스웨덴의 스톡홀름에서 태어났다. 책과 그림을 좋아하는 아이였던 베스코브는 엄마 아빠에게 수많은 옛이야기를 들었고, 자신도 이야기를 만들어 남에게 들려주기를 좋아했다. 4년제 초등학교 졸업 후, 예술학교에서 공부하던 베스코브는 스웨덴의 대표적인 여성사상가 엘렌 케이를 만나 어린이 세계에 대한 이해를 넓혔다. 예술학교 졸업 후에는 자신이 다녔던 초등학교의 미술 교사가 되었는데, 결혼한 후 교사직을 그만두고 어린이책에 삽화를 그리고 그림책을 만들었다. 첫 그림책 《아주 작은 할머니》를 시작으로 《초록아줌마, 갈색아줌마, 보라아줌마》, 《갈색아줌마의 생일》, 《펠레의 새 옷》, 《이상한 알》 등 수많은 작품을 냈다. 1952년에는 스웨덴 최고의 어린이책 상 ‘닐스 홀게르손’ 훈장을 받았다.