고1에서 배우게 되는 고등수학 하, 지금 중2(2024년 중3기준) 기준으로는 공통수학 2에서 배우게 되는 부분이 순열과 조합인데요.

고2 혹은 고3에 배우게 되는 확률과 통계 수업 이전에 기본이 되는 부분으로, 중학교때 배운 경우의수에서 연결된 부분이라 할 수 있고요.

아이가 갑자기 수하가 어렵게 느껴졌다해서 어느 단원인가 했더니 순열과 조합 부분이었어요.

이 부분 인강을 따로 보충해 듣는 것도 방법이겠지만 기본기부터 착실히 쌓아주는 책으로 도움을 얻었으면 하는 바램으로

수학소녀의 비밀노트 시리즈 확률의 모험을 추천해주었습니다.

고등수학 하는 물론 고2,고3에 배우게 되는 확률과 통계의 기본기를 쌓기 위한 이해과정으로도 꼭 읽어보면 좋을 만하다 싶은 책이었는데요.

확률을 제대로 이해하지 못하고, 공식만으로 푸는 데는 한계가 있지요.

이게 왜 이렇게 되는 걸까?

그림과 함께 제대로 설명을 해주면서 개념이 빠지지 않게 찬찬히 설명해주는 방식이고요.

중2, 고1, 고2 학생들의 대화를 통해 이뤄지는 질의 응답 형식의 설명이라

단순히 그냥 읽기만 하는 책보다 훨씬 부드럽게 이해하기 좋은 설명들이었습니다.

아이도 "고등수학을 읽어서 공부한다고?" 라는 반응이었는데 이 책을 직접 읽어보더니 "어? 생각보다 술술 잘 읽힌다~" 하는 반응이었거든요.

학창시절 기억에 의하면, 당시 은근히 미적보다도 확률이 더 어렵게 느껴졌던 기억이 납니다.

쉬운 듯, 잘 풀리는 듯 하면서 갑자기 팍 막히는 부분들이 있었는데 그런 부분들이 이 책을 읽으면서 충족이 되고 있는 느낌이었어요.

실제로 질의응답 외에도 문제가 주어지고 답도 나오고요.

부록에 아이가 알아야할 고등수학 하의 순열과 조합 정의와 내용 설명이 나와 있었네요.

순열: 서로 다른 n개 중에서 k개를 뽑아 일렬로 늘어놓은 것을 n개에서 k개를 선택하는 순열 이라고 한다.

조합: 서로 다른 n개에서 순서와 상관없이 k개를 뽑는 방법을 n개에서 k개를 뽑는 조합이라고 한다.

앞서 나온 확률에 대한 개념과 정의들을 이해하고 나면, 순열과 조합 설명을 읽을 때 제대로 이해가 될 수 있겠다 싶은 책이었습니다.

고등수학 관련 내용을 쉽게 풀이하여 책으로 읽어볼 수 있어 좋은 수학소녀의 비밀노트였습니다.

출판사에서 제공받은 책을 읽고 작성한 솔직후기입니다.

확률이란 무엇일까요.  6면주사위를 가지고 던졌을때 나올 숫자의 기대값(일어날 가능성)을 정하는 것입니다.  모수는 확정되어 있고 거기서 나올 가짓수를 정하는 것이 시작이죠  문제는 이를 쉽게 이해하기 쉽지 않다는거죠. ＜확률의 모험＞에서는 선배와 후배사이에 대화를 통해 확률의 조성원리와 활용을 배울 수있게 해줍니다. 

저자는 유키히로시 수학,컴퓨터 전문작가십니다.  한국에도 ＜프로그래머, 수학으로 생각하라＞,＜수학걸＞ 등 수십여권의 책이 출간된 인정받은 작가십니다. 

대화식 수업이기에 등장인물은 4명입니다. 고등학교2학년인 '나', 중학교2학년 사촌동생 '유리', 고등학교1학년 '테트라', 고등학교2학년 '미르카'입니다.  저자가 미르카라는 이름을 좋아하는지, ＜미르카 수학에 빠지다＞라는 책을 1-5권까지 내셨군요. 

동전을 던졌을때 확률은 1/2이죠. 너무 당연하다고 생각되는데 유리는 '나'에게 원류를 찾듯이 질문을 합니다. 이는 실제 1/2이 아니고 '정의'했다는 거죠.  실제 던지기를 해도 1/2에 수렴을 해도 완벽한 1/2은 나오지 않는 것으로 압니다. 이렇게 정하는 이유는 수학적 논의를 할수있게 하기위해서라고 합니다. 이를 증명하기위해 히스토그램을 그리고 이것의 비율을 보는 것을 상대도수라고 정의합니다. 

확률중에서 조건부확률을 어려워하는 경우가 많죠. 여기서는 확률분포가 중요합니다. 이를 사건을 확률에 대응시키는 함수라고 합니다. A라는 사건이 발생했다는 '조건'에서 B라는 사건이 일어나는걸 조건부확률이라고 합니다. 이를 주사위게임으로 풀어주며 부분적인 정보를 알았을때 사용하면 효과가 있는 방법이라고 합니다.  그리고 실제 사용법으로 질병검사에서 사용하는 확률과 미완의게임을 통해 확률의 부가적 이해력을 높여줍니다. 

우리는 통상적으로 확률을 단독으로 보지 않고 확률과 통계라고 하죠. 하지만  확률과 통계는 반대적 개념이죠. 확률은 정해진 모수에서 몇가지 경우의 수인지를 결정하는 것이라면 통계는 부분을 체크해서 전체 모수를 추측하는 걸 통계라고 합니다. 그 절반이 확률이고 이 확률을  잘알아야지 통계도 쉽게 접근이 가능할 겁니다.  수학이 대화식이라 이해도를 높일 수가 있었고 질문자의 입장이 독자의 마음이므로 독자가 궁금한것으로 논리적으로 따라가면서 확률의 이해를 시키려고 노력한 충분한 성과를 내었다고 생각합니다.

본 도서는 출판사로부터 무상으로 제공받아 주관적인 리뷰를 했습니다. 

모르면 배우면 되는데, 이해가 안 되는 건 어떻게 해야 할까요.

아마 다들 그런 경험이 있을 거예요. "A=B" 라는 걸 처음 배워서 기억은 하지만 도통 이해가 안 될 때.

끝까지 이해하려고 애쓰는 것이 맞지만 "이해 안 되면 그냥 외워!"라는 말을 많이 듣다보면 암기한 것을 안다고 착각하게 되는 거죠.

어설프게 알면 실력을 키우는커녕 한순간에 와르르, 포기하는 마음이 생기게 돼요. 그때 왜 수학이 싫었을까를 돌아보니, 제대로 이해하지 못해서 답답했던 거구나 싶더라고요. 이 책을 읽으면서 신기했어요. 수학을 주제로 대화를 나누는 과정이 흥미로웠거든요.

기초부터 차근차근, 제대로 수학을 이해하고 싶은 학생들을 위한 책, "수학 소녀의 비밀노트"예요.

《확률의 모험》은 "수학 소녀의 비밀노트" 시리즈 아홉 번째 책이에요.

이 책에서는 어렵다고 소문난 확률이라는 개념을 이해하기 위해 '나'와 세 명의 수학 소녀가 등장해요.

이전 시리즈를 봤다면 이미 알고 있겠지만 주인공 '나'는 고등학교 2학년 남학생으로 수학 토크를 이끌어가는 역할을 하고 있어요. 유리는 중학교 2학년, '나'의 사촌 동생이고, 테트라는 고등학교 1학년으로 수학에 대한 궁금증이 많으며, 미르카는 동급생으로 수학에 자신이 있는 편이에요. 답답한 심정을 대변해서 질문해주는 사람은 바로 유리예요.

먼저 확률이 ½ 이란 말의 뜻은 무엇일까요. 1개의 동전을 1번 던졌을 때 앞면과 뒷면 중 어느 한 면이 나온다고 가정해보면 앞과 뒤 이외의 경우는 일어나지 않는다는 뜻이에요. 따라서 1개의 동전을 1번 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 ½ 로 정의할 수 있어요. ½ 의 분모 2는 모든 경우의 수, ½ 의 분자 1은 앞면이 나오는 경우의 수인데, 유리는 동전을 1번 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 ½ 이라는 걸 이해하지 못하고 있어요. 어떤 부분이 이해가 안 되는지, 계속 대화를 나누면서 하나씩 설명해가고 있어요. 납득하지 못하는 부분을 자유롭게 질문하고 답을 들을 수 있어서 확률의 기본부터 조건부 확률, 집합과 확률의 관계, 가짜 양성과 가짜 음성, 미완의 게임, 표와 그림을 이용해 확률을 구하는 주제까지 차근차근 배울 수 있어요. 정확하게 개념을 이해할 수 있도록 도와주는 든든한 멘토 덕분에 수학 자신감을 얻을 수 있어요.

나 : 유리는 '확률이라는 것'이 이미 존재한다고 생각하니?

유리 : 뭐? 당연하지. 그럼, 존재하지 않아?

나 : 확률은 정의하기 전까지는 존재하지 않아.

(···) 유리야, 잘 들어봐. 우리가 경험하는 '일어날 가능성'은 분명히 있어. 유리가 아까 말했듯이 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 가능성은 복권에 당첨될 가능성보다 높아. 우리는 그것을 경험을 통해 알고 있고. 그러니까, 그 '일어날 가능성'을 조사하려는 거야. '일어날 가능성'의 높고 낮음을 어떻게 정의할 수 있을까? 어느 쪽이 '일어날 가능성'이 더 높다고 말할 수 있을까? 이를 위해 정의한 개념이 바로 확률이야. (28-29p)

이 ＜확률의 모험＞은 '수학 소녀의 비밀노트'시리즈 중 아홉 번째 편으로 출간되었다. 이 시리즈에는 정수, 삼각비, 미분, 적분, 경우의 수에 관한 내용을 담은 책들이 있었으며 이번에 드디어 확률에 관한 이 책이 출간된 것이다.

이 책에는 네명의 등장인물이 등장한다. 유리, 테트라, 미르카 그리고 책 속 화자 역할을 하는 나까지.

화자인 나는 고등학교 2학년이며 수식을 좋아하는 인물로 나오며, 유리는 화자인 나의 사촌 동생이며 논리적 사고를 좋아한다. 테트라는 고등학교 1학년이며 수학에 대한 궁금증이 남다른 아이다. 끝으로 미르카는 수학에 대한 자신감이 충만한 학생이다.

처음 동전을 던져 앞면과 뒷면이 나올 확률에 대해 앞면이 나올 확률을 1/2라고 하는 것에 대해 의문을 품는 유리의 질문으로부터 확률의 개념을 설명해 나가고 있다. 확률에 대해 그 개념을 알고 있는 이가 이 문장을 읽는다면 오히려 유리가 그렇게 의문을 품는 것이 이해가 안될 수도 있겠지만 처음 확률을 접하는 학생들이라면 충분히 할 수 있는 질문이라고 생각을 하게 된다.

이렇게 확률의 정의를 알아가고 그 사건이 일어날 가능성에 대해 수치로 나타내는 것이 어떤 의미인지를 잘 설명하고 있다. 이어서 단순히 한번 동전을 던지는 것이 아니라 두번 세번 회수를 늘려가면서 일어나게 되는 확률의 여러 법칙들도 동전 던지기 하나의 활동으로 잘 설명하고 있다.

이어서 트럼프 카드 게임에서의 다양한 사건에 대한 확률들을 설명하고 있으며 이어서 조건부 확률이라는 조건이 제한적으로 제시되었을 경우에 대한 확률을 계산하는 것에 대한 내용들을 잘 설명하고 있다. 그리고 이런 확률에 대해서 확률분포를 함께 다루고 있어서 고등과정에서 나오는 확률에서 학습해야 할 것들을 책을 통해 잘 이해할 수 있도록 하고 있다.

그리고 제4장과 5장에서는 실제로 우리가 일상생활에서 마주하게 되는 생명과 관련된 확률, 미완의 게임이라는 주제로 확률이 어떻게 그런 상황에서 역할을 하고 있는지를 다루고 있어서 수학이 실생활과 관련성이 적다고 생각하는 학생들에게 확률이 얼마나 일상에서 자주 나타나게 되는가를 알게 될 것이라 생각된다.

확률에 대해 가장 자주 등장하고 계산을 해 보고 하는 것이 바로 로또에서 1등을 할 확률일 것이다. 이 확률도 이 책을 읽은 이들이라면 충분히 그 확률을 계산해 낼 수 있을 것이며, 언급되지 않은 사건에 대해서도 그런 상황에 직면한다면 확률을 계산하려 하지 않을까 싶다. 물론 여러 조건들이 이론상의 확률과 달리 나오도록 할 수도 있겠지만 모든 것이 공평하게 제시된 조건이라면 이론과 실제 확률은 일치할 수 밖에 없는 것이라는 것 또한 수학의 매력이라 생각된다.

확률에 흥미를 갖지 못하는 학생들이라면 한번쯤 읽어보길 권하고 싶다.

읽어보지 않은 이 시리즈의 다른 책들도 궁금해진다.

* 출판사로부터 도서를 제공 받아 읽고 주관적으로 작성한 글입니다.*

부모가 자식에게 수학이 어렵다는 인식을 심어주는 것은 아이를 수포자로 기르게 할 수 있다는 이야기를 읽고선 아이에게 수학과 관련해서는 어렵다는 표현을 잘 안쓰려고 하는데 사실 나의 학창시절만해도 수학은 그다지 좋아하는 과목은 아니였다.

그런데도 이상하게 더이상 수학을 학습할 이유가 없어지니 이렇게 수학과 관련한, 일상 생활 속 수학의 원리나 수학 이야기를 담아낸 책을 보면 읽어보고 싶다는 생각이 강하게 드는 것은 어쩌면 수학을 좀더 잘했으면 하는 미련과 이제는 시험 점수는 상관없다는 마음 편함에서 오는 이유가 아닐까 싶다. 

이번에 만나 본 『확률의 모험』이라는 책은 수학 소녀의 비밀노트 시리즈의 한 권으로서 벌써 9번째 시리즈라고 하니 수학을 공부해야 하는 아이를 둔 집안이라면 시리즈로 구비해서 읽어봐도 좋지 않을까하는 싶을 정도로 괜찮았던 책이라고 생각한다. 

책 자체는 수학 교양서를 지향하지만 기본적인 내용은 수학적 원리나 법칙이 제공되기 때문에 이야기 형식으로 제작된 수학 교재의 일환으로 접근해도 좋을 것이다.

학년이 올라갈수록 수학 원리와 개념이 이해가 되지 않아 수포자가 되는 경우가 많다. 다른 과목과 달리 수학은 처음 시작부터 그 원리나 개념을 제대로 이해하고 이를 바탕으로 문제를 풀어야 하는데 애초에 이 기초공사가 제대로 되지 않은 채 학년이 올라가면서 더욱 어려운 공식 등이 주입되면 부실한 건물이 무너지듯 수포자가 되는것 같다. 

이 책은 자칫 어렵게 느껴지는 확률이라는 개념을 보다 쉽게 그리고 제대로 이해시키기 위해서 유리, 테트라, 미르카, 나의 수학 토크 형식으로 내용을 설명하고 있는데 이 점이 개인적으로 좋다고 생각했다. 학습 과정에서 던질 수 있는 의문점을 등장인물들이 대신해 질문을 하고 이에 대해 답변을 해주기 때문에 자연스레 궁금증을 해결하면서 개념과 원리를 이해해갈 수 있기 때문이다. 

마치 실제로 개인 교습을 하는 과정에서 설명, 그 설명에 대한 궁금증을 질문, 다시 설명하고 그 과정에서 또다시 의문이 생기는 부분을 되묻는 형식으로 궁금증이 생길 때마다 묻고 설명해주는 형식이 결코 학교 수업에서는 기대하기 힘든 부분이라 더욱 이 책이 의미있게 다가오는 부분이였다.

책을 읽으면 읽을수록 어쩌면 학교도 이런 식으로 설명을 하고 학생들의 피드백을 그때그때 받아야 하는데 한 학급에 아이들은 여전히 많고 수준별 학습이 안되다보니 진도 위주로 수업이 이루어지니 선행을 한 아이는 복습으로 듣게 될 것이고 수학을 잘 못하는 아이는 점점 수포자가 되어가지 않을까하는 생각이 든다.

앞으로 더 많은 시리즈가 나올거라 생각한다. 그러니 이런 책의 도움을 받아서라도 수포자가 되지 않도록, 또는 수학적 교양을 키워보는 해보는 것도 좋을것 같다.

- 출판사에서 도서를 제공받아 본인의 주관적인 견해에 의하여 리뷰를 작성했습니다.

 “수학 소녀의 비밀노트” 시리즈다. 난 이 시리즈를 전부 가지고 있다. 아마도 어린 학생들을 위해서 만들어진 책이겠지만 40대가 넘어선 내가 뒤늦게 수학을 배우고자 소설책처럼 읽으면서 배우기 매우 좋은 책이다. “수학 소녀의 비밀노트” 시리즈 특징이 난이도가 매우 낮다. 그래서 접근 성이 매우 좋기도 하고 일반적인 수학 학습 책하고는 많이 다르다. 이 시리즈는 일반적인 수학책에 하나 하나의 챕터로 분류되어 있는 확률, 미적분, 삼각함수, 수열 그 외에 여럿을 별도의 주제로 한권씩 되어있고 내용 전개도 문제 풀이가 아니라 등장인물들이 설정되어 서로 수학문제를 대화하는 방식으로 단계적으로 진행한다. 나처럼 수학을 잘 모르는 사람들은 그래서 수학에 대한 직관이 많이 부족한 사람들은 책 속의 수학문제를 해결하는 과정에서 독자가 기본적인 수학에 대한 직관이 충분히 있을 것이라 생각하고 저자가 일정부분 단계를 건너뛴다면 나 같은 사람들은 갑자기 당황스러움을 느낀다. “이거 갑자기 왜 이렇게 된거야? 하고” 말이다. 그럼 나도 나름의 계산을 해보면서 중간 단계를 추적해 보지만 모르는 경우가 많다. 그러나 이 시리즈는 그런 것이 없다. 단계들이 상당히 자세하고 설명하는 그림도 많다. 그래서 재미있게 읽으면서 배우기에 참 좋은데 이번 신간인 “확률의 모험”도 기존의 패턴과 동일하다. 재미있게 읽고 배울 수 있는 기회가 된 책이기도 하다.

 이 책은 어린 학생들이 학습을 위해 본 독후감과 성인이 내가 즐거움을 위해서 배우고자 본 독후감과는 당연히 다를 것이다. 내 개인적으로 이 책의 내용 중에서 가장 재미있는 부분은 후반부에 나오는 “미완의 게임” 문제이다. 난 주식투자로 인한 발생하는 자본차익과 배당소득으로 먹고 사는데 그것과 관련이 있다. 그렇다고 “미완의 게임”에 나오는 일반식을 사용한다는 그런 것은 전혀 아니고 확률이 의사 결정에 있어서 일종의 삶의 철학을 반영한다는 뜻에서 그렇다. 확률은 일종의 가능성의 게임이다. 그리고 본질이 불확실성에 있다. 일반적으로 사람들이 생각하기에 확률은 계산되어 나온 결과는 명확하게 숫자로 보이기에 그에 따른 현실의 해결도 명확할 것이라 생각하지만 전혀 그렇지 않다. 그리고 우리 삶에서의 확률 문제에 대한 결과는 복리로 작용한다. 곧 삶의 철학이 확률 분포에 반영하고 그만큼 복리로 누적된다는 뜻이기도 하다. 내가 수학속의 확률에서 느끼는 삶의 철학은 그렇다. 이 책의 가장 뒤의 부록에 나오는 상자 확률은 우리 삶이 보이는 것이 전부가 아닐 때가 많다는 것을 간단한 문제로 나타내고 있고 확률적 사고는 우리의 사고를 “착시 및 근거 없는 확신” 에서 “신중” 이라는 위치에 가져다 놀을 수 있는 좋은 도구가 된다. 어쩌면 현재와 같은 자본주의에서 주입식으로 지식을 머리에 잔뜩 집어넣는 것은 학생이 성인이 된다면 전문 기술을 가진 로마 시대의 노예로써, 노예 체질이 열심히 계산을 하여 값을 도출하면 기업가 체질은 결과를 보고 책 속에 나오는 미완의 문제에서 발생하는 적절한 기준을 찾는 의사결정과 부록에서 나오는 겉으로 드러난 숫자와 현실에서의 의미는 다를 수 있다는 것을 인지하고 세상을 혁신을 이끄는 지도 모르겠다. 오래전에 구글이 수학문제를 입사 테스트로 제시한적이 있는 것으로 알고 있다. 그 문제는 창의력이 요구되는 문제로 알고 있었는데 그런 독특한 기업의 세계관이 지금의 구글이 되었는지도 모르겠다는 생각도 든다. AI가 점점 많은 일자리를 차지하게 될 것은 당연해 보인다. 그리고 AI가 차지할 일자리 중에 상당히 훈련된 전문직도 많이 포함이 된다. 보통 이런 전문직은 사고력보다는 많은 지식을 통으로 암기해야 하는 그런 전문 분야이다. 수학도 암기 후 문제풀이에서 사고력을 요구하는 문장제로 의사해결 능력을 기르는 방향으로 바뀌고 있다고 하는데 갈수록 더더욱 수학이 중요해질 것 같다는 생각이 든다.

 이 책은 시리즈 중에 아직 출판되지 않는 책이 몇 권 더 있는 것으로 알고 있다. 다음 책들의 출판이 기다려지고 출판된다면 재미난 시간을 보낼 수 있을 것 같다는 생각이 든다.