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적분? 積分? 수학도 어려운데, 한자까지 하라니, 이 공부를 어떻게 하나? 걱정부터 앞서는 것이 수학이다. 수학을 싫어하지도 않았는데도 이 요상한 말들이 나오기만 하면 아이들이 하는 '얼음, 땡'놀이에 나도 모르게 동참을 하게 된다. 그래도 다행인것은 책을 읽는것은 좋아한다는 것. 그 덕분에 그렇게 싫어하던 수학속으로 이렇게 들어가니 얼마나 다행인가? 아이들에게 조금은 유식한 엄마가 되어보는 길... 그 길을 위해서 ＜수학자가 들려주는 수학 이야기＞의 첫권을 만나보련다.
적분. 한자로는 積分. 한자의 뜻 그대로 풀면 '부분을 쌓다', '나눈 부분을 모으는 행위'를 적분이라고 한다. 그런데, 이 적분이 왜 수학에 사용되어지는 걸까? 아니, 처음 리만이라는 이 거대한 수학자가 적분이라는 것을 왜 만들어 냈을까가 궁금해 지기 시작한다. '왜 이런 걸 만들어서 공부할 걸 더 늘린거예요?' 따지고 싶지만, 이미 만들어진 것이니 넘어가자. 그도 그렇고, 리만 샘이 만들지 않았다면, 또 다른 수학자가 머리 싸메고 끙끙 거리고 있었을 것이다.
적분이 가장 많이 쓰이는 분야는 도형의 넓이 구하기다. 원리는 간단하다. 어떤 도형의 내부가 차지하는 넓이가 얼마인지 알고 싶을때, 그 도형의 내부를 여러 개의 도형으로 채워 나가면서 도형의 넓이는 구하는게 적분이다. 그리고 도형의 넓이를 채워나가는 일정한 도형중 한변의 길이가 1인 정사각형을 단위 정사각형이라고 한다. 그렇담, 적분을 가지고 알수 있는 넓이는 사각형이나 삼각형만 가능할까? 이렇게 딱 떨어진 도형만 가능하다면, 리만 선생이 그렇게 애를 쓸 필요도 없었을 것이다. 완벽하게 둥근 원도, 타원도 가능한것이 적분이다. 어떻게?
둥근원에 내접한 정육각형과 외접한 정육각형을 그려보자. 그렇게 되면 (내접한 정육각형의 넓이＜ 원의 넓이 ＜ 외접한 정육각형의 넓이)가 된다. 그런데 이 정육각형을 더 쪼개면 조금씩 조금씩 내접한것은점점 커지고 외접한 것의 넓이는 점점 작아진다. 아니, 이렇게 어려울수가? 그렇다면 넓이를 구하기 위해서는 계속해서 꼭지점을 그리고 하나하나 계산을 해야만 적분을 이해할 수 있단 말인가? 물론, no~. 계산도 실험도 종이와 연필이 아닌, 무한하고 광할한 우리의 머릿속에서 대신하면 된다.
1/2 + 1/4 + 1/8+ 1/16 + 1/32 +.....= ? 어떤 답이 나올까? 굉장히 어려운 문제 처럼 보인다. 자연수도 아닌 분수를 끊임없이 더하고 있지 않은가? 이 세상에 없는 답이 나올지도 모른다. 만약, 적분을 모르고 있다면 말이다. 분수는 어려워 보여도, 무한반복되는 듯한 이 수들은 무한급수로 보이지만 규칙성이 있다. 처음 수보다 1/2로 더해지고 있다. 사과의 반쪽, 반의 반쪽, 반의 반의 반쪽... 이렇게 끊임없이 반쪽을 외치면서 사과를 모아보면 어떻게 될까? 사과 하나가 나온다. 답은...? 1이다. 저 길고 어려워보이는 분수의 답이 1이라니... 아... 그래서 적분을 제대로 몰랐을 때, 수학시험의 답 중에 1이 그렇게도 많았었나 보다.
거대한 수학자, 리만선생은 적분이란 무엇인가를 시작으로 적분의 원리와 넓이 구하기의 일반화 시도를 알려주고 있다. 그리고 적분기호와 dx 의 딜레마, 적분의 넓이와 카발리에리의 원리까지 하나하나 알려주고 있다. 물론 쉽지만은 않다. 수학을 몸서리치도록 싫어하는 사람에게는 말이다. 하지만, 일반론이 아닌, 개념의 이해로 적분이 그렇게 어렵지 않구나 하는 생각이 들게 한다. 수학을 좋아라 했던, 수학 전공자들이 본다면 이게 뭐야 하겠지만, 적분을 처음 접하는 사람들에게는 적극 추천하고 싶은 그런 책이다. 게다가 책으로도 이해가 안되어도 걱정하지 않아도 된다. 자음과 모음몰로 들어가면 동영상 강의가 있으니까 말이다. |
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수학자가 들려주는 수학이야기 그 첫번째 책이다. 두둥~~ 개인적으로 수학과는 그리 친하지 않았기에 겁부터 났다. 과연.. 내가 그리고 아이가 이 책을 무난히 소화할 수 있을까? 하고 말이다. 문제를 풀어내는 그 자체가 하나의 고된 작업(?)이였기에 두려운 마음이고 또한 학창시절 이후 접해보지 않았던 영역이였기에 그 또한 두려웠다. 이런 마음으로는 아이에게 수학을 쉽게 접근할 수 없음을 알고 용감하게 목차부터 훑어본다.
초등학교 1학년 과정부터 교과 과정과 연계되어 있다는 것을 보아도 적분은 길다, 짧다와 기본적인 도형과 넓이 등 규칙과 대응하면서 점점 깊이있게 파악할 수 있다니 의외로 쉽게 접할 것 같다.
목차에서도 알 수 있듯이 적분의 의미 파악과 함께 도형의 넓이를 구하는 방법과 적분의 원리를 알게 된다. 또한 직사각형을 이용해 도형의 넓이를 구하는 방법도 배울 수 있게 된다. 적분의 기호를 직각삼각형의 넓이를 구하는 예를 통해 연습하게 되고 수학자들의 고민들을 접할 수 있고 그 고민을 해결하는 과정 또한 접하게 된다. 도형의 위치에 따라 적분값이 넓이가 되지 않는 경우와 적분의 원리 중 하나인 카발리에리의 원리와 그 쓰임새에 대해서도 알아볼 수 있다.
리만이 들려주는 적분에 대한 이야기는 아인슈타인이 리만의 수학 이론을 응용해서 상대성이론을 만들었다는데 기억이 나지 않는 것인지 조금 생소하게 느껴졌다. 이런 것을 보면 수학과 과학의 이론과의 연결도 가볍게 보면 안 될 것 같은 생각도 든다.
적분에 대해 본격적으로 설명하기 이전에 학습목표를 마련하여 어떤 점을 중점적으로 알아야하는지에 대해 알려주기에 방향 설정에 유익한 부분이다.
적분은 '넓이'를 구할 때 쓰이며 하나의 커다란 도형을 구할 때 여러개의 도형으로 나눠서 전체 넓이를 구하는 것이다. 특히나 원,타원 모양이 일정하지 않는 도형들을 구할 때 적합한 방법이 적분이다.
또한 적분에 대해 설명한 후에 마무리 차원에서 다시 한번 핵심내용을 정리해 주니 머릿속의 복잡한 부분들이 한결 정리해진 것 같다. 복잡한 부분에서는 다양한 그림과 설명이 함께 기록되어 있어 다소 어렵게 느껴지는 부분에 있어 쉽게 이해할 수 있게 되어 있다. 딱딱하고 지루하게 느껴졌던 수학을 조금은 친근해진 느낌이 들다니 수학이야기 시리즈가 기대된다.
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수학자시리즈 / 리만이 들려주는 적분이야기 / 수학자가 들려주는 수학 이야기
적분이라는 단어를 처음 접했던 시기는 고등학교였던 것 같습니다. 시간이 흘러 정확하게 기억이 나지는 않지만 그 때 수학선생님은 공식을 알려주고 그것을 대입해서 문제를 풀도록 하셨던 것 같아요. 시간이 흐른 지금... 적분에 대해 제가 기억하고 있는 것이 거의 없는 백지상태... 이 책을 처음 접하는 아이들 역시 저와 같은 백지상태에서 책을 읽는 다는 생각으로 함께 읽어 보았답니다. 우리가 배웠던 적분이 바로 ‘리만 적분’이랍니다. 조금은 생소한 수학자 리만은 뉴턴과 라이프니츠가 미분과 적분을 발명한 이후 이것을 더 일반화해서 다듬었다고 해요. 이 책은 수학자 리만이 우리들에게 수업을 하는 형식으로 전개가 되며, 수업은 칠 교시로 이루어져 있습니다. 1교시 적분이란 무엇인가? / 2교시 적분의 원리 / 3교시 넓이 구하기의 일반화 시도 / 4교시 적분기호 / 5교시 dx의 딜레마 / 6교시 적분과 넓이 / 7교시 카발리에리의 원리 등의 수업을 받다 보면 단순하게 우리가 외워서 사용했던 수학공식들이 하루아침에 만들어진 것이 아닌 오랜 기간 많은 수학자들의 땀의 결실임을 알 수가 있네요. 도형의 넓이를 구하기 위해 만들어 진 적분의 원리를 이해하고 그것을 일반화하며, 그것을 기호화하고, 혹시 범하게 될 오류에 대해서도 짚어봅니다. 또한 일반 넓이를 구하는 공식을 사용했을 경우와 적분을 이용해 적분 값이 음수가 나올 경우 (-)를 앞에 붙임으로써 넓이 값을 양수로 만들어 준다는 사실도 잊지 말아야겠어요.
수학하면 따분한 과목으로 생각하는 경향이 많습니다. 이것은 수학을 단순하게 공식을 외우고 암기하며, 그것에 대입해서 문제를 풀어 왔기 때문인데요, 이 책을 읽고 나면 “아하... 이래서 적분이 만들어 졌구나!”라는 감탄사가 절로 나오게 되는 것 같아요. 매 교시 수업을 받다 보면 이해하기 힘든 부분들에 대해서는 도표나 그래프, 도형들로 설명을 도왔고, 매 교시에 수업을 정리해서 다시 한 번 읽는 내용을 정리해 줌으로써 자신의 생각도 정리할 수 있네요.
특히 저희 아들의 경우는 이해가 가지 않는 부분에 대해서는 동영상 강의를 통해 도움을 받기도 했답니다.
적분을 이해하기에는 그 전에 기본적으로 알아야 할 것들이 많지만, 대체적으로 수학지식이 없어도 어느 정도 이해할 수 있도록 쉽게 풀어서 초등 5학년 아이도 쉽게 이해할 수 있었고, 적분을 설명하는 과정에서 학교 교과연계가 되는 부분도 나와 있어서 학교 공부에도 많은 도움이 될 것 같습니다. 하지만 이 책의 가장 손꼽히는 점을 말한다면, 수학하면 그냥 공식을 외우는 것이라고 생각했던 아이들에게 왜 이런 것이 만들어졌고, 어떻게 발전에 발전을 거듭했는지 그 배경과 과정을 알려주고, 수학이라는 학문이 그냥 뚝 떨어진 것이 아닌 우리의 생활과 밀접한 연관이 있으며, 그것을 해결하기 위해 수학이 만들어졌고, 지금도 수학은 계속 발전하고 있다는 사실을 알려 주었다는 것인 것 같습니다. |
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이번엔 수학자가 들려주는 수학 이야기 1권 ＜리만이 들려주는 적분1 이야기＞를 읽어보게 되었다. 리만이 수학자라는 사실도 이제야 알게되었다. 리만이 직접 자신의 목소리로 적분에 관한 개념과 원리를 7교시 수업으로 나누어 이야기를 재미있게 풀어내고 있다. 수학자가 직접 알려주는 수학 이야기이다보니, 실제로 수업을 받고 있는 듯한 착각이 들기도 했다. 이 이야기 또한 초등, 중등, 고등학교 교과 과정과 연계가 되어 있어, 적분에 관한 기초적인 지식을 이해하는데 큰 도움이 될 것이다.
초등학생들에게 적분의 개념은 어렵게 느껴지지만 실은 도형의 내부 넓이를 구하려는 것에서 시작된 것이라고 한다. 이러한 사실로 볼 때 적분의 개념을 그리 어렵게만 생각할 게 아닌 것 같다. 나도 학창 시절, 미분, 적분 같은 개념은 넘 어려워했었는데 이 책을 읽었었다면 아마 수학짱이 되지 않았을까 라고 생각하며 웃음이 나왔다. 적분 이야기에 들어가기 전, 수학자 리만 자신은 자기 소개를 함과 동시에 어떠한 과정으로 일생을 살아왔는지 얘기하고, 리만의 일생을 한 페이지의 만화컷으로 정리하여 아이들의 흥미를 끈다.
'적분이란 무엇인가?' 라는 개념적 의미에 대한 수업을 시작으로, 적분의 한자 뜻 그대로의 의미를 보여준다. 수학이나 다른 과학 분야에서 적분을 이용한 문제 해결의 경우가 많다는 사실도 알 수 있다. 수업을 시작하기 전에는 학습 목표와 '미리 알면 좋아요'로, 무엇을 알려줄 지를 언급함으로써 아이들이 배울 내용에 대해 짐작할 수 있게 한다. 그리고 이야기 속에 나오는 어려운 수학적 용어들은 그 때마다 그 뜻풀이를 해주어, 아이들이 읽다가 막힘이 없이 이해할 수 있도록 배려하였다. 물론 적절한 곳에 나오는 만화컷 또한 지루함을 주지 않는다. 또한 각 수업에서 배운 내용중 '중요 포인트'로 공식을 나타내고, 마지막으로 수업 정리로 마무리를 짓는다. 도형의 넓이 구하기, 4개의 직선 혹은 곡선이 만들어내는 영역의 넓이, 적분의 기호, 오솔길을 이용한 카발리에리의 원리 등 적분에 관한 개념을 배울 수 있었다.
솔직히 적분에 관한 개념은 나에게도 쉽게 다가오지는 않았다. 하지만 우리가 수학 공식을 무조건 외우는 공부 방식이 아닌 그 수학 개념이 어떠한 과정을 거쳐서 하나의 수학 공식이 나오는지에 대한 근본적인 원리를 알 수 있게 하는 책이야말로 제대로 된 책이 아닐까싶다. 수학자가 들려주는 수학 이야기 시리즈에서 하나 하나의 수학적 개념 원리를 알아가다 보면 아이들에게 수학이 단지 어렵게만 다가오지는 않을거라 생각된다.
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적분이란 무엇일까? 적분은 무수히 많은 조각들을 더하는 행위라는 뜻을 가지고 있지요. 이제 적분에 대하여 자세히 알아볼까? 거리에서 흔히 볼수있는 교통 표지판, 그 교통표지판은 단순한 그림으로 원래 의미를 잘 나타내고 있다. 수학기호도 마찬가지로 말로 설명을 길게 써넣지 않아도 확연하게 설명하는 어떤 값을 한눈에 알 수 있도록 간략하게 만든 것이다. 그런데 여기서 갑자기 궁금한 점이 생긴다. 왜 수학기호들은 모두 다 하나같이 영어에 기반해서 만들어진 것일까? 한글에 기반하여 만들었다면 더 편했을텐데~ 바로 기호를 만든 수학자들이 모두 서양 사람이라서 기호 또한 영어에 기초해서 만들어진 것이다.
리만가설 ☞ 복소함수가 0이 되는 값들의 분포에 대해 독일 수학자 리만이 제기한 가설.
적분기호 인테그럴 에프엑스 디엑스는 독일의 수학자 라이프니츠가 창안하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 미분, 적분을 동시에 발견했던 수학자들이다. 그런데 누가 먼저 발견했는지 따지고 싸우는 바람에 물과 기름처럼 서로 쳐다보지도 않은 사이가 되버렸다. 과연 누구에게 먼저 발견했는지에 대한 우선권이 넘어갈까? 바로 뉴턴에게 우선권이 넘어간 것이다. 하지만 후대 수학자들은 뉴턴의 미적분 기호보다 라프니츠의 기호를 더 선호했다. 그럼 서로 비긴 것으로 봐도 무방하다. 내 개인적인 생각으로선 나중에 서로 비길것이면 처음에 둘이 동시에 발견했다는 것으로 인정했으면 더 낫지 않았을까 싶다.
이번엔 타원에 대하여 알아볼까? 타원이란 평면 위의 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합으로 만들어지는 곡선을 이르는 기하학 용어로 원의 양쪽에서 같은 힘을 주고 지그시 눌렸을 때의 모양같이 생겼다. 그런 타원 또한 원처럼 중심이 있다고? 그럼 생김새를 제외하고 원하고 다른 점은 뭘까? 바로 원의 반지름이 아니라 중심에서 타원까지 이르는 가장 짧은 선분과 가장 긴 선분을 만들수있다. 이 들을 각각 단축, 장축이라고 한다. 반지름을 알면 원을 그릴 수 있듯이 장축과 단축의 길이를 알면 타원을 그릴 수 있다니 나도 타원을 그릴 수 있을거라는 생각이 들었다.
5학년때 배웠던 원의 넓이를 다시 알아볼까? 원의 둘레의 길이는 원주이며 지름과 원주 사이의 비율은 반드시 3.14이다. 그럼 이제 본격적으로 원의 넓이를 구해보자. 원의 넓이는 외접(도형이 다른 도형과 접할 때, 바깥쪽에서 접하는 것)한 정육각형의 넓이보다는 작지만, 내접(도형이 다른 도형과 접할때 안쪽에서 접하는 것)한 정육각형의 넓이보다는 크다. 외접 혹은 내접을 한 정육각형을 더 작게 더 작게 조각내어 엇갈리게 돌려맞추어 놓으면 결국 직사형이 된다. 직사각형의 가로는 원둘레의 반, 세로는 반지름이 되는 것이다. 다른 친구들이 내게는 어렵기만 한 수학을 재미나게 풀어가는 모습이 부럽기만 하다. 어떻게하면 수학을 잘 하는 사람이 될수 있을까? 국어, 영어, 수학을 잘해야만 좋은 학교에 진학할수 있다던데.
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적분이 어렵다 하지만 초등수학필독서인 수학자가 들려주는 수학 이야기에서는 적분을 아주 쉽고 재미나게 알려주고 있고요, 무엇보다 흥미를 가지도록 설명하고 있어 너무 괜찮더라고요.
아이가 처음에 보더니 어려울 줄 알았는데 그래도 어~ 이런 게 적분이에요? 하면서 확~~~~ 관심을 가져오더라고요.
이 책이 어렵지 않다고 생각하는 것은 적분의 계산법이 등장하지 않기 때문이랍니다.
초등수학에 꼭 필요한 필독서인 이유가 여기에 나오네요!!!! 분명 적분이 필요한 것이고 계산법을 알아야 하지만 그보다 앞서 이 학문이, 적분이 등장하게 된 배경이나 필요성을 아는 것도 중요하기 때문이랍니다. 초등수학에서 적분의 계산법은 필요 없죠!! 다만 적분이 무엇인지를 아는 것이 중요하다고 생각했기에 이러한 방식으로 설명을 하기로 한 것입니다.
＜＜ 리만이 들려주는 적분 1 이야기 ＞＞는 적분의 탄생 과정에 얽힌 역사적 사실을 담고 있어요. 갑자기 뚝딱하고 천재 수학자가 내놓은 것이 아니라 2000년이라는 긴 역사 속 수많은 수학자들의 노력이 있었음을 보여줌으로써, 수학을 거부감 없이 바라볼 수 있도록 구성해 놓은 책이랍니다.
적분은 고등학교 때 배우는데?? 싶으신가요? 아니요 초등부터 쭈욱 연계가 되어 있는 적분이랍니다. 초등 1학년부터 시작해서, 중고등까지 적분은 빼놓을 수 없는 부분이라는 것! 이 책을 통해서 알게 되실 겁니다.
이 책을 정리하고 가르쳐 주실 분 리만! 수학자 리만에 대해서 알아봤어요.
수학에 조금만 관심을 가진 사람이라면 한 번쯤 들어봤음직한 리만 가설, 우리도 알아볼까요? 무엇인지. 리만이 적분을 처음 만들었다고 할 수는 없고, 전부터 있어 왔던 적분 이론을 정의했다고 보는 것이 맞는다고 말해줍니다. 뉴턴과 라이프니츠가 미분과 적분을 발명한 이후 적분 이론을 더 엄밀하고 일반화된 방법으로 세련되게 다듬은 것이 리만 적분이기 때문이랍니다.
1교시 :: 적분이란 무엇인가?
적분은 한자 뜻 그대로 풀이하면 '부분을 쌓다'로 즉 '나눈 부분을 모으는 행위'입니다. 수학이나 다른 과학 분야에서는 적분을 이용하여 문제를 해결하는 경우가 많습니다.
첫 시간에서 배울 내용은 아이들이 쉽게 배울 수 있는 부분입니다.
넓이란 무엇이며, 옛날 사람들이 왜 넓이를 구하려 했는지 알아봅니다. 다각형의 넓이를 구하는 방법, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있는 공식이 있는지 의문을 가져봅니다.
왜 아이가 첫 번째에서 이야기에서 어렵지 않다고 말했는지 알겠어요!! 이렇게 쉽고 재미나게 아이가 아는 것들을 끄집어 내어서 설명을 해주니 적분을 반갑게 맞이할 수 있겠어요. 적분은 한자에요.
쌓다, 모으다의 뜻을 가진 적(積) 나누다, 부분이라는 뜻의 분(分)이라는 한자어입니다. 그냥 그대로 해석을 하면 부분을 쌓다, 즉 나눈 부분을 모으는 행위를 말한답니다. 수학이나 과학 분야에서 적분을 응용하여 문제를 해결하는 경우가 많은데요, 그중에서도 가장 많이 쓰이는 분야는 도형의 넓이 구하기입니다.
어떤 도형의 내부가 차지하는 넓이가 얼마인지 알고 싶다면, 그 도형의 내부를 여러 개의 도형으로 채웁니다. 다 채워지면, 그 도형의 넓이를 직접 구하는 대신 여러 개의 도형의 넓이를 구해 더하는 거죠, 즉 적분은 부분의 합으로 전체를 구하는 원리를 이용하여 넓이를 구하는 방법이랍니다. 적분, 넓이 면적, 단위 정사각형 등 용어에 대한 설명이 계속 나온답니다. 적분이란 무수히 많은 조각들을 더하는 행위를 말합니다.
재밌지요, 수학의 발달이 세금을 매기기 위해서라는 사실이요, 이렇게 생활에 접목하고, 계산을 하고 하는 것이 세금을 거둬들이기 위해 한 것이고 그로 인하여 수학과 과학이 발달을 하게 되었답니다
이 책을 읽는, 그리고 리만과 함께 적분 수업을 듣는 아이들에게 질문하는 식으로 이어집니다.
농사를 짓는 국민들, 정부는 경작하는 땅의 넓이를 기준으로 일정량의 쌀을 걷는 방식으로 세금을 걷기로 합니다. 다양한 논의 모양을 만나게 될 텐데 세금을 걷는 것을 도와주는 것이 여러분의 일이라는 것이지요!!!
아이들이 스스로 생각을 해 보도록 만들어 주는 재미있는 초등수학책, 괜히 막 계산하고 싶어지잖아요 ^^
초등학교에서 배우는 넓이 구하는 방식들이 등장합니다. 삼각형의 넓이, 직사각형의 넓이 이런 것은 다 쉽게 구할 수 있지요
그런데요~~~ 곡선을 경계로 하는 도형의 내부는 어떻게 계산하나요!! 이는 단위 정사각형으로 꽉 채울 수 없는데 말이지요.
그래서 넓이의 근삿값과 비슷한 넓이의 정사각형을 산출해서 구했답니다. 여기서 근삿값이란 참값은 아니지만 참 값을 대신할 수 있는 아주 가까운 값을 말한답니다.
수업 정리를 해주는데 1교시는 너무 쉽고 재미나게 이해할 수 있었어요. 적분의 시초가 도형의 넓이를 구하기 위해서 시작되었다는 것에 흥미를 느끼고 적분이 어쩜 그렇게 어렵지 않을 수도 있겠다는 생각을 하게 된답니다 초등수학필독서인 수학자가 들려주는 수학 이야기에서는 적분을 어렵지 않고 쉽게 접근하도록 해 주고 있답니다.
적분을 쉽고 재미있게 설명을 해주고 있는 책이라서 좋습니다 적분에 괜한 거리감을 두신 분들이라면 이 책 추천해 드려요~ 적분과 친해지게 만들어주는 그런 책이랍니다. 우리 리만을 통해 적분과 한번 친해져 볼까요 ^^
[출판사로부터 도서 협찬을 받아 직접 활용 후 작성한 서평입니다.] |
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수학자라는 거인의 어깨 위에서는 보다 멀리 보다 넓게 바라보는 수학의 세계에요 결과로서 수학을 연역적으로 제사흔 ㄴ경향이 강하기 때문에 학생들은 수학이 끊임없이 진화해왔다는 생각을 하기 어려운데요 그렇지만 수학의 역사는 하나의 문제가 등장하고 그에 대해 많은 수학자들이 고심하고 이를 해결하는 가운데 새로운 아이디어가 출현해 온 역동적인 과정이죠 ! 학자들의 목소리를 통해 현재진행형으로 보니 제가 더 재미있게 공부중이랍니다 원래 남들이 하라고 할때는 재미없다가도 내가 필요해서 보면 새롭게 알아가는 재미가 있더라고요 리만이 알려주는 적분은 적분의 탄생 과정에 얽힌 역사적 사실을 담고 있어요 가장 중요한건 왜 배워야 하는지를 아이들이 아는건데요 적분의 필요성과 적분 기호 속에 담겨 있는 적분의 의미를 설명해 적분이 갖는 의미와 적분하는 과정을 알수있도록 해서 아이와 읽어보는걸 추천드려요 같이 넘겨보면서 이게 적분이래 미리미리 알아보기 아이도 개념정리하는데 도움이되고 미리 살펴보기 때문에 수업에도 도움이 되겠구나 하는 생각이 들었어요 초중고 수학 전 과정을 망라한 수학의 바이블이니까 ~~! 머릿속에 개념이 잡히면 세상 그 어떤 학문보다 쉬운게 수학이라고하죠
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초등 6학년 겨울방학 때 온라인 독서특강으로 통해 만났던 '수학자가 들려주는 수학 이야기', 책 제목만 보면 어려울 것 같은 책일 것 같지만 막상 만나보니 초등 고학년 이상이면 쉽고 재미있게 읽을 수 있는 초등수학전집으로도 추천하고픈 책이 되었네요.
이런 계기와 자음과모음 서포터즈 덕분에 수학자 들려주는 수학 이야기를 꾸준히 읽고 있는 아이는 벌써 중학생활도 4개월 째 접어들고 있으니 그동안 읽은 책만도 어마무시하네요. 학기중에는 쉽지 않은 일이지요.
이런 계기와 자음과모음 서포터즈 덕분에 '수학자 들려주는 수학 이야기'를 꾸준히 읽으면서 수학에 흥미와 새로운 발견은 물론이거니와 문해력까지 덩달아 길러지는 느낌이라고나 할까요?
이번주 함께 한 리만이 들려주는 적분 1 이야기
이 책을 읽기 전 ''초 · 중학생이 적분을?'이라고 생각했던 어리석은 엄마였지만, 오~ 이미 초등때부터 적분을 해온 아이는 새로운 개념에 예전의 기억들을 연결시키면 끝~!
이제는 훌쩍 커버린 아이~ 둘째이자 막내라 엄마에게 읽어달라고 할 때도 있지만, 스스로 읽는 것을 더 좋아하는 아이의 모습 살짝 담아봅니다.
적분은 이미 초등때부터 줄기차게 함께 했던 부분이지만 고등의 영역으로 생각하기 쉬운 부분이 아닐까 생각했던 저 또한 이번에는 교과 과정과의 연계를 꼼꼼히 살펴본 후 읽기 시작했네요.
이후 아이와 리만에 대한 이야기를 해 보는데... 사실 리만 수학자님이 말씀하셨듯이 우리는 이 분의 스승이었던 가우스는 알았어도 이 분은 수학자가 들려주는 수학이야기덕분에 챙길 수 있었던 분이라 살짝 미안함까지 들더라고요.ㅎㅎ
사실 이 분의 아버지는 목사였고, 아들도 신학을 공부해서 목사가 되기를 바랐지만, 괴팅겐대학교에서 철학과 신학을 공부하던 중 당시 최고의 수학자였던 가우스의 강의를 듣고는 수학의 매력에 푹 빠지고 말았던 리만의 일대기를 읽으면서 아이와 꿈에 대해서 이야기해 봅니다.
예전에는 월요일부터 일요일까지 매번 하고 싶은 일이 달라 꿈이 넘쳤던 아이였는데, 최근에는 뭘 하고 싶은지 본인도 모르겠다고 하니 참 안타까웠는데, 이날따라 "엄마, 변호사를 해 보면 어떨까요?"라고 엄마의 의견을 묻는 아이~~ 워난 사회에 일어나가는 사건과 사고에 대한 기사와 뉴스를 잘 보는 아이라 너무 잘 어울림에 "오호~ 엄지척!"인데 하면서 변호사에 대한 이야기로 한참 빠졌었네요.ㅎㅎ
글줄로 이야기의 끄트머리에 가서는 이렇게 학습만화로 정리되어 있어 초등아이들도 흥미있게 읽을 수 있는 초등수학전집, 수학자 시리즈입니다.
리만 선생님의 수업에 잠시 빠져 볼까요! 1교시 적분이란 무엇인가?
모든 학습의 기본은 개념을 탄탄하게 익히는 것이 중요하겠죠!
첫 번째 학습 목표 또한 너무 익숙한 문제들의 등장에 공감팍팍~
작년에 EBS에서 한참을 이야기되었던 문해력, 어휘가 많이 강조되면서 어려운 단어는 한자찾기를 자주 했던터라 아이는 쉽게 이해합니다. 이렇듯 수학자가 들려주는 책을 읽으면서 문해력이 쑥쑥 길러지는 느낌을 받으니 엄지척!
첫번째 수업 정리 또한 아이와 함께 이야기 나눴는데, 아이 曰 "적분이 이렇게 쉬운 거였어요?"합니다.
이렇듯 수학자가 들려주는 수학 이야기~ 저희집에서는 수학의 개념을 탄탄하고 체계적으로 익힐 수 있도록 도와주는 지침서 같다고나 할까요! 실제로 아이가 이 책덕분에 수학을 조금씩 좋아하게 되는 계기가 되었으니 말이죠!
최근 둘째 아이는 말합니다. 형아는 넘사벽이지만, 언제가는 나도 형아만큼 잘할 수 있다고 말이죠!
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전 88권의 세트로 이루어진 수학자가 들려주는 수학이야기 그 첫번째 만남이다. 수학하면 개인적으로 영어보다 좋아하는 과목이지만 현실적으로 아이들이 영어보다 더 어려워하는 과목이기도 하다. 우리집 아이들에겐 그렇다. 그래서 그런지 영어에 관련된 책보단 수학에 관련된 책들을 더 고르게 된다. 여러책들중 유독 눈에 쏙 들어오는 수학자가 들려주는 수학이야기. 무심코 책의 겉표지를 보면 '어렵겠다'란 생각이 먼저 들어온다. 과연 아이들이 읽을수 있을까?
그것도 1권부터 수학에서 제일 어렵다면 어려운 적분이다. 적분2는 83권에서 만나볼수 있다. 그렇다면 왜 가장 어려운 적분부터 알려주었을까?
우선 저자부터 스펙이 장난이 아니다. 차용욱님은 수학을 좋아하는 사람들이라면 이미 그 명성은 들은바가 있을 것이다. 어느 분이 그랬던가? 수학을 풀을때 가장 어려운 것부터 풀어야 한다고... 어? 내가 배울때하고는 전혀 반대의 상황이다. 학교 다닐적 선생님은 1번부터 쉬운 문제들 먼저 풀고 어려운 주관식을 풀으라 하셨는데... 정말 수학을 잘하는 사람은 시험지를 받자마자 뒤로 넘겨 점수 비중이 큰 주관식을 먼저 풀어 놓고 앞의 쉬운 문제들을 재빠르게 풀어나간단다. 오~~ 과연 그러한 비법인지 수학자가 들려주는 수학이야기 역시 가장 어려운 적분에 대해 먼저 알려주신다.
교과 연계만 보아도 적분은 고등학교때만 배우는 것이 아니라 초등학교 1학년 과정부터 우리는 연계를 갖고 배우고 있었다. 책은 일곱번의 수업으로 이루어진다. 첫 번째 수업 - 적분이란 무엇인가? 두 번째 수업 - 적분의 원리 세 번째 수업 - 넓이 구하기의 일반화 시도 네 번째 수업 - 적분 기호 다섯 번째수업 - dx의 딜레마-더하는 것은 선분인가?, 직사각형인가? 여섯 번째 수업 - 적분과 넓이 일곱 번째 수업 - 카발리에리의 원리
리만이 들려주는 적분에 대한 수업은 그야말로 재미와 흥미가 실려있다. 적분의 뜻과 함께 도형과 그림을 나타내며 설명해 주는 적분은 알아듣기에 전혀 어려움이 없었다. 이렇게 쉽게 배울수 있는 것을 고등학교때 연계는 생각지 않고 마냥 미분, 적분 해가며 공식을 외우고 풀려고만 해서 많은 어려움을 겪었던 생각이 새록새록 떠오른다. 그때당시 선생님들이 리만처럼만 알려주었어도 수학에 대해 그리 혐오감은 갖지 않았으리라...ㅎㅎㅎ
단원 곳곳 만화까지 겸비해서 단원 정리를 해주면서 아이들 시선을 사로잡는다.
적분을 알기에 먼저 도형부터 잘 알아두어야 한다. 원주율이 왜 3.14인지 아이들은 5학년때 배운것 같다. 알기쉬운 도형의 넓이 부터 차근차근 알려주는 센스. 아이들에게 기초부터 튼튼히 하라는 말을 그대로 일러주고 있다. 다음은 도형의 둘레를 타원형으로 나타내어지는 포물선에 대해 설명되어지고 있다. 바로 규칙과 함수에 관련된 내용들이다. 현재 중학생인 아들이 배우는 과정이기도 하다. 네번째 교시부터는 정식적인 적분에 대해 설명되어지고 있다.
아직은 울 아이들이 기호도 모르는 적분. 기호만 보고도 어렵겠다 하던 아이들이 리만이 들려주는 적분을 읽어보더니 약간의 자신감을 갖는 표정이다. 적분을 다시금 살펴보며 수학은 연계된 학습인만큼 어느 학년 소홀히 넘어가면 안되겠다는 생각이 들었다. 책에서 나오듯 수학자라는 거인의 어깨 위에서 보다 멀리, 보다 넓게 바라보는 수학의 세계. 울아이들이 그 수학의 세계에서 잘 견디길 바래본다.
이 책에서는 직접적으로 적분을 푸는 문제는 나오지 않는다. 이론상 적분이 무엇이며 적분을 알기전 필요한 부분과 그와 관련된 딜레마를 알려준다. 알고나면 쉬운 수학이다. 그것을 알기까지의 두려움이 우리 앞을 막을 뿐이다. 마냥 어려워하기보다 먼저 읽고 살펴보라 권하고 싶다. 수학은 언제나 기초부터 튼튼히...명심하자. |
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리만이 들려주는 적분 1 이야기 - 이야기로 풀어가는 수학 이야기 * 저 : 차용욱 * 출판사 : 자음과모음 공학과를 나온 내게 미적분은, 고등학교 외에도 한동안 접했던 과목이다. 교과서 외에 다른 참고서는 따로 잘 안 풀었었드랬는데... 수학의 경우는 달랐다. 좋아했던 과목이기도 하고, 문과 학생들도 대다수 수학의 00이라는 굉장히 두껍고 노란 표지의 교재를 들고 공부했다. (왜 그랬지? ^^;; 한 근 20년이 다 되어 가서 그런가 기억이 가물~) 1,2로 나누어져 있는 그 책을 한번 떼는것도 일이었다는... 문제를 풀어내고 답을 맞추는 그 과정 자체를 좋아했는데... 좋아하는 면에서의 수학이라는 학문과 시험으로 나올때는 또 달랐다. 대학교 2학년까지인가? 공대 수학을 더 해서 그때까지도 했는데... 이건 뭐^^;;; 하지만, 졸업하고 사회생활한지 10년이 넘었는데.. 써 먹을 일은 없더라는것^^;; (한동안 그 책을 간직하고 있었다. 흐흐흐)
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