천재들이 만든 수학퍼즐

파스칼이 만든 경우의 수

아이들이 수학하면 '문제집'을 떠올릴 것입니다. 교과서보다 더 친한 문제집. 이렇게 기계적으로 접하는 수학이 아니라 좀더 재미있게 접근할수 있는 수학이면 좋겠다는 생각을 합니다. 아이들이 학원을 다니며 수학 문제를 풀기도 바쁜데 책 읽을 시간이 어디있어라고 말할지도 모릅니다. 저또한 가끔은 혼란스럽습니다. 문제집을 뒤로 하고 책을 읽고 있을때는 조금 혼란스럽습니다. 그럼에도 문제집은 잠시 뒤로 하고 이렇게 책으로 수학을 먼저 만납니다.

개인적으로 흥미를 가지고 있는 것은 경우의 수입니다. 아이도 저처럼 흥미를 가졌으면 하는 바람으로 이 책을 만납니다. 파스칼이 들려주는 '경우의 수'는 어떤 이야기일까요.

가장 기본적인 이야기가 될수 있는 '왜 경우의 수를 배우나요?'를 통해서 말그대로 경우의 수를 배우는 이유를 알수 있습니다. 경우의 수는 어떤 일을 시행했을 때, 특정한 사건이 일어나는 경우의 가짓수입니다. 우리 생활에서 경우의 수가 필요할까라는 의문이 들수도 있습니다. 알게모르게 우리들은 늘 경우의 수를 생각하며 생활하고 있습니다. 학교에 갈때도 어떤 옷을 입을지 고민할때도 우리들은 경우의 수를 생각하는 것입니다. 경우의 수를 알면, 앞으로 일어날 모든 경우를 예상할수 있다고 하네요.

경우의 수만 아는 것이 아니라 경우의 수에 사용되는 합의 법칙, 곱의 법칙, 여사건의 법칙에 대해서도 알수 있습니다. 다른 것에 비해 '여사건'이라는 용어가 아이들에게는 생소할수도 있습니다. 여사건은 '어떤 사건 A에 대하여, A가 일어나지 않는다' 라는 뜻입니다. 쉬운 예로 책에서는 '가위바위보'로 설명합니다. '가위바위보를 할 때 내가 이기는 경우는 언제인가?'라고 물었을 때 이기지 않는 사건이 바로 여사건이라고 합니다. 이렇게 쉽게 설명해주니 처음 듣는 용어이지만 아이들이 그리 어렵지 않게 받아들입니다.

좀더 나아가 책에서는 순열, 원순열, 중복이 있는 순열, 조합 등에 대해서도 배울수 있습니다. 이제 중학교에 입학한 아이가 아직은 배우지 않는 내용들이지만 미리 만나봅니다. 아직 배우지 않은 내용이라 어려울수 있지만 만화로 구성된 내용들을 보면 조금 이해하기 쉽습니다. 지근 당장 배우는 내용들을 읽는 것도 좋지만 이렇게 아직은 배우지 않는 내용들을 알아가는 것도 중요합니다.

이 책에서 만난 내용들은 선행의 개념이 아니라 흥미를 가지게 하는 요소들입니다. 물론 선행을 목적으로 이 시리즈를 접하시는 분들도 있겠지만 개인적으로는 흥미를 가지고 수학에 관심을 가지게 하고 싶은 마음입니다. 어떤 목적이든 아이들의 눈길을 끄는 요소들이 많은 책입니다. 우리의 생활속에 깊숙히 자리잡고 있는 이야기라 지식적으로 접근하는 것이 아니라 자연스럽게 알아가는 수학입니다.

경우의 수를 공부할 수 있는 수학퍼즐 32권

경우의 수는 초등 6부터 중학교, 고등학교까지 계속 나오는 단원이다. 대부분의 단원이 정확한 답을 찾아내는 과정에 초점을 맞춘다면 경우의 수는 같은 성질을 가지는 사상에 대하여 분류하고 판단하는 것을 중시한다고 한다. 여러가지 결과를 분류하는 것이니 우리의 일상생활과 밀접한 관련이 있다고 할 수 있다.

'경우의 수'란 무엇인가?

'어떤 일이 일어나는 데 나올 수 있는 경우의 총 가짓수'를 경우의 수라고 한다.

뜻을 알았다면 어떻게 구하는 지 알아보자.

경우의 수를 구하려면 나올 수 있는 경우를 모두 세어봐야 하는데 이때 순서쌍과 수형도를 이용할 수 있다. 이렇게 모두 더해야만 하는 경우도 있는 반면 일어날 사건의 수를 직접 세는 것보다 전체 사건에서 일어나지 않은 사건의 경우의 수를 빼는 게 더 간편할 때도 있다. 

여사건이란 전체 사건에 대하여 일어나지 않는 사건을 말하는데 여사건을 이용해서 범인을 가려내는 문제를 풀 수 있다.

경우의 수를 구할 때 순열과 조합을 이용해 구할 수 있는데 순열은 순서나 등위와 상관있는 경우이고 조합은 순서에 상관없이 뽑는 경우이다. 우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 조합의 예는 로또이다. 로또에서는 숫자를 맞출때 순서가 필요하지 않기 때문이다. 순열은 줄을 서는 것과 같은 이치이다. 앞, 뒤 차례가 있기 때문이다.

그렇다면 예를 들어 경우의 수를 구해보자

네 명의 친구가 원탁식탁에 앉아 밥을 먹는 경우의 수를 구해보자.

이것은 원순열로 구할 수 있다.

먼저 네 명을 일렬로 나열하는 방법의 수를 계산한 후 ,

네 명이므로 같은 경우의 수가 4번 나오니 전체 경우의 수를 4로 나누면 원순열을 구할 수 있다.

자음과 모음책들의 묘미는 모든 과정이 몇 교시로 나뉘어져 있어서 책속의 선생님께 과외를 받는 기분이예요. 그래서 혼자서 책을 보더라도 이해하기가 쉽다는 거지요. 책의 내용에 대한 역사부터 천천히 심화까지 일러주시니 더더욱 재미나게 읽어내려 갑니다. 사실 조금 어려운 부분도 있지만 아이들 학년에 맞추어 읽는다면 쉽게 접하게 되더라구요. 울아이들을 보니 그러했어요. ㅎㅎ

천재들이 만든 수학퍼즐 32 파스칼이 만든 경우의 수입니다.

수학퍼즐은 수학퍼즐 익히기와 한세트라 유용하게 활용되지요.

경우의 수는 수학부분에서도 정말 배워두면 생활에서도 유용하게 활용할수 있는 부분입니다.

둘째가 6학년인데 이제 2학기부터 배우게 될 경우의 수네요. 아이들이 경우의 수를 비롯해서 확률을 어려워 하더라구요. 쉬운듯 하면서 어려운 경우의 수 이제 만나볼까요?

경우의 수는 왜 배우는지, 어떻게 구하는지, 합의 법칙과 곱의 법칙은 서로 다르다는거...이러한 순서데로 9교시까지 나열되어 있네요.

경우의 수를 아는 사람은 주어진 일에 대한 모든 경우를 예측할수 있어요. 앞으로 일어날 모든 경우에 대비 할수 있다는 이야기지요.

아이들 교과서에 기본적으로 나오는 문제지요. 동전과 주사위, 가위바위보 문제가 가장 많이 나오는걸로 알고 있어요. 나올수 있는 경우를 순서쌍이나 수형도를 그려서 나타내다 보면 쉽게 경우의 수를 알수 있어요.

다음으로 많이 나오는 문제가 바로 이러한 문제일 겁니다. 경우의 수 뿐만 아니라 거리를 구하는 문제로도 많이 나오지요.

여기서 주의할점은 두 사건이 동시에 일어날때를 주의해야해요.

곱의 법칙을 활용해서 A와 B 두 사건이 동시에 일어나는 경우의 수 m * n가지

(사건 A가 일어나는 경우의 수 : m, 사건 B가 일어나는 경우의 수 : n)

이렇게 경우의 수는 합의 법칙과 곱의 법칙만 잘 활용하면 실수하지 않을 거예요.

문제는 중학교때 배우는 확률입니다.

중2인 아들이 2학기 1단원으로도 배우게 되는 확률. 걱정부터 앞서네요.

그러한 아들에게 권하고 싶네요. 미리 책에서도 나오듯 순열을 먼저 익혀 두라고... 

고등학교 수학에도 연계되는 확률을 잘 배워둬야 할것 같네요. 앞의 경우의 수보다 순열을 먼저 보니 왠지 더 쉽게 느껴져요. 저야 이미 한번은 배운 부분이니 그러겠지만 처음만나는 울아들이나 딸은 어렵게 생각되나 봅니다. 그래도 이책이 울아들, 딸 2학기 과정과 연계된다 생각되니 더 세심하게 보게 해야겠네요.

아이가 우리집처럼 초6학년과 중2라면 정말 권하고 싶어요. 이번 여름방학에 만난 '파스칼이 만든 경우의 수' 덕분에 울아이들 2학기 수학 문제 없겠죠? ㅎㅎㅎ