파스칼이 들려주는 수학적 귀납법 이야기를 보면서 왜 수학을 배우면서 귀납법에 대해 진지하게 생각해 볼만 한 시간이 없었을까 생각을 한적이 있다.

왜냐하면 수학이라고 하는 것은 논리적 접근을 통해 고증을 하고 증명을 함으로써 설득와 논증을 하기 위해서는 화법도 배워야 하지만 나의 말에 오류가 없어야 하기에 보다 접근을 제대로 한다면 어렵지 않게 수학 시간에 논증과 증명을 자연스럽게 서술 할수 있다고 생각했다,

하지만 교과서에서는 말이 없이 공식을 통해 증명하는 법만 간략하게 접근하고서는 다른 단원으로 설명으로 증명을 이야기 한다.

중간중간 결과로써 전해지는 수학의 논리적이면서도 수학적 사고를 하기 위해 자연스럽게 증명을 참이라고 말해던 것을 수학적 용어로 증명을 바꾸기 위해 수학적 언어를 배워야 할듯 합니다.

그래서 수학적 귀납법을 통해 문제 해결을 할수 있다면 좋은 판단으로 배울 수 있는 귀납법에 대한 접근을 배우게 되는 책이라고 생각이 든다.

쉽지 않은 소재로 이러한 것을 국어로 배워야 할지 수학으로 배워야 할지 고민이 돠는 접근이지만

수학적인 측면으로 보면서 귀납과 연역 그리고 증명을 통해 개념을 정확히 자리를 잡는 공부를 해왔던것을 자연스럽게 도형과 귀남적이면서 연역적 증명을 이해를 하고 증명 방법을 명제를 가지고 공부할수 이는 배경을 먼저 알주면서 두번째 수업ㅇㄹ 통해 수열을 통해 자연적으로 귀납적정의를 배우게 되는 것을 알아맞히기 놀이등을 통헤 규칙을 추측하고 글로써 표현하면서 자연스럽게 귀납적 특징을 터득을 한다.

이로서 귀납적 단원에 가까이 가기위해 여러가지 수열의 일반항과 n항까지의 합을 구하는 것처럼 간단한 기본원리부터 등차수열,등비수열등 스열을 통해 추측가능한 일반항을 계산을 하수 있게 되는 과정을 수열로 풀어보았다면 삼각형ㅇ르 통해 수학적 귀납법을 통해 증명을 배우게 됩니다.

파스칼과 피보나치수열을 통해 다양한 변화 규칙을 축측한느것을 수로 설명할수 있다는 것은 귀납법에 대한 증명법으로 많은 수학자들이 사용했지만 쉽지는 않은 내용이다.

그래서 오류도 있다고 그 한계를 뒷장에서 설명을 하고 있다.

파스칼은 진정한 수학작는 모든 사물을 정의와 원칙에서만 설명한다. 바르게 사고한다는 것은 명료한 원칙이 존재한다는 것과 같은 의미라고 주장하는 학자인데 이는 수학을 학교에서 배운것보다는 가정교사를 통해 기하학을 재미나게 배우고 나중에는 계산기를 개발한 사람이 파스칼입니다.

몸이 약해서 공부를 하다가 건강을 해칠까봐서 부모님께서 수학공부를 못하게 했는데 결국에는 이길로 빠져드는  호기심때문에 우리에게 이토록 어려운 과제 같은 수학을 설명하는 이야기를 풀어냅니다.

만화와 삽화 그리고 문제접근을 위한 풀이 설명들이 수학책답게

정리와 함께 설명을 요약까지 동시에 해주고 있어서 기본에 충실한 책이다.

초등권장도서

수학자가 들려주는 수학 이야기 24 [파스칼이 들려주는 수학적 귀납법 이야기]

학년이 올라갈수록 수학을 어려워하고 힘들어하는 아이들이 많지요?

저희 아이들도 수학을 너무 어려워해서 조금이라도 쉽게 받아들이길 바라는 마음에

수학자가 들려주는 수학 이야기를 읽어보도록 했어요.

아이들이 수학을 어려워하는 이유 중 하나는

'추상성'이 강한 수학적 사고 특성과 '구체성'을 선호하는 아이들의

사고의 특성 사이에서 오는 괴리에 의해서라고 해요

이런 괴리를 줄이기 위해 수학의 추상성을 희석시키고

수학 개념과 원리의 설명에 구체성을 부여해 주는 것이 필요한데

그런 역할을 해주는 도서가 수학자가 들려주는 수학 이야기예요.

교과서의 내용을 좀 더 구체화시켜주고 생동감 있게 배울 수 있으며

교과서에서 나오지 않는 수학자의 이야기를 들으며

배경지식 또한 쌓을 수 있더라고요

수학적 귀납법, 일차방정식, 기하학 이야기, 약수와 배수, 미분...

언뜻 제목만 보면 너무 어렵기만 할 거 같은 수학자 이야기이지만

강의를 듣는 것처럼 친절하게 설명해 주는 형식이라 이해가 쏙쏙 되기도 하고

중간중간 나오는 수학자들의 에피소드 덕분에 지루하지 않게 읽을 수 있었어요.

저희 아이는 수학의 원리와 개념을 배우는 것도 좋았지만

다양한 수학자에 대해 알게 되는 것이 좋았다고 하더라고요.

생각보다 굉장히 많은 위대한 수학자들이 있었고

그들의 업적을 알아가는 것도 이 책의 재미 중 하나인듯해요

이번 도서를 통해 계산기를 처음 개발한 사람이

파스칼이라는 것을 알게 되었는데

처음엔 너무 놀라서 와~!!!라며 소리를 지르더라고요.

방마다 돌아다니며 계산기를 만든 사람이 누군지 아냐고 잘난 척을 ㅋㅋㅋ

파스칼(1623~1662)

파스칼은 유명한 말을 많이 남겼는데 그중

"인간은 생각하는 갈대다."라는 말이 가장 유명해요.

인간의 위대함과 비참함을 주장해서

'반합리주의자'라고 불리기도 해요.

파스칼은 몸이 약해 수학을 따로 배운 적은 없지만

혼자서 삼각형 내각의 합이 180도라는 사실을 알아내기도 했어요.

또 정부의 회계를 담당하는 아버지를 도와드리기 위해

계산기를 개발하기도 했어요.

그는 철학과 수학에서 수많은 업적을 남겼지만 선천적으로 약한 몸 때문에

안타깝게도 39세의 나이로 세상을 떠났답니다.

이 책에서 배우는 내용은

고등학교에서 다루는 아주 중요하고 재미있는 증명 방식인

수학적 귀납법이에요.

수학적 귀납법의 개념과 역사를 많은 예를 들어 재미있게 설명해 주어

초등학생들도 이해하기 쉽도록 해 주었어요.

총 일곱 번의 수업을 통해 수학적 귀납법을 배울 수 있는데

각 수업 전에 있는 학습 목표를 꼭 읽어볼 수 있도록 해주세요.

학습목표를 통해 배워야 할 내용을 미리 숙지하고 읽으면

본문의 내용을 이해하는데 좀 더 도움이 되더라고요.

수학의 꽃이라고 불리는 증명

증명이라는 것을 어려워하는 사람들도 많지만

증명이 꼭 절대적인 참인 것만을 말하는 것은 아니기에

너무 어려워할 필요는 없어요.

어떤 사람이 "왜 그게 참이니?"라고 물었을 때

왜 그런지 설명해 내는 것을

'증명'이라고 해요.

증명을 '하나의 사고실험'이라고도 하고,

'어떤 사회 집단의 동의에서 얻어진 것'이라고도 해요.

수학 책에서 나오는 것처럼 장황하고

아름다운 문자들로 나타나는 증명뿐만이 아니라

다른 사람을 정당하게 설득해낼 수 있다면

증명으로의 역할을 한다고 말할 수 있어요

증명에는 '귀납적 증명 방법'과 '연역적 증명 방법' 이 있어요.

귀납적 증명방법은 어떤 현상을 관찰하고 추리해서

하나하나의 참임을 밝혀내는 거예요.

예를 들어 어떤 아이가 시냇가에서 물고기를 잡았다→

그 물고기는 아가미로 숨을 쉰다→ 다른 물고기를 잡았다

→ 그 물고기도 아가미로 숨을 쉰다. → 수족관을 가서 물고기를 관찰했다

→수족관의 모든 물고기가 아가미로 숨을 쉰다

이 아이는 지금까지의 관찰 결과로 '물속에 사는 물고기는 모두

아가미로 숨을 쉰다'라는 결론을 얻어냈어요.

이것을 귀납적인 방법이라고 해요.

여러 가지 예들을 바탕으로 하여 그 안에서 일반적인

속성을 찾아내는 것을 귀납이라고 해요.

하지만 이 방법은 반례가 나타나면 언제든지 깨질 수 있어요.

예를 들어 돌고래는 물속에 산다. 하지만 아가미로 숨을 쉬지 않는다.

위와 같은 반례가 나타나면 방금까지 참이었던 주장이 거짓이 되는데

이렇게 반례를 들어가며 주장이 거짓이라는 것을

증명해 가는 것을 연역적인 방법이라고 해요

귀납적 증명은 언제든지 반례가 나타나면

그다음부터 효용성이 없어지는 불안정한

증명법이기 때문에 수학에서는 주로 연역적 증명을 해요.

이 책에서는 귀납적 증명과 연역적 증명을 설명하기 위해

다양한 예시를 들어주기 때문에 이해할 수밖에 없도록 하더라고요.

지동설, 천동설을 예를 들어 설명하기도 하고

피타고라스의 정리를 예를 들기도 하지요.

또 다른 다양한 방법들을 통해 친절하게 설명해 줘요.

그래서 제가 생각했던 것보다 아이들이 쉽게 받아들이더라고요.

이미 알려진 진리를 전제로 하여 필연적인 결론을 이끌어가는

삼단논법도 연역적인 증명방법이에요.

'A 이면 B이다. B 이면 C이다. 그러므로 A 이면 C이다.'

대표적인 예로 소크라테스의 삼단논법이 있죠.

＜모든 사람은 죽는다.

소크라테스는 사람이다.

그러므로 소크라테스는 죽는다.＞

각 수업이 끝나면 수업 정리를 통해 배운 내용을

요약해서 다시 한번 확인해 볼 수 있도록 해줘서

도움이 많이 되더라고요.

1교시 때 배운 내용 -

증명이란 것은 상대방을 설득하기 위해 하는 것이기 때문에

반드시 근거가 있어야 한다.

또 귀납적 증명은 여러 가지 예를 통해서 설득하는 것이므로

반례가 나타날 수 있지만,

연역적 증명은 참이거나 참으로 인정된 사실로부터

논리적으로 추론하는 것이므로

반례가 나타나지 않는다.

1교시 때 배운 귀납적 증명과 연역적 증명을 바탕으로

수학적 귀납법에 대한 내용들을 앞으로 배워나가게 돼요.

수열을 통해 귀납적 정의를 배우고, 수학적 귀납법을 통해

자연수에 관하여 참인 명제를 증명하는 것을 배워요.

또 파스칼의 삼각형에서 찾은 수열에 관한 성질을 수학적 귀납법을

이용하여 증명하거나 피보나치수열을 찾아보고 증명을 해보기도 하며

수학적 귀납법에 대해 완벽하게 배워보게 되는 도서예요.

어쩌면 아이들이 까다롭게 여길 수 있는 개념을

다양한 예를 들어 최대한 이해할 수 있도록

풀어내 설명해 주는 도서라

수학적 귀납법에 대한 개념이 이해가 되지 않아

힘들어하고 있는 아이들에게

확실히 도움이 되는 도서라 생각이 들었어요

수학공식을 무작정 외우기보단 스토리텔링으로

원리나 개념을 알기 쉽게 설명해 주는 수학자가 들려주는 수학 이야기

앞으로도 아이와 잘 활용해 볼게요

#초등필독서 수학자가 들려주는 수학 이야기

파스칼이 들려주는 수학적 귀납법 이야기

아이들은 이 책을 보면서 어려워 보인다고 말을 하더라고요 그래서 찾아봤어요, 귀납적의 사전적 의미로 일반적으로 「P이므로 Q가 된다」라는 실증적인 추론을 하는 것. 그러므로 당연하다는 것.입니다.

초등수학필독서 수학자가 들려주는 수학 이야기에 대한 설명과 더불어, 이 책에 대한 설명이 되어 있습니다.

수학적 귀납법은 쉬운 주제는 아니긴 하다고 합니다. 수학적 귀납법의 방법만 알고 문제를 해결하여 점수를 얻는 것으로 자신이 수학적 귀납법을 잘 알고 있다고 판단할 수 없다고 하는데요, 이 책을 통해서 수학적 귀납법에 대해 이해할 수 있기를 기대해 봅니다.

수학자가 들려주는 수학 이야기 길라잡이를 통해서 이 책을 먼저 싹 훑어볼 수 있어요

수학자가 다른 이유와 더불어, 어떤 점이 좋은지를 알려줍니다.

아이들이 봐도 좋고, 엄마가 먼저 보면서 책에 대한 설명을 해 줘도 좋습니다.

이 책과 교과연계가 어떻게 되어 있는지 설명이 되어 있어요. 교과 연계되어 있는 것만 봐도 왜 이 책이 초등수학 필독서인지 알겠네요

귀납적 이야기가 어렵다 생각했고, 고학년이나 중고생에 배운다고 생각했지만, 초등학교 3학년 때부터 이 부분이 연계가 되어 있다는 걸 알 수 있어요.

학년과 단원 그리고 연계되는 수학적 개념과 내용이 적혀 있어요. 학년별로 이용하기 좋게 되어 있습니다, 파스칼이 들려주는 귀납적 이야기는요 초등학교부터 시작하여, 중학교, 고등학교까지 연계가 되어 있습니다,

수업 소개도 되어 있습니다. 각 교시마다 어떤 것을 배우는지와, 미리 알고 있으면 좋은 것, 그리고 그 단원에서 어떤 공부방법으로 하면 좋은지에 대해 설명을 해 주었습니다. 

그리고 관련된 교과 단원과 내용 즉 앞에서 교과연계 설명을 해줬는데요, 그 부분에 대한 조금 더 자세한 설명이 되어 있습니다.

이 책의 수학자 파스칼은 수학을 따로 배우지 않은 사람이라고 해요.. 수학이 싫어서가 아니라 몸이 약해서 수학을 공부하다가 건강을 해칠까 봐 였다고 하네요...

파스칼은 "인간은 생각하는 갈대다"라는 말을 남긴 사람이라고 합니다. 그뿐 아니라 계산기를 처음 만든 사람이기도 하고요..

파스칼에 대해서 잘 몰랐다가 계산기를 만들었다는 말에 아이들은 놀라움을 갖더라고요. 그런 사람이 말하는 귀납적 이야기가 궁금해지는 순간이었습니다.

1교시 :: 귀납, 연역, 증명

증명이란 무엇인가요?

귀납적 증명과 연역적 증명의 예를 통해서 알아봅시다.

이렇게 각 교시가 시작되면, 그 수업 시간에 무엇을 배울지를 미리 알려줍니다.

우리 교과서를 보면 목차가 있고, 학습 목표가 있잖아요

이 책도 마찬가지랍니다.

학습목표에 대한 설명과, 미리 알아두면 좋을 점들이 적혀 있습니다,

교시에는 명제와 증명에 대해 이해하는 시간을 갖고, 귀납적 증명과 연역적 증명을 이해하는 시간을 갖습니다.

그러기 위해서는 명제와 조건에 대해서 알고 있으면 도움이 됩니다.

ㅎㅎㅎ 아이들이 보면서 알아야 할 것보다 미리 알고 있으면 좋을 것이 더 어려워 보인다는 말을 하는데요, 아무래도 설명이 길어서 인가 봅니다.

미리 알아두면 좋아요!!!! 이것을 미리 알지 못한다고 걱정할 것은 없습니다. 이 부분도 책 속에서 설명을 해주거든요. 다만 미리 알고 있으면 이해도가 훨씬 좋아지겠지요.

설명을 해주고 질문을 던지고 같이 이야기하면서 이론에 대해 배우게 됩니다.  그런데 그냥 이해가 힘들 수도 있잖아요.  그렇다고 걱정할 거 하나 없습니다.

설명을 아주 간단하고 이해하기 쉽게 만화로 표현을 해 놓았어요. 우비양은 글을 읽고 이해하지만, 우비군은 주로 만화를 보면서 이 책을 이해하더라고요.

귀납적 증명과, 연역적 증명이 있는데요!!

귀납적은 어떤 현상을 관찰하고 거기서 어떤 원리를 유도해 내는 것을 말하고, 연역적은 이미 알고 있는 지식에 근거하여 논리적인 규칙에 따라 필연적인 결론을 이끌어내는 것을 말한답니다.

간단하게 귀납적과 연역적에 대해 설명하고 있지만 생각보다 간단하지 않아요

그러한 것들을 점점 더 쉽게 설명해 주면서 이해할 때까지 설명을 해주는 책입니다

초등수학필독서는 어려운 말만 딱 해놓고 이거야!!! 이것을 말하는 거야 하면 안 되는 거죠!!!

아이들과 함께 왜 그렇지, 왜 이렇지, 왜 이렇게 되지를 같이 고민하고 해결해 가는 과정이 있어야 하는데 수학자 시리즈는 딱 그렇게 되어 있답니다.

그리고 설명만 다 했다고 넘어가지 않습니다.

책 속에서 문제를 내어 풀어 보면서 아이가 이해하도록 돕습니다.

물론 문제에 대한 설명도 정말 정말 자세하게 잘 되어 있답니다.

이렇게 수업이 끝나면 바로 수업을 정리해 줍니다. 수업의 정리는 앞에서 배울 내용과 관련하여 책에서 설명한 것들을 적어 주는 것이랍니다.

초등수학필독서 수학자가 들려주는 수학 이야기 중에서도 파스칼이 들려주는 귀납적 이야기를 가지고 살펴보았어요

수학자 책을 읽다 보면 점점 더 호기심이 생기네요. 왜 그런지 어떻게 그런지 궁금해진다는 거죠.

그리고 무엇보다 어렵다고 생각한 부분이 이해가 되어 가는 과정을 경험할 수 있다는 겁니다.

초등학생 우비군은 이해하는 데 시간이 조금 걸리고요, 중학생인 우비양은 생각보다 어렵지 않게 읽고 있어요.  그걸 보니 중학교 가기 전 초등수학필독서로 차근차근 읽어보면 정말 좋을 이야기로, 초등학교 수학을 정리하고, 중학교 수학을 받아들이게 해주는 아주 좋은 책이 아닌가 싶습니다.

"이 글은 출판사로부터 도서를 협찬받아 주관적인 견해에 의해 작성했습니다."