두고두고 오래 읽어야 할 ‘수’의 역사 책

[리뷰] 수학, 철학, 신학, 과학의 뿌리를 찾아서 『수의 황홀한 역사』(지식의숲, 2016)

이 책 『수의 황홀한 역사』는 정말 오래 두고두고 읽어야 할 책이다. 아마 평생을 읽어야 할지도 모르겠다. 그만큼 그 주제와 내용이 수학뿐만 아니라, 철학과 과학, 더 나아가 신학에 맞닿아 있다. 예를 들어 자연에 존재하는 수, 즉 자연수에 대한 학자들의 생각은 다르다. 철학자들은 실재에 대해 끊임없이 고민하는 반면, 수학자들은 1, 2, 3... 개라는 수를 가정한다.

책에서는 실재의 문제를 대하는 철학자와 수학자의 태도에 본질적 차이가 있다고 적었다. 나에게 책 1권이 있을 때, ‘1’이라는 수는 정말 실재하는 것일까 아니면 나의 관념 속에만 존재하는 것일까. 이 ‘1’과 나라는 사람 1명의 ‘1’은 같은 것일까. 질문은 계속 이어진다. 분명한 건 수학은 “인간 정신의 활동만을 다룬다”는 사실이다. 버트란드 러셀은 “꿩 한 쌍과 이틀이 모두 둘이라는 수의 구체적 실례라는 사실을 인식하기까지는 분명코 장구한 세월이 소요되었을 것이다”고 말했다.

철학이나 신학, 심지어 과학에서는 공간, 시간, 연속 등을 하나의 체계로 보는 경향이 있다. 일종의 이성을 상정하는 것인데, 이로써 자연에 대한 해석이 가능해진다. 하지만 수학자, 특히 형식주의 학파는 수학이라는 논리적 기초에 집중한다. 기호 언어를 사용해서 명징한 것만 밝혀내려 한다. 모호한 것들을 (심지어 신의 존재마저도) 물리치려고 한다. 왜냐하면 “수는 우주를 규율”하기 때문이다.

수학 대 철학, 신학의 대결 역사

수학의 특징은 언제나 ‘왜’보단 ‘어떻게’가 더욱 앞서 등장했다. 자연을 해석하기 위한 수학자들의 호기심이 지배하는 것이다. 책에선 수에 대한 철학이 1870년대 이후부터 나타나기 시작한다고 밝혔다. 우주를 규율하는 수가 “어떻게” 자연을 드러내는지가 관건인 것이다. 뉴턴 책 제목이 ‘자연철학의 수학적 원리’인 것만 보아도 확인할 수 있다.

수라는 것이 인간만의 고유한 이성적 능력 같지만 실제론 그렇지 않다. 새는 자신의 둥지에서 두 개의 알을 빼내면 다른 곳으로 옮겨간다고 한다. 1개를 빼면 아무 눈치를 못 챘지만 말이다. 특히 문명인의 수 감각은 4를 좀처럼 넘지 않는다고 한다. 피부로 느끼는 촉각에 의한 수 감각은 더욱 제한적이라고 하니 무한대까지 갈 필요조차 없다.

인간의 손가락 혹은 몇몇 동물들의 손가락이 5개인 것은 의미심장하다. 손가락의 숫자는 무엇인가를 셀 수 있는 여지를 남겼고, 과학이 발달하도록 도왔다. 어떤 부족은 발가락까지 동원해서 20진법으로 셈을 했다. 바로 마야족이다. 만약 손가락과 발가락을 합해서 30개였다면 30진법이 나오지 않았을까. 사람의 몸은 수학에서 매우 중요했던 셈이다. 책에선 “사람들이 열을 단위로 셈을 하는 한, 자신의 열 손가락을 보면 인간 정신 활동의 가장 중요한 측면이 사람의 몸에서 비롯되었음을 상기할 것이다”라고 적었다.

반면, 라이프니츠는 2진법에 매료됐다. 라이프니츠는 “무에서 삼라만상을 이끌어내기에 하나면 충분하다”라고 외쳤다. 라플라스는 라이프니츠가 이진법에서 창조의 모상을 보았다면서 신에게 의지하는 그를 비판했다. 1은 하나님, 0은 진공이라고 본 것이다. 현대사회가 0과 1이라는 디지털에 기반 해 있는 것을 보면 라이프니츠의 말도 그리 틀린 건 아닐 수 있다.

특정 숫자를 살펴보자. 우리는 일주일을 산다. 7을 그리스도교에서 큰 의미를 지닌다. 영화 ＜세븐＞ 역시 이에 착안을 했다. 히브리인들에게는 6, 7, 40이 예언적 의미를 지녔다고 한다. 아무튼 그리스도교에선 일곱 가지 대죄, 덕목, 하나님의 일곱 영, 성모 마리아의 일곱 가지 환희, 막달라 마리아에게서 쫓겨난 일곱 마귀 등 관련 내용이 많다.

여기서 퀴즈 하나! 220과 284는 어떤 관계일까? 284의 약수를 다 더해보자. 그리고 220의 약수도 다 더해보자. 뭔가 패턴이 나타날 것이다. 피타고라스는 이러한 두 수를 친화수라고 불렀다. 그 당시에는 친화수를 100개 정도 밝혀냈다. 현대수학에서는 이러한 친화수가 10억 쌍이 있는 것으로 알려져 있다.

수라는 신비한 세계, 우린 무얼 알 수 있을까

책에선 “숫자는 아마도 사유재산제도만큼이나 오래되었을 것이다”라고 적었다. 우리는 떨어지는 낙엽들의 숫자를 보면서 ‘수’를 계산하기 시작한 것일까, 아니면 원래 우리 마음 속에 수라는 것이 내재해 있었던 것일까. 이는 닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐의 문제처럼 보일지 모른다. 그만큼 ‘수’의 문제는 경험의 문제를 초월한다.

수학에서는 모든 길을 거꾸로 거슬러 올라가면 그리스로 통한다는 말이 있다. 그리스시대에 이미 수학에 대한 철학적 고민을 깊게 했다는 뜻이다. 예를 들어, ‘제논의 역설’은 현대철학 혹은 수학에서도 계속해서 논의하는 한 주제다. 제논의 역설은 “날아가는 화살은 정지한 것이 아닌가?”, “아킬레우스와 거북이” 등에서 보여진다.

칸토어는 “자유가 바로 수학의 본질”이라고 했다. 무슨 뜻일까? 수학적 상상은 자유에 다름 아니라는 뜻이 아닐까. 우리는 마음대로 상상할 수 있다. 다만, 좀 질서정연하게 상상해야 할 것이다. 복소수를 두고 책에선 “허구란 적절히 해석되기를 바라는 기다리는 하나의 형상”이라고 적었다. 상상을 하되, 일정한 원칙을 갖고 접근해보자. 알고자 하는 만큼 보일 것이다. 그것이 바로 수의 ‘황홀’한 역사이다.

1. 개인적으로 책 텍스트에도 집중하지만 저자가 전달하려는 아이디어가 무엇인가에 집중하는 것은 그 이상이라고 생각을 한다. 이 책은 기초과학에 일정 이상 정도의 지식을 갖고 있으면서 그에 준하는 인문학적 소양을 갖춘 이라면 단순히 ＜수數의 황홀한 역사＞의 텍스트 뿐만아니라 저자 단치히 교수의 설명방식에 매료될 것이라 생각한다.


2. 너무 당연한 얘기라 간과하고 넘어가는 경우가 많은데, 그럼에도 구상具象이 추상抽象을 앞선다. 이 말이 무슨 말인가 하면 우리는 구체적 형상없이 바로 추상적 개념을 이해하려고 노력한다. 하지만 알고보면 이러한 추상도 구상에서 시작해 그 의미만 존속하고 구상은 생략되어 버린 것이다. 


3. 나는 문과지만 수학이 점수를 올려주는 과목이었기에 재밌게 공부했다. 하지만 대학진학 후 전공선택 후라 할지라도 자기 스스로 주도해서 과거 흥미를 가졌던 교과는 교양도서 등을 통해 꾸준히 관심을 가질 필요가 있다는 게 요즘의 생각이다. 그러나 안타깝게도 이러한 관심이 쉽사리 유지되지 않는데다, 신의 축복인 '망각'은 세월에 따라 기하급수적으로 진행되어 기억을 잊게 만든다.


4. (3의 내용에 이어서) 수학적 개념과 공식, 수리력(적 사고)은 많이 망각됐지만 수학교양도서를 통해 복원하려는 시도를 하고 있다. ＜수數의 황홀한 역사＞도 그런 맥락이다. 이 책은 책 그 자체로서 하나의 무결점한 이론서는 아니지만, 앨버트 아인슈타인, 리처드 파인먼과 같이 (이성적 사고보다) 앞선 직관력으로 귀한 수학적 영감을 느끼게 해준다는 점에서 명징하게 수의 발전과정을 고찰하고 개관한 책이라는 점에서 마땅히 고전古典이라 불리울 책이다.


5. 그래서 마치 귀한 오래된 골동품책을 발굴한 느낌이다.


6. 책은 역시 망각작용때문에 쉽지 않았지만, 흥미로운 특정 주제(진법단위, 일부 정수론, 수비학 등)와 소재(페르마정리, 유클리드 기하학, 피타고라스학파 등) 등이 많이 나와서 재독한다면 큰 효익을 거둘 수 있으리라 본다. 지금껏 읽어온 책들 중 가장 큰 도전의지를 불태우는 책이다.

학교 다닐때를 생각해보면 수학을 좋아하는 사람보다는 싫어하는 사람이 더 많았던 것 같네요. 특히 학년이 올라갈수록 어려워지기 때문에 그럴 수도 있지만 수없이 등장하는 공식들에 질려서 왜 그렇게 되는지 제대로 이해할 틈도 없이 공식을 적용해 문제 풀이를 하기 때문이 아닐까요. 그러면서 이렇게 공부한게 나중에 내가 사는데 어떤 도움이 되나 의문도 많이 들구요. 졸업을 하면 수학과는 상관이 없을 줄 알았는데 그래도 가끔씩 도움이 되기도 하네요. 그래서 학교에서 배운 방식 말고 수학이 어떻게 생겨났고 어떻게 발전해 왔는지 궁금해서 가끔식 수학에 대한 책을 찾아 읽기도 합니다.

최근에 본 '수의 황홀한 역사' 도 인류의 탄생과 함께 수학이 어떻게 생겨나 발전해 왔으며 현대 수학에 이르기까지 수학의 역사를 설명하고 있습니다. 원제는 'NUMBER, The Language of Science' 인데 한국어 제목은 약간 바뀌었네요. 그리고 책을 쓴 저자는 1900년대 초반에 활동했기 때문에 최근의 현대 수학보다는 현대 수학의 기초를 이루는 정도까지 다루고 있습니다.

책에서는 수식이 많이 나오지 않습니다. 소설처럼 편하게 읽을 수 있도록 쉽게 풀어서 설명을 하고 있네요. 처음에는 숫자를 어떻게 세는지부터 시작하는데 우리는 10진법이 일반적이라고 생각하지만 문화권에 따라서 20진법이 기본이 되기도 하고 어떤 곳에서는 5진법 또는 2진법을 쓰기도 했네요. 인간의 몸을 수를 셀 수 있는 단순한 방법으로 손가락, 발가락이 있는데 어디까지 이용했는지에 따라 차이가 있나봐요.

수 계산의 혁명 중 하나는 아라비아 숫자와 기호의 도입이네요. 지금은 0~9까지의 숫자로 수를 표현하고 계산하는게 당연하지만 예전에는 로마자 문자로 수를 표기하였고 어떤 계산을 해야하는지 말로 길게 표현했기 때문에 한눈에 이해하기 어려울 뿐더러 계산도 복잡했습니다. 이후 a, b, c, x, y, z 등을 도입하면서 추상화되기 시작했고 대수학도 빠르게 발전했네요.

이렇게 사람이 직관적으로 이해할 수 있는 범위에서 수학을 다루다가 유리수로 표현되지 않는 무리수, 실제로 존재하지는 않지만 존재한다고 정의할 경우 수많은 문제를 해결할 수 있는 허수의 도입, 무한의 개념, 그리고 e, pi 등을 사용하면서 수학은 여러 분야로 확장되기 시작합니다.

수학은 어려운 것 같지만 간단하면서도 누구나 반박할 수 없도록 명료한 것 같아요. 무리수가 없다고 가정했을 때 모순을 보이면서 무리수가 존재한다는 것을 증명하고, 특정 소수를 가장 큰 소수라고 했을때 그 소수보다 큰 소수가 존재한다는 것을 우아하게 보여주면서 소수의 무한성을 증명합니다. 이렇게 수학은 엄밀한 논증 속에 발전하면서 수학 뿐만 아니라 물리, 화학, 그리고 컴퓨터의 이론적 배경 및 최근 이슈가 되고 있는 인공지능 등 많은 곳에 이론적인 토대를 제공하고 있네요. 수학의 역사를 한권에 넣기에는 부족하지만 수학의 발전 과정에 대해서 흐름을 알 수 있어서 도움이 되었습니다.

현재 중등 교육 과정에서 "말, 감성"이란 요소가 전혀 개입되지 않는 영역은 수학밖에 없지 않을까요? 하다못해 삭막한 물리만 해도, "빛은 과연 파동이냐 입자냐, 혹은 아인슈타인이 답을 정해 준 방식을 과연 답이라고 할 수 있느냐"를 놓고 하염없는 상념에 잠길 여지가 있습니다. 이런 걸 캐고캐다 보면 철학의 영역에 도달하고, 혹은 칸트, 헤겔, 마흐 철학만 깊게 파고들어도 꽤 소양 있는 수준의 물리학을 만날 수 있습니다. 반면 수학은 문제가 감춘 정답을 찾기 위해 최적의 경로를 모색하는 쾌감이 고작입니다. 이런 건 정적 속에서 깊은 상념에 잠기며 먼 궁극을 응시하는 겸손된 희열이 아니라, 말을 타고 사냥감을 쫓는 동적인 쾌감과 연결될 뿐입니다.

음 그런데, 대략 지금보다 백여 년 전에 활약한 이 책 저자님의 말씀에 의하면, 그의 시대(는 우리와 마찬가지)보다 일정 시점 앞선 때에는 수학 교과서가 그저 공식과 문제 풀이 위주로 쓰여지진 않았다고 하십니다. 수학 교과서에 품위 있는 문장으로 인문의 교양을 곁들여 가며 두툼한 분량으로 어린 독자와 소통하는 점잖은 책을 상상하니 괜히 마음이 설레기도 하는데요. 국가가 베푸는 시스템 아래서의 교육이 "보통 교육", 즉 출신과 신분에 무관하게 누구나 시민으로서 최소 소양을 쌓을 수 있게 배려하는 양상으로 변하고, 이의 확산이 이뤄지는 과정에서 보다 실용적인 편제를 차리다 보니 지금처럼 삭막한 모습이 되었다는 취지죠. 책을 다 읽고 난 지금, 아마도 토비아스 단치히 박사님께서 "10대들에게 읽혀야 할 진짜 교과서는 이래야 마땅하거늘" 같은 계획을 품고 써 내려간 게 이 책이 아닐까 하는 생각이 저는 드는군요.

수학도 무슨 신으로부터 느닷 태블릿에 새김 받은 십계명 같은 게 아니라면, 사연과 인물과 사건과 가치관과 철학이 (표면에 드러나지만 않는다뿐) 다 지난 내력에 서려 있게 마련입니다. 숱한 사람들(좀 특별한 두뇌를 타고난 이들이긴 하지만)의 노고와 피땀이 서려 이뤄진 학문적 성과 중 안 그런 게 어디 있겠습니까. 다만 괜한 감성의 개입이나 그로 인한 오해의 여지를 안 남기게, 깔끔하게 그 성과가 정리되어야 하는 영역이다 보니 그런 불친절한 모양새를 띨 수밖에 없었지요. 이런 수학의 진짜 모습을 어린 독자들에게 전달하기 위해, 수학의 역사를 쉽게 풀어 쓴 책도 있고, 원리를 잘 표현하는 퍼즐 여럿을 섞어서 "생각하는 힘"을 사연과 함께 길러 주려는 의도의 책도 있습니다. 이 책은, 인간이 "수(數)"라는 언어를 계발시켜 온 과정에 보다 초점을 맞춰, 인문과 수학이 아직 별개가 아니던 시절까지의 힘겹고도 장엄하며 위대했던 그 과정을 자세히 설명합니다. 세상에 존재하는 모든 사상(事象)에 사연, "스토리"가 빠질 수 없고, 토비아스 단치히 박사님이 파악하는 "수학이 살아 온 이야기"는 이런 내용인가 봅니다.

저자는 "수의 역사는 사유재산의 역사만큼 오래되었을 것이다"라고 추정합니다. 이에 반대하는 이들도 많겠으며, 다만 수가 일상의 생활에 그토록 절실한 필요가 있으려면, 재산의 취득과 관리, 증식에의 강한 욕구가 생기는 게 우선이었겠다는 정도는 충분히 단언할 수 있습니다(이른바 "필요는 발명의 어머니"). 수뿐 아니라 최초의 표음문자도 페니키아 상인들에 의해 고안되었으니, 수가 처음 생겼을(발견 혹은 인식되었을) 때만 해도 그저 사람의 경제 활동을 돕는 수단으로 퉁쳐 여겨졌을 뿐 오늘날처럼 세련되고 정교하게 구분되지는 않았겠죠.

p66에 보면 삼각수의 발견 과정이 단순한 그림을 통해 제시됩니다. 오늘날의 눈으로 보기에 의아할 정도인 피타고라스 학파의 "진지함"은, 자신들의 업적이 후세인들(현대인뿐 아니라 수 세기 후 세계문명 발전을 주도한 아랍인들 포함)에 의해 어떤 학문적 의의를 부여받으며 칭송될지 전혀 알 수 없었을 겁니다. 수학만큼 "종교"와 거리가 먼 분야도 없을 것 같은데, 이들 고대 그리스인들은 초월과 피안에의 열망 그 비의의 발견과 묵시를 오로지 수를 통해 이루려 들었으니, 세상 만사의 통성과 본질은 당최 그대로인 게 없이 변화무쌍할 뿐입니다.

저자께서는 아랍인들의 업적을 소개하며, "왜 이들이 그처럼 인도의 흔적과 영향을 배제하려 들었는지 알 수 없다. 헬레니즘의 계승자를 자처하느라 의식적으로 브라만을 멀리한 것일까?"라고 하시지만 그저 반어적 언명으로 받아들여야 할 것 같습니다. 아무래도 헬레니즘 세계는 (비록 적대적이었다고는 하나) 지중해를 사이에 두고 어느 정도는 공감대가 형성된 "바다 저편"이며, 반면 힌두이즘의 아대륙은 "알 수 없고 혼란스러운 다신교의 난장판" 정도로 혐오와 경멸이 어린 시선이 끼어들었던 이유가 아니었을지요. 여튼 기독교인들은 "people of the book"이라며 그 예언자가 일정 예우를 당부한 바도 있으니 말입니다. 아바스 왕조는 그 존속 기간 동안 대체로 비잔티움과 팽팽한 외교적, 군사적 긴장 관계에 놓여 있었습니다.

정수론은 매혹적이지만 그 이산적(discrete)인 성질 때문에 아직도 곳곳에 장벽이 가로놓인 분야이죠. 여기서 저자는 페르마의 정리를 잠시 독자에게 환기시키는데, 이처럼 이 문제는 수백 년 동안 "불가능에 가까운 문제"의 대명사처럼 인용되어 왔습니다. 감수자님의 주석에도 잘 나오듯, 1990년대 초반 옥스포드대 교수 앤드류 와일즈가 현대 수학의 성과를 총동원하여 결국 "옳음"을 증명해 냈죠. 외관상 그토록 간단해 보이는 정리, 명제가 그토록 까다로운 과정의 증명을 요한다는 게 경악스러울 뿐입니다. 소수(素數. prime number) 이슈도 "에라토스테네스의 체"부터 해서, 여전히 풀릴 공산이 희박해 보이는 여러 난제들과 함께 소개됩니다.

이 책은 저자분과 거의 같은 시대에 활동하던 버트란드 러셀이라든가, 수학에도 빼어난 재능과 소양을 지녔던 철학자 비트겐슈타인 등의 업적도 정성을 들여 서술합니다. 그뿐 아니라 푸앵카레도 여러 군데에서 다양한 맥락 속에 언급되는데, 이런 쟁쟁한 석학들과 같은 시대를 호흡한 저자의 책을 읽는다는 게 다소 신기한 느낌도 주는 대목이네요. 아무래도 시대가 시대이니만치, 수학은 무오류이며 언젠가는 이 수학의 영향 하에 모든 학문의 언어, 나아가 모든 일상어까지 모호함이 일절 배제된 체제로 재편될 것이라는 강한 낙관적 신념을 가졌던, 당시 지성인들의 공통된 분위기를 반영하는 문장이 눈에 많이 띕니다.

어떤 집합에 마지막 원소가 존재하지 않는다는 게 무슨 뜻일까요? 수학은 "무한"이 개입하지 않는 한 완전한 무오류의 패러다이스입니다(무한이 포함되면 양상이 어떻게 바뀔지, 여전히 일체의 오류를 몰아내어야 한다는 게 수학자들의 소명이지만 최근에는 비관적 전망이 우세하죠). "마지막 원소가 존재하지 않는다"란, 보기보다 엄청, 일반인이 구체적인 상상을 해 내기 어려운 문장입니다. 마틴 가드너는 "무한 호텔"의 비유를 들며 "마지막 호실이 없는 숙박업소"에, 꽉 찬 객실마다 동시에 "자신의 호수 다음 방으로 옮겨 가십시오"라는 통지를 보내, 손님 하나를 더 들이는 게 가능하다는 설명을 합니다. 손님이 무한히 많으면, 손님들에게 방을 옮기라는 통지를 하는 데도 무한한 시간이 걸릴까요?(경비실에서 한 동 모든 세대에 인터폰으로 메시지를 전한다고 생각해 보십시오) 한편, 손님들이 바로 옆 방으로 옮기는 행위를 동시에 벌인다면, 무한한 손님이나 1인의 손님이나 경우마다 소요되는 시간은 같을 것입니다. "무한이란 이처럼 반드시 모든 연산, "행적"마다 무한을 끌고 다니는 게 아니라서 더욱 혼란을 줍니다. 0으로 나누는 게 정의되지 않는 이유도, 평이한 계산에 처음으로 "무한"이 끼어드는 대목이라서 그렇습니다.

8장에서는 수열을 다루는데, 그 중에서도 특히 중요한 건 "급수"입니다. 급수는 수학과 학생들보다는 공대생들이 머리빠져라 공부하고 외워야 하는 파트인데(증명 과정이 이해가 안 되면 크라이직 공업수학 책 통째 다 외워야 하죠), 테일러 급수 등 "초월수"의 근삿값을 기계적이고 직관적인 프로세스로 구해내는 그 모습이 매우 매혹적이죠. 이처럼 이 책은 점잖은 어조 속에, 수학만이 제공할 수 있는 매력과 신비한 아름다움을 곳곳에서 강조합니다. 수열이 흥미로운 이유는 독특한 패턴이 드러나기 때문이며, 현대 수학 중 가장 재능 있는 이들로부터 헌신의 대상이 되는 "프랙틀"도 이 "반복"의 묘(妙) 그 정수를 감상할 수 있는 분야입니다. 음.. p213을 보면 감수자께서는, 저자가 언급한 제곱근 계산 알고리즘에 대해 "개평법"이라 단언하시면서, "그 원리도 모르고 가르치긴 하나 계산 효율이 낮다"고 혹평하십니다. 아마도 이 언급은 컴퓨터 프로그래밍 과정을 염두에 두신 것 같고요. 기계가 아닌 사람이 수행하기엔 제법 재미도 있을 뿐더러, 하다 보면 제곱근의 원리까지 곱씹게 되기도 합니다. 저로서는 동의하기가 좀 어렵네요.

p139에 보면 국제 정치에 대해서도 깊은 관심을 가졌던 저자의 생각 편린이 엿보입니다. 여기 말고도 그는 루이 14세 본인이 직접 털어 놓은 속셈으로 "외교에 있어 병합만큼 좋은 수는 없어!"라고 했던 일화를 인용합니다. 실제로 루이 14세는 번영하던 소국 네덜란드와 어떤 교류, 협력을 이뤄 자국의 이익을 꾀하는 번거로운 방책보다, "그냥 삼켜 버리는" 고르디우스의 매듭 끊기 식 강경책을 구사했고, 이는 수백 년 후 나폴레옹 등 정치가의 선택도 다르지 않았습니다. 여튼 이런 국제 정치학상의 "병합"과, 저자가 역점을 두어 설명하는 "불변의 원리"가 서로 무슨 연관을 맺는지는, 독자들이 깊은 숙고를 하여 이해해야 할 것 같습니다.

p150을 보면 감수자께서 "이건 사실 당연하여 증명이 불필요한 명제이다"라고 하시는데, 수학적 센스가 있는 독자라면 이 감수자님의 지적이 타당하다고 다들 여길 겁니다. 그런데 구태여 누가 "왜 당연해?"라고 묻는다면 좀 설명이 궁색할 수 있죠. 이 책을 열심히 읽은 독자로서 제가 한 마디 덧붙인다면

만약 우변의 a가 유리수라면, 그 유리수는 어떤 유리수의 거듭제곱으로 당연히 나타낼 수 있습니다. 그 거듭제곱근 중 하나가 b라면 이 식은 이제,

로 바뀌는데, 좌변의 x나 우변의 b나 같은 유리수 집합 안의 원소이므로, 양변은 결국 문자만 바뀌었을 뿐 같은 의미이고, 따라서 아무 내용이 없습니다. 이런 걸 항등식이라고 하죠. 그런데 이 책 본문 바로 위를 보시면 이 식을 두고 "방정식"이라고 합니다. 항등식에 지나지 않는 걸 방정식이라고 하니 모순이 아닐 수 없죠. 감수자님의 지적이 이런 이유에서 타당한 겁니다. 이처럼 이 책은, 원저의 부주의나 오류도 한국어판 감수자께서 일일이 메타적으로 발견해 놓았기 때문에 더욱 가치가 있습니다.

p169에 보면 감수자님의 재미있는 지적이 하나 더 나옵니다. 주석에서 "그렇지 않다"고 하신 건 저자의 "... 원과 같은 넓이를 지닌 정사각형을 작도하는 게 불가능하다"가 틀렸다는 게 아니라(그럴 리가요), 본문에서 설명된 내용만으로 "불가능 증명"이 이뤄진 게 아니라는 뜻입니다. 2차뿐 아니라 4, 8, 16차,.. 모두에서 "불가능"이 밝혀져야, 본문처럼 "최종적으로 불가능"을 단언할 수 있죠. 일일이 모든 짝수차에 대해 개별 증명을 할 수는 없고(책 앞에서 나온 대로 무한이니까), 감수자께서 말씀 하신 대로 "대수(algebra)적 수가 아님"을 들어 일반화할 수밖에 없습니다.

"수"라는 도구가 대단히 편리하며, 한 치의 빈틈도 없는 정연한 체계를 보이지만 유일한 혼란이 바로 "무한" 논의에서 발생하므로, 이 책은 챕터 를 가리지 않고 이 토픽을 "전방위적으로 공략"합니다. 유한한 존재가 무한한 대상을 바라보며 분석하려 드니 여러 무리가 따르는 게 당연하지만, 역으로, 무한에 대해 이처럼 깊은 생각에 접어들 수 있다는 사실 자체가 근원적 낙관을 내포한다고 할 수도 있습니다. 게오르그 칸토어의 유명한 말 "수학의 본질은 자유에 있다"처럼, 수학에 몰두하는 인간은 사고와 사색의 위대한 힘으로 시공을 초월하여 절대를 근사(近似)할 수 있습니다. 이 책이 이런 심원한 주제를 숙고한 저자에 의해 쓰여졌다는 사실이, 이 고전을 읽는 행위에 더 깊은 의미를 부여한다고도 하겠습니다.

어제 대학수학능력시험이 있었다. 그동안 쌓은 실력을 하루에 평가한다는 것이 우스꽝스럽지만 현실적으로 택한 방법이기에 온 나라가 들썩이며 시험을 치렀다. 이들 수험생들이 가장 어려워하는 과목이 수학이다. 그런데 이 책의 제목이 수의 황홀한 역사이다. 아마 몇 몇 사람들에게만 해당하는 제목일지도 모른다. 저자는 이 책이 수에 아무런 흥미나 관심이 없다면 쉽지 않을 것임을 암시하고 있다. 일명 수포자들에게는 이 책이 딱딱할 것이다. 그러나 조금 관심을 가지고 본다면 우리가 사용하고 있는 수들이 어떤 과정을 거쳤는지 저자를 통해 알 수 있고 더 나아가 흥미를 느낄 수도 있을 것이다.

보통 우리는 수학이라는 학문이 철전한 논리와 합리를 바탕으로 완벽함을 추구하는 것으로 알고 있다. 그런데 기하학을 제외하면 나머지 분야는 철저한 실패를 거듭한 끝에 완성된 것들이다. 지금도 수많은 수학자들이 무모할 정도로 실패를 거듭하면 새로운 이론을 정립하기 위해서 노력하고 있다. 그렇기 때문에 인문학적 요소를 배제하고 수학을 논할 수 는 없다. 저자는 수학이라는 것이 전문적인 지식을 갖고 있는 사람들만이 아니라 일반인들도 충분히 공유할 수 있는 재료이며 소재가 된다는 것을 강조하고 있다.

우리가 사용하고 있는 10진법과 컴퓨터의 발달로 일반인들에게도 익숙한 이진법의 차이는 무엇일까? 계산하기에 유익한 이진법, 불편한 십진법 그리고 12진법을 향한 인간의 노력 등은 인간의 끊임없는 도전을 보여준다.

우리가 학창시절 가장 기본적으로 익히는 것이 수와 연산 그리고 함수다. 그런데 이 과정에서 이해하기 힘든 말들을 중고등학교 시절 배웠다. 예를 들어 ‘모든 수’라는 말을 사용하지만 시작하는 수는 1로 정해져 있는 데 ‘마지막 수’는 모른다. 또한 ‘무한대’라고 하면서 ‘수렴’이라는 단어도 사용한다. 그리고 이를 증명하는 수학적 귀납법(저자는 반복적 추론이 맞는 말이라고 한다)이라는 것도 배웠다. 뭔가 모순된 것 같으면서도 논리적인 이것들에 놀랐고 힘들어 했다. 그리고 더불어 우리는 기호를 배우면서 수많은 약속들을 익혀 나간다. 아마 이 과정에서 많은 이들이 수에 대해서 흥미를 잃어 버렸을 것이다.

어쩌면 이 책이 일반인들에게는 쉽지 않은 것인지도 모른다. 그런데 인류 역사를 알고자 할 때 기본적으로 ‘수’에 대해서만큼은 인내심을 가지고 접근해야 하지 않을까 생각해 본다. 반세기를 넘어 한 세기가 다가오는 동안 많은 이들에게 고전으로 익혀 온 책이라고 한다. 인간적인 요소가 많이 들어 있어 계산에만 익숙한 우리의 수학에 대한 편견을 깨 주리라 생각된다.