| 알려지지 않은 천재의 삶과 사상을 접한다는 것은 흥미 진진한 일이다. 서점의 신간코너에서 이 책을 접했을 때 처음 나의 눈을 사로잡은 것은 표지 속 괴델의 눈빛이었다. 다섯살무렵 이미 신경성 노이로제를 앓았고, 영양실조와 기아로 사망한 수학자. 죽을 때 몸무게가 27kg 이었다는 내용들은 그가 얼마나 예민하며 철저한지 짐작하게 해준다. 그의 불완전성 정리자체가 이해하기 쉬운 것은 아니다. 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 그의 이론을 설명하기 위해 저자는 초콜렛 케잌을 잘라가면서 그림들과 부호를 곁들여가며 풀어쓰고 있다. 하지만 조금 긴장을 늦추면 수학시간에 선생님의 설명을 듣다가 깜빡 졸았을 때처럼 어느새 이해할 수 없는 결론에 다다르고 있어 다시 책장을 뒤적여봐야한다. 아인슈타인은 말년에 자신에게 중요한 일은 없지만, 괴델과 함께 집으로 돌아오는 '특권'을 얻기위해 연구소에 간다고 말했다고 한다. 그들만이 공유할 수 있는 지식과 신뢰를 가지고 이야기 나누며 오솔길을 걸어오는 상상을 하다보면 천재들은 과연 무슨 이야기를 할 지 엉뚱한 질문이 떠오른다. |
| 천재의 자질은 타고나는 것이겠지만, 그 씨앗이 발아하여 꽃피우기 위해서는 여러가지 후천적인 요소가 필요하다는 것을 새삼 느끼게 해주는 책이었다. 겁많고 소심한 소년이 퇴락한 오스트리아의 사회 문화적 상황에서 어떻게 성장하여 청년이 되고 어떻게 수학의 심연에 도달하여 세기적인 업적을 남길수 있었는지를 이 책은 담담하게 기술하고 있다. 괴델이 삶을 다룬 부분은 별로 흠잡을 데가 없는듯 한데, 불완전성 정리를 초코케익(자허토르데?) 만드는 것에 비유한 설명은 이해에 별로 도움이 되지 않는듯 하다.다만, 수학의 비완비성에 대한 노력을 '자기 신발끈을 잡아당겨 자기 자신이 들어올려보겠다는 시도'라 표현한 부분은 정말 촌철살인의 표현이라는 생각이 든다. 불완전성 정리의 핵심인 재귀성을 이렇게 잘 표현하기도 힘들지 싶다. |
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18세기말 칸토어는 무한집합의 원소의 수를 헤아르기 시작한다.
칸토어는 놀라운 무한의 세계를 발견하지만 너무나도 이상한 결과에 의문을 가지기도 한다.
한편에서는(데데킨트등) 칸토어의 무한집합론을 가장 기본적인 것에서부터 부정한며 무한은 존재하지 않으므로 무한집합론도 존재할 수 없다고 생각한다. 하지만 많은 수학자는 집합론의 포괄적 특성에 원인하여 무한집합론을 수학의 기초로 이해하기 시작한다.
그러나 20세기초 러쎌이 무한집합론의 근본적 모순을 지적하므로 칸토어의 무한집합론은 붕괴된다.
한편 힐베르트는 수론에서 의미론적인 부분을 배제하고 구성적인 면만을 수학의 대상으로 파악하고 한차원 높은 수준에서 유한한 절차에 의해 체계의 합리성을 증명하는 방식으로 무너진 기초를 복원하려고 한다. (힐베르트 프로그램)
그러나 3년 뒤 괴델은 힐베르트의 프로그램을 철저히 따르더라도 산술에서 무모순성을 증명 할 수 없다는 사실을 증명하므로 힐베르트의 꿈은 깨어진고 만다.( 불완정성의 정리)
이상이 19세기 말에서 20세기초까지 수학의 기초에 대한 간략한 이야기다. 현재도 수학의 기초는 별다른 진전이 없다고 한다.
이책은 힐베르트 프로그램의 구체적은 내용과 괴델의 작업을 상세히 (일반인이 이해 할 수 있는 범위에서) 설명한다. 그러나 잘 이해되는 것은 아니다. 천천히 읽다보면 대강의 분위기만 겨우 느낄 수 있는 정도.
특히 후반부 바쁜 해리 놀이 중에서 튜랭의 UTM 프로그램의 오타 부분에서 무지 짜증이 났었다. 아마도 오타가 수정한 프로그램은 아래와 같을 것 같다
읽은기호
상태 1 0
A 1RB 1LC
B 1LA 1RB
C 1LB STOP [인상깊은구절] 이 책에 있는 말은 아니고 과학의 종말이리는 책에 나온 어떤 과학자의 말이데요 "사람들은 이인슈탄인이 모든 물리학 법칙을 상대화 시키고 괴델은 수학은 아무 것도 증명 할 수 없다는 사실을 증명했다고 생각해요" |
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괴델에 대한 읽은 두 번째 책, 처음은 레베카 골드스타인의 '불완전성'이었는데 괴델의 독특하고 기이한 삶과 그의 연구에 영향을 미쳤던 빈과 빈학파의 문화적 분위기, 그의 업적등을 흥미롭게 설명해 주었다. 이 책도 괴델의 전기를 다루고 있지만 그의 삶 보다는 그의 업적을 설명하는데 더욱 많은 지면을 할당하고 있다. 그의 정리가 수리논리학을 넘어 철학, 인지과학, 컴퓨터과학등 광범위한 영향력을 행사하는 사례들을 접할 수 있다. 물론 아주 쉽게 풀어 내려 노력한 흔적이 보이지만 그다지 만만하지만은 않다. 후반부에 특히 그의 불완전성 정리가 앨런 튜링의 결정문제나 튜링기계 문제와 동일한 결론에 도달함을 보여주는 등 그의 업적이 미친 영향력을 찾아 볼 수 있다. 이를 통해 새삼 괴델의 불완전성 정리가 왜 20세기를 통틀어 위대한 것인지 보여주려 시도하고 있다. 사실 괴델이라는 사람이 가진 매력은 쉽게 드러나지 않는다. 아인슈타인이 그와 함께 걷기 위해 매일 집을 나섰다는 일화도 있고 그의 불완전성 정리가 극적으로 등장하는 순간 아무도 그 사실을 주목하지 않았지만 또다른 수학자이자 천재인 폰 논이만에 의해 즉각적으로 그 중요성이 인지되고 전파되었다는 점등 그의 업적을 신비롭게 해주는 몇가지 일화들을 제외하면 두 권의 책을 통해서 괴델이란 인간의 면모를 알기는 여전히 쉽지 않았다. 하지만 그의 정리가 여전히 애매모호하면서도 매력적으로 다가오는건 무슨이유에서 일까? 앨런 튜링과 함께 그에 관한 책들을 더 접해 보고 싶다는 생각이 든다. 다만 내가 이해할 수 있는 수준에서라면. |