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사실 따지고 보면, 우리의 비수학적 앎의 근간에는 수학적 사고가, 혹은 수학적 사고로부터 기초된 사실들이 기둥처럼 대들보처럼 기반을 이루고 있다. 내가 얼만큼 살 수 있을까 하는 것, 나와 같은 동류의 사람들을 인식하는 방법, 평균과 그 이상 이하의 수많은 통계치에서 자신을 자각하는 것 역시 통계학적 기반의 어떤 앎들이 직관적인 방법으로 앎과 앎사이의 틈바구니 사이를 메우고 있기 때문이다. 그러나 때로 통계학적 표현이, 우리의 앎을 더 혼란스럽게 할 때가 있다. 예를 들어 분명 누구나 체감하고 있는 불경기이고 누구나 소득이 줄고 있음에도 어떤 신문에는 모든 계층에서 소득이 올랐다고 주장할 때가 있다. 길 가는 사람 100명을 붙잡고 물어봐도 80명은 소득이 줄고 못살고 있다고 느끼는데, 모든 계층에서 소득이 올랐다는 것에는 무슨 트릭이 있는 걸까.
불경기에 모든 계층의 사람들이 20%씩 소득이 감소하면, 고소득자 중에서 상대적으로 소득이 적었던 사람이 저소득자 계층으로 이동하고, 그리하여 고소득자, 저소득자 모두 소득이 증가했다는 교묘한 평균치를 얻을 수 있다. 이것은 무능한 정치를 선전하기 위한 계략에 동원될 수 있을 것이다. 물론 우리가 모두 다 바보여서 그러면 고소득자가 줄고 저소득자가 늘었다는 사실을 간과하지 않을 때에 가능한 일이다. 우리는 모두 바보가 되어가고 있으므로 때로 통계가 어떻게 거짓말을 하는지를 알아두는 일이 필요하다.
이렇게 직관을 배반하는 데이터들을 잘 들여다보면, 뭔가 구멍이 있다. 미국인과 유학생 평균 영어 성적이 모두 올랐지만 전체 평균은 내려가는 경우의 예도 나와있는데, 마찬가지로 성적이 좋지 않은 집단인 유학생 수가 늘어났다는 사실을 간과할때 이러한 모순적 데이터는 마술처럼 사람들을 어리둥절한하게 만들 수 있다. 정치적 목적에 유용하게 적용할 수 있는 미국의 플로리다 주에서 실제 있었던 데이터를 보자. 2002년 살인 사건 재판에서 흑인의 사형판결은 백인의 사형 판결보다 낮았다. 이것은 명백한 역차별로 흑인보다 백인이 사형판결을 받는 비율이 높다는 뜻일까? 그럴리가. 때로 견고한 직관은 의심을 확인하게 만들므로 자세히 볼 필요가 있다. 피해자의 인종도 함께 비교해봤을 때 백인이 피고이고 흑인이 피해자인 경우 사형판결을 받은 케이스는 없고, 반대로 피고가 흑인이고 피해자가 백인일 경우에는 사형 판결 비율이 22.9%로 최고치로 달했다. 그렇다, 이럴 때의 직관은 데이터만큼 사람을 배반하지 않는다. 백인이 흑인을 살해하면 사형 판결을 받지 않지만, 흑인이 백인을 살해하면 매우 높은 비율로 사형판결을 받는다는 역시나 하는 현실을 발견할 수 있다.
역함수 그래프를 이중로그 그래프로 변환하여 이메일매거진 발행부스와 시장순위의 관계를 보여주는데, 쉽게 말해 빈익빈 부익부 현상을 설명하는 지프의 법칙이 수학적으로 어떻게 설명되는지를 간략하게 소개한다. 지프의 법칙은 우리 주변에 널리고 널렸다. 도시의 인구 순위와 상품의 점유율 등이 이중 로그 그래프로 표현가능하다. 벤포드 법칙은 가장 큰 자리에 있는 수가 1일 때 매우 많은 현상을 말하는데, 이 원리에 의하면 분식 회계를 적발해낼 수 있다. 이처럼 탈세를 알아내는 데도 쓰이는 통계학은 사주역학에서도 통계를 이용한다고 이야기하는데, 이를 위해 나와 같은 날에 태어날 확률을 계산하는 방법도 구체적으로 설명된다.
오늘날은 생일 뿐만 아니라 생체 인식 시스템이 널리 쓰인다. 이 때 정밀도를 너무 높이면 본인 거부 오류가 늘어난다. 그러므로 기술적인 문제보다도 통계적인 부분에서 나와 다른 사람과 같을 확률을 계산할 필요가 있다. 예를 들어 10,000명의 생체인식 자료가 등록된 데이터베이스에서 서로 다른 두 사람을 같다고 인식할 위험률이 100만분의 1밖에 되지 않는다고 하더라도 전체에서 다른 사람을 같은 사람이라고 판정활 확률이 50%를 넘게 되는 것은 몇명이 데이터베이스에 저장될 때부터인가를 계산하여 시뮬레이션해볼 수 있다. 문제는 DNA 감정과 같이 예민한 데이터인데, 범죄자 DNA를 조사할 때 모든 염기서열을 조사하는 것이 아니기에 같은 사람이라고 판정되는 쌍이 생길 확률이 50%를 넘게 되는 사람의 수를 계산하면 몇 명 선에서 그 조사가 실효성이 있는 것인지를 판단할 수 있다. 2010년 일본 경찰 백서에 따르면 STR 형이라는 검사법에 의하면 동일한 DNA 형이 출현하는 빈도가 4.7조분의 1이다. 한 논문에 의하면 지구 전체 또는 일본 전체에서 같은 쌍이 존재하지 않을 확률은 아주 작아 거의 0으로 여겨질 수 있음이 지적되고 있다. 여기서 계산한 결과 다른 사람을 같은 사람이라고 판정되는 확률이 생길 확률이 50%가 넘게 되는 사람의 수는 256만명으로 거의 오사카 시의 인구와 비슷하게 되는 것이다.
＜수학 사고력을 키우는 20가지 이야기＞는 일상에서 접하는 이야기 속에 들어 있는 수학적 원리들을 설명해준다. 매우 쉽게 이야기를 풀어서 제시하지만, 공식과 수학적인 원리를 생략하지 않고 직접 부딪힌다. 물론 수학적 원리 부분을 생략해서 이야기만 읽어도 저자가 이야기하려는 본질적 개념은 이해할 수 있다. 백그라운드의 논리를 제대로 이해하기 위해서는 한 문장 한 문장 공들여 읽으면서 이해해서 납득해야 하는데, 머리가 굳어져서 쉽지만은 않다. 머리가 굳어진 성인을 위해서, 제시된 결론만으로도 받아들이는 습관이 있는 성인에게 생각하는 방법에 대한 성찰적인 대안이라고나 할까. 옳고 그른가를 말로 하는 속임수가 아닌 진실을 혹은 그 속의 숨은 뜻을 이해하기 위해 우리는 교육이 끝났다고 해서, 오랫동안 수학시험을 보지 않는 일상을 살아가는 성인이 되었다고 해서 수학을 버리지 말아야 한다. |
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【 수학 사고력을 키우는 20가지 이야기 】 가미나가 마사히로 / 윤출판
『직감을 뒤엎는 문제들』
‘맨홀 뚜껑은 왜 둥글게 되어 있을까?’ 마이크로소프트사의 입사 시험 문제로 나와 화제가 되기도 했다. 답을 알고 있는 사람이 많지만, 의외로 진부한 답변도 많이 나왔다고 한다. ‘굴리기 쉬우므로’, ‘가공하기 쉬우므로’ 등. 정답은 뚜껑이 맨홀 안으로 빠지지 않게 하기 위해서이다. 삼각형, 정사각형, 직사각형 모두 빠질 가능성이 100%다. 원에서 탈피한 모양이 있긴 하다. 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로가 디자인한 뢸로 삼각형이 있다. ‘뢸로 삼각형도 정삼각형처럼 떨어지지 않으므로 맨홀 뚜껑으로 사용할 수 있다. 삼각형을 변형했다고 할 수 있다. 원과 다르지만 실제로는 원과 같은 성질을 지니고 있다. 그 성질은 폭이 같다는 것이다. 수학 용어로는 정폭성 또는 등폭성이라고 한다.’ 마찬가지로 정오각형, 정칠각형을 둥그스름하게 변형한 것도 있다. 각각 뢸로 오각형, 뢸로 칠각형이라고 한다.
사람이 살아가는 사회엔 ‘상식’이라는 것이 있다. 상식은 대체적으로 직관에 의존한 것들이 많다. 상식은 역사를 거치면서 인류의 노력에 의해 새로운 내용과 형식을 갖추면서 변화되고, 진리성을 획득해간다. 당연한 이야기지만 일반인의 직관과 전문가의 직관이 다르다. 그렇지만 전문가는 일반인의 상식으로부터 도움을 받고 전문가의 직관은 일반적인 것이 된다. 이것이 곧 발전의 과정이다.
수학과 과학은 늘 직관과 상식에 도전해왔다. 수학과 과학은 자연과 사회가 운동하는 법칙을 밝혀내고 인류의 인식 수준을 높여줌으로써 과거의 좁고 얕은 직관을 넓혀주고 깊이를 더 해주었다. 수학자(數學者)인 이 책의 지은이 가미나가 마사히로는 수학에서 맞닥뜨리는 20가지 장면에서 직관적으로 “이럴 것이다”라고 여기던 것을 다시 생각하게 해주는 이야기들을 모아놓았다. 또한 상식적으로 “이게 맞아”라고 하던 것을 의심하게 해준다. ‘자연이나 사회의 모든 현상은 그 안에 본질을 품고 있다. 그 본질은 현상을 의심하는 데서 조금씩 모습을 드러낸다. 현상을 눈에 보이는 대로만 직관적으로 받아들이거나 상식이라는 허울 속에서 의심 없이 받아들이면 결코 본질에 다가 갈 수 없다. 본질에 다가가려면 현상을 여러 측면에서 분석하고 해석해야 한다. 한 가지 방식으로는 불가능하다.’
책은 20개의 주제로 구성된다. 각각의 화제는 수학을 좋아하는 어떤 사람의 일기로 시작한다. 주제마다 수학을 제재로 하여 이야기를 펼쳐나간다. ‘직감을 배반하는 데이터’, ‘상식을 깨는 확률’, ‘직관을 뛰어넘는 도형’, ‘통념을 뒤엎는 논리’ 등 수학이 아닌 기초 인문학 도서를 대하는 느낌이 드는 제목들이다. 내용 또한 머리 아픈 수학이야기만 하는 것이 아니라, 직관과 확률을 대비해가면서 소주제들을 풀어나간다. 마지막 페이지를 덮기 전 지은이가 각 절의 글머리에 쓴 일기에 관한 덧붙임 글을 읽으면서, 역시 수학자는 다르구나 하는 느낌을 갖게 된다. “이 책에 쓴 일기의 날짜는 언뜻 보면 아무런 의미도 없는 것처럼 보일지도 모르지만, 사실은 비밀이 있습니다. 배리안, 포아송, 레비 등등 학자들의 생일입니다. 그런데 이와 관련해서 조금 재미있는 사실이 숨어 있습니다. 이 날짜에 감춰진 비밀이란 무엇일까요? 이야깃거리로 꼭 생각해보세요. 지은이가 ‘꼭’자 까지 넣었으니 ‘꼭’ 생각해봐야겠다.
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[수학적 사고력을 키우는 20가지 이야기] [수학에 도전하라!] [2015. 12. 31 ~ 2016. 1. 2 완독] [인터파크 1월 신간도서단 활동]
＜검은 백조(Black swan)＞에 관한 이야기를 들어 보았는가? '상식'과 관련된 이야기 중 하나로 짧막하게 소개를 해보겠다. 처음에 사람들은 세상에는 오직 깃털의 색깔이 하얀 백조만 존재할 것이라고 생각했다. 하지만 1970년, 존 레이섬이라는 학자가 호주에서 깃털의 검은 백조를 발견한 후, '백조는 희다.'라는 상식이 뒤바뀌게 된다. '사람들이 보통 알고 있거나 알아야 하는 지식'이 '상식'의 사전적인 의미이나 이는 역사나 시대에 따라, 인류의 노력에 의해 새로운 내용과 형식으로 변화되고, 또한 그 진실성을 시험받아 확인이 된다. 후에 새로운 상식이 나타나면 다시 '상식이 아니게 되는' 변화무쌍함을 보인다. 즉, "내 기준이 네 기준이 아니듯, 네 기준도 내 기준이 아니다.'라는 말처럼, 상식도 사람에 따라 문화에 따라 변화될 수 있음을 시사한다. 그렇다면 '수학'이라는 학문은 어떠할까? 냉철한 이성과 직관, 세상에 대한 탐구로 똘똘뭉친 학문인 수학은 항상 상식의 최전선에 서있을까? 언제나 정답이 있을 것만 같은 수학의 20가지 이야기를 살펴보며 ＜수학도 상식과 같이 변화무쌍함＞을 알 수가 있었다.
모든 이야기를 다룰 수는 없지만 내가 흥미롭게 보았으며 ( 이는 '평균의 마법'이라고 해야할 정도로 흥미로운 부분인데, 위에서 보듯이 고소득과 저소득을 나누는 경계선을 500만엔이라고 정하고 좌측이 과거, 우측이 현재를 표현했다고 해보자. 분명 과거에 고소득자가 1400만엔과 600만엔으로 평균 1000만엔을 유지하고 있었는데, 불경기로 평균 소득의 감소로 현재는 평균 1120만엔으로 줄어든 것을 볼 수가 있다.
하지만 저소득 계측의 평균 소득은 250만엔에서 293만엔으로 증가하였음을 볼 수가 있는데, 이는 600만엔으로 고소득층에 있던 사람이 현재 600만엔 이상을 벌지 못하며 480만엔으로 '저소득' 계층으로 떨어졌으나, '저소득 계층 속에서는' 소득이 높은 편에 들기 때문에 전체 평균 소득을 늘려주는 마법같은 일을 볼 수가 있다. (
이렇듯 딱 하나만 바뀌어도 전혀다른 결과를 볼 수있는 재미있는 수학( 특히, "부정할 수도 긍정할 수도 없는 명제" 부분에 가서는 인간적으로 이해가 잘 가지 않았다. ( 당신, 이성의 한계에 도전해 보지 않겠는가?
+ 이 리뷰는 ＜인터파크 1월 신간도서단 ＞의 서평단 활동을 통해 도서를 제공받아 작성되었습니다. |
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내게 수학은 '좋다가 만 과목'이다.중학교 2학년까지는 수학 성적이 꽤 좋아서 공부하는 보람이 있었다.사칙연산을 발판으로 1,2차 방정식,사인.코사인,탄젠트까지는 상위 성적을 유지했는데,중3 하반기부터 점점 수학에 재미를 못느끼게 되다 보니 수학 성적이 점점 하위권으로 밀려나고 말았다.원인이야 내 노력과 연습부족이 크지만 막혔던 수학 문제풀이에 대해 조언과 가르침이 (사적으로)있었더라면 수학 성적은 계속 상위를 유지하고 공부하는 보람,원하는 과에 들어갈 수도 있었다고 후회가 된다.이왕 열심히 공부하여 좋은 성적,좋은 과에 들어가려면 메인 과목이 바쳐 주어야 하는데,수학 과목 성적이 저조하여 늘 불안하기만 했다.게다가 사춘기라는 연령대에 놓여 있어 신체적,심리적 방황의 시기가 맞물린 점도 집중력이 떨어지면서 성적을 올리지 못한 소이이기도 하다.
사회 생활을 하면서 수학과목은 크게 유용하지는 않지만 학창 시절 배웠던 사칙연산과 분수,유리수,무리수,방정식 정도는 아직도 학생들에게 뒤쳐질 정도는 아니다.우리가 다니던 시절의 수학과목과 현재의 수학과목의 내용과 질은 크게 달라져 섣불리 풀어 본다고 손을 대다간 시간만 질질 끌다 손을 놓고 말 우려도 크다.사회 생활에선 수학 과목이 크게 필요하지는 않지만(수학 교사,연구자,학자 등 제외) 스피드를 요구하고 정확성을 요구하는 계산 부분에서는 사칙연산에 대한 기본기가 중요하다.일종의 '계수관념'을 갖춰야 한다.사칙연산을 떠나 수학적 사고력을 요구하는 경우도 왕왕 있다.어린이들이 배우는 사고력 수학의 기초부터 수학과 관련한 물리,화학 과목의 수의 법칙들이다.무턱대로 공식만 외운다고 문제가 해결되는 것은 아니다.직감과 직관,상식을 뛰어 넘는 사고력은 1차적인 현상에서 복합적인 요소들까지 통합하여 분석하고 해결해 나가야 하는 과정이 남아 있기에 그 현상에 대한 이해와 추리,통찰력이라는 사고력이 반드시 필요하다.
인류 역사가 시작된 이래로 자연과학은 다양하게 발전해 왔다.그 시초는 단연 수학 과목이 아닐까 한다.기원전 4세기부터 연구되어 온 천동설은 A.D 2세기 프톨레마이우스에 의해 천동설이 체계화되고 16세기 코페르니쿠스에 의한 지동설이 나올 때까지 지구천체에 관한 이론의 체계는 시행착오의 연속이었다.지구를 중심으로 한 행성의 각도,망원경을 이용한 행성 관찰,로그(Log)라는 수단으로 빠른 계산으로 행성의 운행 법칙을 완벽하게 설명하기에 이르렀다.수학자,물리학자,천문학자들의 눈물겨운 노력과 공(功)이 후학자들에게 학문의 발판을 마련해 준 것이다.하나의 이론과 체계가 확립되기까지는 참과 거짓이 상존해 왔던 셈이다.그래서 수학 사고력에 관한 이론과 문제를 접하면서 직관과 상식으로 풀이하려들면 자칫 수학 사고력이 요구하는 본질에서 벗어나 오류와 허울로 가득찰 것이다.자연,사회 모든 현상이 본질을 품고 있기에 현상이라는 직관과 상식에서 벗어나 본질이 무엇인가를 궁리해 나가야 비로소 사고력 수학의 틀을 배양하고 본질의 함의를 빨리 터득할 수 있을 것이다.
이 도서는 말그대로 수학 사고력을 기르기 위해 필요한 마음 자세 즉 직감,상식,찍기에서 탈피하여 눈에 보이지 않는 수학 주제의 본질에 가깝게 다가가고 문제해결이 쉬워질 수가 있다는 것이다.총 20개의 주제로 구성된 수학 사고력 이야기는 주제 자체가 일상에 흔히 있는 소재 위주이다.소재를 접하면 뭔가 해답이 떠오를 것 같지만 실제로는 많은 궁리와 추리,연산,논리,확률 등을 거쳐야 원하는 답을 도출할 수가 있다.물론 내 자신도 20가지의 소재들을 접하면서 어느 정도 흥미유발은 되었지만 깊이 있게 따지고 계산하고 추리하며 논리적인 사고력 과정을 거치지는 못했다.직감을 배반하는 데이터,상식을 깨는 확률,직관을 뛰어넘는 도형,통념을 뒤엎는 논리로 대별하고 있다.예를 들어 평균 수명까지 인구의 절반이 죽는 걸까,계산대가 하나 늘면 기다리는 시간은 얼마나 줄어들까,맨홀 뚜껑은 꼭 원 모양이어야 하나,곡선으로 정사각형을 채울 수 있을까 등이다.수학사고력 주제가 반드시 수학적 요소에만 국한되는 것이 아니다.지구천체,물리,화학,시대와 사회적 흐름 등의 기호와 법칙이 복잡하게 작용하면서 딱 떨어지는 정답은 없는 경우가 많다.근사치,평균치에 가깝다고 보면 된다.학창 시절 공식 하나만으로 씨름했던 내 자신이 상기되면서 '좀 더 잘했더라면 얼마나 좋았을까'라고 뒤늦은 후회를 해 본다.수학 사고력 주제와 관련하여 수학자들의 법칙,이론,가설 등을 도표와 해제를 접하면서 현상 속에 숨겨진 본질의 의미가 무엇인가를 생각하는 유익한 기회가 되었다. |
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수학을 무지 싫어하는 아들래미와 딸래미를 키우고 있는 엄마로써 사실 우리 아이의 수학 사고력을 어떻게 하면 키워줄까가 항상 고민인데요. 연산이 많아서 어렵다는 마의 초등 5학년 수학을 배울 아들래미와 내년이면 학교에 입학할 딸래미, 엄마가 가르쳐 주기 힘들어서 두 아이에게 학습지를 시키고 있지만 항상 수학이 어렵기만 하는 아이들에게 조금은 도움이 될까 해서 선택하게 된 ＜윤출판사의 수학 사고력을 키우는 20가지 이야기 ＞입니다.
책 속에서는 도형, 데이터, 확률, 논리 이렇게 5가지의 주제로 설명하고 있답니다. 처음에는 우리 일상생활속에서 아니 뉴스를 보다보면 자주 사용하는 데이터 이야기를 시작으로 해서 어렵지 않다고 생각하고 읽었는데,,, 점점 읽다보니 어렵게 느껴지더라구요. 다양한 법칙과 수학적인 용어에 대해 설명이 되어있지만 그리 쉽게 볼수 없다는 생각이 들더라구요. 제 지식이 얕아서 그런지 어떤 부분에서는 아예 이해가 되지 않아 조금은 난감한 책이 아니였다싶습니다. 하지만 수학이라는 개념이 우리 일상생활속에서 생각보다 많이 사용되고 있다는 것은 느낄수 있었답니다. 글쓴이의 말처럼 수학이라는 학문은 직감과 감각, 우리가 잘 사용하는 찍기로만 해결되는 것이 아니라 문제에 대한 끊임없는 생각을 논리적이고 신중하게 생각하게 된 끝에서 결론이 다다른다는 말은 조금은 이해가 되더라구요. 또, 신문이나 뉴스에서 접하는 데이터나 확률을 단순히 그렇구나가 아닌 이런 수학을 다루는 문제를 바라보고 해석하는 방법을 조금은 알게 되지않았나 싶습니다.
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