 수 있게 된다. 수학의 힘은 여기에 있다. 답에 가까워지는 과정이나 혹은 답이 없는 순간에도 포기하지 않고 더 깊이 이성적으로 사고하게 만드는 것이다.

이러한 수학적 방법론은 자연과학이나 공학뿐 아니라 사회학이나 경제학, 인문학과 예술에 이르기까지 자연스럽게 활용되고 있다. 예를 들어 이 책의 5강 ‘답이 있을 때 찾을 수 있는가’에서 소개하는 2012년 노벨 경제학상을 수상한 게일-섀플리 이론은 애초에 두 명의 수학자가 ‘수학적 사고란 무엇인가’를 알려주기 위해 수학 교육 저널에 게재한 논문이었다. 각각의 남녀 100명 모두가 안정적인 짝을 지을 수 있는가?라는 설정으로 시작하는 이 이론은 수학적 사고란 멀리 있는 것이 아니라, 사람의 마음처럼 답이 없을 것 같은 문제조차 더욱 명료하게 만들어나가는 과정에 있음을 깨닫게 만든다. 이 책을 읽다가 문득 고개를 들었을 때 우리를 둘러싼 세상이 조금 다르게 보인다면 이는 수학적 사고에 가까워지고 있는 신호일 것이다.

수학이 필요한 시대, 문과생·기업 임원·발레리나도 푹 빠져든 지적 즐거움

빅데이터나 머신러닝 등이 일상이 된 첨단 정보과학의 시대, 수많은 정보를 논리적으로 처리하고 문제를 해결하는 능력이 더욱 중요해지면서 수학적 사고는 개인과 기업이 지녀야 할 필수적인 능력으로 각광받고 있다. 이러한 가운데 김민형 교수는 수학 대중화에 앞장서는 대표주자로서 방한할 때마다 다양한 대중을 대상으로 수학 강의를 펼치고 있다. 천 명의 유료 객석이 매진된 수학콘서트 K.A.O.S를 비롯하여 네이버커넥트재단 등 김민형 교수의 강연장을 가득 채운 방청객은 초등학교 수학영재에서부터 직장인, 대기업 임원, 심지어 중학생 발레 전공자까지 다채롭다. 이들은 복잡한 내용의 수학을 ‘공부’하는 것이 아니라 자연스럽게 ‘이해’될 수 있다는 점에 하나같이 감탄하며 수학의 매력에 푹 빠져든다. 더 천천히 쉬운 말로 설명하는 것 같지만 더 깊게 끝까지 생각하게 만드는 그의 강의 방식 덕분이다.

이 책은 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 김민형 교수가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생했다. 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다. 평소 셰익스피어와 쇼팽을 사랑하며 물리학, 뇌과학, 인문학 등 학문 분야를 넘어 해박한 지식을 지닌 그는 스스로 “수학을 하기보다 수학에 대해 생각하는 것을 즐긴다”고 일컫는다. 그런 그가 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 이 책에 오롯이 녹여냈다. 이 책을 읽는 독자들이 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있기를 바란다.

추천평 추천평 보이기/감추기

수학이 필요한 시간이 따로 있을까? 학문의 궁극적 목표가 우주와 인간의 관계를 밝히는 것이라면 수학이 필요 없는 시간이란 없다. 만일 내가 고등학생 때 이 책을 읽을 수 있었다면 수포자’가 되지 않았을 텐데.
- 최재천(생물학자, 이화여자대학교 석좌교수)

우리 세대 최고의 수학자 김민형. 문학과 음악을 사랑하고 생물학, 뇌과학, 물리학에 대해 해박하며 난상토론을 즐긴다. 그의 책은 당신을 깊은 생각의 세계로 인도할 것이다.
- 박형주(수학자, 아주대학교 총장)

중학생 때『코스모스』를 읽고 천문학자가 되고 싶었지만, 수학 실력이 걸림돌이었다. 한 세월이 지나 수학이 어떤 것인지 비로소 느끼게 해주는 책과 만났다.
- 이현우(‘로쟈의 저공비행’ 서평가, 한림대학교 연구교수)

대화 형식으로 구성하여 쉽고 자연스럽다. 수학을 중심으로 과학, 공학, 인문학까지 다루고 있어 오늘날 융합적 사고를 갖추어야 하는 이들에게 매우 의미 있는 책이다.
- 권대용(고려대학교 영재교육원 융합분과위원장)

이 책은 말한다. 직관에 의존해도 세상을 무난하게 살아갈 수 있다. 그러나 직관에 약간의 수학적 사고를 첨가하면 우리의 삶은 더욱 풍요로워진다.’
- 박병철(과학 전문 번역가 및 저술가)

회원리뷰 (35건) 리뷰 총점8.0

혜택 및 유의사항?
수학이 실생활에서 어떻게 적용되는가 내용 평점5점   편집/디자인 평점5점 스타블로거 : 골드스타 가네토이사오 | 2018.11.25 | 추천0 | 댓글0 리뷰제목
수학을 활용하여 도면을 그릴때와 컴퓨터 신호를 해석할때 그리고 물리적인 힘을 나타낼때 중력의 반작용을 적용하여 특수한 공식을 만들었고, 그 공식은 실생활과 여러가지 이론을 적용하는데 필수코스가 됐다.방정식은 사칙연산을 기본으로 하여 거리를 나타내는 1차 방정식, 너비를 나타내는 2차 방정식, 부피를 나타내는 3차 방정식으로 확대 됐고, 미분을 통하여 가속도를 계산하고,
리뷰제목
수학을 활용하여 도면을 그릴때와 컴퓨터 신호를 해석할때 그리고 물리적인 힘을 나타낼때 중력의 반작용을 적용하여 특수한 공식을 만들었고, 그 공식은 실생활과 여러가지 이론을 적용하는데 필수코스가 됐다.
방정식은 사칙연산을 기본으로 하여 거리를 나타내는 1차 방정식, 너비를 나타내는 2차 방정식, 부피를 나타내는 3차 방정식으로 확대 됐고, 미분을 통하여 가속도를 계산하고, 적분을 통하여 중력의 힘을 계산하게 됐다.
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파워문화리뷰 '어떻게'가 '왜'를 설명하는 과정 - 김민형 『수학이 필요한 순간』 내용 평점4점   편집/디자인 평점4점 스타블로거 : 골드스타 CircleC | 2018.11.25 | 추천1 | 댓글0 리뷰제목
김민형 교수는 수학 원리가 우주의 모든 것을 설명할 것처럼 말하는 수학자가 아니었다. 그는 수학이 ‘논리적인 풀이 과정’이긴 하지만 수학은 논리학만이 아니고 논리적이지 않은 수학도 있다고 말한다. 또 수학만이 논리를 사용하는 학문은 아니라고도 말한다. 일상생활에서 사용하는 사고와 언어는 모두 암시적으로 논리를 내포하고 있다.   수학에서 굉장히 중요한 발전
리뷰제목

김민형 교수는 수학 원리가 우주의 모든 것을 설명할 것처럼 말하는 수학자가 아니었다. 그는 수학이 논리적인 풀이 과정이긴 하지만 수학은 논리학만이 아니고 논리적이지 않은 수학도 있다고 말한다. 또 수학만이 논리를 사용하는 학문은 아니라고도 말한다. 일상생활에서 사용하는 사고와 언어는 모두 암시적으로 논리를 내포하고 있다.
 
수학에서 굉장히 중요한 발전이 이루어진 시기는 인식의 여러 가지 전환이 일어난 “17세기 과학혁명의 시대였다. ‘과학의 수학화에 속하는 현상과 발견이 많았다.
첫 번째 발견은 빛의 굴절에 대한 원리인 페르마의 원리. “빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다는 것을 설명한다.

 

 이 원리는 몇 세기에 걸쳐서 과학의 발전에 지대한 영향을 미치게 됩니다. 레오하르트 오일러, 피에르 루이 모페르튀이, 조제프 루이 라그랑주, 윌리엄 해밀턴 등에 의해서 최소 작용량 원리’, 혹은 해밀턴의 원리로 일반화되면서 적용 영역이 점점 넓어집니다. 이는 쉽게 말하면 훨씬 더 일반적인 의미의 최적화 원리입니다. 거의 모든 물리적 시스템이 무언가를 최적화하며 진화한다는 원리죠. 온갖 사물의 상호작용부터 전자기장이 하전 입자에 미치는 영향, 심지어 20세기 들어서는 중력장이 만족하는 아인슈타인 방정식까지 모두 적용할 수 있을 정도로 최적화 원리는 추상적이고 일반적인 원리입니다. 이는 특히 현대 과학, 입자물리학 같은 분야에서 보편적으로 사용됩니다. 이렇게 다양한 운동의 원리를 밝히는 작업의 역사적 시작점이 바로 이 페르마의 원리였던 것입니다.”

 

나는 빛이 목적(Telos)을 가지고 움직인다는 표현을 납득할 수 없었는데, 페르마의 원리를 목적성이 없는 방식으로 설명하는 하위헌스의 원리가 있었다! 빛은 사방으로 퍼지지만 가장 빠른 경로가 아닌 것들은 전부 상쇄되어 보이지 않게 되기 때문이다. 하지만 하위헌스의 원리도 빛이 입자라는 개념까지 발전하지 못하고 퍼져나가는 파동처럼 설명하는 한계가 있다.
 
두 번째 발견은 아이작 뉴턴의 자연철학의 수학적 원리(줄여서 프린키피아’)이다. ‘뉴턴의 운동법칙, 중력장 이론을 포함하여 미분, 적분 등의 순수 수학 이론을 담고 있다. 이 책은 수학과 물리학뿐 아니라 흄과 칸트를 통해 계몽주의 철학적 세계관에 지대한 영향을 미침으로써 현대 사상의 초석이 되었다.

 

가속도 자체를 실제 자연에 존재하는 개체로 생각하지 않았다면 뉴턴의 이론은 진전할 수 없었을 것입니다. 뉴턴은 이런 직관적인 발견과 개념적인 진전을 결합하며 운동법칙을 조금씩 정밀하게, 또 실용적으로 만들어갔습니다.”
뉴턴이 가속도 때문에 발견한 개념이 바로 미분적분입니다. 속도가 변하는 정도를 정확히 수학적으로 표현한 것이 바로 미분입니다. 미분이란 변하는 정도를 재는 것입니다. 속도의 미분은 바로 가속도인 것이죠. 적분도 바로 중력법칙과 관련이 깊습니다. 뉴턴은 2개의 물체 사이에 중력이 어떻게 작용하는가를 고민했습니다. 결국 뉴턴이 발견한 사실은 이것이었습니다. (g)중력은 질량이 커질수록 커지고 거리가 커질수록 작아진다. 이 법칙을 통해 우리는 왜 달과 같은 위성이나 혜성이 타원운동을 하는지를 정밀하게 설명할 수 있게 되었습니다.”

 

페르마의 원리나 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 중요한 누락은 였다. ‘빛은 왜 최단 거리로 갈까’, ‘달과 지구는 왜 서로 잡아당기는가이는 200년 뒤 아인슈타인에 의해 설명된다.

 

 힘을 전해줄 물체가 없는데 어떻게 중력이 전달될까요? 우주뿐 아니라 모든 공간 자체를 물질로 생각해야 한다는 관점이 여기에서 나옵니다. 공간 자체가 물질이 아니면 이 모든 것을 설명하기 어렵습니다. 결국 200여 년이 흐른 뒤에야 아인슈타인은 공간 자체를 물질로 해석해야 한다는 결론을 내립니다. 아인슈타인 이전에는 어떻게 전달되느냐, 그러니까 왜 그렇게 됐느냐하는 질문이, 아인슈타인 이후 좀 더 구체적으로 무엇을 통해서 전달되느냐의 문제로 옮겨갔습니다. 더 나아가 중력이 시간차를 두고 전달된다는 사실도 밝혀졌죠.
과학에서의 중요한 계기들은 바로 이런 식으로 나타났습니다. 과학에서는 답을 주는 것뿐 아니라 그 답의 부족한 부분도 굉장히 중요하죠. 어떤 종류의 질문에 대한 명료한 답을 찾는 것도 중요하지만, 반면 굉장히 새로운 질문을 끄집어내고 난해한 문제를 점차 해결할 수 있는 실마리를 찾아내는 과정이 중요합니다.
부족한 부분은 답을 찾기 전에 답을 찾는 데 필요한 틀을 만들 수 있는 실마리를 제공한다는 것입니다. 동시에 복잡한 이론이나 사상을 만들어내기도 합니다. 뉴턴의 프린키피아에서도 그런 경향들이 굉장히 강력하게 나타납니다. 유클리드와 같은 오랜 전통을 흡수하기도 하고, 그 당시 대두됐던 많은 문제를 해결하기도 하고, 틀린 생각을 많이 교정하고 동시에 새로운 난점들을 많이 제시해서 굉장히 먼 미래까지 영향을 미치기도 합니다. 그러니까 지구와 달이 왜 잡아당기느냐?”라는 질문이 없었다면 어떻게 잡아당기느냐?”라는 질문의 답을 구할 수 없었을 것이고 중력이 지금 당장 전파되느냐?”의 답도 구해낼 수 없었을 것입니다.”

 

17세기 세 번째 중요한 발견은 데카르트 방법서설의 부록에 담긴 내용에 있다. xy축이라는 좌표의 발견'이 그것이다. 기하학을 대수적인 방법, 즉 언어로 명료하게 표현할 수 있는 개념적 틀이 여기서 나왔다.

 

데카르트의 시대와는 비교도 되지 않을 정도로 고도로 과학이 발전한 현재에도 모양에 대한 정밀한 언어는 갖춰지지 않았습니다. 소수, 분수 등 수량을 표현하는 언어는 굉장히 정밀한데도, 모양을 설명하는 언어는 크다’ ‘작다’ ‘둥글다같이 굉장히 원시적인 상태죠. 그런데 만약 좌표계를 안다면 평면 위에서 수의 순서쌍을 활용해서 파리의 궤적을 설명할 수 있습니다. 가령 파리가 (t, t²) 모양으로 간다고 하면 x축의 t가 바뀔 때 (0, 0), (½, ¼), (1, 1), (2, 4) 하는 식으로 위치가 바뀐다고 설명할 수 있습니다.
함수라는 개념도 이때쯤 생겨났습니다. 위치를 나타내는 좌표가 시간에 따라 변할 때 각 좌표는 시간의 함수가 됩니다. 시간의 함수라는 개념을 통해 우리는 물체가 어떻게 움직이는지 위치를 정확하게 묘사할 수 있습니다. 더 나아가 우리는 시간에 대한 함수 2개를 주면 움직이는 궤적이 정확히 어떤 모양이 될지도 나타낼 수 있게 됐어요.”
좌표계 이론은 뉴턴이 프린키피아에서 여러모로 사용하고, 몇 백 년 후에는 좌표계에 대한 근본적인 성찰로 말미암아 시간과 공간의 구조에 대한 개념적인 혁명을 일으켰습니다.”

 

데카르트의 좌표계 이론은 뉴턴의 좌표와 관계없는 불변량의 개념으로 이어진다. 뉴턴의 중요한 착안은 일정한 속도로 움직이는 좌표계도 자연 현상을 묘사하는 데 적절하다는 것이었다. 속도는 객관적인 양이 아니고 움직임은 상대적이다라는 결론에 이른다. 짐작하다시피 이는 아인슈타인의 상대성 이론으로 이어지는데 시간까지 상대적이라는 관점으로 진화한다.
 
3강에서는 확률론 이야기가 진행되는데 파스칼과 페르마의 서신에서 경우의 수를 고려하는 방법론’, ‘기댓값이라는 개념이 처음 등장했다. 뛰어난 자들은 편지도 대단하구만-,.-);;
망가진 전동차가 언덕길에서 내려올 때 진로를 바꾸지 않고 차 안의 5명이 죽게 내버려 두는가, 아니면 진로를 바꿔서 4명의 보행자를 죽여야 하는가 같은 일명 트롤리 문제는 더 이상 철학적 논제가 아니다. 자율 주행 자동차에 입력사항이 되었기 때문이다. “윤리라는 형이상학적 문제를 구조화, 모델화하여 알고리즘으로 만들어내야 하는 상황은 점점 더 요구되고 있다. 김민형 교수는 수학적 사고가 도덕적 오류를 피하는 데 더 도움이 된다고 강조한다.

사람들은 아마 과학 혹은 확률론 자체는 선하지도 악하지도 않다고 답을 할 겁니다. 사람이 그 도구를 가지고 좋은 일도 할 수 있고 나쁜 일도 할 수 있지, 그것 자체가 선하거나 악하다고 할 수도 없다고 말이죠. 저는 여기에 하나를 덧붙이고 싶습니다. 확률론이 선하지도 않고 악하지도 않을 뿐 아니라, 선하고 악한 것도 확률론의 지배를 받는다는 것입니다. 엘리엇이 묘사한 베켓 대주교의 주장처럼 우리가 선하다고 결정한 것도 악한 결과를 가지고 올 확률이 있고, 악하다고 생각하는 것들도 약간의 선한 효과가 있을 수 있기 때문이죠. 그런 것들도 확률의 지배를 받을 수밖에 없습니다.”

 

4강에서는 사회 결정 이론에서 수학 모델이 어떻게 적용되어야 할지를 논의한다. 민주주의, 다수결 방식, 선거 방식의 허점을 조목조목 설명하고 있다.

“1950년대, 사회 결정 시스템이 가져야만 하는 굉장히 간단한 조건, 누가 보더라도 이해 가능한 원리 3개가 만들어졌습니다. 방법론이 아니라 원리를 나열한 것이죠. 첫째는 바로 의견일치Consensus 원리입니다. 모든 사람이 나와 같은 생각을 한다는 것이죠. 이 첫째 원칙은 사실 너무도 당연합니다. 만약 모든 사람이 AB보다 선호한다면, 공동 결정도 역시 AB보다 선호해야 하겠지요?
둘째 원칙은 아까 계산 콩도르세의 방법론에서부터 출발하는 것으로, 독립성의 원리입니다. 그러니까 AB의 선호도 결과를 둘만 비교하더라도 알 수 있어야 하며, 다른 후보의 유무에 따라 결과가 바뀌면 안 된다는 것입니다. C가 있을 때는 E가 이겼는데 C가 없다고 B가 이기는 상황으로 바뀐다면 사회가 개인의 합의라는 아이디어에 위배됩니다.
마지막 원칙은 어느 한 개인의 의견이 항상 사회결정으로 반영되는 상황이 있으면 안 된다는 것입니다. 투표를 좌지우지하는 독재자는 존재하지 않는다.’ 이 원칙은 분명하게 이해됩니다.
3원리를 만들어낸 사람이 1972년 노벨경제학상을 받은 케네스 애로Kenneth Joseph Arrow입니다. 사회선택 이론에 가장 중요한 기반이 되는 애로의 정리를 만들었죠. 사회선택 이론의 새로운 패러다임을 만든 창시자라 불러도 좋을 겁니다. 그런데 불행하게도 이 애로의 정리가 이야기하는 바는 답이 없다는 사실이었습니다.”

 

모순이 일어날 만한 확률이 가장 적은 방법론을 찾는 데 방정식을 적용하면 실용적이긴 한데 나 같은 사람은 할 수가 없구나ㅜㅜ 하지만 수학적 사고로 사회를 보는 이 책의 설명들은 일독으로 그칠 건 아닌 거 같다. 수학의 공리도 자연스러움을 추구한다는 것. ‘어떻게를 찾는 과정이 와 이어지는 게 수학이었다.

 

 상당히 많은 수학적인 문제가 3가지 이슈를 한꺼번에 가지고 있습니다. 첫째는 해가 있느냐 없느냐, 둘째는 찾을 수 있느냐, 셋째는 찾을 수 있어도 효율적으로 찾을 수 있느냐. 이 이슈들은 서로 관계가 있으면서 어느 정도는 독립적인 문제들입니다. 그렇다면 효율적으로 찾는다는 것은 무엇을 의미할까요? 누구는 효율적으로 느끼고 누구는 비효율적으로 느끼는 방식이 아니라 객관적인 의미를 부여할 수 있는 효율성이라는 게 있을까요? 이 효율성의 정의와 그에 관련된 이론은 수학과 계산과학에서 상당히 활발히 연구되고 있기도 합니다.”

 

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구매 수학이 필요한 순간 내용 평점4점   편집/디자인 평점4점 스타블로거 : 블루스타 chc9105 | 2018.11.12 | 추천1 | 댓글0 리뷰제목
수학의 중요성은 누구나 알고있지만 그럼에도 불구하고가까와지지 않는 과목이 아닌가 한다.그리고 사회에 나오면 별로 쓰임이 없는 학문이 아닌가 라고 많은 사람이 생각하는 분야가 아닌가 하기도 한다수포자이야기도 나오고 어찌되었던 골치아픈 분야이다.이런 선입견을 깨보고자 구입한 책이지만 역시나 쉽게 다가오지는 않는다하지만 우리가 생각도 하지 못했던 각 분야에 수학이 이
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수학의 중요성은 누구나 알고있지만 그럼에도 불구하고
가까와지지 않는 과목이 아닌가 한다.
그리고 사회에 나오면 별로 쓰임이 없는 학문이 아닌가 라고 많은 사람이 생각하는 분야가 아닌가 하기도 한다
수포자이야기도 나오고 어찌되었던 골치아픈 분야이다.
이런 선입견을 깨보고자 구입한 책이지만 역시나 쉽게 다가오지는 않는다
하지만 우리가 생각도 하지 못했던 각 분야에 수학이 이미 큰 공간을 차지하고 있고 또 수학이 없이는 우리 생활의 많은 부분이 유지될수 없다는 사실을 다시금 알게되었고 앞으로 조금은 더 관심을 가지고 관련 책을 보고싶다는 생각을 했다
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한줄평 (64건) 한줄평 총점 8.0

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구매 평점5점
잘읽었습니다~
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Bluesky91 | 2018.12.08
구매 평점3점
음,, 수학 공식의 기원과같은, 학구적인 분들은 좋아하실 듯
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ehowlsmsvlrm | 2018.12.05
구매 평점5점
생각하는 힘은 역시 다양한 영역의 지식을 접하는것인듯하여 문돌이 구입합니다
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dlskarms | 2018.11.26
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