대수란 무엇일까? 고등수학에서 미적분을 제외한 분야들 (계산하고 등식을 푸는데 문자기호를 사용하는것 )

보편산술 이란? 1600년경 문자기호를 사용 하면서 임의적이고 주어진 수 다타(data)와 알려지지 않은 수 콰에시타(quaesita)라고 하며 이것은 등식을 풀고자 하는 (곧 어떤 수학적 상황에서 미지수를 구하고자 하는 욕망) 욕망이었다.

알고리듬(algorithm)은 `줄지어 행해지는 연산` 이며 여기에서 대수 (algebra)란 용어가 나오게 되었다

대수는 하나에 이어 다른 하나를 적용하는 것과 같이 수많은 연산이 줄지어 행해진다. 이처럼 `하나 또 하나`라는 방식으로 진행 한다는 것은 바로 시간이 존재한다는 뜻이다.

19세기 지나는 동안 문자기호들은 수의 세계에서 떨어져 나가기 시작하고 그 과정에서 군(group), 행렬 (matrix), 다양체 (manifold)등과 같은 기이하고도 새로운 수학적 대상들이 많이 발견됨 .

@@ 해석학 - 함수, 위상수학 - 다양체, 대수 - 군 @@

대수의 역사의 시작은 `이것에 이것을 더하면 이것이 된다` =＞ `이것에 무엇을 더하면 이것이 되는가?`라는 의문문으로 사고의 전환이었다. 이 과정에서 미지수 X가 등장하고 그 이후에 임의의 수를 나타낼 기호의 필요성을 느끼게 되며 이 기호체계는 등식에 대한 연구를 더 높은 추상화 수준에서 행하도록 한 결과 새로운 수학적 대상들이 빛을 보게 하였다

단순한 방정식만 생각한 대수의 역사가 수학적 대상을 넓히고 그 것을 추상화(보편화)시키면서 발전하였으며 그런 대수들이 수학자체만의 유희가 아니라 실제세상과 연결되면서 현대물리학과 밀접한 연관을 가진다는 점에서 인간의 지적 능력의 발전은 어디 까지 일까 하는 생각을 해보게 된다.

군 -＞ 암호와 그 해독에서 근본적으로 중요하며

행렬 -＞ 경제학적 문석에서 중요하고

대수적 위상 수학 관념 -＞ 전력 생산과 컴퓨터 칩의 설계에 중요

현대 대수 -＞ 현대물리학 응용 (초끈이론, 양자중력, M 이론)

 아마존 서평중 다음의 글이 있다. "고등학생 수준의 수학 실력이라면 무리 없이 책을 즐길 수

있다. - Emannep" 

 저사람이 어느 나라 사람이고 그 나라 고등학교 수학 수준이 어느정도인지는 몰라도.. 아니면

내가 고등학교 수학수준부다 훨씬 떨어지는 지는 몰라도.. 즐기긴 얼어죽을.. 

 게다가 대수 자체가 워낙 재미없어서 그런지 몰라도.. 정말.. 이 책.. 재미 없다.--;;

 이 책에서는 아주 오래전 수학의 기원부터 시작해서 대수가 어떻게 발전해 나왔는지를 나름

재미있게 설명해 주려고 노력하였다.

 그 시대와 학문에 있어 수학의 위치, 수학자를 하는데 있어 남자와 여자의 지위. 그런 문제들로

인해 발생한 수학적 사고등등..

 책을 다시 한번 들여다 보아도 .. 어렵다...--;; 그리고.. 재미없다..ㅋ

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 수학과 철학이 서로 연관이 있어 철학자들이 수학을 하기도 하고 수학자들이 철학을 하기도

한다는데 난 도대체 무슨 연관이 있다는 건지 모르겠다;

 게다가 컴퓨터도 수학자들이 잘한다는데..

 관련책들을 읽다가 너무 자주 나와 산 책이 있는데, '괴델, 에셔, 바흐 ( 영원한 황금 노끈 )'

이라고.. 아놔.. 까치글방 책들은 정말.. 내용이 아무리 알차고 훌륭하면 모하냐고..;;

 나는 도저히 접근이 불가능한데..--;;

존 더비셔...리만 가설의 저자..

스토리 텔링이 뛰어나시다..이 책 산지 10일 반쯤 본거 같다...

궁금 했던 사항이  한눈에 펼쳐진다. 내가 이해는 못해도 그런거 같다.

이런류에 책은 봐두면 인생에 도움이 될듯 ...덧붙여 엘리마욜의 사인코사인의 즐거움(Trigonometry Delight) 이분책도 굉장히 좋은데 한글 절판이 아쉽다. 영문파일은 친절히 인터넷에 올려 주셨다...^^

인물이나 그들의 배경을 위주로 읽으면 아무나 읽을 수 있고 내용도 아주 재밌다. 많은 수학자가 자신의 발견을 인정받지 못하고 일찍 죽거나 그늘에서 살다간 것이 인상적이다.

내용을 착실히 따라가자면 이과배경이 필요한 책이다.  적어도 집합론에 대해서 조금은 들어봤어야 저자가 하는 설명을 다 이해할 수 있을 것 같다. 그런 점에서 저자의 다른 책인 prime obsession보다는 별 한개 정도 후퇴다. 후반부로 갈수록 설명이 점점 간략해지는데 이 점도 좀 아쉽다. 양을 늘리더라도 조금 자세하게 설명을 했으면 좋을텐데. 아니면 그쪽으로 책을 하나 더 내려고 그러나... 또 아직 살아있는 사람도 있는 관계로 말도 조금 아낀 것 같고.

동일저자 존더비셔의 명저 "리만가설"을 읽은 후 본 책을 접했다.

"리만가설"에서와 같이 수학의 역사와 미지수라고 하는 수학의 중요개념이 절묘하게 어우러진 책이다.

이 책이 우리에게 주는 가장 큰 교훈은 우리가 가진 많은 것들은 선대의 수많은 지식인들의 엄청난 시간과 노력의 대가라는 사실이다. 미지수 개념이 탄생한 시점은 역사적 증거들로 추정하면, 약 4000년전 쯤이라고 한다. 미지수 개념이 발전하는 데는 너무도 느려서 1500년, 3000년 이상이 더 흘러서야 작은 도약들이 관찰된다고 한다. 이는 4000년 전 사람들과 지금의 우리들의 지능 자체는 큰 차이가 없다는 사실에 비춰보면 놀라운 일이다. 그러나 이는 저자도 언급했듯이 간단한 수학 개념들 조차도 실상은 매우 어려운 개념이었고, 어쩌면 지금도 그것들을 잘 이해하지 못하는 것이 당연할 수도 있다는 것이다. 수학적 발전이 추상화의 진행이며, 이러한 추상화는 정말 이해하기 힘든 과정이었으며, 천년이 4번이 지나서야 지금 우리가 초등학생 교과서에서 접하는 형태로 다듬어 졌다는 사실은, 우리가 숨을 쉰다는 현상처럼, 당연하게 여기는 것들이 결코 당연한 것이 아님을 얘기해준다.

나는 이 책을 읽으며 우리나라 수학 교육의 현실을 고민해 보았다. 우리는 초등학생 때부터 산수나 수학이 왜 필요한지, 어떻게 탄생했는지를 건너뛰고, 단순 사용법 만을 배운다. 중-고등학생이 되면 이런 현상은 더욱 심해져서, 수학을 공부한다는 것은 좋은 학교 진학을 위한 도구로 전락한다. 그러나 만약, 수, 기하학, 방정식, 미지수 등의 개념을 배우면서, 비록 시간이 많이 걸리더라도, 수학개념과 관련된 수학자들의 흥미진진한 이야기를 듣고, 과거 수학자들이 고민했던 방식대로 지금의 학생들도 고민해 본다면 어떨까 하는 생각을 하게 된다. 왜냐하면, 나 역시 학창시절 지긋지긋해 보였던 수학 기호들이 인류 역사 속에서 어떻게 발견, 발명 되었는지를 알았다면 수학에 대한 흥미가 훨씬 더 컸을 것이라 확신하기 때문이다.

대한민국의 많은 학생들에게 수학의 본질을 깨닫게 해주는 이런 책들을 추천한다. 그리고 교양서적으로 “리만가설”을 흥미롭게 읽은 분들은 “미지수 상상의 역사” 역시 즐겁게 볼 수 있을 것이다. (단, 개인적으로는 “리만가설”이 더 흥미로웠다.)

내가 읽은 책은 (1판1쇄)본인데 전체적인 해석은 깔끔했지만, 가끔 오역이 있어 이해에 어려움이 있었다. 예를들어 P.79에 5줄에는 다음과 같은 예제가 있는데 도저히 이치에 맞지 않았다.

    (번역본) 한 직각삼각형을 그리고, 그 직각에서 빗변으로 수선을 긋는다. 만일 이 수선의 길이가 본래 직각삼각형의 가장 짧은 변의 길이와 같다면, 이 직각삼각형은 어떤 모양이겠는가?

그래서 영문본을 찾아보니 아래와 같았는데, 번역본의 해석이 잘못됨을 발견했다. 

“수선의 길이 = 가장 짧은변의 길이”가 아니라, “수선+가장 짧은변의 길이 = 빗변의 길이” 로 해석했어야 옳았다.

   (영문원본) Draw a right-angled triangle. Construct the perpendicular from the right angle to the hypotenuse. If the length of this perpendicular plus the length of the triangle’s shortest side equals the length of the hypotenuse, what can you say about the shape of the triangle?