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생각의 매듭을 끊어서,복잡하게 서술된 문장을 기호로 나타내고, 그 기호들 사이의 규칙, 영원 불면의 법칙을 발견하는 것이 수학이라고 말해 본다. 수학이란 또 다른 많은 정의를 가질 수 있지만, 이 책을 읽은 후의 수학이란 것을 그렇게 정의하면 크게 틀리지 않을 것 같다. 어떤 수식 혹은 수학적 기호가 나타내는 뜻만 안다면 그것이 어떤 사물이건 현상이건 혹은 어떤 사람이나 시대, 장소에 가리지 않고 불변하는 진리라는 점을 상기할 때, 수학은 인간이 바벨탑을 쌓은 벌로 서로 이해하지 못하는 다른 언어를 가지고 뿔뿔이 흩어져서 살게된 '형벌'을 극복할 수 있는 수단 중 하나일 수도 있겠다. 그렇다고 해서, 언어가 서로의 생각을 공유하고, 나누고, 이해할 때 교류하는 감성, 문맥과 서사 같은 수많은 언어의 속성을 수학으로 표현가능하지는 않다. 그러나 그 역은 가능하다. 즉, 우리가 그 개념만 이해한다면, 어릴적 배운 '산수'에 가까운 어떤 임의의 수학을 언어로 바꾸는 방법은 우주의 별만큼 헤아릴 수 없이 많다. 그것이 진리이기 때문이다. 그렇기 때문에, 수학은 우리가 언어로 창조할 수 있는 수많은 다른 버전들의 감정, 서사, 표현, 이해 같은 것들 속에서 불변하는 진리만을 뽑아 내어 공통된 언어, 수식으로 표현하여 동일한 이해의 범위 내에서 작동할 수 있도록 도와준다. 즉, 수학은 생각이다. 어떤 복잡한 생각을 할 때, 논리적으로 그 생각이 맞는지 틀리는지 수학을 통해 확인하면 '뇌의 게으름'과 '뇌의 착각'에서 벗어날 수 있다. 예를 들어 아들 선호 사상이 있었던 우리나라의 모든 가족이 딸을 낳았을 때는 계속 더 자식을 낳고 이미 아들을 얻은 가족은 더이상 출산하지 않는다고 가정했을 때, 여자가 줄어들 지도 모른다는 걱정을 하는 것이 옳을까? 첫째 ●●●●●●●●○○○○○○○○ 확률은 반반. 아들을 낳은 가족 8, 딸을 낳은 가족 8 둘째 ●●●●○○○○ 딸을 낳은 가족 8만 자식을 낳았다. 이 때에도 확률은 반반 셋째 ●●○○ 넷째 ●○ 다섯째 ◐ 이렇게 따져보니, 어떻게 하든 남녀는 동일한 숫자의 비율로 태어난다는 사실을 알 수 있다. 나는 멍청하게도, (요즘은 딸을 더 선호함에도 불구하고) 아들을 낳은 친구들이 산아제한을 해버리는 경우가 많아, 아들만 많아지면 나중에 울아들이 장가도 못가면 어쩌나 했는데, 다행히 여아를 선택적으로 낙태하지만 않는다면 인구비율이 달라질 리가 없다. 그럼에도 불구하고, 울아들 세대는 여자 아이가 훨씬 모자란다. 가뜩이나 낙조의 시대에 태어나 경쟁이 치열한데 거기다가 치열한 암컷 경쟁까지.. 불쌍한 놈들. 이 책은 수학을 통해 사고의 방식을 연습하는 법을 알려준다. 다시 말해, 우리가 살아가는 세상에서 부딪치는 사소한 수많은 문제들. 이것들이 순수 언어로 표현되었을 때, 효율을 중시하는 우리의 뇌가 착각과 왜곡이라는 함정에 빠지지 전에, 순수하고 변함없는 진리를 확인시켜주는 수학적 언어를 연결시켜주는 고리를 제공한다. 수학이 위대한 건 직관보다 더 바른 답에 가까이 가기 때문이다. 위대한 철학가들도 철학적 진리를 향한 방법으로 수학을 이용한 경우가 많았고, 에셔와 같이 위대한 에술가들 역시 수학과 예술을 동일 선상에 두었다. 엄청난 기억력과 빠른 두뇌회전을 이용한 직관적 선택으로 투자자들의 이익을 결정하는 투자회사에서 젊은 인간 트레이너들 대신 수학적 이론과 과학적 분석법을 이용해 설계된 프로그램이 자동으로 거래하여 세계 최고의 수익률(연평균 38.4%)을 낸 르네상스 테크놀로지스 대표 펀드 메달리온 펀드는 수학적 사고가 인간의 직관보다 더 정확함을 보여준다. 사원은 금융, 경제, 경영 전공자들이 아닌, 수학자, 물리학자, 천문학자, 컴퓨터 공학자들이라고 하는 이 회사의 대표펀드 메달리온 펀드는 1988~1999년까지 누적 수익률이 무려 2천5백%얐디고 하니, 젠장할 돈은 다 거기서 긁어모으고 있었던 거다. 생각의 출발은 어디일까. 수학적 사고방식의 출발점은 정의, 공리, 공준이라는 개념이다. 정의는 규정이나 약속이고, 공리는 수학이 존재하기 위해 증명하거나 의심할 수 없이 그냥 받아들여야 하는 요소다. 출발한 생각을 확인하는 것은 정확하고 확실하게 생각한다는 의미다. 수학적 확인 과정은 효율을 위해 패턴대로 처리하는 우리 뇌의 사고를 보충해서 실수와 착각으로부터 벗어난 정확한 사고를, 숨겨진 진실을 발견할 수 있다. 폴리페놀이 산화되는 것을 막아주는 비타민 C를 발견한 얼베르트 센트죄르지의 경우, 바나나는 시간이 지나면 색깔이 변하는데, 오렌지는 색깔이 변하지 않는다는 사실에 주목했다. 최초의 생각. 최초의 질문, 이 질문을 통해 식물에 들어있는 폴리페놀이 산소와 반응하면 갈변현상이 일어난다는 사실을 알아내고, 이것을 막아주는 비타민 C의 발견에까지 이어졌다. 이 발견은 결국 겉이 상했을 때 색이 변하는지 아닌지에 따라 비타민 C의 함유량을 알 수 있게 한다. 논리적 사고가 수학적 사고다. 생각의 발전은 발견을 낳는다 이렇게 우리의 생각은 질문을 만들고 그에 대한 답을 찾는 과정으로 더욱 심화된다. 의심할 수 없는 생각의 기초를 쌓고, 그 토대 위에 합리적인 생각을 만들어가는 것은 매우 효과적인 사고 과정이다(23). 설명할 수 없어도 마음 속에 소중하게 생각하는 것들, 그것이 공리일까. 그 공리는 옳은 것일까. 그 공리는 세상에 불변하는 진리일까. 유리수가 전부인 줄 알았던 피타고라스의 세계에 그 제자가 발견한 √2 는, 자신이 생각하던 세상을 무너뜨리는 존재였다. 결국 제자를 죽이고 √2의 존재를 비밀로 함으로써, 언젠가 드러날 진실의 모습에 역사적으로 영원히 빛날 스스로의 이름에 구정물을 칠한 그의 선택이 우리에게 시사하는 바는 크다. 우리는 항상 자신이 가진 고정관념을 강화하는 방향으로 모든 것을 해석하려는 경향이 있다. 이것이 옳은가, 이것이 불변하는 진리인가를 생각하는 데 있어 수학적 사고라는 생각의 틀은 특히 도움이 된다. 이 책은 퀴즈 형식의 문제 풀기 방법을 통해, 일상을 수학적으로 해석하고, 답을 찾는 방법을 훈련시킴으로써, 생각의 푝을 키워주는 데 도움이 될 것이다. |
수학을 내가 한 번도 생각해 보지 못했던 방식으로 접근한다는 것부터 신선하고 흥미롭게 다가오는 책 '수학 생각의 기술'... 솔직히 학창시절 가장 버겁게 생각하고 공부했던 과목이 수학이다. 수학에 약하다보니 자연스럽게 수학에 흥미가 떨어지고 성적 또한 겨우 턱걸이 수준에서 벗어나지 못했다. 학창시절에는 사회, 일반적인 생활에서 수학이 얼마나 쓰며 지낼까 하는 의문을 가졌던 적이 있었다. 허나 시간이 흐르면서 다양하게 수학이 우리 생활에 활용되고 있음을 종종 느끼게 된다. '수학 생각의 기술'은 어렵게 느끼는 수학이 아니라 사고력을 키우는데 수학이 무척 중요하며 다양한 사례와 문제들을 통해 어떤 식으로 사고력을 키워주는지 쉽게 느낄 수 있도록 이끌어 준다.
평범한 사람들이 건네는 정답을 나 역시 생각했는데 이런 오류는 상식의 틀에 갇혀 있기 때문이라고 한다. 기본적으로 생각하는 적은 수의 사람을 이용하여 해답을 찾지만 우리가 놓치는 포인트는 시간이 많이 걸리는 숫자를 동시에 건너가는 것이라고 한다. 이 부분에서 답을 보고서야 아 맞다는 말을 하게 되는 새로운 방식을 통해 문제풀이에 미숙하기 때문이다. 이런 문제들을 통해 좀 더 넓은 사고력을 키울 수 있음을 알려준다.
학창시절의 나도 수포자였고 내 주변에서 수학을 포기한 친구들도 많았고 지금 자라나는 학생들 중에서도 수학을 포기했다는 말을 종종하는 아이들을 어렵지 않게 보게 된다. 그만큼 수학은 어렵게만 느끼게 되는 면이 강하다. 우리나라 교육 현실이 좋은 성적을 받아 좋은 대학을 향한 수단으로 수학을 배우다보니 아무래도 수학에서 즐거움을 발견하기 어렵기 때문이다. 즐거움을 동반하지 않은 공부는 어느 순간 버거움을 느끼게 되기 쉽다. 좋은 성적을 위한 선행 학습, 복습도 중요하지만 그보다 먼저 수학을 재밌게 느낄 수 있게 이끌어주는 것이 가장 필요하다.
공부를 잘 하는 학생들을 보면 머리가 좋다는 말을 흔히 한다. 물론 맞는 말이다. 뛰어나게 IQ가 높은 학생을 빼고는 대부분의 학생의 머리는 큰 차이를 보이지 않는다. 비슷한 지적 수준을 가진 학생이 성적에서 차이를 보이는 것에는 자신의 능력을 명확하게 파악하지 못하기 때문이다. 자신에 대한 정확한 판단을 통해 주도적으로 학습을 할 수 있다면 좋은 성적이 따라올 것이고 그러면 당연히 성공적인 삶을 살아갈 수 있을 것이다. 자신을 객관적으로 바라보는 시간이 필요하다는 글에 새삼 공감하게 된다. 수학이야기를 풀어가는 방식 속에 우리에게 익히 알려진 미술 작품들이 많이 등장하는 것은 물론이고 유명인의 삶의 사례까지 담겨 있어 지루하지 않게 읽을 수 있다. 빌 게이츠의 결혼과 관련된 이야기는 상호작용의 힘을 생각하는 유머로 넘기기에는 일반인들은 생각하기 쉽지 않은 이야기 방식이지만 사례로서 충분히 흥미롭다. 수학적 삭고를 키우는 이야기가 딱딱함 보다는 재미와 흥미를 느끼게 담겨져 있어 수학에 관심이 있지만 어려움을 겪는 사람이라도 수학을 친숙하게 느끼며 수학적 사고를 키울 수 있다. 책을 읽는다고 금세 수학적 사고가 생기지는 않겠지만 다양한 문제들을 들여다보면서 수학적 사고를 키우는 노력을 한다면 충분히 도움이 될 거란 생각이 들며 수학에 어려움을 느끼는 아들과 조카에게 이 책을 읽어보게 할 생각이다.
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수학이라고 하면 딱딱하고 어려운 숫자들만 즐비하게 나오는 공식이 떠오른다. 그런데 정말 수학을 좋아하는 사람들의 이야기를 들어보면 다양한 생각의 폭을 넓힐 수 있고, 내가 생각했던 대로 풀어서 나온 답을 보면 그것만큼 뿌듯한 일도 없다고 한다. 나도 어렵게 외우는 것보다는 논리적으로 풀어서 해결하는 수학을 좋아하는 편이기는 하지만, 그래도 수학이라는 학문은 그리 쉽게 다가가기는 어렵다. 그런데 학교에서만 어렵게 배웠던 수학을 실생활에서도 유용하게 써먹을 수가 있다는 새로운 개념의 책이 나왔다. 단순히 문제만 풀고 끝나는 것이 아니라 어떻게 해서 그런 생각을 하게 되었는지, 복잡해보이는 문제도 쉽게 풀 수 있는 요령을 알려준다.
그 책은 바로 '수학, 생각의 기술'이라는 책인데, 생각보다 다양한 수학적 사고방식이 나와있어서 사실 조금 놀랐다. 중고등학교 때 배웠던 수학은 도대체 어디에 써먹는 것인지도 알 수 없도록 그냥 공식과 규칙들만 잔뜩 나열되어 있었는데 이 책을 읽고나니 그런 공식들도 다 쓸모가 있다는 사실을 새삼스레 알게 되었다. 단순히 문제를 푸는 것이 중요한 것이 아니고 일상 생활에서 좀 더 논리적이고 합리적인 생각을 할 수 있도록 도와주는 도구가 바로 수학적 사고이다. 그래서 수학을 잘 하는 친구들을 보면 상당히 논리적인 주장을 펼치는데도 강하다. 아마 끊임없이 관찰하고 생각하는 습관이 길러져 있기 때문에 나오는 특성이 아닐까 싶다.
수학은 일상생활에서 미처 해결하지 못할 것 같은 문제들을 해결하는데 실마리를 제공한다. 어렵게 보이는 문제도 가만히 들여다보면 패턴이 보이고, 전혀 답이 없을 것 같은 문제도 답이 있느냐 없느냐 하는 사실도 밝혀낼 수 있다. TVN에서 하는 프로그램 중에 '더 지니어스'라는 프로그램이 있는데, 거기에 나오는 게임들을 보면 이 책에 나오는 수학적인 사고를 요하는 문제들이 상당히 많이 나온다. 우연인 것처럼 보여도 확률이 가미된 문제도 있고, 패턴을 찾아야 하는 문제들도 있어서 단순히 교과서에 나온 수학 문제를 푸는 수준을 넘어 생각의 방법을 새롭게 뒤집어 볼 수 있는 문제들이 많아서 흥미롭다. 수학이라고 하면 그냥 딱딱하고 진짜 공부를 할 사람들에게만 필요한 학문이라고 보면 안된다. 수학은 오래전부터 일상 생활 속에서 좀 더 편리한 생각을 할 수 있도록 도와주는 도구일 따름이다. 수학을 기피하던 사람이라면 이 책을 통해 수학에 대한 새로운 시각을 갖고 좀 더 폭넓은 사고를 하는 계기가 되길 바란다. |
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수학! 이렇게 써먹어라 수학,생각의 기술 김영사 박종하 지음
막연한 수학공부에 대하여 관점의 차이를 만나게 해준 책이라고 말하고 싶다. 우리는 기존에 문제풀이에 대한 강한 압박을 가지고 수학이라는 것을 접했다. 우리일상에서 그리고 우리가 사고하는 방식의 패턴을 바꾸게 해주는 수학의 다른 모습들을 만나보게 된다. 늘 머리좋고 아이큐가 높은 사람들의 점유물처럼보였던 학문중 하나였다. 그러나 누구나 쉽게 풀고 방식의 차이를 두고 풀어갈 수 있다는 것도 알 수 있을 것이다. 생각을 가지고 풀었던 수학인데 이론과 암기 문제풀이의 기능적인 모습에서 우리가 실상에서 적용하고 사용할 줄 아는 학문이라는 것을 알 수 있었다. 늘 수학이라는 과목에 대하여 편견이 있는사람이라면 한번쯤은 읽어 보길 바란다. 이런 수학이라는 것을 주제로 쓰여진 다양한 서적들을 통하여 수학이라는 것을 접해보는것도 나쁘지 않을 것이라는 생각이 든다. 늘 같은 방식을 강요하기보다는 다양한 관점을 가지고 수학에 눈을 뜨는법을 배우는 것도 행복할 것 같다.정답이 없는 인생의 문제를 풀기 위하여 우리는 수학을 배운다고 작가는 말한다. 수학은 단순 계산이나 인문학적 교양이 아닌 생각의 기술을 알려준다 우리가 배우는 학문들은 종이이 적혀있는 이론으로 글자로만 남아 있는 것이 아니라 우리가 살아가는 인생이라는 거친 세상을 살아가는 방법,어떻게 풀어가고 헤쳐가고 난관에 봉착했을때 우리가 생각할 수 있는 것들이 무엇인가 등등 지식들을 제공해주는 것이다. 작은 일부분이라도 우리는 학문이란는것에 대하여 보다더 적극적인 자세로 바라보는 시간이 될것이다. 점수로 확답을 받는것이라아니라 가능성을 가지고 우리의 능력을 키워가는 시간이라는 것을 배우는 시간이었다고 말하고 싶었다. 늘 수학이 주는 부담감에서 조금은 가까원지는 느낌으로 다가온 ＜수학,생각의 기술＞이었다.
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수학이라는 과목에 대해 어떻게 생각하세요? 생각하고 싶지 않을 정도로, 관심 없다? 수학 알아서 뭐하냐, 산수만 잘하면 됐지? 돈 계산은 계산기가 다해주는데 수학 알아서 뭐하냐? 등등 다양한 의견을 내놓으실 것 같은데요.
수학은 생각이다. 라는 견해로부터 시작된 이 책을 여러분께 소개해드리고자 해요. 이 책의 저자 분은 "수학은 즐겁고 다양한 생각의 경험이다."라고 말씀하시거든요. 어쩌면 삶을 살아가는 데 있어, 논리적인 사고가 중요하듯 수학을 생각하고 활용할 줄 알면 좀 더 넓은 세상으로의 폭넓은 사고가 확장될 수 있지 않을까? 하고 호기심이 막막 생기더라구요.
앞서 말씀드렸듯, 이 책의 저자분께선 이름을 걸고 창의력연구소 대표로 활동중이신데요. 이학박사이기도 하신 박종하 저자님은 국내 유수의 기업을 대상으로 창의력과 셀프리더십에 대한 활발한 강연을 펼치고 계신다고 해요. 그외 저서로는 ＜아프리카에서 온 암소 9마리＞, ＜틀을 깨라＞ 등이 있고, 역서로는 ＜창조적 사고의 기술＞, ＜생각을 바꾸는 생각＞, ＜두뇌력 UP 노트＞등이 있어요.
교양수학 도서로 분류되는 이 책은 수학을 생각하는 도구로 사용하는 것에 집중하고 있다는 면에서 기존의 책과는 조금 다른 지점의 생각을 제시해주고 있어요. 저 역시 학창시절, 수학을 굉장히 어렵게 느꼈던 사람이지만... 머리가 굵은 뒤로는 오히려 내가 수학을 다루는 방법을 몰랐다는 것을 인정하게 되었지요. 공부하는 방법을 몰라서 공부와 멀어진 사람들이 참 많잖아요.
우리나라 교육 시스템은 줄세우기에만 급급했지 어떻게 하면 잘할 수 있을까? 재밌게 풀어갈 수 있을까?를 제시해주는 않더라구요. 그래서 사교육의 도움을 안받을 수 없는 것 같기도 해요.
올컬러, 출판전문용어로는 내지 4도(올컬러)로 인쇄된 이 책은 이곳저곳 볼 거리도 참 많은 것 같아요.
수학책을 보는 것 같으면서도 수수께끼 책을 보는 것도 같고, 수수께끼 책을 보는 것 같으면서도 논리적인 사고를 구축할 수 있도록 돕는 책을 보는 것 같은 느낌이 들어요.
이제부턴 제가 이 책을 읽으면서 흥미롭게 읽었던 부분을 토대로 정리해보도록 할게요. 다양한 방향으로 생각한다, 챕터에서 거꾸로 생각하기의 일례로 성공을 거둔 기업의 이야기가 있어요. 장애인들의 회사로 알려져 있는 2004년 덴마크 코펜하겐에 설립된 소프트웨어 검사 업체 '스페셜리스테른'입니다. 이 회사는 50여 명의 직원 가운데 75% 이상이 자폐증 환자라고 해요. 자폐증 환자는 보통 자기 표현이나 소통 능력이 부족해 사회 활동이 어렵지만, 대신 섬세한 관찰력과 고도의 집중력을 발휘하는 특성이 있어요. 소프트웨어 버그를 찾는 일에는 그들만한 능력을 발휘하는 사람이 없다고 판단한 회사는 자폐증 환자를 고용하며 업무 성과를 향상시켜 최근 5배 이상의 경영 성과를 내고 있다고 하네요. 사회적으로는 자폐증 환자에게 일을 주는 긍정적인 역할까지 한거죠. 이는 질병을 어떻게 바라보느냐에 따라 기회로 만들 수 있음을 알려준 사례입니다. (pp.235-236)
그리고, 한 단계 위에서 관찰하다,하는 챕터에서 '24인치' 미만의 청바지만 만들면서 대중에게 '게스 청바지는 섹시한 청바지'라는 이미지를 심겨준 청바지 브랜드 게스(GUESS)에 대한 언급이 나옵니다. 여기서 중요한 건 청바지가 몸매를 만들어주지 않지만, 게스 청바지는 몸매를 살려주는 청바지로 다가갔고, 게스 청바지를 입는 여성이면 자신의 허리가 24인치 이하임을 자랑할 수 있는 기회가 되기도 했지요. 사람들의 허리 치수는 다양하기에 당연히 다양한 치수를 만들어야했지만, 게스는 이런 희소성있는 혹은 바보같은 선택으로 청바지 시장을 장악하는 기업으로 우뚝 올라셨지요. (p.297)
"얼마 전 구글 인사 담당자의 인터뷰를 본 적이 있다. 기자는 인사 담당자에게 "스펙이 좋은 사람을 먼저 뽑지 않느냐?"고 물었다. 당시 구글 인사 담당자의 대답이 너무 인상적이었다. 그는 신입 사원들의 출신 학교를 보여주며 말했다. "스펙으로 사람을 뽑는 것은 게으르게 일하는 방식입니다. 저희는 부지런하게 일합니다. 저희가 필요한 사람을 꼼꼼히 따져보고 직접 확인하며 뽑습니다." 게으르게 일하는 방식이 있고 부지런하게 일하는 방식이 있다. 마찬가지로 게으른 생각이 있고 부지런한 생각이 있다. 남과 비슷하게, 그리고 과거와 같은 방식을 고집하고 있다면 이것은 게으른 생각이다. 둘 중 하나를 포기하는 게으른 생각이 아닌 두마리 토끼를 모두 잡는 부지런한 생각을 선택하자.(p.320)
수학교양도서이지만, 왠지 모르게 자기계발서 같은 느낌도 있죠? 책 뒷면에는 수학의 본능은 생각이다/ 자기계발서보다 유용한 수학의 새로운 발견이라고 적혀 있더라구요.＜수학, 생각의 기술＞에서는 총 7개의 생각 여행을 통해 다양한 생각 실험들을 시도하고 이를 통해 얻어지는 경험을 토대로 읽다보면 자신도 모르는 사이에 수학적 생각에 익숙해지는 것 같아요.
이게 수학인가? 싶을 정도의 생각들조차 수학적 생각이라는 걸 알게되는 순간, 수학이 결코 저 멀리의 누군가만 추구하는 먼 학문이 아니라는 걸 깨닫게 되죠. 확인하고, 개념을 만들고, 서로 연결하고, 그 안에서 패턴을 찾아, 방향을 바꾸면 지금까지와는 다른 차원에서의 생각이 가능해지고, 결국 기존의 프레임에 갇히지 않은 미지의 대상에 도달하게 됩니다.
기억해두세요! 일곱가지 생각.
생각을 확인한다. Why thinking 개념을 생각한다. What thinking 생각을 연결한다. Dual thinking 패턴을 생각한다. Pattern thinking 다양한 방향으로 생각한다. Indirect thinking 한 단계 위에서 생각한다. Meta thinking 미지의 것을 생각한다. Paradox thinking
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대세 아이돌 중 하나인 EXID 하니가 주간 아이돌에서 멘사 문제를 가볍게 풀며, 뇌가 섹시한 여자, 뇌.섹.녀라는 타이틀을 공고히 했다.
여기서 나오는 뇌섹녀 문제 혹은 다른 예능에서 나오는 이런 문제는 도대체 어디서 나올까. 이런 문제는 실리콘 밸리 IT 회사나 월스트리트 투자은행의 단골 인터뷰 질문 중 하나다. ‘니 아버지 뭐하시노’ ‘건달입니더’ 이런 식의 면접과는 다르다. 진짜냐고? 물론. 예를 들어, 3,599는 소수인가? 혹은, 바닥에 있는 거미의 좌표를 알려주고, 천장에 있는 파리의 좌표를 알려준다. 그리고 이런 질문을 한다. 거미가 파리에 가서 닿을 수 있는 가장 짧은 거리를 계산해보세요. 우리나라 면접도 이런 형태로 바뀐다면 취준생들은 어떻게 준비해야 할까? 좀 더 근본적인 질문은 ‘당췌 이런 문제들의 출처는 어디람?’ ‘어떤 머리 좋은 양반이 사람들에게 편두통을 질문으로 발현시키는 방법을 찾은 거지?’ 책을 통해서 처음 알았다. 이런 문제는 대부분 마틴 가드너와 같은 대중 수학자들이 연구하는 레크리에이션 수학에서 나왔단다. 마틴 가드너는 미국의 과학 잡지인 사이언티픽 아메리칸에서 수학게임이라는 코너를 맡아 25년간 이런 식의 문제를 소개했다. 25년 치 문제를 다 외우면 월스트리트, 실리콘 밸리의 깜짝 면접을 풀 수 있으리. 실제 월스트리트를 입성한 한국인의 전설 같은 면접 후기를 들은 적 있다. 사람은 면접관들이 이런 문제를 낼 때마다 문제의 유래에서부터 수학적 배경 지식과 문제 풀이까지 완벽하게 강의하듯 설명하여 당당히 합격했다는 전설 같은 얘기도 있다. 금융이 숫자와 관련이 깊다지만, 이런 문제는 면접자의 생각하는 기술을 테스트하는 의미도 있다. 이 책은 이런 문제들을 소개하며 수학이 어떻게 생각하는 기술에 도움이 될지 소개한다. 전체적으로 수학 얘기 외에도 비즈니스에서 있던 기발한 발상 전환 사례도 소개한다. . . . . . . . 책은 총 8장으로 되어있으며, . Part 0 수학은 생각이다 Part 1 생각을 확인한다 Part 2 개념을 생각한다 Part 3 생각을 연결한다 Part 4 다양한 방향으로 생각한다 Part 5 패턴을 생각한다 Part 6 한 단계 위에서 생각한다 Part 7 미지의 것을 생각한다 . 각 장에는 ‘레크레이션 수학 문제’ 그리고 관련 테마에 적정한 수학관련 에피소드가 나열되어 있다. 예를 들어, 실제 문제를 소개하고, 수학과 관련된 에피소드를 요소요소에 배치한다. .
. . . . . . . 책에서 나오는 ‘생각 실험’, 다른 말로 오락 수학 퀴즈는 TV나 잡지에 소위 멘사 문제라는 둥, 천재들이 2분 안에 풀었다는 문제라는 퀴즈 등으로 나온다. 답을 알면 2분은커녕 3초 만에 대답할 수 있을 것이다. 우연히 어떤 자리에 이 책에 나왔던 문제를 접할 때, 멋지게 풀고 뇌섹남, 뇌섹녀 소리 묵직하게 한 번 들어 보시길. 혹은, 실리콘 밸리나 월스트리트 면접에 영감을 받은 면접관들이 이런 문제를 내면 당당하게 답하고 나오도록. |
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케이블 방송 tvN에서 방영 중인 프로그램 중에 ＜문제적 남자＞란 예능 프로그램이 있다. 프로그램 진행을 맡은 MC와 더불어 몇몇의 연예인이 패널로 참여해 수학적 사고력을 요하는 문제들을 푸는 프로그램이다. 쉽게는 난센스 문제부터 고난도의 사고 능력을 필요로 하는 문제들이 나온다. 방송에서 나오는 문제들을 가만히 살펴보면 사실 어렵지 않게 풀 수 있는 문제들이 많다. 즉, 정답을 알고 나면 의외로 간단하다는 얘기다. 그러나 정작 문제만 딱 놓고 보면 알쏭달쏭하다. 그 이유가 멀까. 초등교육을 시작으로 대학교육까지 우리는 많은 시간을 수학이라는 교과목을 공부한다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 2차 방정식, 미분, 적분 등. 지금 생각하면 기억의 저편으로 흘러간 수학 공식들이 즐비하다. 오랜 시간 동안 배운 수학인데 왜 앞서 말한 간단한 문제들을 풀지 못할까. 그 이유는 우리가 수학을 입시 위주의 공부로서만 여겨왔기 때문이다. 그렇기에 우리가 배운 수학들은 사실 실생활에서는 전혀 사용할 수 없는 장롱면허와 다름없다. 하지만, 작금의 시대는 어느 때보다 수학적 사고력이 중요시되는 사회가 도래했다. 모든 분야에 인문학의 중요성이 높아감에 따라 더더욱 융합적 사고력을 필요로 하고 있으며 그에 맞는 인재들이야말로 미래를 선도할 수 있는 사람들로 여겨지고 있다. 수학적 사고란 무엇일까. 수학적 사고라는 말 때문인지 우리가 알고 있는 수학과 연관 지어 생각할지 모르겠다. 하지만, 사실 우리가 배워왔던 수학과는 거리가 멀다. 앞서 얘기했던 예능프로그램에서 나오는 문제들을 자세히 살펴보면 수학 지식을 통해 문제를 해결하기보단 생각을 틀을 달리함에 따라 문제의 답을 찾을 수 있는 경우가 대부분이다. 즉, 지식보다는 생각의 힘을 발휘해야 함을 의미한다. 이러한 생각의 힘을 개발하고 키우는데 있어 수학만큼 적합한 도구가 없다. 책에서 논하는 수학적 생각의 기술에 앞서 소개되는 테스트용 문제들이 바로 그것들이라 할 수 있다. 저자는 이 책을 통해 지금껏 우리가 해오던 생각을 틀에서 벗어날 수 있는 7가지 기법을 소개한다. 어떻게 하면 좀 더 creative 한 생각을 할 수 있을 것인가에 대해서 말이다. 그 7가지 기법은 다음과 같다. 1. 생각을 확인한다 Why thinking 2. 개념을 생각한다 What thinking 3. 생각을 연결한다 Dual thinking 4. 다양한 방향으로 생각한다 Indirect thinking 5. 패턴을 생각한다 Pattern thinking 6. 한 단계 위에서 생각한다 Meta thinking 7. 미지의 것을 생각한다 Paradox thinking 각 단계별 thinking 기법에 대해 간략히 설명한다면 이렇다. 첫 번째, 어떤 문제에 대한 자신의 생각을 확인하는 단계를 거쳐 오류가 없는지를 검증한다. 두 번째, 그다음 문제의 대상에 대해 '무엇을 어떻게'라는 명제를 통해 자신만의 개념의 정의한다. 대상에 대한 올바른 정의가 이루어진 후에라야 새로운 개념 또한 정립될 수 있다. 세 번째, 앞서 정의한 대상에 대한 다양한 생각들을 연결하는 과정이다. 네 번째, 순서를 바꾸거나 뒤집어서 접근한다거나 하는 관점을 달리하여 접근한다. 다섯 번째, 지금까지의 다양한 생각들에서 일정한 패턴을 찾아내는 과정이다. 패턴이란 문제 해결의 포인트라고 할 수 있다. 여섯 번째, 메타 인지라는 개념을 통해 지금까지의 모든 문제를 한 단계 상위에서 전체를 바라보는 과정이다. 마지막 일곱 번째, 불가능, 답이 될 수 없는 것 즉, 패러독스에 대한 고정관념을 틀을 깨고 새로운 것을 추구하는 과정이다. 하루아침에 수학적 사고 능력을 갖추기란 그리 쉬운 일은 아닐 듯하다. 그러나 결코 정복할 수 없는 난공불락의 성이라고 할 수도 없을 듯하다. 수학을 잘하는 사람들을 보면 정말 대단하다는 생각을 많이 하게 되는데 이제는 우리가 수학적 사고 능력을 키워 그 부러움의 대상이 될 수도 있다. 앞서 얘기했듯이 고난도의 수학적 지식을 필요로 하는 것이 아닌 생각의 힘을 키우는 것이기에 누구나 가능한 일이기 때문이다. 이제는 유수의 기업들과 더불어 여러 기업의 입사 면접에 수학적 사고력을 요하는 질문은 단골 메뉴로 등장한다. 그만큼 이제는 천편일률적인 사고보다 다양한 분야에 열린 사고력을 갖고 있는 인재들을 원하는 추세다. 또한, 앞으로 미래 사회는 바로 그 생각의 힘을 갖고 있는 사람들에 의해 변화되어 갈 것임에 틀림없다. 이 책이 미래 지향적인 또는 창의적인 생각의 힘을 기를 수 있게 도움을 줄 것이라 생각한다. |
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저는 어릴적 그러니깐 중학교에 들어가서 수학을 아주 좋아했어요. 수학선생님이 재미는 없었지만 그래도 쉽게 가르쳐주시면서 흥미롭게 나름의 우스운 이야기거리로 담아 설명해주시고 너무 깔끔하셔서 노트필기와 다이어리 정리하는데 많은 영향을 받기도 했더랬네요.ㅎㅎ
중학교까지는 재밌던 수학이 고등학교에 가서는 에고고... 으렵다요~~~ 어려운 것도 아니고 으렵다요...
큰아이 5학년에 올라오면서? 4학년때부터였던가? 회사를 다니고 있을 때였는데 수학을 어려워 하기 시작하더니 수학얘기만 나오면 징징징.. 그때 생각되었지요. 저도 그랬지만 아이들 역시나 어렵게 접근하고 설명하면 우선 거부감부터 생겨 나중에는 어찌 할 수 없는 결과를 초래하게 되니 아이들에게 수학을 쉽게 받아들이고 거부감 없이 생각할 수 있는 것을 많이 고민하고 생각했어요.
수학교재이기 보다 수학을 재미나게 접목시킨 많은 책들로 아이들과 재미를 더하며 지금도 간간히 그런 책들을 찾아 같이 보며 웃는 시간을 갖네요.
얼마전 그런 수학에 대한 생각을 담은 책을 또하나 만났어요.
수학, 생각의 기술
수학! 이렇게 써먹어라~~~ ㅎㅎㅎㅎ 어떻게요? ㅋㅋㅋㅋ
수학의 본능은 생각이라고 하네요. 수학에 대한 생각을 열어주기 위해 목록에서 구분하고 있는 주제는 총 8가지로 구분하고 있어요. 도입부분을 수학은 생각이다로 정의하여 이야기를 풀어가고 있고 7단계의 수학적 생각을 여는 것으로 소개하고 있어요.
1. 생각을 확인한다. 2. 개념을 생각한다. 3. 생각을 연결한다. 4. 다양한 방향으로 생각한다. 5. 패턴을 생각한다. 6. 한 단계 위에서 생각한다. 7. 미지의 것을 생각한다.
수학에 대한 이해를 7단계의 생각 열면서 수학에 대한 저의 사고를 여는데 도움을 줄 것을 기대해 봅니다.ㅎㅎㅎㅎㅎ
수학이라는 것이 사람들에게 복잡하고 어려운 문제를 풀어야하는 것에서부터 오는 부담감으로 좋지 않은 인상을 갖게 되는 것은 수학의 진정한 모습이 아님을 반박하는 글로 시작되고 있어요. 수많은 교과목 중에 수학이란 문제를 풀기 위해 언어로 생각하고 풀어나가는 것이 아닌 복잡하고 까다로운 계산을 통해 수학에 대한 거부감으로 즐기지못함을 짚어 이야기로 시작하네요.
이런 수학에 대한 선입견과 가까워질 수 없는 벽을 무너뜨리기 위한 접근들어가 보내요. 위 차례에서 이야기를 풀어가는 7단계 중 첫번째는 생각을 확인하는 것으로 다른 사람의 말도 중요하지만 무엇보다 자신의 생각을 확인하는 것이 중요하며 우리가 쉽게 범하는 오류와 착각에 대한 것을 생각실험을 통해 보여주네요. 수학적 오류에 대한 접근을 생각의 접근으로 했어야 함을 하나씩 짚어주네요. 무릎을 탁탁~~~치게 하는 군요.ㅋㅋㅋ
수학을 배우는 목표중 하나인 문제 해결 능력을 키우는 것 이를 위해 주어진 문제의 개념을 생각하고 생각을 연결하여 문제를 해결해가는 것이지요.
간단한 질문하나로 문제해결의 확실한 예! 1000원짜리 지폐에 등장하는 인물은? 잠시 머뭇... 가끔 밥상앞에서 가족들과 이야기하며 지폐의 인물을 퀴즈로 이야기 나눴던 적이 있는데 아주 간단명료하게 지폐의 인물을 기억할 수 있도록 문제해결을 명확하게 해주네요.
간단한 문제? 하지만 생각이 가미되면 재미있고 간단한 문제가 될 수 있네요.
저도 수학관련된 공부를 했었더랬지만 수학이 제일 어렵고 싫었다는...ㅠㅠ 수학의 중요성은 아는데 그것이 생각의 기술을 배우는 과정이라고는 한번도 생각을 못했더랬네요. 저는 수학을 암기과목과 다르지 않게 생각했었으니깐요.
이렇게 '수학, 생각의 기술'의 도입부분은 수학적 생각 기술을 단계별로 열어가기 위해 열어주고 있네요.
첫단계의 생각을 확인한다에서는 생각을 확인하는 과정을 통해 더 좋은 생각을 만들어 갈 수 있도록 리드해 주고 생각을 확인하게끔 하네요. 생각을 확인하는 과정은 질문 왜?로 시작된다고 하네요. 어떤 문제나 현상에 대해 질문을 가지라는 것인데 우리는 질문을 갖기 전에 그냥 당연히 받아들이는 경우가 더 많은 것 같아요. 이런 무의식적으로 받아들이는 것이 없어지면 창의적인 생각에 접근하게 되는 것이라고 해요.
쓰레기통에서 쓰레기 꺼내기..ㅋㅋ 점을 선으로 연결하는 것
여러번 경험했던 것인데 생각의 틀을 깨기는 쉽지않았다는것..ㅋㅋ 한번 그림보시고 시도해 보세요!!!
오른쪽 아래의 글... 뭔가 이상한데 우리는 이를 크게 이상히 여기지 않으며 이해를 한다. 이것은? 대충대충 처리하는 우리의 뇌...
무슨 퀴즈 풀듯 재미나게 생각의 기술에 빠지게 되는 생각을 확인하게 되는 단계였네요.
두번째는 개념을 생각한다.
어떤 현상에 대해 왜?라는 질문으로 자신만의 정의를 내리는 과정으로 대상이 무엇인지 확실하게 파악하고 또 다른 모습을 상상해 보며 더 적합한 개념 창출의 계기가 마련된다고 해요.
이런 다른 상상으로의 대표적인 인물은 피카소 어릴적부터 그림그리기를 좋아하던 피카소 그림으로 모든 것을 똑같이 정확하게 그리는 것으로 만족하다 어느날 사진기가 등장하고 사진기보다 더 정확하게 사물을 표현할 수 있는 것이 없을 것으로 생각하고 그림이 무엇인지에 대한 의문으로 시작해 생각의 틀을 살짝 바꿔 사진과 다르고 평면적인 것이 아닌 입체적인 표현에 대한 도전으로 그의 작품은 신선하게 사람들의 눈에 띄게 됨을 수학의 개념 생각으로의 접근으로 풀어주고 있어요.
수학이야기만있는 것이 아니어서 더 신선하고 재미난 수학, 생각의 기술이네요.ㅎㅎ
세번째부터 다섯번째까지는 생각을 연결하고 패턴을 찾고 다양한 방향으로 접근하는 수학적 생각의 활용법을 들고 있어요. 이런 기술적 활용을 통해 문제해결을 해나가는 이야기를 하네요.
정답을 찾기위한 접근을 옳은 것을 찾아내는 과정이 아닌 아닌 것을 지우며 답을 찾는 방법도 있다는 것 생각이 앞서지않고 무조건 접근하는 것보다 제시된 문제에서의 패턴을 찾아 쉽게 접근하는 방법도 있네요. 수학이라는 생각보다는 재미난 퀴즈로 생각되어지는 생각을 연결하는 과정이 책에서 말하고자하는 단계단계의 과정인 것 같아요.
여섯 번째는 한 단계 위에서 생각하는 것으로 단순히 눈에 보이는 결론만을 생각할 것이 아닌 문제해결을 위한 함정에서 논리적으로 벗어날 수 있는 문제들도 만나네요.
이렇듯 수학에 대한 막연히 어려다는 생각이 지배적이었던 생각의 틀을 깰 수 있도록 제시된 문제를 통해 한번더 생각해보며 그동안 고정관념의 틀에서 조금은 벗어날 수 있는 시간이었네요.
제가 먼저 읽은 수학, 생각의 기술 아이들과 제시된 문제들을 천천히 접근해 봐야겠어요. 책을 통해 아이들의 수학에 대한 선입견를 조금은 깰 수 있는 수학의 본능인 생각을 자극할 수 있는 계기가 될 것 같아요.
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이 책에서 다루는 문제는 모두 레크리에이션 수학에 속한다. 이 문제들을 푸는 데에는 수학 지식이 거의 필요하지 않다. 지식보다는 생각의 힘을 발휘해야 한다. 그런 의미에서 우리가 미처 도달하지 못한 생각의 기술, 창의적 사고력을 키우는데 레크리에이션 수학만큼 적합한 도구가 없다. 우리는 이미 이 책에서 소개하는 문제를 풀기에 충분한 지식을 갖고 있다. 이제 생각의 기술이 필요할 뿐이다. 많이 경험하고 연습하면 생각의 기술을 발전시킬 수 있다. - '수학은 생각이다' 중에서
수학을 떠올리면 대부분 복잡한 계산과 많은 공식들을 연상한다. 골치가 아프고 이해되지 않는 것들을 늘여놓기에 이게 첫인상으로 굳어지는 경우가 많다. 하지만 이는 수학의 진짜 모습이 아니다. 그렇다면 뭐란 말인가? 이 책은 '수학의 진짜 모습은 생각이다'라고 말한다. 즉 영어나 컴퓨터 프로그래밍 언어처럼 수학도 생각을 주고받는 언어라는 설명이다.
저자 박종하는 고려대학교를 졸업하고 한국과학기술원(KAIST)에서 이학박사 학위를 받았다. 삼성전자 중앙연구소, 인터넷 벤처 창업을 거쳐 현대 창의력 컨설턴트로 강의와 집필 활동에 주력하고 있다. ＜생각이 나를 바꾼다＞를 출간하여 베스트셀러에 올랐고, 국내 창의력 콘텐츠 저작물로는 드물게 일본으로 출판권이 수출되었다. 현재 코리아인터넷닷컴 '박종하의 창의력에세이', 한경닷컴 '아이디어게임' 커뮤니티의 칼럼을 정기적으로 연재하고 있다.
이 책은 수학의 재미를 일깨워주는 130여 개 생각 실험과 질문, 수학으로 세상을 바꾼 사람들의 이야기를 담고 있다. 또 구글 등 실리콘밸리 유명 기업의 입사시험 문제도 수록하고 있다. 복잡하다는 선입견 때문에 아예 수학공부를 포기한 소위 '수포자'들에게 새로운 용기와 희망을 주는 교양서적이다.
"누구든지 아들을 낳은 부모는 더 이상 자식을 낳을 수 없다"
책에 실린 '생각 실험' 한 가지를 소개한다. 옛날 아라비아에 여자를 좋아하는 왕이 있었는데, 그는 되도록 많은 여자를 거느리고 싶어서 고민 끝에 위와 같은 법을 공포했다. 이렇게 하면 딸이 많은 집은 있지만, 아들이 둘 이상 있는 집은 없을 것이므로 앞으론 당연히 여자가 남자보다 많을 것이라고 생각했기 때문이다. 과연 그럴까?
이제 생각을 해보자. 예를 들어 100가구에서 아이를 낳으면 남아 50명, 여아 50명이라고 예측할 수 있다. 다시 아이를 낳을 수 있는 집은 여아를 낳은 50가구뿐이다. 이 집에서 다시 아기를 낳는다면 마찬가지로 남아 25명, 여아 25명일 것이다. 이처럼 그토록 왕이 기대했던 여자의 수는 절대로 늘어나지 않는다. 결론은 부질없는 악법인 것이다.
또 수학을 배우는 중요한 목표 중 하나는 바로 문제 해결 능력을 배양하는 것이다. 주어진 문제의 개념을 생각하고, 이를 다양한 방법으로 해결하는 것이다. 우리들 일상 곁에는 항상 수학이 함께하고 있는 셈이다. 대부분의 문제는 세 가지로 분류할 수 있다. 즉, 1단계는 단순 암기 문제, 2단계는 일정한 절차를 밟으면 답이 도출되는 문제, 3단계는 정답이 없는 문제이다. 단순 암기 문제는 이런 식이다.
질문: 1,000원짜리 지폐에 등장하는 인물은?
이런 문제는 답을 알면 해결되고 모르면 해결되지 않는다. 답을 모르면 아무리 오랫동안 생각해도, 현명한 사람도 답을 찾을 수 없다. 물론 혼란을 겪기도 한다. 대부분의 사람들은 '율곡 이이와 퇴계 이황 중 한 명인데, 누구지?'라고 고민한다. 그래서 이런 문제를 대비한 암기의 기술이 있다. 비록 엉터리 같아도 오래토록 기억할 수 있을 것이다. '율곡 이이와 그의 어머니 신사임당은 오죽헌에 살았다. 그래서 그들은 5,000원과 5만 원 지폐에 각각 등장한다. 5죽헌에 살았기 때문이다'
실리콘밸리나 월 스트리트 회사의 면접 문제는 대부분 마틴 가드너와 같은 대중 수학지들이 연구하는 레크리에이션 수학에서 나왔다. 마틴 가드너는 미국의 유명 과학 잡지 ＜사이언티픽 아메리칸＞에 '수학 게임'이라는 코너를 맡아 25년 동안 재미난 문제들을 실었다. 보통 사람들이 쉽게 이해하고 즐길 수 있는 그런 유형이었다. 우리는 이를 보통 '퍼즐'이라고 부른다. 수학, 7가지 생각의 기술
1.생각을 확인한다 Why thinking 2.개념을 생각한다 What thinking 3.생각을 연결한다 Dual thinking 4.다양한 방향으로 생각한다 Indriect thinking 5.패턴을 생각한다 Pattern thinking 6.한 단계 위에서 생각한다 Meta thinking 7.미지의 것을 생각한다 Paradox thinking 네덜란드의 판화가 에셔Escher의 ＜도마뱀＞이라는 판화 작품이다. 이 작품의 주인공인 도마뱀은 2차원의 평면에서 나와 3차원을 돌아다니다 다시 2차원의 평면으로 들어간다. 작품 속의 스케치북을 보면 서로 다른 도마뱀들이 맞물려서 2차원의 평면을 빈틈없이 덮고 있다. 일정한 모양을 반복해서 평면을 채우기란 쉬운 일이 아니다. 어쩌면 불가능한 일에 가깝다. 같은 모양의 반복으로 평면을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 삼각형, 사각형, 육각형 정도이다. 원과 같은 도형을 반복해서는 빈틈없이 평면을 채울 수 없다. 놀랍게도 에셔는 같은 모양의 도마뱀으로 평면을 빈틈없이 가득 채우고 있다. 이처럼 에셔는 같은 모양으로 평면을 빈틈없이 채우는 작품을 많이 남겼다. 이렇게 평면을 똑같은 모양으로 채워나가는 것을 테셀레이션tessellation 이라고 한다. 에셔의 작품에 영감을 받은 영국의 수학자 펜로즈Penrose는 어떤 모양이어야 평면을 채울 수 있는가에 대한 연구를 진행하기도 했다. 지금은 초등학교 수학 시간에 다각형을 배우며 테셀레이션을 다룬다. 많은 이들이 그의 작품에 관심을 갖는 이유는 그가 특이하게도 수학적 의미가 담긴 작품을 많이 남겼기 때문이다. 수학과 예술은 매우 동떨어진 분야처럼 보이기에 이렇게 전혀 달라 보이는 것을 연결하며 폭발적인 상승효과가 생긴 것이다. 이런 상승효과를 만드는 것이 바로 창의성이다. 르네 마그리트, ＜이미지의 배반＞ 이 작품엔 파이프가 그려져 있지만 그 아래에는 '이것은 파이프가 아니다'라고 쓰여 있다. 이미지가 배반한 것인지, 문장이 배반한 것인지는 몰라도 둘은 서로 충돌한다. 이는 사람들의 생각을 자극하기 위해 그림과 문장을 충돌적으로 표현했다. 비록 화가가 대상을 사실적으로 묘사했다 해도 그것은 대상의 재현일 뿐 결코 그 대상이 될 수 없다는 역설이다. 간단 그림 ㅎ하나를 보며 우리들은 많은 생각을 한다. 메타인지라는 개념이 있다. 메타는 한 단계 위의 차원을 뜻한다. 메타인지란 '자신의 인지 활동에 대한 인지', 즉 자신이 인지하는 것을 한 단계 위에서 바라보며 조절하는 것을 말한다. 내가 어떻게 생각하는지 객관적으로 바라보며 조절하는 능력이다. 학자들은 성공하고 행복한 인생을 만들어가는 데 메타인지 능력이 매우 중요하다고 말한다.
다른 사람들에게 피해를 주면서도 자신만 그 사실을 모르는 사람이 있다. 그런 사람은 가끔 누군가 자신에게 불만을 보이면, 자신은 아무 잘못이 없는데 왜 비난하느냐고 화를 낸다. 또 자신이 아주 잘하고 있다고 생각하기 때문에 변화가 필요하다는 사실을 전혀 이해하지 못한다. 이는 자신을 객관적으로 보지 못하기 때문에 생기는 현상이다. 메타인지 능력은 학습에도 결정적 영향을 준다. 네덜란드 라이덴 대학교 마르셀 베엔만 교수의 연구 결과에 따르면 I.Q가 학교 성적에 25% 정도 영향을 미치는 반면, 메타인지는 학교 성적에 40% 정도 영향을 준다고 한다. 실험 결과에 따르면, 학생이 공부를 잘하든 못하든 암기력과 계산 능력에는 큰 차이가 없었지만, 자신이 아는 것과 모르는 것을 구별하는 능력에선 큰 차이를 보였다. 즉 공부를 못하는 학생은 이를 파악하는 능력이 크게 뒤떨어졌다. 결과적으로 메타인지 능력이 높은 사람이 학습 능력도 뛰어나다는 사실을 알 수 있다. 1958년 영국의 수학자 로저 펜로즈는 영국 심리학 저널에 '불가능한 대상 - 시각적 착시의 특별한 형태'라는 용어를 처음 사용하며 다음과 같은 불가능한 삼각 막대를 사람들 앞에 내놓았다. 이 삼각 막대는 각 부분에서는 틀린 점을 발견할 수 없으나 실제로는 만들 수 없는 불가능한 도형이다. 후에 그는 다음과 같은 불가능한 계단을 제시했다. 삼각 막대와 계단 모두 뫼비우스의 띠를 연상시킨다. 다음의 석판화를 살펴보자. 이는 에셔의 ＜폭포＞라는 작품이다. 폭포에서 물이 떨어져 물레방아를 돌리며 흘러서 다시 같은 폭포에서 떨어진다. 수로를 따라 물이 흐르다가 물레방아에서 떨어지는데 원래로 돌아오게 되고 따라서 계속 물레방아를 돌릴 수 있는, 말하자면 영구기관이 된다. 이처럼 불가능한 현상이 담긴 작품임에도 많은 수학자들이 그를 매우 좋아한다. 그의 작품속에는 항상 수학적 원리가 숨어 있기 때문이다.
에셔, ＜폭포＞ 사실 이 판화는 펜로즈의 삼각 막대와 밀접한 관련이 있다. 에셔는 펜로즈와 교류하면서 상호 아이디어를 나누었다. 평소 에셔의 작품에 매료되었던 펜로즈는 그에게 수학 이야기를 들려주었고 에셔는 이를 자신의 작품으로 형상화했다. 에셔의 이 그림엔 펜로즈의 삼각 막대 3개가 연결되어 있다. 언뜻 보면 일리가 있는 것처럼 생각되지만, 분명한 모순이 있거나 잘못된 결론으로 유도하는 논증이나 생각 등을 패러독스라고 한다. 패러독스는 우리의 생각의 폭을 넓혀주고 생각의 깊이를 더 깊게 해준다. 학문에서 만나는 패러독스로 새로운 연구의 지평을 여는 경우가 자주 있다. "애매모호함을 참고 견디는 것이 현명함이다" - 로버트 스턴버그, 심리학자 패러독스는 우리의 생각의 폭을 넓혀주고 생각의 깊이를 더 깊게 해준다. 학문 분야에서는 패러독스가 새로운 연구의 지평을 여는 경우가 자주 있다. 패러독스는 직관이나 상식을 벗어나 우리를 깜짝 놀라게 하기도 하며, 때로는 그런 놀라움이 우리에게 재미를 주기도 한다. 우리의 현실은 확실하면서도 불확실하고, 논리적이면서도 비논리적인 것이 엉켜 있다. 모든 것이 합리적이고 세상이 이해할 수 있는 것으로만 채워져 있다면 재미없을 것 같다. 세상은 애매모호하다. 애매모호함을 외면하기보다는 그 속에서 새로운 지혜를 발견하고 즐겨 보자. |
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수학보다 복잡한 우리의 인생 수학, 생각의 기술
자랑하는 소리로 들릴 수도 있지만, 사실 난 중학교 때 까지는 수학과 과학 분야에 꽤 흥미가 많았다. 고등학교에 진학하면 과학을 중점적으로 하는 이과반으로 가야겠다고 생각했으니까. 중학교 3년 내내 수학이나 과학 과목의 내신 점수는 나쁘지 않았고, 난 앞으로도 잘할 수 있을 것이라고 예상했다. 그런데 중학교 때부터 안 좋아지기 시작하던 집안 형편이 중 3 정도가 되자 절정을 찍었고, 결국 나는 사교육을 끊을 수 밖에 없었다. 그래도 내신 성적 정도는 혼자서 감당할 수 있을 것이라 생각했기 때문에 큰 걱정은 하지 않았다. 시간이 흘러 중학교를 졸업하고, 고등학교에 입학하고, 또 한 학기가 지나고… 점차 난 이상한 점을 느끼기 시작했는데, 그것은 바로 수학 시간에 선생님이 하시는 말들을 알아들 을 수가 없다는 사실이었다. 어쩔 수 없이 기본 개념은 수학 교과서의 공식을 달달 외워가며 익혔지만 서술형 문제를 만난 후 부터는 어찌할 바를 몰랐다. 그리고 이과와 문과를 나누는 2학년이 되자, 난 자연스럽게 문과를 선택했고 고3이 되어서는 그 흔하디 흔하다는 ‘수포자(수학 포기자)’가 되었다. 당시 나는 잘하는 과목에 집중하기로 했기 때문에 수학이라는 '어차피 해도 안 되는' 과목에서 해방되었다는 사실에 기뻤다. 그렇게 영영 수학의 세계에는 발을 안 디딜 줄 알았건만.. 웬걸, 대학에 입학하니 전공 수업 중 하나가 경제학 관련 과목들이었다. (내 전공 국제학에서는 정치만 배울 줄 알았다.) 결국 경제학 석사 출신의 아는 오빠를 섭외하여 미적분까지 혼자 뒤늦게 공부하고 미시/거시 경제학을 겨우겨우 pass 한 것을 생각하면 아직도 아찔하다… (물론 지금은 미적분도 생각 안 난다.) 수능만 지나면 수학의 세계에서 벗어날 수 있을 것이란 나의 예상은 이렇게 보기 좋게 빗나갔다. 대학에서도 수학은 내 발목을 잡았고, 대학을 졸업하고 사회 생활을 하면서도 수학의 집합, 패턴, 함수 등은 알게 모르게 업무에 영향을 끼쳤다. 그리고 20대 중반을 넘어서 고개를 들고 주위를 둘러보니, 세상에, 우리가 사는 세상은 수학의 패턴으로 가득 차있다는 사실을 깨닫고 말았다.
나는 왜 수포자가 되어버렸나? 이후 나는 수포자가 되어버린 이유를 곰곰이 분석해보았다. ＜수학, 생각의 기술＞에서 나온 것처럼 수학이 복잡한 수식과 암기가 다가 아니라는 사실을 그때도 알았다면, 수학을 재미있는 그림으로 공부할 수 있단 사실을 알았다면, 수학은 사실 철학과 예술의 일부임을 알았다면… 인간은 지나간 시간을 후회하는 데 대부분의 시간을 써버린다고 하더니, 내가 바로 그 꼴이었다. 이런 생각의 과정을 거쳐, 수학을 향한 나의 공포심의 근원은 바로 ‘수학을 책으로 배워서’라고 결론을 내렸다. 조금 더 상세하게 말하자면, 내신 맞춤 사교육을 너무 일찍 접했다는 것이었다. 중학교 때까지는 원리는 몰라도 공식을 알면 안 풀리는 문제가 거의 없었다. 그러나 그동안 내신 점수보다 더욱 중요한 점을 놓치고 있었다는 것을 알지 못했다. 나는 서서히 ‘스스로 문제의 패턴을 찾는 능력’을 잃어버리고 만 것이었다. 학원에서 선생님이 떠먹여주는 공식 하나를 잘 받아먹으며 점차 ‘왜?’, ‘어째서?’ 라는 질문을 하지 않게 되었다. 정해진 시간에 풀어야 할 문제의 양은 많았고 그것을 다 완료하지 못하면 숙제가 늘어났기 때문에, 언제나 나는 시간에 쪼들리며 문제를 풀었다. 이러한 습관의 폐해는 결국 수능에서 다 드러났고, 그것이 아직까지 못내 아쉬움으로 남는다.
수학은 생각의 기술
이 책의 제목이 ＜수학, 생각의 기술＞이라는 점은 독자들에게 많은 것을 시사한다. 일단 나와 같이 수학에 대해 막연한 두려움이나 거부감을 가지고 있던 사람들이라면, 이 책이 그 생각부터 깨줄 것이다. 창의력 컨설턴트이자 박종하창의력연구소 대표인 저자 박종하님은 이 책 전반을 통해 ‘수학’을 이용하여 ‘어떤’ 생각을 ‘어떻게’ 하면 좋을지를 7파트로 나누어 제시한다. 프롤로그와 첫번째 파트에서는 수학의 개념을 재정립하고, 두번째 파트부터 일곱번째 파트까지 개념을 생각하는 법, 생각을 연결하는 법, 다양하게 생각하는 법, 패턴을 찾는 법, 메타 씽킹 (Meta Thinking) 하는 법, 모순을 생각하는 법을 소개한다. 그러나 여기에서 그친다면 여타 다른 퍼즐 찾기 책과 다를 바가 없었을 것이다. 저자는 이 부분에서 더 나아가서 수학적인 생각을 실생활에 적용하는 법까지 보여준다. 수학의 패턴을 잘 이용하면 입사 면접에서 창의적인 답을 내놓을 수도 있고, 비즈니스 활동 중 타기업과 차별화 되는 마케팅 포인트를 정립할 수도 있다. 뿐만 아니라 타인과의 커뮤니케이션 스킬을 익힐 수도 있고, 심지어 인생은 왜 늘 혼란스럽기만 한 것인지와 같은 철학적인 질문에 대한 힌트를 얻기도 한다.
수학 문제에 도전하고 수학식 사고를 훈련하면 인생의 모든 것을 다 알 수는 없지만 적어도 그 일부는 볼 수 있다. 수학보다 더 복잡하고 모순적인 인생을 살아가는 사람아닌가? 이쯤 되면 수학이 당신을 조금 힘들게 하더라도, 바로 포기하기 보단 붙들고 실험하며 답을 찾을 가치가 있는 학문임을 인정할 수 밖에 없다. 무엇이든 지나치게 겁먹지만 않는다면 해볼 만 한 것이 되나보다. 수학 바보에 가까운 일반 독자들을 배려한 저자의 친절한 설명과 재미있는 사진을 따라가다 보면 어느새 수학과 꽤 친해진 자신을 발견할 수 있을 것이다. 가끔 저자가 문제의 풀이를 설명하며 ‘이 정도는 초등학생도 다 풀 수 있는 문제다.’라고 한 부분에서 남몰래 조금 좌절할 수도 있지만 말이다. *책 속 한 문장 ＜인간의 존재론적 슬픔＞
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