*본 포스팅은 출판사로부터 도서를 제공받아 주관적으로 작성한 리뷰입니다.

매듭이론(Knot theory)은 일상에서 흔히 접하는 끈의 매듭을 수학적으로 탐구하는 저차원 위상기하학의 한 분야이다. 신발끈을 묶을 때 나비매듭이 될지 세로매듭이 될지의 미묘한 차이부터, DNA와 단백질의 복잡한 구조 분석까지, 결매듭이론은 우리 일상과 최첨단 과학 연구를 연결하는 흥미로운 수학 분야이다.이번에 어렵지만 재미있게 읽은 ＜그림으로 쉽게 배우는 수학 매듭 이론＞은 이러한 복잡하면서도 매력적인 주제를 시각적 접근법을 통해 일반 독자들에게 소개하려는 야심찬 시도인 것 같다.

-복잡한 매듭, 그림을 통해 수학으로 이해하는 독특한 기획도서

-수학적 사고로 푸는 그림 속 매듭과 고리를 이해할수 있슴

흔히 생활속에서 매듭하면 운동화끈 다르게 채우기나 캠핑가서 매듭법, 등산가서 로프매듭법에 관심있어서 이 책을 읽게되었다.

매듭은 몇개는 하지만 유튜뷰를 보고 따라하기가 쉽지 않아서 그 이론과 원리를 이해하는데 이 도서가 도움이 되었다.

매듭이론(Knot theory)은 일상에서 흔히 접하는 끈의 매듭을 수학적으로 탐구하는 저차원 위상기하학의 한 분야이다. 신발끈을 묶을 때 나비매듭이 될지 세로매듭이 될지의 미묘한 차이부터, DNA와 단백질의 복잡한 구조 분석까지, 결매듭이론은 우리 일상과 최첨단 과학 연구를 연결하는 흥미로운 수학 분야이다.이번에 어렵지만 재미있게 읽은 ＜그림으로 쉽게 배우는 수학 매듭 이론＞은 이러한 복잡하면서도 매력적인 주제를 시각적 접근법을 통해 일반 독자들에게 소개하려는 야심찬 시도인 것 같다.

매듭 이론은 숫자 대신 매듭과 고리를 수학적으로 연구하는 위상수학의 한 분야이며, 수식 없이 그림으로만 채워 탐구하는 다소 낯설지만 매력적인 세계이다. 

이 도서가  가장 큰 강점은 제목에서 암시하듯 '그림으로 배우는' 접근법이다. 매듭이론은 본질적으로 3차원 공간의 구조를 다루는 분야로, 추상적인 수식만으로는 직관적 이해가 어려운 영역이다. 저자들은 이 점을 잘 파악하여 풍부한 도식과 그림을 통해 복잡한 개념들을 시각화한다. 특히 삼엽매듭, 8자매듭, 홉 연결매듭 등의 기본적인 매듭 구조들을 2차원 투영도로 표현하는 방법은 독자들이 3차원적 사고로 전환하는 데 큰 도움이 된다. 매듭의 정칙표시부터 라이데마이스터 이동(Reidemeister moves)까지의 시각적 설명은 이 분야의 입문자들에게 매우 유용한 학습 도구가 될 것같다.

이 책은 복잡한 매듭을 그림을 통해 쉽게 풀어내, 매듭 이론을 처음 접하는 사람도 부담 없이 즐길 수 있도록 구성했다. 풍부한 삽화와 예시, 연습문제를 통해 일상에서 흔히 볼 수 있는 다양한 매듭부터 고리의 불변량과 풀림수, 라이데마이스터 변형까지 차근차근 따라가며 이해할 수 있도록 구성하였다. 또한 복잡하게 얽힌 끈을 하나씩 풀어가듯 난이도를 서서히 높여 가며 끝까지 학습할 수 있게 하여, 3채색 가능성, 간이 고리수, 불변량의 개념처럼 전문적인 내용도 시각적 비유와 연습문제를 통해 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이다.

매듭이론이라는 고도로 추상적인 수학 분야를 일반 독자들에게 접근 가능하게 만든 의미 있는 책이다. 시각적 학습법을 통한 직관적 이해의 촉진, 체계적인 개념 전개, 그리고 현실적 응용 사례들의 제시는 이 책의 주요 강점들이다. 복잡한 수학적 개념을 이해하기 쉽게 전달하면서도 이 분야의 깊이와 아름다움을 잃지 않은 점은 높이 평가받을 만하다. 매듭이론에 처음 입문하는 학생들, 수학의 실용적 응용에 관심 있는 일반인들, 그리고 위상수학의 구체적 예시를 찾는 교육자들에게 이 책을 적극 추천한다. 단순해 보이는 끈의 매듭이 어떻게 현대 수학과 과학의 최전선에서 중요한 역할을 하고 있는지를 발견하는 즐거움을 선사할 것이다.

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'이 리뷰는 컬처블룸을 통해 출판사에서 도서를 제공 받아, 직접 읽고 작성한 리뷰입니다.'

수학이 밝혀낸 매듭과 고리의 비밀

책을 선택한 이유

매듭은 실이나 끈을 묶고 연결하는 방법이다.

아웃도어 활동에서 매듭을 잘 활용하면

단순한 끈도 훌륭한 도구로 변신한다.

야외 작업을 하거나 비상 상황에서도 매듭 을 이용하면

업무를 효율적으로 진행 할 수 있다.

단순해 보이는 매듭은 수학적 원리가 담겨 있다.

매듭 의 수학을 알아보기 위해 '매듭 이론"을 선택한다.

1장 매듭 에서는

매듭, knot는 매듭이나 매듭을 묶다를 의미하는 용어다.

실용적인 매듭뿐만 아니라 장식적인 매듭도 볼 수 있다.

우리 주변에서 많은 매듭을 발견할 수 있다.

고정 매듭으로는 풀려 있지만 옭 매듭으로 생각하면

묶여 있다고 볼 수 있다.

묶여 있다는 판단은 사람마다 다르기 때문에

명확히 하기 위해서는 통일된 기준이 필요하다.

매듭의 다이어그램 은 매듭을 평면상에 도식화한다.

수학은 제대로 약속하는 것이 필요하다.

언제 누가 하더라도 단순화하여 그릴 수 있도록 규칙을 정해 둘 필요가 있다.

2장 매듭 이론으로, 무엇을? 에서는

매듭은 하나의 끈을 묶고 끈의 양 끝을 연결하여 닫은 것을 의미한다.

묶이지 않은 고리를 수학에서는 매듭으로 간주한다.

끈을 묶지 않고 양 끝을 그대로 연결한 것은 자명 매듭이라고 부른다.

끈의 양 끝이 연결된 형태가 고리가 되는지 아닌지를 판단하는 일은 어렵다.

고리에 포합된 매듭 하나하나를 고리의 성분이라고 하며,

고리의 성분이 n개일 때 n성분 고리라고 한다.

성분끼리 교점이 없는 것도 고리이다.

모든 성분이 서로 교점이 없고, 모든 성분이 자명 매듭으로 되어 있는 것을

자명 고리라고 한다.

슬립 매듭, 이중 8자 매듭은 끈을 묶었을 뿐 끈이 닫혀 있지 않기 때문에

수학에서 말하는 매듭이 아니다.

실뜨기처럼 고리를 움직여 나가면서 같은 모양으로 만들어진 고리는

같은 고리라고 약속한다.

두 고리가 동일하다는 것은 한쪽을 3차원 공간 내에서 연속적으로

변형시켜 또 다른 쪽으로 변형시킬 수 있는 것을 말한다.

두 도형이 합동인 때에는 = 기호를 사용하고,

두 개의 고리가 공간 내에서 같은 모양이 될 수 있다는 것은

～기호를 사용하여 나타낸다.

두 고리가 다르다는 겉을 증명하기 위해서는 불변량을 사용한다.

두 고리가 같다는 것을 나타내는 경우도 방법은 마찬가지이다.

고리 목록은 끈이 가장 적게 겹치는 형태를 고려하여

고리를 단순한 것부터 나열한다.

3장 고리를 살펴보기 위해서는 에서는

끈으로 매듭을 만들어서 조사하는 것은 쉽지 않다.

고리의 다이어그램 은 고리를 노트 등에 그린 것이다.

고리의 투영도란 조건을 만족하도록 그려진 고리의 그림자다.

다중점이란 끈의 그림자가 겹치는 부분을 말하며,

n중점은 n개의 끈 그림자가 겹치는 점이다.

고리 투영도의 교점에 상하 정보를 제공한 것을

고리의 다이어그램 이라고 부른다.

다이어그램 의 교점은 다이어그램 에서 투영도의 교점에 해당하는 부분이다.

주어진 고리의 다이어그램 을 생각할 때는 가능한 한 교점이 적은

다이어그램 을 생각하는 경우가 많다.

무의미한 교점은 쉽게 제거할 수 있는 교점이다.

기약 다이어그램 은 무의미한 교점을 갖지 않는 고리의 다이어그램 이다.

다이어그램 이 교점 부분에서 끊어지지 않았다고 가정하면,

다이어그램 은 그려져 있는 평면을 몇개의 부분으로 분할한다.

여러 부분으로 나뉜 다이어그램 의 각각의 부분은

다이어그램 의 호라고 부른다.

다이어그램 의 면은 평면을 몇 개의 부분으로 분할한다.

원형 부분도 호의 일종으로 간주하여 원주 성분이라고 부르기로 한다.

다이어그램 이 원주 성분을 가지지 않는다면 교점의 수와 호의 수는 일치한다.

하나 이상 교점을 가진 매듭 다이어그램 의 면의 수는

다이어그램 의 교점의 수 +2가 된다.

공간 내에서 연속적으로 변형되어 서로 일치하지 않는 고리는 다른 고리이지만,

고리가 다른 것을 나타내는 것은 어려운 일이다.

4장 다양한 고리 에서는

옭 매듭, 구슬 매듭은 일상에서 흔히 볼 수 있는 매듭이다.

마디 매듭은 로프에 연속적으로 마디를 만드는 매듭이다.

8자 매듭은 옭 매듭보다 더 큰 고리를 만들 수 있는 매듭이며,

강도가 높고 풀기도 쉬워 활용도가 높다.

부둣가 매듭은 8자 매듭보다 더 큰 고리를 만들 수 있는 매듭이다.

날개 매듭, 전복 매듭은 풀기 어려우며, 양쪽 끝을 잡아당기면 더욱 단단히 묶인다.

맞매듭(스퀘어 매듭)은 단단히 조이면 풀기 어려운 매듭이다.

외과의사 매듭은 본매듭보다 강도가 높은 매듭을 얻을 수 있으며,

수술 시 결철에 사용된다.

세로 매듭(그래니 매듭)은 맞매듭을 묶을 때 끈의 위아래를 반드로 한다.

솔로몬의 매듭은 수학적으로는 2성분 고리로 분류된다.

보로메오 고리는 세 개의 고리가 서로 얽힌 형태의 고리다.

트위스트 매듭은 두 개의 끈을 한 번 꼬은 것을 하나의 단위로 하여

두 개의 끈이 꼬인 형태를 말한다.

끈 등으로 트위스트 매듭을 만들기 위해서는 양 끝을 서로 엇갈리게 걸 때

끈을 끊었다가 다시 연결하는 조작이 필요하다.

브루니안 고리는 임의의 1성분을 제거하면 자명 고리가 되는 비자명 고리다.

밀러 고리와 고무줄 연결 방법을 응용하여 브루니안 고리의 계열을 구성해 본다.

분리 가능한 고리는 각 성분이 서로 얽혀있는 것처럼 보이지만,

변형을 통해 포함된 고리끼리 서로 얽히지 않는 두 그룹으로 분리할 수 있다.

분리 평면은 공간 내의 평면이 고리를 여러 개의 고리로 나누게 할 수 있다.

두 성분을 나누는 평면에 평행한 평행면을 얻을 수 있으면 분리 가능한 고리임을 알 수 있다.

거울에 비친 고리를 실제 공간 내에 있는 고리로 간주한 것을

원래 고리의 거울상이라고 부른다.

고리의 거울상 다이어그램 은 고리 다이어그램 을 발전시켜 얻을 수 있다.

다이어그램 이 복잡해질수록 좌우 반전된 그림을 그리는 것이 번거로워진다.

고리 다이어그램 의 교점 위아래를 모두 바꿔서 얻어진 다이어그램이

나타내는 고리는 고리의 거울상 다이어그램 이 된다.

매듭이 양손형임을 증명하기 위해서는 거울상과 같은 모양을

만들 수 있는 것을 증명해야 한다.

만들고 싶은 마디의 개수만큼 꼬임을 만들어 한 번에 묶는 방법은

하나씩 마디 매듭을 만드는 것보다 효율적인 제작 방법이다.

합성 매듭은 두개의 매듭을 서로 연결하여 얻은 매듭이다.

합성 매듭은 고유하게 정해지지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다.

대응 가능한 구성법, 두 매듭의 다이어그램 을 모두 구할 수 있는

투영도 구성법이 있는지를 생각하는 것도 중요하다.

두 개의 매듭으로부터 합성 매듭을 얻는 작업을 매듭의 합성이라고 하고,

합성의 반대 작업을 분해라고 한다.

합성 매듭을 두 개의 비자명 매듭으로 나누는 구면을 분해 구면이라고 한다.

프라임 매듭은 매듭과 정확히 두 점이 교차하는 구면을 생각했을 때,

구면의 안쪽 부분의 끝점을 구면에서 연결하여 얻은 매듭과,

구면의 바깥쪽 부분의 끝점을 구면에서 연결하여 얻은 매듭 중

어느 한쪽이 자명 매듭이 되는 매듭을 말한다.

5장 그래프와 매듭 에서는

평면 그래프 는 평면 위에 몇 개의 점을 그리고 점들 사이를 연결하는

선을 끝점 이외에는 교차하지 않도록 그려서 얻을 수 있는 도형이다.

그래프 를 구성하는 점을 정점이라고 하고, 양 끝점을 포함한 선을 변이라 한다.

정점에서 나오는 변의 개수를 차수라고 하나다.

정점의 차수는 정점을 끝점으로 하는 변의 수와 반드시 일치하지 않는다.

그래프 의 면은 평면을 여러 영역으로 분할한 영역 하나하나다.

끝없이 퍼져나가는 무한면은 단 하나 뿐이다.

오일러 공식은 그래프 의 정점, 변, 면의 개수에 관한 항등식이다.

연결 그래프 는 그래프상의 어느 정점에서 시작해도

변을 따라 원하는 정점까지 도달할 수 있는 그래프 이다.

연결 그래프 가 아닌 그래프 를 비연결 그래프 라고 한다.

연결 그래프임을 증명하기 위해서는 모든 정점에서 자신을 제외한

모든 정점으로 이동할 수 있는 변의 열이 존재하는지 확인해야 한다.

비연결 그래프 는 연결 그래프 가 아닌 그래프 다.

비연결 그래프 를 구성하는 각각의 연결 그래프 를 연결 성분이라고 하고,

연결 성분의 개수를 연결 성분수라고 한다.

연결 그래프 에 대해서는 오일러 공식이 성립한다.

오일러 공식을 비연결 그래프 로 확장하면 비연결 그래프 는

등식을 만족하지 않는다는 결론을 내릴 수 있다.

교점이 없는 성분을 가진 고리 다이어그램 에 대해서는

성분에 차수 2의 정점 하나를 추가하여 그래프로 간주함으로써,

고리 다이어그램 과 그래프 사이에 일대일로 대응시킬 수 있다.

6장 그려진 고리를 변형하자Ⅰ 에서는

같다라는 단어는 모호하므로, 무엇을 기준으로 같다는 것을

명확하게 약속해야 한다.

합동인 두 도형은 한 도형을 움직여 다른 도형에 꼭 맞게 겹칠 수 있다.

수학적으로는 평행 이동, 회전 이동, 거울상 이동에 의해 겹쳐진다.

공간 내에서의 합동 변형은 고리의 위치를 바꾸는 조작에 대응하고,

닮음 변형은 고리의 위치를 바꾸거나 크기를 바꾸는 조작에 대응한다.

평면의 동위 변형은 도형을 평면이라는 형상을 유지한 채로

두 도형을 늘리거나 줄여서 변형하면서 똑같은 모양으로 만들 수 있다.

도형의 동위 변형은 도형의 변형을 크게 변화시킨다.

도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.

합동 변형에서 평행이동, 회전 변형은 실현할 수 있지만,

거울상이라는 조작은 실현할 수 없다.

완전히 겹치지는 않더라도 같은 것을 그린 것이므로

같은 것이라고 생각하는 편이 더 자연스러울 것이다.

평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하는 다이어그램 도

같은 다이어그램 이라는 약속에 따라,

같은 다이어그램 을 가진 고리가 같은 고리라는 것이 성립한다.

고리의 다이어그램은 평면의 동위 변형에 의해 변형이 가능하다.

변형은 교점 부분이 실제로 끊어진 것으로 간주하고,

직선에 끼인 부분을 길게 늘리는 방식의 동위 변형이다.

상하 정보와 관계없이 늘리는 동위 변형을 한 후,

원래 다이어그램 의 상하 정보를 바탕으로 해당 교점에

상하 정보를 부여하는 것은 번거롭다.

동위 변형은 전체를 늘리거나 줄이는 변형만을 의미하는 것은 아니다.

동위는 두 도형의 한쪽을 동위 변형으로 변형하여,

다른 한쪽과 똑같은 모양으로 만들 수 있다.

선분은 동위 변형으로 축소할 수는 있지만 한 점으로 뭉쳐질 수는 없다.

도형의 동위 변형은 도형의 모양을 크게 변화시킨다.

도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.

약속은 매듭 이론을 연구하는 데 있어 사용하기 쉬운 것이어야 의미가 있다.

완전히 겹칠 수 있는 다이어그램 이나 평면의 동위 변형에 의해

서로 이동하는 다이어그램 도 같은 다이어그램 이라고 약속한다.

다이어그램 의 상하 정보를 바탕으로 해당 교점에 상하 정보를

부여하는 것은 번거롭다.

교점, 변, 면의 개수, 다이어그램 이 나타내는 고리는

평면의 동위 변형에 의한 고리 다이어그램 의 불변량이라고 할 수 있다.

평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하지 않는 것을 나타낼 수 있다.

경계가 n개의 변으로 이루어진 면을 n변형이라 부른다.

알고 싶은 것에 따라 변하지 않는 양을 사용하는 것이 효율적인지 판단하는 것이 중요하다.

두 다이어그램 모두 교점을 줄여 같은 다이어그램 으로 변형하는 것이

두 다이어그램 이 같은 고리를 나타냄을 더 간단하게 증명할 수 있다.

고리가 주어지면 다양한 다이어그램 을 얻을 수 있다.

자명 다이어그램 은 교점이 없는 다이어그램이다.

교정이 있는 다이어그램 은 비자명 다이어그램이다.

교대 다이어그램 은 교점의 위아래를 번갈아 가며 지나가는 다이어그램 이다.

교대 매듭은 교대 다이어그램 을 가진 매듭이다.

교점에 상하 정보를 잘 제공하면 교대 다이어그램 을 얻을 수 있다.

7장 고리의 표를 만들자 에서는

고리의 복잡도는 다이어그램 을 사용하여 정의된다.

매듭의 복잡도를 비교하려면 가능한 한 교점이 적은

다이어그램 을 생각해야만 의미가 있다.

최소 교점수를 실현하는 다이어그램 의 교점수를

고리의 최소 교점수라고 부른다.

최소 교점수를 실현하는 다이어그램 은 교점수가 가장 적은

고리를 나타내는 다이어그램 이다.

최소 교점수가 무엇인지 이해하더라도 최소 교점수를

결정하는 것은 상당히 어렵다.

주어진 고리가 교점의 수가 n인 다이어그램 을 가진다면,

고리의 최소 교점수는 n 이하임을 알 수 있다.

자명 매듭의 최소 교점수는 0이다.

어느 끝점도 자기 자신 이외의 다른 끝점과 연결되지 않으면

매듭의 다이어그램 이 될 수 없다.

교점이 1개인 다이어그램 은 자명 매듭의 다이어그램뿐이다.

최소 교점수가 1과 2인 매듭은 존재하지 않는다.

세잎 매듭의 최소 교점수는 3이라고 판단할 수 있다.

교점의 수가 n개인 기약 교대 다이어그램 을 가진 매듭의

최소 교점수는 n이다.

매듭 다이어그램 이 기약 다이어그램 인지 아닌지는

다이어그램 을 보면 판단할 수 있다.

기약이 아닌 다이어그램 은 다이어그램 이 나타내는 매듭을

바꾸지 않고 기약 다이어그램 으로 변형할 수 있다.

기약이 아닌 다이어그램 이 교대 다이어그램 이었다면,

기약 다이어그램 이 되도록 교점을 줄여도 교대 다이어그램 의 특성을 유지한다.

8장 그려진 고리를 변형하자Ⅱ 에서는

고리 의 다이어그램 을 평면 도형으로 파악하여 변형해 나간다.

공간 내의 고리를 변형하는 것도 중요하지만,

고리의 다이어그램 을 변형하는 것이 중요하다.

다이어그램 이 아닌 것이 나타나면 곤란하므로,

고리의 변형을 그림으로 표현한다.

검은색 화살표로 연결된 두 다이어그램 은

같은 매듭을 나타내는 것이 보장된다.

동위 변형으로 이동하지 않는 다이어그램 을 관계짓기 위해서는

라이데마이스터 변형이라고 불리는 세 가지 변형이 있으면 충분하다.

라이데마이스터 변형은 동그라미로 둘러싸인 고리 다이어그램 일부를

다른 한쪽으로 대체하는 조작이다.

라이데마이스터 변형이 익숙해지기 전까지는

고리의 다이어그램 변형과 공간 내 고리의 변형을 혼동하기 쉽다.

같은 고리를 나타내는 다이어그램끼리 서로 관련지을 때,

평면의 동위 변형과 라이데아미스터 변형만 있으면 충분하다는 것을

보장하는 것이 라이데마이스터 정리 이다.

다이어그램 은 복잡해 보이지만 사실 자명 매듭을 나타낸다.

다이어그램 을 라이데마이스터 변형열을 통해 자명 매듭 다이어그램 으로 변형한다

교점의 수가 단조 감소하여 최종적으로 0이 되는 변형 열은 존재하지 않는다.

9장 고리의 지문 에서는

불변량이란 변하지 않는 양을 말한다.

수학에서의 불변량이란 수학적 대상에 대해 어떤 양이나 성질을 대응시킨 것을 말한다.

동일한 대상에 대해서는 동일한 양이나 성질이 대응해야 한다.

불변량을 이용하면 그룹으로 나누는 것이 가능해진다.

불변량을 조합하여 보다 세밀하게 분류할 수 있는 경우가 있으나,

불변량을 조합해도 분류가 세밀하게 되지 않은 경우도 있다.

좁은 의미의 강한 불변량, 좁은 의미의 약한 불변량,

넓은 의미의 강한 불변량, 넓은 의미의 약한 불변량이 있다.

불변량을 다루는 수학적 대상에 대해 생각할 때는

언제 같은 것으로 간주할 것인가를 정해야 한다.

똑같다고 간주하는 기준을 바꾸면 불변량이었던 것이

불변량이 아닐 수도 있다는 것을 알 수 있다.

고리의 불변량은 변형으로도 변하지 않는 고리에 관한 값이다.

연결 성분수가 다른 다이어그램 이라고 해서 다른 고리의 다이어그램 이라고

결론을 내릴 수 없다.

고리 다이어그램 의 연결 성분수는 고리의 불변량이 아니다.

연결 성분수란 다이어그램 을 그래프 로 간주했을 때의 연결 성분수를 말한다.

연결 성분수가 다른 다이어그램 이라고 해서 다른 고리의 다이어그램 이라고

결론을 내릴 수 없다.

고리의 불변량은 고리의 다이어그램 에 관한 값이

평면의 동위 변형으로 변화하지 않는 것이다.

10장 그 고리, 정말로 얽혀 있어? 에서는

간이 고리수는 2성분 고리에 0또는 1을 대응시키는 불변량이다.

간이 고리수는 2성분 고리의 다이어그램 으로부터 구할 수 있다.

호프 고리의 어떤 다이어그램 으로부터 간이 고리수를 구해도 값은 항상 1이다.

간이 고리수 등의 불변량을 구할 때는 다이어그램 을 잘 살펴보고,

줄일 수 있는 교점이 존재하는지 찾아보는 것이 좋다.

자명 2성분 고리와 화이테헤드 고리가 다른지의 여부는

간이 고리수로는 알 수 없다.

자명 다이어그램 은 각 성분을 2색으로 구분하여 칠해도

셀 수 있는 교점이 없기 때문에 간이 고리수는 0이다.

자명 2성분 고리와 호프 고리가 다르며, 호프 고리와 화이트헤드 고리가 다르다.

자명 2성분 고리와 화이트헤드 고리가 다른지의 여부는 간이 고리수로는 알 수 없다.

11장 매듭이 정말로 묶여 있을까? 에서는

다이어그램 의 각 호를 3색 중 하나로 채색한다.

각 교점 주변 세 개의 호에서, 모두 같은 색으로 칠하기,

서로 다른 세 가지 색으로 칠하기 중 하나를 만족할 때,

다이어그램 은 채색 조건을 만족한다.

고리의 3채색 가능성은 채색된 다이어그램 이 채색 조건을 만족하고,

다이어그램의 호가 모두 같은 색으로 칠해여 있지 않아야 한다는

두 가지 조건을 만족하면서 3색으로 칠할 수 없을 때를 말한다.

고리가 3채색 가능하다는 것은 고리가 3채색 가능한 다이어그램 을

가지고 있을 때를 말한다.

3채색 가능성은 고리를 3차색 가능한 고리와 불가능한 고리의

두 그룹으로 나뉘는 불변량으로 볼 수 있다.

구분하여 칠하는 방법을 찾을 때, 닥치는 대로 칠하며 조사하다 보면

빠뜨리는 경우가 생길 수 있다.

호프 고리, 8자 매듭, 자명 매듭, 호프 고리, 화이트헤드 고리는 3채색 불가능한 고리이다.

세잎 매듭, 자명 2성분 고리는 3채색 가능한 고리이다.

12장 불변성의 증명 에서는

간이 고리수의 불변량 증명을 위해서 중요한 역할을 하는 것이

라이데마이스터 정리이다.

평면의 동위 변형과 라이데마이스터 변형을 이용하여

고리의 다이어그램 을 변행해도 간이 고리수의 값이 변하지 않는다.

평면의 동위 변형에 의해 각 교점의 상하 정보는 변하지 않는다.

라이데마이스터 변형Ⅰ은 어느 한쪽의 성분에 교점을 새로 만들거나

삭제하는 조작이므로 교점수에는 영향을 주지 않는다.

라이데마이스터 변형Ⅱ에 한가지 색으로만 칠해진 호만 있다면

계산할 필요가 없는 교점이므로 간이 고리수를 바꾸지 않는다.

라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하면 간이 고리수가 2성분 고리의 불변량임을 알 수 있다.

3채색 가능성이 고리의 불변량임을 증명하기 위해서는,

한 다이어그램이 3채색 가능이라면 다른 다이어그램도 3채색 가능이라고 말하면 된다.

3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해

라이데마이스터 변형Ⅰ을 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.

3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해

라이데마이스터 변형Ⅱ를 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.

3채색 가능의 조건을 만족하도록 칠해져 있는 다이어 그램에 대해

라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하여 얻은 다이어그램도 3채색 가능하다.

3채색 가능성은 고리의 불변량임을 알 수 있다.

13장 고리를 풀자 에서는

교차 교환은 매듭의 다이어그램 교점의 위아래를 바꾸는 조작이다.

매듭 다이어그램은 한 번의 교차 교환으로는 자명 매듭의 다이어그램이 될 수 없다.

어떤 매듭의 다이어그램도 몇 개 교점의 위아래를 바꾸면

자명 매듭의 다이어그램을 만들 수 있다.

주어진 매듭의 다이어그램 을 자명 매듭의 다이어그램 으로 만들기 위해

교차 교환을 실시하는 교점의 최소 개수로부터 매듭의 유용한 정보를 얻을 수는 없다.

매듭 풀림수는 교차 교환으로 자명 매듭의 다이어그램 이 되기 위해 필요한

교점의 최소 개수 중 가장 작은 값으로 매듭의 불변량이 된다.

교점의 상하 정보를 부여한 투영도는 자명 고리의 다이어그램 이 된다.

매듭 풀림수의 개념은 고리로도 확장할 수 있다.

교차 교환이 다이어그램 이 나타내는 고리를 변경시켜도 불변량의 값은

변경시키지 않을 수 있다.

간이 고리수를 구하기 위해 계산하는 것은 다른 성분으로 구성된 교점만이므로,

같은 성분상의 교점의 위아래를 어떻게 바꿔도 간이 고리수의 값에는

영향을 미치지 않는다.

간이 고리수는 고리의 불변량이므로, 공간 내에서 고리를 변형한 후

다이어그램을 구해도 같은 값이 된다.

'매듭 이론"은 매듭과 고리에 숨겨진 수학 원리를 다룬다.

매듭, knot는 매듭이나 매듭을 묶다를 의미하는 용어다.

묶여 있다는 판단은 사람마다 다르기 때문에

명확히 하기 위해서는 통일된 기준이 필요하다.

언제 누가 하더라도 단순화하여 그릴 수 있도록 규칙을 정해 둘 필요가 있다.

매듭은 하나의 끈을 묶고 끈의 양 끝을 연결하여 닫은 것을 의미한다.

묶이지 않은 고리를 수학에서는 매듭으로 간주한다.

고리에 포합된 매듭 하나하나를 고리의 성분이라고 하며,

고리의 성분이 n개일 때 n성분 고리라고 한다.

두 고리가 동일하다는 것은 한쪽을 3차원 공간 내에서 연속적으로

변형시켜 또 다른 쪽으로 변형시킬 수 있는 것을 말한다.

고리의 투영도란 조건을 만족하도록 그려진 고리의 그림자다.

고리 투영도의 교점에 상하 정보를 제공한 것을

고리의 다이어그램 이라고 부른다.

무의미한 교점은 쉽게 제거할 수 있는 교점이다.

기약 다이어그램 은 무의미한 교점을 갖지 않는 고리의 다이어그램 이다.

공간 내에서 연속적으로 변형되어 서로 일치하지 않는 고리는 다른 고리이지만,

고리가 다른 것을 나타내는 것은 어려운 일이다.

분리 가능한 고리는 각 성분이 서로 얽혀있는 것처럼 보이지만,

변형을 통해 포함된 고리끼리 서로 얽히지 않는 두 그룹으로 분리할 수 있다.

분리 평면은 공간 내의 평면이 고리를 여러 개의 고리로 나누게 할 수 있다.

두 성분을 나누는 평면에 평행한 평행면을 얻을 수 있으면 분리 가능한 고리임을 알 수 있다.

거울에 비친 고리를 실제 공간 내에 있는 고리로 간주한 것을

원래 고리의 거울상이라고 부른다.

고리 다이어그램 의 교점 위아래를 모두 바꿔서 얻어진 다이어그램이

나타내는 고리는 고리의 거울상 다이어그램 이 된다.

매듭이 양손형임을 증명하기 위해서는 거울상과 같은 모양을

만들 수 있는 것을 증명해야 한다.

평면 그래프 는 평면 위에 몇 개의 점을 그리고 점들 사이를 연결하는

선을 끝점 이외에는 교차하지 않도록 그려서 얻을 수 있는 도형이다.

그래프 를 구성하는 점을 정점이라고 하고, 양 끝점을 포함한 선을 변이라 한다.

정점에서 나오는 변의 개수를 차수라고 한다.

정점의 차수는 정점을 끝점으로 하는 변의 수와 반드시 일치하지 않는다.

그래프 의 면은 평면을 여러 영역으로 분할한 영역 하나하나다.

끝없이 퍼져나가는 무한면은 단 하나 뿐이다.

연결 그래프 는 그래프상의 어느 정점에서 시작해도

변을 따라 원하는 정점까지 도달할 수 있는 그래프 이다.

비연결 그래프 는 연결 그래프 가 아닌 그래프 다.

연결 그래프 에 대해서는 오일러 공식이 성립한다.

같다라는 단어는 모호하므로, 무엇을 기준으로 같다는 것을

명확하게 약속해야 한다.

합동인 두 도형은 한 도형을 움직여 다른 도형에 꼭 맞게 겹칠 수 있다.

평면의 동위 변형은 도형을 평면이라는 형상을 유지한 채로

두 도형을 늘리거나 줄여서 변형하면서 똑같은 모양으로 만들 수 있다.

도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.

고리의 다이어그램은 평면의 동위 변형에 의해 변형이 가능하다.

동위는 두 도형의 한쪽을 동위 변형으로 변형하여,

다른 한쪽과 똑같은 모양으로 만들 수 있다.

선분은 동위 변형으로 축소할 수는 있지만 한 점으로 뭉쳐질 수는 없다.

도형의 동위 변형은 도형의 모양을 크게 변화시킨다.

도형의 합동 변형은 도형의 모양을 바꾸지 않는 변형이다.

약속은 매듭 이론을 연구하는 데 있어 사용하기 쉬운 것이어야 의미가 있다.

완전히 겹칠 수 있는 다이어그램 이나 평면의 동위 변형에 의해

서로 이동하는 다이어그램 도 같은 다이어그램 이라고 약속한다.

동위 변형은 전체를 늘리거나 줄이는 변형만을 의미하는 것은 아니다.

평면의 일부를 줄이거나 늘리는 변형도 동위 변형이다.

평면의 동위 변형에 의해 서로 이동하지 않는 것을 나타낼 수 있다.

고리의 복잡도는 다이어그램 을 사용하여 정의된다.

매듭의 복잡도를 비교하려면 가능한 한 교점이 적은

다이어그램 을 생각해야만 의미가 있다.

최소 교점수를 실현하는 다이어그램 의 교점수를

고리의 최소 교점수라고 부른다.

주어진 고리가 교점의 수가 n인 다이어그램 을 가진다면,

고리의 최소 고점수는 n 이하임을 알 수 있다.

매듭 다이어그램 이 기약 다이어그램 인지 아닌지는

다이어그램 을 보면 판단할 수 있다.

기약이 아닌 다이어그램 이 교대 다이어그램 이었다면,

기약 다이어그램 이 되도록 교점을 줄여도 교대 다이어그램 의 특성을 유지한다.

공간 내의 고리를 변형하는 것도 중요하지만,

고리의 다이어그램 을 변형하는 것이 중요하다.

동위 변형으로 이동하지 않는 다이어그램 을 관계짓기 위해서는

라이데마이스터 변형이라고 불리는 세 가지 변형이 있으면 충분하다.

라이데마이스터 변형은 동그라미로 둘러싸인 고리 다이어그램 일부를

다른 한쪽으로 대체하는 조작이다.

불변량이란 변하지 않는 양을 말한다.

불변량을 다루는 수학적 대상에 대해 생각할 때는

언제 같은 것으로 간주할 것인가를 정해야 한다.

똑같다고 간주하는 기준을 바꾸면 불변량이었던 것이

불변량이 아닐 수도 있다는 것을 알 수 있다.

고리 다이어그램 의 연결 성분수는 고리의 불변량이 아니다.

고리의 불변량은 고리의 다이어그램 에 관한 값이

평면의 동위 변형으로 변화하지 않는 것이다.

간이 고리수 등의 불변량을 구할 때는 다이어그램 을 잘 살펴보고,

줄일 수 있는 교점이 존재하는지 찾아보는 것이 좋다.

고리의 3채색 가능성은 채색된 다이어그램 이 채색 조건을 만족하고,

다이어그램의 호가 모두 같은 색으로 칠해여 있지 않아야 한다는

두 가지 조건을 만족하면서 3색으로 칠할 수 없을 때를 말한다.

3채색 가능성은 고리를 3차색 가능한 고리와 불가능한 고리의

두 그룹으로 나뉘는 불변량으로 볼 수 있다.

간이 고리수의 불변량 증명을 위해서 중요한 역할을 하는 것이

라이데마이스터 정리이다.

라이데마이스터 변형Ⅰ은 어느 한쪽의 성분에 교점을 새로 만들거나

삭제하는 조작이므로 교점수에는 영향을 주지 않는다.

라이데마이스터 변형Ⅱ에 한가지 색으로만 칠해진 호만 있다면

계산할 필요가 없는 교점이므로 간이 고리수를 바꾸지 않는다.

라이데마이스터 변형Ⅲ을 수행하면 간이 고리수가 2성분 고리의 불변량임을 알 수 있다.

교차 교환은 매듭의 다이어그램 교점의 위아래를 바꾸는 조작이다.

매듭 다이어그램은 한 번의 교차 교환으로는 자명 매듭의 다이어그램이 될 수 없다.

어떤 매듭의 다이어그램도 몇 개 교점의 위아래를 바꾸면

자명 매듭의 다이어그램을 만들 수 있다.

간이 고리수를 구하기 위해 계산하는 것은 다른 성분으로 구성된 교점만이므로,

같은 성분상의 교점의 위아래를 어떻게 바꿔도 간이 고리수의 값에는

영향을 미치지 않는다.

간이 고리수는 고리의 불변량이므로, 공간 내에서 고리를 변형한 후

다이어그램을 구해도 같은 값이 된다.

매듭은 일상 생활에 많이 사용한다.

단순한 매듭에도 수학적 원리가 담겨 있다.

'매듭 이론"에서는 매듭에 담겨진 수학적 원리를 탐구한다.

매듭에 담긴 수학적 원리를 그림을 통해 살펴보면서,

복잡한 수학 이론에 쉽게 이해할 수 있다.

자명 매듭, 슬립 매듭, 옭 매듭, 구슬 매듭, 마디 매듭, 8자 매듭,

부둣가 매듭, 맞매듭(스퀘어 매듭), 세로 매듭(그래니 매듭),

트위스트 매듭, 프라임 매듭, 보로메오 고리, 브루니안 고리

등 다양한 매듭을 소개한다.

고리의 분리 가능성 판단, 거울상의 다이어그램,

오일러 공식을 이용한 연결 증명,

동위 변형을 이용한 고리의 동일성 증명,

매듭의 최소 교점수, 고리와 다이어그램 의 불변량,

간이 고리수, 고리의 3채색 가능성, 간이 고리수의 불변성 증명

등 매듭과 고리에 대한 다양한 수학 이론을 학습하면서,

단순한 매듭에 담겨진 수학적 의미를 이해하고,

수학을 다양한 매듭에 적용하는 방법을 이해하면서,

수학적 사고를 확장하게 된다.

매듭은 복잡한 구조의 메커니즘 을 구현할 수 있다.

매듭의 기하학적 특성을 이용한 패턴 과 디자인을 만들고,

새로운 물질과 구조를 개발할 수 있다.

매듭의 원리는 수학적 이론에 그치는 것이 아니라,

세상을 바꿀 엄청난 잠재력이 있다.

'매듭 이론"은 매듭과 고리를 그림을 통해 분석하면서,

다양한 수학 이론과 연결하면서 수학적 의미를 이해하고,

다양한 연습문제를 통해 증명한다.

수학이 매듭에 적용되는 과정을 이해하게 되면서,

수학적 사고를 가지고, 수학에 대한 흥미를 갖게 한다.

'매듭 이론"은 매듭과 수학의 관계를 학습하면서,

복잡한 수학 이론을 직관적으로 이해할 수 있으며,

창의적 사고력을 키울 수 있도록 돕는다.

성안당 과 컬처블룸 서평단에서 "매듭 이론"을 증정해주셨다.

감사드린다.

#매듭이론 #성안당 #서평 #신조레이코 #新庄玲子 #다나카코코로 #田中心

#권기태 #서평 #컬처블룸 #컬처블룸서평단

우리는 일상에서 바느질을 할 때나 운동화 끈을 묶을 때, 선물을 포장할 때, 장식의 목적 등으로 매듭이란 걸 사용하죠. 그런데 이 매듭이 학문적 영역에서도 사용되고 있는 것을 아시나요?

위상수학의 한 분야로 매듭 이론이란 것이 있는데, 바로 이 이론이 일상생활의 매듭에서 영감을 받아 시작되었다고 합니다.

19세기 말 물리학자 윌리엄 톰슨(켈빈 경)은 우주를 구성하는 원자가 일종의 매듭 모양의 에테르 소용돌이 일 수 있다고 생각했어요. 그래서 그는 '서로 다른 매듭 형태의 소용돌이는 서로 다른 원자 종류'라는 물리학적 가설을 세웠대요. 이 가설에 따라 피터 거스리 테이트 같은 과학자들이 실제 매듭을 그려가며 '매듭 분류표'를 만들었다고 해요.

그런데 20세기 초 양자이론이 등장하며 원자구조 이론이 바뀌게 됩니다. 당연히 매듭 모형은 폐기되었지요. 하지만 수학자들이 남은 '매듭 분류법'에 흥미를 가지며 매듭 이론은 순수 수학의 위상수학 분야로 전환되었다고 합니다.

그렇다면 여기서 짚고 넘어가야 할 부분!!

일상생활에서의 매듭과 매듭 이론의 매듭은 같은 것일까요?

결론을 말하자면 둘은 비슷하지만 같지는 않습니다.

일상에서의 매듭과 매듭 이론에서의 매듭은 '매듭'이라는 개념의 출발점은 같지만 목적과 다루는 방식이 완전히 다릅니다. 가장 주요한 차이점은 일상생활에서의 매듭은 끈의 양 끝이 열려 있지만, 매듭 이론에서의 매듭은 끈의 양 끝이 붙어 있어 풀리지 않는 고리가 서로 얽혀 있는 형태입니다. 그리고 일상생활에서의 매듭은 '묶음'이라는 물리적 행위에 초점을 둔 반면, 수학에서의 매듭은 '형태와 변형의 성질'에 초점을 두고 있어요.

그렇다면 우리는 왜 매듭 이론을 공부하고 알아야 할까요?

그것은 매듭 이론이 수학의 한 분야라는 것을 넘어 현실 세계의 복잡한 구조와 현상을 분석하는 데 필수적인 도구이기 때문입니다.

세상에는 끈, 선, 고리로 이루어진 구조가 아주 많습니다. 예를 들면 두 가닥이 꼬여 있거나 서로 얽혀 있는 DNA, 아미노산 사슬이 접히며 복잡하게 꼬여있는 단백질, 물리적으로 엮이거나 교차되어 있는 케이블, 신경망, 선의 교차와 연결 구조가 중요한 그래픽 모델링 등이 그것이죠. 우리는 이런 모든 얽힘을 매듭 이론을 이용하여 수학적으로 다루어 현실에 응용할 수 있어요.

이런 이유가 아니더라도 매듭 이론을 통해 복잡한 공식이 아닌 실제 끈이 얽힌 모습을 눈으로 보고 사고할 수 있어 수학적 직관과 시각적 사고력을 동시에 키울 수 있다는 이유만으로도 매듭 이론을 경험해야 할 이유가 충분하지 않을까요?

이에 저자는 일반인들도 매듭 이론에 쉽게 접근하고 이해할 수 있게 하고자 이 책을 저술했다고 합니다.

이 책은 '그림으로 쉽게 배우는 수학'이라는 찰떡같은 제목처럼 거의 글 반 그림 반으로 구성되어 있어요. 이론적인 내용은 최대한 이해하기 쉬운 언어로 풀어쓰고, 그 내용을 바로 그림으로 보여주고 있습니다. 거기다가 읽는 이가 내용을 제대로 이해했는지 연습문제를 통해 바로 점검할 수 있도록 하고 있어요.

이 책은 복잡한 기호나 추상적 수식 없이도 끈이 어떻게 얽혀 있는지 직접 보고 쉽게 이해할 수 있게 되어 있어요. 또한 그 매듭을 종이나 실로 직접 만들어보며 실험할 수 있어 초등학생조차도 이해할 수 있도록 쉽게 되어 있어요.

하지만 불변량 같은 부분으로 가면 수학적으로 엄밀히 이해하기는 어렵겠지만 매듭 이론이 무엇을 하려는 학문인지는 직관적으로 이해할 수 있어요.

매듭 이론은 단순한 수학 공부의 효용을 넘어 사고력, 관찰력, 창의력 등을 기를 수 있는 분야입니다.

'끈'이라는 3차원적 구조를 다루다 보면 자연스럽게 시각적, 공간적 사고력이 향상돼요. 그리고 '겉보기엔 다르게 생긴 두 매듭이 같은가?' 같은 문제를 따지기 위해선 논리적 접근이 필요한데 이것은 수학뿐만 아니라 문제 해결 능력 전반에 큰 도움이 됩니다.

또한 매듭 이론의 엉킴의 구조를 분류하고 비교하다 보면 단순히 결과가 아니라 형태와 관계를 보는 관점, 즉 복잡한 문제를 구조적으로 보는 능력을 기를 수 있어요.

그 외에도 매듭 이론은 매듭의 형태와 얽힘 그 자체로 아름다워 예술적 감각을 자극하는 등 얻을 수 있는 이점이 엄청 많은 분야입니다.

매듭 이론은 단순한 수학 이론이 아닙니다. 복잡한 구조 속에서 질서를 찾는 학문이에요.

그렇기에 우리는 더 나아가 매듭 이론을 통해 복잡한 세상을 끊지 않고 관계와 연결로 이해하는 시각을 키울 수 있어요. 즉, 끈을 푸는 법이 아닌 세상을 푸는 법을 터득할 수 있는 거예요.

어떤가요? 매듭 이론의 매력에 빠져볼 준비가 되었나요?

이 책을 읽고 나면 끈 하나로 세상이 새롭게 보일 거예요.

매듭의 종류가 이렇게 많은지 몰랐고, 책의 내용을 보면 삽화와 연습문제들이 엄청 풍부해요 

수포자가 읽기에는 수학적 설명을 이해하는데는 사실 힘든게 단점이기도하지만서도 매듭을 하는 방법은 차례차례과정이 그림으로 그려져 있기 때문에 힘든거는 감안하면서  볼 수는 있을 거예요  

매듭이란 우리 실 생활에서도 찾아볼 수 있을 정도의 존재예요.

끈을 묶어서 만드는 것을 말하는데 영어로는 knot라고 불러요.

knot은 일상적으로 쓰이는 매듭이나 매듭을 묶다를 의미하는 용어로 매듭 이론은 말 그대로

매듭에 대해 배우는 학문이지만 일상에서 보는 매듭과는 다르다고 해요.

수학에서는 매듭의 양쪽 끝을 닫음으로써 그 매듭이 묶여 있는지 혹은 풀려 있는지를 판단해요.

일상에서 단순하게 끈을 묶는 게 아닌 묶은 후 양 끝을 닫고 풀렸는지 판단하는 게 수학의 매듭이에요.

다만 실제 줄이 아니라 끊어지지 않는 고무줄을 3차원 공간에 둔 것이에요.

차례를 보면 알 수 있듯이 일상에서의 매듭부터 매듭의 의미, 매듭법을 알 수 있으며

매듭과 고리, 같은 매듭, 다른 매듭

하나씩 이해하며 넘어갈 수 있다.

매듭에서 삼협 매듭, 피겨 에잇 매듭 등 매듭의 종류에도 여러 가지가 있는 걸 알 수 있다.

차례를 보면 알 수 있듯이 일상에서의 매듭부터 매듭의 의미, 매듭법을 알 수 있으며

매듭과 고리, 같은 매듭, 다른 매듭

하나씩 이해하며 넘어갈 수 있다.

매듭에서 삼협 매듭, 피겨 에잇 매듭 등 매듭의 종류에도 여러 가지가 있는 걸 알 수 있다.

책을 읽다 보면서 이러한 매듭 이론은 어디에서 사용될까 찾아보니깐

매듭 이론은 DNA 연구, 화학, 물리학, 암호학, 컴퓨터학과에서 사용을 하더라고요.

매듭이라 생각을 하면 운동화 끈 정도 일상생활의 매듭을 생각했는데

우리의 일상생활뿐만이 아니라 과학적인 곳에서도 많이 사용되는 게 재미있더라고요.

중간중간 그림이 있어서 어렵고 이해하기 어려운 부분을 조금 더 쉽게 풀어 나가는 거 같아요.

매듭에 대해서 솔직히 왜 이러한 공식이 필요하지라는 생각을 했어요.

수학이라 생각하니 더 어려워지는 거 같아요.😅😅

하지만 이것을 눈으로 보고 만질 수 있다는 게 신기하더라고요.

일상생활에서 단순하게 줄 하나로 묶고 푸는 것이 수학적으로 해석이 된다는 게 

놀라우면서도 어렵게 생각이 드네요.

더 깊이 들어가면 물론 어렵겠지만 매듭의 이론을 알 수 있는 좋은 시간이었던 거 같아요.