스티븐 호킹은 유명한 저서 《시간의 역사》에서 이렇게 말한다. ‘출판사에서 지적하기를 공식 하나 나올 때마다 판매량은 반으로 줄어든다고 했다.’ 그러나 나 자신은 호킹의 책을 보면서 무언가 답답하고 이해할 수 없었다. 그것은 공식이 없었기 때문이다. 갈릴레오의 말대로 우주는 수학의 언어로 쓰여 있는데, 수학을 피하면서 자연을 묘사하는 것이 가능한가?
--- 「서문」 중에서

가끔 제가 강의에서 만나는 많은 이는 수학의 모든 증명이나 기초, 근본을 이해해야만 한다는 갈증을 가지고 있는 듯합니다. 수학의 근본을 이해하고 싶다. 아주 좋은 포부임은 분명합니다. 그런데 ‘근본을 이해해야만 수학을 이해한다.’ 그것은 제 생각으로는 아닌 것 같습니다. 기초를 잘 모르더라도, 정리나 공식을 계속 사용하고 여러 상황에 어떻게 개입되는지 과정을 살펴보면서 점차 이해가 깊어지기 때문입니다. 그뿐만 아니라 근본이라는 것이 아예 없을 수도 있거든요.
--- 「세미나를 시작하며」 중에서

체계적인 이론을 개발하는 사람도 결국은 필요하지만, 그런 것 없이도 수학은 항상 진전해왔습니다. 그런 면에서 르네상스 즈음에 보통의 수학자들은 √2를 크게 문제시하지 않았던 것으로 보입니다. 물론 그걸 다루는 데 필요한 대수는 꽤 추상적이지만 말이죠. 그런데 흥미롭게도 학자이든 보통 사람들 사이에서든, 지금 우리 현대문명 속에서는 보통 수를 기하학보다 훨씬 쉽게 생각하고 있습니다. 대부분의 사람들 사고가 컴퓨터식으로 바뀌어가고 있는 것은 아닐까요?
--- 「제1강 수 체계에 찾아온 위기」 중에서

수학적 사고는 일상적으로 궁금해할 만한 모든 의문을 정확하게 만들어가는 과정을 말합니다. 다시 말해 사물에 대한 이해를 점점 섬세하게 체계화하면 저절로 수학이 된다는 이야기죠. 그런데 이 과정을 거치는 것이 쉽지 않습니다. 이것이 바로 수학에 대해 느끼는 어려움의 핵심이 아닐까요? (중략) 수학을 포함하여 사고와 말을 명료하게 만드는 모든 과정은 꽤 어렵습니다. 그런데 수학에서는 학문의 특성상 그런 것들이 겹겹이 들어 있습니다. 논리적으로 정확하게 표현하는 전통이 오랫동안 쌓여온 것이 바로 수학이니까요.
--- 「제2강 본질을 향한 길고 긴 생각」 중에서

대화를 하다 보니‘ 수학을 한다’라는 것이 늘 무엇인가를 계산하는 것이라는 선입관이 꽤 널리 퍼져 있는 듯합니다. 그런데 이‘ 기계적인 계산’도 쉬운 게 아니라는 것을 한번 짚고 넘어갈 필요가 있겠군요. 기계적 계산은 철학적 관점에서 수학을 완전한 논리 체계로 기술하려는 노력과 밀접한 관계가 있습니다. 어떤 철학자들은 정리를 증명할 때 공리로부터 출발해서 논리의 룰을 기계적으로 적용하기만 하면 되도록 수학 시스템을 구축하고 싶어 했습니다. 여기에는 완벽한 공리 체계 속에서 단순한 계산만으로 명제의 참?거짓을 판명할 수 있다는 기대가 암시적으로 있었죠.
--- 「제3강 답을 찾는 기계 만들기」 중에서

산수와 수학을 구분하는 것을 별로 좋아하지 않습니다. 기계적으로 문제를 풀어 계산을 효율적으로 하는 것도 수학에서는 굉장히 중요한 능력입니다. (중략) 저는 수학교육에 관하여 ‘이렇게 해야 한다’는 특별한 해결책을 내놓는 방법론을 거의 믿지 않습니다. 그런데도 우리나라는 수학교육에 대한 자아비판을 너무 좋아합니다. 수포자라는 인식 역시 그런데서 나온 게 아닌가 생각합니다.
--- 「제3강 답을 찾는 기계 만들기」 중에서

문제는 뉴턴의 법칙 같은 근본 원리들은 직접 관찰하기 어렵다는 것입니다. 아무 힘도 작용하지 않는, 심지어 중력조차도 작용하지 않는 물체를 우리 주변에서 볼 수 있나요? 사실 물리학의 기본 법칙들이 다 그렇습니다. 입자 물리학에서 미세입자들의 운동을 기술하는 운동법칙을 직접 관찰할 수가 있습니까? 그렇기 때문에 R를 믿든 믿지 않든 R → Q 같은 추론은 중요합니다. 특히 Q가 직접 관찰할 수 있는 현상을 다루는 명제이면 좋겠지요. 그래서 참인 Q를 검증함으로써 R의 옳고 그름에 대한 증거를 얻게 됩니다.
--- 「제4강 논리적 사고와 수학적 사고」 중에서

함수가 무엇에 정의되어 있는가를 규명하는 것이 정의역이죠. 예를 들어 사람의 집합에 정의된 함수들을 찾아볼까요? 일상적으로 관심 있는 함수들 가운데, 사람을 하나 집어넣으면 수가 나오는 함수에는 어떤 것이 있을까요? 예를 들어 주민등록번호라는 함수에서 ‘정의역’은 ‘우리나라에 거주하는 국민’입니다. 또 찾아볼까요? 쉽게 생각하면 체중도 사람의 함수입니다. 사람의 나이도 함수이고, 키도 마찬가지죠. 1분에 심장이 몇 번 뛰나 재는 맥박수도 함수입니다. 우리가 늘 관심 가지는 종류의 함수들이죠. 그리고 이런 함수들 사이의 ‘관계’에도 관심이 많습니다. 가령 키와 체중의 상관관계는 어떤가요?
--- 「제5강 세상을 이루는 함수들」 중에서

소리의 주파수 분석은 과학의 패러다임에 중대한 변화를 일으켰습니다. 보통 우리가 듣는 소리가 직접 나타나지 않는 더 근본적인 성분으로 이루어져 있고, 수학적인 방법론으로 그 성분들을 계산해낼 수 있다는 착안은 20세기 입자물리학의 발전에 지대한 영향을 미쳤기 때문입니다.
--- 「제7강 차원이 다른 정보들」 중에서

아인슈타인의 상대론은 과학의 조류를 바꿨을 뿐 아니라 20세기 초 많은 예술가들의 상상력을 자극하기에 충분했습니다. 일반 상대론에서 ‘시간이 상대적이다’, ‘시공간이 휘어져 있다’는 종류의 문장은 정확히 이해하지 못해도 어딘가 심금을 울리는 신선함이 있지요.
--- 「제8강 우주의 모양을 찾는 방정식」 중에서

모양을 파악한다는 것 자체가 이런 상호작용, 저항을 느끼는 일입니다. 빛이든 초음파이든 손이든 진행하는 곳과 진행하지 못하는 곳이 있는 거죠. 그러니까 이 관점에서 보면 아인슈타인 이론의 구체적인 수학을 이해 못하더라도 우주가 모양이 있다는 게 무슨 뜻인지 파악이 됩니다. “공간에 모양이 있다.”(중략) 그러니까 수학을 통해 세상의 실체를 파악해나갈 때 생각하던 그림이 하나도 나타자지 않더라도 그렇게 놀랍지 않다는 말입니다.
--- 「제9강 수학으로 세상을 본다는 것

저는 학문을 할 때에도, 우리가 인생을 살아갈 때에도 달성할 수 없는 목표는 굉장히 중요하다고 생각합니다. 공리를 하나 더할 때마다 불확실성이 생기고, 대수 뒤에 기하 뒤에 대수가 계속 숨어 있어서 진리를 찾으려는 사람들이야말로 학문의 발전에 가장 큰 기여를 하는 것 같습니다. 그것은 정신병이 생길 정도로 창의적인 예술가가 가장 숭고한 아름다움을 발견하는 것과 비슷한 현상 아닐까요. 따라서 수학여행을 즐기되 스스로를 괴롭힐 목표를 한두 개 정도는 가지고 떠나는 것을 권장하겠습니다.

■ 김민형 교수, 세대와 직종을 초월한 독자 7인과 만나 수학의 세계를 탐구하다
: “수학의 질문은 어떻게 생각을, 그리고 세상을 움직이는가?”

AI와 빅데이터가 각종 산업과 개인의 일상에 깊숙이 파고드는 지금, 데이터와 통계에 대한 이해가 생존 능력이라는 공감대가 널리 퍼지면서, 수학적 사고로 세상의 문제와 사회 현안을 이해하려는 노력들이 이어지고 있다. 이러한 가운데 세계적 수학자 김민형 교수의 명강의를 책으로 옮긴 《수학이 필요한 순간》은 8만 독자의 환호를 받으며 화제가 되었다. 〈동아일보〉 선정 2019 과학계 파워피플 7인, 〈경향신문〉2018년 올해의 저자 10인에 선정되는 등 파워라이터로서의 면모를 각인시킨 김민형 교수가, 수학에 대한 두려움을 딛고 호기심을 느끼기 시작한 독자들에게 더 깊고 심오한 수학의 세계를 선사하기 위해 2020년 《다시, 수학이 필요한 순간》으로 다시 찾아왔다.
《다시, 수학이 필요한 순간》은 《수학이 필요한 순간》을 통해 수학의 세계에 첫 발을 딛은 독자들이자, 수학에 대한 이해가 서로 다른 다양한 독자 7인과 함께 난해하지만 본질적이고, 우리 삶에 닿아 있는 아름다운 수학의 세계를 경험해본 2019년 여름밤의 세미나를 옮긴 책이다. 이름 하여 ‘여름 수학 학교’ 세미나에 함께한 이들의 면면은 이렇다. 물리학 책을 읽기 위해 수학이 필요한 기자, 프로그래밍 때문에 늘 수식을 만들어야 하는 개발자, 수학은 실체가 없는 학문이라고 믿는 중고등학생, 예술에 깃든 수학이 궁금한 미술작가, 수포자를 양산하고 싶지 않은 수학교사, 경직된 수학 시간이 트라우마로 남은 취업준비생 등. 김민형 교수는 정보를 일방향으로 전달하는 수업 방식이 아닌, 일상적 대화를 바탕으로 깊은 이해로 다가가는 튜토리얼 형식의 세미나를 통해 기초적인 수의 개념부터 자연과 우주, 그리고 앞으로의 상식이 될 수학적 개념에 대한 접근을 시도하고 있다. 질문에 질문을 집요하게 이어가며 한여름 밤을 뜨겁게 달군 이 세미나에서 그들이 만난 수학의 세계는 과연 어떤 모습이었을까?

■ 그리스 시대부터 현대수학까지, 인간 사고의 진화는 어떻게 이뤄지는가?
: “우리가 함께해온 대화가 수학적 문명의 긴 여정으로 느껴집니다.”

“세상 모든 것이 수다.” 바로 피타고라스의 격언처럼, 키, 지능, 주소, 기온, 습도, 시간, 공간 등 우리의 정체성을 표현하는 모든 것이 수이다. 그런데 전설에 의하면 피타고라스는 변의 길이가 1인 사각형의 대각선이 √2임을 발견한 제자를 살해하고 만다. 유리수만이 수라고 믿었던 그에게 무리수의 존재는 세상의 위기 그 자체였기 때문이다(1장 수 체계에 찾아온 위기). 그러나 수천 년이 지난 지금 우리는 √2는 물론 더 정밀하고 훨씬 큰 수의 개념도 당연한 상식으로 받아들이고, 전염병 감염 추이 그래프가 의미하는 바도 무리 없이 쉽게 이해한다. 《다시, 수학이 필요한 순간》에서 김민형 교수는 그리스 시대의 일화로 ‘수학이란 무엇인가’를 찾는 여정을 시작하며 말한다. “인간의 사고는 수학으로 진화하고 있다”고.
이 책은 수학 거장과의 폭 넓은 대화를 통해 인간의 문명과 함께 축적되어온 수학적 사고의 형성 과정을 함께 탐험한다. 1부 〈수학의 토대〉에서는 그리스부터 뉴턴까지 우리가 ‘수’에 익숙해진 역사적 맥락과 함께, 정보과학과 양자역학 등 현대 과학의 근간이 된 19세기 수학 이론의 기원을 함께 다룬다. 격변의 19세기에는 수학만큼은 확실해야 한다는 신념하에 수와 계산 등 수학의 개념적 기반을 다지려는 시도가 다양하게 벌어졌다. 수 체계의 절대성을 믿은 힐베르트(2장) 알고리즘을 정의하고 기계적인 계산의 불가능성을 발견한 마티야세비치(3장), 수학적 사고를 논리학과 동일시한 철학자들(4장) 등, 새로운 사고 틀을 제시하려 고군분투한 당대 수학자들의 경이로운 이야기는 인간 사고의 도약에 수학이 얼마나 크게 기여하는지를 생생하게 확인시킨다. 자연과 세계를 명료하고 정확하게 사고하기 위해 체계적인 언어와 개념적 도구들을 축적해온 수천 년 문명의 산물이자, 지금 우리 삶에 전방위로 파고든 수학. 이 책은 오랜 역사를 거쳐 질문을 이어온 수학이라는 학문의 아름다움으로 자연스레 독자를 인도한다.

■ 수식과 개념에 정면 도전, 초연결시대에 갖추어야 할 융합적 사고를 선보이다
: “수학적 사고, 생각의 가장 깊은 곳까지 도달하는 즐거움을 경험하라!”

“수학적 사고는 일상적으로 궁금해할 만한 모든 의문을 정확하게 만들어가는 과정을 말합니다. 사물에 대한 이해를 점점 섬세하게 체계화하면 저절로 수학이 된다는 이야기죠. 그런데 이 과정을 거치는 것이 쉽지 않습니다. 이것이 바로 우리가 수학에 어려움을 느끼는 핵심이 아닐까요?”
-본문 중에서

수학은 어렵다. 아인슈타인조차도 수학이 어려워서 자신의 연구에 수학자들의 자문을 구해야 했을 정도다. 과학기술의 가치가 높아지면서 과학 커뮤니케이션이 중요한 화두로 떠오르고 있지만, 그 변화의 중심에 수학은 늘 빠져 있다. 난해한 수학 언어와 어려운 수학을 회피하려는 교육의 문제도 간과할 수 없다. 그러나 세상의 변화의 중심에 있는 보이지 않는 손, 수학을 모르고는 세상의 변화에 휩쓸린다는 두려움만 커질 뿐이다. 그간 다양한 대중 강연과 수학 교육에 관한 다양한 멘토링 활동을 이어온 김민형 교수는 이러한 한계를 극복하기 위한 수학 대중화 모델의 필요성을 절감하고 있다. 그러한 문제의식에서 시작한 이 책은 세상을 탐구하는 보편 언어로서 수학을 강조하며, 일상의 논리적인 대화에서부터 수학과 물리학, 인문학과 예술 분야를 대담하게 넘나든다.
되도록 수식을 배제하여 흥미로운 주제를 중심으로 접근한 전작 《수학이 필요한 순간》과 달리, 이번 책에서는 피타고라스의 정리와 같은 기본적인 공식에서부터 벡터, 기하, 삼각함수, 통계 등 ‘수포자’들을 벽에 부딪치게 만들었던 개념들에 정면으로 도전한다. 2부 수학의 모험에서 소개하고 있는 벡터는 AI의 학습을 표현하는 도구이며, 행렬은 벡터의 공간 변환과 학습 계산을 가능하게 해주는 역할을 한다.또한 빅데이터의 상관관계를 파악하는 데는 눈에 보이는 정보 기저에 정보의 차원에 대한 이해가 필수적이다.(7장 정보의 차원) 가령 세포 하나 당 2만 개의 유전자가 발현되는데 이런 세포 100만 개는 어떻게 분석하는가? 등의 질문을 던지며 앞으로의 시대를 견인해나갈 까다롭고 어려운 수학 개념들을 차근차근 설명하고 있다. 김민형 교수가 평생에 걸쳐 헌신한 연구 주제이자, 현재 AI 기술의 핵심이라 할 수 있는 대수 기하학에 관하여 구체적이면서도 직관적으로 이해 가능한 언어로 설명하고 있어 현대수학의 정수를 체험할 수 있다.

■ 인간의 사고, 세계와 자연의 본질을 찾아온 질문의 기나긴 여정을 추적하다
: 진화하는 세계의 관계와 질서에 관한 어느 거장의 아름답고 집요한 탐구

수학으로 세상을 본다는 것은 무슨 의미일까? 이 책은 ‘눈이 보이지 않는 사람이 기하를 이해할 수 있는가?’와 같은 심오한 질문을 던지면서 인간이 보고 듣는 것, 나아가 우주의 실체를 보고, 듣고, 파악한다는 것이란 ‘모양과 실체를 파악하는 일’ 즉, 물질들 사이의 상호작용을 읽는 것이라고 정의한다.(9장 ‘수학으로 세상을 본다는 것’) 빛과 중력, 초음파 등과의 상호작용을 파악하며 인간이 세상의 실체에 다가가는 과정을 아름다운 수학의 언어로 제시하는 저자는, 수학적 문명이 세상의 실체를 보기 위해 기하 뒤의 대수, 그 뒤의 기하, 그 뒤의 대수를 끊임없이 발견하는 여정이라고 설명하고 있다.
우주의 거대한 구조를 구체적인 방정식으로 밝힌 아인슈타인의 상대성 이론을 설명하면서 상대론에 영향을 받은 20세기의 예술가들과 작품들, 이를테면 펜로즈의 삼각형부터 에셔의 판화 작품, 현대음악가 크세나키스 음악의 구조를 넘나들기도 한다.(8장 우주의 모양을 찾는 방정식) 이러한 주제들은 단숨에 읽기엔 쉽지 않다. 그러나 마치 미지의 세계로 떠나는 여행처럼, 수와 기하로 이뤄진 낯선 수학의 언어를 차근차근 짚어가다 보면, 익숙한 사고의 틀에서 벗어나 함께 질문을 찾아갈 때 느끼는 기쁨, 가장 깊은 곳까지 도달하는 지적 즐거움을 발견하게 될 것이다.

역시 김민형이다. 무려 ‘수학’이라는 언어로 대중과 소통하는 희한한 수학자! 모든 것이 연결되는 21세기, 초연결시대에 갖추어야 할 융합적 사고란 무엇인지 보여주는 최고의 수학 강의다.
- 정하웅 (KAIST 물리학 석좌교수, 『구글 신은 모든 것을 알고 있다』 공저자)

누구나 문해력을 넘어 데이터 해석력Data Literacy을 가져야 하는 시대. 수학의 악몽을 없애줄 수 있는 친절한 가이드북이 나오게 된 것을 반기며, 빅데이터와 인공지능 시대를 살아갈 여러분 모두에게 일독을 권합니다.
- 송길영 (마인드마이너, 『상상하지 말라』 저자)

모든 생각이 바로 ‘수학적 사고’라니, 무슨 얘긴지 궁금하시죠? 이 책에서 답을 찾으시는 동안, 나도 모르는 사이 내 곁에 한 뼘 정도는 더 다가와 있는 ‘수학’을 체험할 수 있을 겁니다.
- 손열음 (피아니스트, 『하노버에서 온 음악 편지』 저자)

2012년부터 우리는 함께 수학 대중 강연을 무대에 올렸다. 과학과 공학, 인문사회, 심지어 예술에 대해 이야기하는 그에게 수학은 소통의 언어다. 그래서 김민형은 철학자이기도 하다.
- 김남식 (카오스재단 사무국장)

인류 문명의 첨단에는 어김없이 수학이 자리해 있습니다. 수학과 우리를 연결해주는 친절한 채널로서 이 책은 겸손하고 합리적인 언어로 수학이라는 언어 또는 사고방식에 대해 이야기합니다.
- 윤수영 (트레바리 대표)