수학에 대한 일반인의 선호는 극과 극이다.
수학의 매력에 빠져 평생을 수학만 공부하면 좋겠다는 사람이 있는가 하면, 기호와 숫자만 보면 머리를 절레절레 흔드는 사람들도 있다.  대부분의 사람들은 후자에 해당되겠지만 한번이라도 진지하게 수학의 내면을 들여다본 사람이라면 수학만이 갖고 있는 순수한 매력에 나도 모르게 빠져들 수밖에 없음을 인정하게 된다.  그러나 장황하게 설명하는 일반 언어와는 달리 지극히 간결한 수학적 언어는 일반인의 접근을 쉽게 용인하지 않는다.  시쳇말로 ’차도녀’(또는 차도남)이라고나 할까!  그야말로 순수하지만 도도한 학문임에는 틀림없다.

"생각할수록 페렐만과 푸앵카레를 비롯한 수학자는 시인인 것 같다.  수학은 축적된 지식이기 이전에 세상과 삶을 대하는 태도인 것 같다.  묻고, 대답하고, 따지고, 자기의 오류를 인정하면서 배우고, 다시 묻는 태도.  그래서 옮긴이는 수학을 비롯한 과학을 천재들이 모아놓은 유용한 지식 정도로 여기는 분위기가 적잖이 안타깝다.  시인처럼 세상을 대할 수 없다면, 시를 아무리 많이 외워도 무슨 소용이 있겠는가." (역자 서문 중에서) 

이 책은 난해한 수학 공식이나 증명으로 일관하는 순수 수학과는 거리가 먼 책이다.
대학에서 수학을 전공한 저자 슈피로는 스탠퍼드대학에서 MBA를 취득했고, 예루살렘 히브리대학교에서 수리경제학으로 박사학위를 받았다고 한다.  수학, 물리학, 경제학, 재정학에 관한 30여 편의 논문을 쓴 이력이 있는 저자는 전문 저널리스트로서 대수적 위상수학이라는 다소 낯선 학문을 소개함에 있어 상당히 조심스러운 모습을 보인다. 
오일러에 의해 시작된 위상수학이 현재와 같이 수학의 한 분야로 자리매김 하게 된 역사적 배경을 고찰함으로써 독자들의 사전 지식을 증가시킨 후 푸앵카레의 추측에 대한 문제로 넘어간다.  독자를 배려하는 저자의 의도가 엿보이는 대목이다.

1904년 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레는 자신의 논문 「위상기학으로의 제 5보족」의 마지막에서 한 가지 질문을 던진다. "마지막으로 반드시 검토해야 할 문제가 하나 남는다. 기본군(fundamental group)이 영인 3차원 다양체(3 dimentional simply connected manifold)가 3차원 구와 위상동형이 될 가능성이 있을까?" 이후 100여 년 동안 이 문제는 ‘푸앵카레 추측’이라는 별칭으로 불리며, 수많은 수학자들을 사로잡아 왔다.  자신의 직감을 정리가 아니라 질문으로 제시한 것은 그의 천재다운 솜씨였지만, 그 대답없는 질문이 여러 세대의 수학자들을 괴롭히리라는 것을 알지 못했다.

그리하여 무려 100년 동안 전 세계의 수학자들이 그의 추측에 대한 반례를 찾아 헤매었고, 그러한 노력들이 모두 수포로 돌아가자 그의 추측이 옳다고 확신하게 되었다.   그러나 정작 필요한 증명은 이루어지지 않았다.  물론 성과가 아주 없엇던 것도 아니다.  비록 3차원에서의 증명은 이루지 못했지만 5차원 이상에서 푸앵카레 추측의 증명들이 속속 밝혀졌고, 1982년 프리드먼은 4차원에서도 푸앵카레의 추측이 옳았음을 증명하기에 이르렀다.  많은 수학자들에게 좌절을 안겨준 이 문제는 수학과 과학에서 많은 성과를 가져다 주기도 했다.

상트페테르부르크에 사는 유대인 부모의 두 자녀 중 맏이로 태어난 페렐만은 어려서부터 위대한 과학자가 될 조짐을 보였었다.  상이나 명예, 재산에 관심이 없었던 페렐만은 푸앵카레 추측에 대한  연구를 시작한 지 8년 만에 문제를 풀었다는 확신에 도달했다.   그는 이카이브에 세 편의 논문을 올린다.  그 세 편의 논문에서는 오류가 발견되지 않았고, 미국 대학의 초청 강연에서도 그는 자신의 업적을 자랑하지 않았으며 사람들의 질문에 일일이 답했다고 한다.  이 특이하고 천재적인 과학자 페렐만의 이야기와 수많은 수학자들의 학문에 대한 열정과 도전의 이야기는 저널리스트 슈피로의 자상한 설명과 함께 일반인인 나에게도 깊은 감명을 주었다.

"그러나 수학은 결코 끝나지 않는다.  한 문제에 대한 성공적인 해결은 수많은 새로운 질문들을 향한 문을 열어놓을 뿐이다.  수학 앞에 서면 쉽게 겸손한 마음을 갖게 된다.  너무나 많은 문제들이 아직 미해결로 남아 있다.  위대한 모험은 계속될 것이다." (P.327)

신은 우주를 창조하였고 인간은 수학을 통하여 우주를 이해한다.  결국 우리는 수학 언어로 신의 목소리를 듣는 것이다.  천상의 소리를 듣기 위한 자연과학자들의 지고한 열정과 노력은 아름다운 이론으로 쓰여진다.  단 하나의 반례도 허용하지 않는 완벽한 참의 세계.  우리는 그 장엄한 서사시를 읽고 있는 것이다.

에코의 전집 중 일반 기호학 이론의 마지막 몇 쪽을 남기고 읽기 시작해서 끝까지 이틀안에 읽어버리고 말았다. 이 책은 흥미진진하다. 깊이가 있으면서도 최대한 책을 쉽게 쓰려고 노력한 흔적이 보인다. 마지막에 저자의 약력을 보고 나서 저자가 얼마나 일반인들이 읽기 쉽게 하려고 노력했는지를 깨달을 수 있었다.

일단 이 책을 읽고 난 처음 느낌은 머릿속 안이 빙글빙글 돈다였다. 책의 내용은 간단히 푸앵카레가 질문으로 남긴 추측에 대한 답을 찾아 100년에 가까운 세월 동안 쏟아진 수학자들의 정열과 노력이다. 그리고 마지막에 페렐만에 의해 그 추측이 증명되는 것으로 끝난다. 이리도 내용을 요약하자면 간단한 책이건만 그 과정을 더듬어가는 것은 수학적 지식이 없는 사람이라면 너무도 읽기 힘든 과정이 되고 만다.

첫째로 나는 위상수학이라는 분야를 이해하기 힘들었다. 위상수학 초기라면 모를까 삼차원을 벗어난 부분은 내 머릿속에서 상상이 되지 않았다. 사차원은 물리학의 기초 지식을 동원하여 어찌어찌 꿰맬 수 있었으나 5차원 이상은 어떤 식으로 해석해야 하는가?

둘째, 모든 차원을 수리식으로 풀이한다는 것을 이해하기 힘들었다. 이 책에 나온 많은 정리와 이론들 중 제대로 이해한 것은 하나도 없었다. 대수에 관해서도 이해하기 힘들 정도였다.

이렇듯 내게 지난한 생각거리를 안겨주었음에도 책을 빨리 읽을 수 있었던 것은 어디까지나 이 책의 수학 부분을 그저 넘어갔기 때문이다. 한동안 나는 사차원에서 삼차원 도형의 양상을 그려보려 노력했다. 시간축이 지나면서 변화하는 삼차원 도형을 그려보려 했지만 사차원에서 보는 삼차원 도형은 삼차원에서 보는 삼차원 도형과 큰 차이가 없을 것 같다는 생각에 빠지고 말았다. 왜냐하면 내가 존재하는 곳이 삼차원이기 때문이다. 아니면 시간의 축을 따라 회전하듯 변화하는 또 다른 형태의 삼차원 도형을 그려보다 이내 내 머리로는 도저히 이해불가라는 것을 깨달았기 때문일지도 모른다.

끈이론도 정신없는데 그 끈이론보다 더 머리아픈 책이라는 생각을 하며 그 뒤로 그냥 수학자들의 열정을 읽는데 집중했다. 어차피 4차원 이상의 공간이란 어찌 보면 일반인에게는 필요없는 공간이니.

이 책에 나온 수학자들이 앓았던 푸앵카레염은 천재 수학자가 던진 하나의 질문에 대한 사람들의 욕망이었다. 마지막 페렐만에 의해 드디어 결실을 맺기까지 직감으로 던진 추측성 질문은 수 많은 사람들의 일생을 그 질문 하나에 얽어매어 놓았던 것이다. 하나의 질문은 너무나 큰 영향을 미쳤고 상당한 사람들을 끝이 보이지 않는 어둠속에서 헤매이게 만들었다. 그리고 페렐만은 그 수 많은 사람들에 의해 발견된 이론들을 토대로 드디어 해답을 내놓는다. 그러나 그가 취한 태도는 세상의 명예와 부귀에 대해 거리를 두는 것이었다. 이미 그가 증명함으로써 명예를 얻었으나 그는 그것으로 만족했다. 그에게 세상 사람들의 잣대는 그리 중요해보이지 않은 듯 하다. 나는 그의 태도에서 순수학자의 모습을 보았다. 학자는 연구로 말한다. 연구의 결과가 틀리든 올바르든 그 결과가 커다란 지침이 될 수 있는 것. 그러니 세상에 초월한 듯 보이는 그는 어쩌면 진정한 의미에서의 수학자일지도 모르겠다.

순수한 학자로 산다는 것, 얼마나 쉬운듯 보여도 어려운 일인가? 나는 페렐만의 이상을 황홀하게 바라보지만 만일 내가 페렐만이었다면 도저히 그가 한 선택을 하지 못했을 것이다. 그래서 물끄러미 책 표지를 바라본다. 위의 푸앵카레, 아래의 페렐만 그 사이를 장식하고 있는 구형체, 이것으로 이 책의 모든 것은 풀이되는 느낌이다. 결국 구면으로 귀결되는 증명의 험난한 길은 페렐만에서 끝났으니.

노벨상 ≒ 필즈상
 필즈상이란 상이 있다. 국제수학자연맹(International Mathmatical Union)의 주관으로 열리는 ICM(International Congress of MathMaticians)이란 수학자들의 행사에서 주어지는 상이다. 잘 이해가 안 가시는 분들은 수학계의 노벨상이라고 생각하시는 편이 빠를 것이다.  "수학은 과학의 여왕"(가우스)이라고 하는 수학계에서 가장 큰 상이 바로 이 필즈상이기 때문이다. 어떤 이는 노벨상에 필적한다고 말하기도 한다. 비록 금전적인 가치는 노벨상에 훨씬 못 미치지만 4년마다 최대 네 명에게만 주어지므로 노벨상보다 더 받기 어렵다는 필즈상은 수학자가 얻을 수 있는 최고의 명예이다. 이 필즈상은 흥미롭게도 누가 수상자인지 최후의 순간까지 철저히 비밀에 부쳐진다. 그리고 한편으론 안타깝게도 재능 있는 젊은이를 고무한다는 원칙에 따라 ICM이 열리는 해 1월 1일에 40세 이하인 사람에게만 주어진다는 나이제한이 있다.


 2006년 8월 22일 마드리드 ICM까지 필즈상 수상자는 총44명이며, 수학계의 최고의 영예인 이 상을 받은 여성은 아직 없었다. 또한 필즈상을 거부한 사람도 전무했다. 이 명예롭고 영광스런 왕관에 흠집을 낸 사람이 없었다. 페렐만이란 사나이가 나타나기 전까지 말이다. 그는 이 영광의 상을 거부했다. 이로써 최초로 필즈상을 거부한 사람이 탄생한 것이다.

"그는 마음가짐이 다르기 때문에 인생을 다른 눈으로 본다."  
- 2006년 ICM개최자, 국제수학자연맹의 회장 존 볼(John Ball) 1)

파리 ＞ 개미
파리가 개미보다 더 낫다. 혹은 우월하다고 말한다면, 그 사실에 동의하지 않는 사람들도 있을 것이다. 하지만, 적어도 한가지만은 파리가 개미보다 더 낫다고 말하는 사람이 있다.
바로 파리는 알지만 개미는 모르는 것이 존재한다고 말하는 위성수학자들이다.

농구공이 공 모양이라는 것은 자명하다. 하지만 농구공의 표면을 기어가는 파리나 개미에게는 농구공이 완전히 평평하게 느껴진다. 그러나 파리는 개미보다 낫다. 파리는 3차원으로 날아올라 멀리서 표면을 내려다 볼 수 있다. 그러면 파리는 자기가 붙어 있던 물체가 농구공인지 아니면 타이어 튜브인지 알게 될 것이다. 2)

천재성 ≠ 꼼꼼함
＜푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다＞이란 책은 책의 전반부에는 푸앵카레의 일대기와 업적들을 서술하는데 힘을 쏟고 있다. 푸앵카레의 일대기를 하나하나 되집어 보면 푸앵카레야말로 천재라는 칭호에 아깝지 않은 뛰어난 수학자이다. 하지만 하늘은 여러 가지 재능을 주지 않는지 푸앵카레는 어려서부터 미술과 체육에는 젬병이었다. 수학에 관한 논문을 쓸 때도 뛰어나고 새로운 아이디어와 창의력을 발휘한 반면 의외로 자주 간단한 증명이나 사실을 생략해 버리고 건너뛰는 경우가 많았다. 이러한 버릇은 후에 논문에 오류가 생기게 되는 단초를 제공하기도 하였다.  이러한 꼼꼼함과 세심함의 부재 때문인지, 아니면,천재로서도 쉽사리 풀기 어려운 난제 였는지 푸앵카레는 한 세기를 고민하게 할 한 가지 질문을 던져놓고 세상을 떠나게 된다.

"다루어야 할 질문이 하나 남았다."
"어떤 다양체의 기본군이 자명함에도 불구하고 그 다양체가 구면과 위상동형이 아닐 수 있을까?"
"그러나 이 질문은 우리를 너무 멀리 헤매게 할 것이다."
 푸앵카레는 그 질문을 열어놓은 채로 1903년 11월 3일에 팔레르모시 루기에르 세티모 가 30번지에 위치한 수학회 편집부로 논문을 발송했다. 그의 논문은 그로부터 몇 달 뒤인 1904년에 출판되었다.
 자신의 직감을 정리가 아니라 질문으로 제시한 것은 천재다운 솜씨였다. 이제 답을 제시하고 필요한 증명을 하는 것은 푸앵카레의 몫이 아니라 동료 수학자들의 몫이 되었다. 3)

페렐만의 논문 ⊃ 차오와 주시핑의 논문 
 페렐만이 수학계와 관계를 끊은 데에는 또 다른 이유가 있을지도 모른다. 과학사는 발견 순서를 둘러싼 숱한 논쟁으로 얼룩져 있으며, 수학사도 예외가 아니다. 페렐만은 자신의 증명을 출판하기를 꺼렸고, 그 때문에 다른 사람들이 그의 성취에 편승하여 명예를 낚아채기가 쉬웠다.
"나는 내가 능욕당했다고 말할 수 없다. 다른 사람들은  더 심한 일도 당하니까." 
그는 논쟁을 혐오하는 성격을 타고났다. 4)

 2002년과 2003년 페렐만이 패앵카레의 추측에 대한 증명의 마지막 방점을 찍을만한 논문을 올린 이후 자신의 증명을 구체적으로 출판하는 것에 적극적이지 않았다. 그러다 보니 그 빈자리를 노리고 차지하려는 시도가 나타나게 된다. 2005년 중국의 차오와 주시핑이 새로운 논문을 내고, 중국 언론은 미칠 듯이 기뻐하면 대대적인 보도를 한다. 그리고 중산 대학은  [중산대학 교수 주시핑이 100년된 수학 문제를 풀었다.]와 같은 성명을 발표한다. " ......최종적인 '마무리' 작업은 중국인들에 의해 이루어졌습니다. 이것은 골드바흐 추측(의 증명)보다 훨씬 더 중요한 대단한 업적입니다." 중국 통신사 신화통신은 "........두 명의 중국인 수학자.... 1세기 넘게 괴롭힌 문제의 해결에 마지막 조각들을 맞춰 넣었다...... 페렐만은 그 추측의 증명을 위한 지침을 제시했지만 문제를 푸는 방법을 정확히 지적하지 않았다."

 이 모든 언론의 주목은 수학계에 충격을 주었다. 수학계의 항의와 조롱에 중국의 야우 박사(차오의 과거 스승)는 자신의 홍보를 위한 인터넷 방송과 웹사이트 개설을 했고, 변호사를 통한 명예훼손 소송에까지 이른다. 이 사태는 차오와 주시핑의 논문이 클라이너와 로트가 쓴 논문(페렐만의 증명을 명료화한 논문)의 첫 버전을 그대로 사용한 문장이 발견 됨으로써 비로서 막이 내리게 된다.

밀레니엄 상 & 100만 달러
 클레이수학연구소에서는 세계 7대 난제에 대해서 각 문제당 100만달러를 걸고 밀레니엄 상을 제정한 적이 있다. 그 중에 이 푸앵카레의 추측도 포함되어 있다. 그렇기에 만약 푸앵카레의 추측에 대한 밀레니엄 상이 수여가 된다면 페렐만이 그 주인공이 될 것이다. 하지만 아직 밀레니엄 상은 페렐만에게 수여가 되지 않았다.(적어도 책상에서는 그렇다.) 5) 그런데 푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다란 책과 관련된 일부 리뷰에서는 페렐만이 ’100만달러의 상금을 거부했다.’는 표현을 쓰고 있다. 실제로 그런 사실이 있었는데 책에는 기록이 안 된건지, 아니면 그 리뷰를 쓴 분들의 착오인지 진위가 궁금하다.

현재로서는 클레이 수학연구소가 100만 달러를 수여했을 때 무슨 일이 일어날지에 대하여 그저 추측만 할 수 있을 따름이다.......100만 달러를 받는 것은 대단한 일이다. 100만 달러를 걷어차는 것은 더 대단한 일이지만 6) ..........유일하게 남은 질문은 상금 100만 달러가 언제 수여될 것인가 하는 것 뿐이다. 7)

# 인상 깊은 소절
푸앵카레의 추측은 100년 후에 그리고리 페렐만에 의해 해결되었고, 4색 문제는 200년 만에 풀렸으며,페르마의 추측은 300년, 케플러 추측은 400년 만에 해결되었다는 점을 상기해야 한다. 8)

이 글은 개인 소감의 목적으로 쓰였으며,
이 글에 인용된  각 부분의 저작권은 원저작자에게 있습니다.
- 특별한 리더 (2009.12)

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1) ＜푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다(POINCARE'S PRIZE)＞ 조지 G.슈피로 저, 전대호 역, 김인강 감수, 도솔(2009), p.15
2) 같은 책, p.21~22
3) 같은 책, p.141
4) 같은 책, p.18
5) 이 책의 한국어 번역판 초판 1쇄는 2009년 11월에 발간되었다.
6) 같은 책, p.326~327 이 소절 때문에 페렐만이 100만 달러를 거부했다고 생각하는 것일까?
7) 같은 책, p.327 하지만, 이 책에선 밀레니엄 상에 대한 결론은 아직 미정이라는 것이다.

8) 같은 책, p.323

이 책은 1904년 푸앵카레가 발표한 논문에서 천재다운 직감으로 이해했던 추측을 질문으로 바꾼 그 유명한 ‘푸앵카레의 추측’을 향한 100년 간의 수학자의 노력을 담고 있다. 하지만 예전에 읽었던 사이먼 싱의 『페르마의 마지막 정리』보다는 훨씬 더 재미있는 것이 ‘푸앵카레의 추측’이 나오기까지의 푸앵카레의 업적과 그것을 향한 다양한 수학자들의 노력과 삶을 다채롭게 정리해주었기 때문이다. 그것은 아마도 저자가 수학자가 아닌 저널리스트였기에 강조할 것은 강조하고 군더더기는 빼버린 글솜씨가 깔끔해서 어려운 수학적인 증명이 많이 나오는데도 재미있게 읽을 수 있었던 게 아닌가 싶다. 정말로 많은 수학자들이 그 추측을 증명해내는데 도움을 주었고 생각을 보탰다. 결국 그 공로는 은둔하며 8년 동안 그 추측에만 매진한 페렐만에게 돌아갔지만 그의 증명이 있기까지 굵직하게 도움을 준 해밀턴의 프로그램이 없었다면 불가능한 일이었을 것이다. 이렇게 여러 사람의 도움을 받고 페렐만이 결국 ‘푸앵카레의 추측’을 증명하는 것을 보니 인간 역사는 여러 사람의 지식을 쌓아가는 과정으로 발전하는 것이 아닌가 하는 생각이 든다. 그런데 역시 수학자들 중에는 기이한 사람들이 정말 많은 게 서두 부분에 ‘푸앵카레의 추측’을 증명한 페렐만의 기행이 나타나있기 때문이다. 수학 분야에서의 노벨상이라고 불리는 필즈상을 ‘푸앵카레의 추측’을 증명한 공로를 인정받아 수상하게 되었지만 페렐만은 시상식에도 나오지 않았고 보내주겠다고 한 상패도 고사했다고 하고 그를 설득하러 러시아까지 날라 온 수학자들에게도 간곡히 자신의 입장을 설명했다고 하니까 말이다. 수학계에서 일어난 어떤 사건 때문에 외부와의 단절을 고수하는 페렐만은 자신이 수학계에서 격리되었다고 느끼기에 수학계의 지도자 중 한 사람으로 보이기 싫다고 말했단다. 무슨 일이 있었는지는 잘 모르지만, 정말 그렇게 명예와 돈을 거부하는 저명한 지성인을 만나는 게 그렇게 싫지는 않다. 아마도 그런 기이한 행적을 보이는 수학자가 있다는 것이 수학에 대한 매력을 더 높여주는 것이 아닌가 싶다.

그럼, 이제 가장 중요한 ‘푸앵카레의 추측’이 무엇인지 말해보자. 일단 그런 추측을 제시한 푸앵카레라는 인물은 수학계에 흔히 나타나는 천재였다. 뭐, 신동이라고 불릴 수도 있었을 텐데 어려서부터 수학을 좋아했던 것은 아니였다. 오히려 그가 두각을 나타냈던 분야는 문학적, 철학적인 분야였고 그가 좋아했던 분야는 역사와 지리였으니, 그렇게 생각할 법하다. 그러나 그는 전과목에 수석 자리를 놓치지 않을 정도의 지능과 탁월한 집중력으로 수다를 떨면서 몇 자 적는 식으로 숙제를 하곤 했고 그 버릇을 상급생이 되도록 고치지 못했다. 그가 수학에 관심을 가졌던 것은 14살 때로 그의 수학적 재능은 선생님 사이에서 회자되곤 했는데 그의 명성에 누를 끼칠 일이 일어났다. 문학 바칼로레아(프랑스의 고등학교 졸업시험)에서 라틴어와 프랑스어 에세이는 탁월했고 다른 과목도 뛰어났으나 그 뒤에 치러진 수학 바칼로레아에서 늦게 도착하는 바람에 엉뚱한 답을 적어내어 낙제점을 받았던 것이다. 그러나 그의 평소 실력을 알고 있던 선생님의 배려로 구슬시험을 다시 볼 수 있게 해 당당하게 합격할 수 있었다. 보통 특별한 수학적 재능을 가진 프랑스 남성들은 고등학교 졸업 후 그랑제콜 입학을 위한 혹독한 2년 수업을 받는데 그 첫 해가 끝날 무렵 푸앵카레는 1등을 한다. 그리고 2년 수업이 끝나고 나서도 전체 수석을 차지했고 이젠 그랑제콜이 속한 대학교 중에서 가장 뛰어난 곳이 파리공과대학을 가기 위한 시험이 남아있었다. 원래 구술 입학 시험을 치르는 장소는 휑하니 비어있는 것이 정석이지만, 그 때 이미 그의 명성이 자자했기에 그의 시험장에는 구경하려는 사람들도 부적였다고. 질문을 받으면 푸앵카레는 눈을 감거나 깊은 생각에 잠겨 천천히 대답했는데 그의 답변을 들은 시험관들은 경악했단다. 그를 위한 기학학 문제를 낼 때 교묘하게 다시 만들기 위해 45분이나 시험을 중단했을 정도라니 정말 대단한 천재가 아닌가 싶다. 학교에 다닐 때도 거의 필기를 하지 않아도 머릿속에 다 입력이 되는 특별한 그의 집중력은 너무 부러울 정도고, 그의 빠른 두뇌 회전을 따라가지 못해서 그의 표현력이 엄정성이 떨어진다니, 나도 그런 경험을 해보고 싶다.

파리공과대학을 졸업하고 광산대학에 들어가 최고 성적(18에서 20등급은 이 세상 사람이 결코 받을 수 없으며 16에서 18등급은 교수 정도나 되어야 받을 수 있는 등급이며 14이상의 등급은 탁월한 수준에서, 그는 17.17등급을 받음)으로 졸업한 그는 훌륭하고 인정 넘치는 기술자가 되었다. 광산에서 폭발 사건이 일어나면 2차 폭발을 각오하고 들어가 폭발 원인을 조사해 보고서를 작성해야 하는데 그는 그런 일을 아주 훌륭히 수행해냈다. 하지만 그의 운명은 수학에 연결되어 있었다. 광산대학을 다니던 중에도 혼자서 고급수학문제에 매달렸고 파리공과대학 1학년 때도 이미 편미분방정식(여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식)에 대한 논문을 완성한 상태였던 것!! 하지만 탁월한 수학적 재능에도 불구하고 항상 문제가 되었던 표현력이 걸리기는 했다. 후에도 그런 표현력 때문에, 혹은 엄정성이 떨어지는 것 때문에 문제를 일으키기도 하지만 그는 번뜩이는 직관에 의존하여 문제를 풀어가는 편이다. 그러니까 어떤 문제를 마주쳤을 때 왜 인지는 모르지만 그것이 맞는지, 틀렸는지 감이 온다. 그래서 약간의 단계를 건너뛰고 증명을 하는 바람에 오스카상을 받고도 논문 출간에 앞서 국제적인 망신을 당할 뻔했던 것!! 그의 아이디어가 엄청나게 독창적이기 때문에 그의 논문을 심사하는 수학자들도 그의 오류를 눈치채지 못했던 것도 문제였고, 그가 논문을 썼을 때 너무 직관에만 의존했던 것도 문제였다. 하지만 논문을 출판하기 위해 원고를 정리하는 임무가 주어진 에드바르 프라그멘 덕분에 미리 오류를 알 수 있었고, 푸앵카레는 다시 논문을 써야 했다. 새 논문은 어마어마하게 독창적이여야 했는데, 성공할지 확실하지 않은 상태에서 그는 해냈다. 1세기 후에는 엄청 유명해질 카오스 이론의 기초를 놓았던 데다가 그 유명한 ‘재귀정리’도 들어가 있었던 것!!! 전화위복이란 말을 여기에 써야 할까. 사소한 오류하고 생각했던 것이 어마어마하게 불거져 나오는 것을 완전 역전 홈런을 쳐서 날려버렸으니까 말이다.

그랬던 그는 논문을 쓸 때 이제 앞서 한 실수를 교훈삼아 좀 더 여유롭게 질문을 한다. 갑작스럽게 떠오른 중요한 화두 하나, 구면은 자명한 기본군을 가졌으므로 기본군이 보편적인 분류 체계로서는 불충분할지라도, 최소한 자명한 기본군을 가진 모든 물체는 위상수학적으로 구면과 동치가 아닐까 하는 질문!! 하지만 이것을 증명도 안한 상태에서 갑작스럽게 정리로 제시하지는 않았다. 페르마의 독단적인 성격과는 극명한 대조를 이루는 모습이다. 크~ 그의 독단적이고 약올리는 듯한 어투가 얼마나 많은 수학자들을 괴롭게 했던가. 난 천재들은 다 오만하고 독단적인 줄만 알았더니 푸앵카레는 그의 생각의 속도를 글의 속도가 따라가지 못했던 뿐이지, 사람 자세는 거들먹거리지도 나대지도 않고 수학적인 지식이 낮은 사람에게도 친절하게 대하는 사람이었다는 것을 처음 알았다. 마음 속이 편해졌다. 자신이 천재라 범인을 이해하지 못해 오만한 행동을 하는 사람을 이해는 할 수 있지만, 어딘가 모르게 불편한 마음이 들었던 것은 어쩔 수 없었었는데 말이다. 어쨌거나 푸앵카레는 4년 전의 실수를 거울 삼아 다섯 번째 보충 논문에서 조심스럽게 질문을 한다. 「다루어야 할 질문이 하나 남았다. 어떤 다양체의 기본군이 자명함에도 불구하고 그 다양체가 구면과 위상동형이 아닐 수 있을까?」 이것이 그 유명하다는 ‘푸앵카레의 추측’이다. 사실 유명하다는 ‘페르마의 마지막 정리’는 들어봤지만, ‘푸앵카레의 추측’은 사실상 처음 들어본다. 하긴 300년이 넘도록 수학자들의 애만 태운 정리와 어디 비교할 수 있겠냐마는, ‘푸앵카레의 추측’은 사실 내가 이해하기란 거의 불가능한 수학의 분야였던 것도 한 몫을 했을 것이다. 위상수학이라니, 4차원의 세계에서 사는 것도 힘든 나에게 더 이상 고차원적인 생각은 거의 허용이 되지 않는다. 그런 차원을 넘나드는 문제가 우리가 살고 있는 우주의 모습을 밝히는데 큰 도움이 된다지만 차라리 나는 지구 위에서 사는 것만으로도 충분히 버거운 사람이니 역시 내 길은 아닌 게 확실하다.

어쨌거나 그의 그 추측은 다양체에 난방을 한다면 열의 흐름이 이동하는 경로를 연상시키는 해밀턴의 ‘리치 흐름’을 도입해 풀어냈다. 페렐만이 해밀턴의 ‘리치 흐름’을 접하고 나서 ‘푸앵카레의 추측’에 매달렸던 것은 해밀턴의 도구를 이용해 푸앵카레의 것을 풀 수 있다는 착안을 했기 때문이다. 아마 이것도 수학자의 예리한 직감이 아니였을까. 정말 신기했던 것은 페렐만은 다 풀어놓고서 논문을 출판할 생각보다는 누구나 볼 수 있게 아카이브에 올렸던 것이다. 아카이브는 학술지에 아직 출판되지 않았거나 제출되지도 않은 논문들의 저장소이다. 그것도 ‘푸앵카레의 추측’이란 제목을 달지도 않고서 말이다. 그는 ‘푸앵카레의 추측’을 해결하고서 영예를 안을 생각이 없었고, 그저 자신의 생각을 남들과 공유하고 싶었을 뿐이었다. 논문은 총 세 개였는데, 처음 논문에서 발견된 오류를 두 번째 논문에서 수정하는 방식을 쓰긴 했지만 전반적으로 ‘푸앵카레의 추측’이 해결되지 않을 만한 오류가 있지는 않았다. 그의 논문들이 인터넷 상에 공개되고 나서 몇몇 수학자들이 주목했다. 그래서 그에게 강의를 부탁했고 그것을 흔쾌히 수락한 페렐만은 미국에 가서 겸손한 태도로 강연을 하고 질문을 받고 열심히 자신의 아이디어를 퍼트려나갔다. 그가 평정심을 잃었던 것은 딱 한 번, 수준 이하의 질문을 받았을 때(그것을 받아들었으면 강연해야 하는 일주일 내내 그것만 설명해야 하기 때문에)말고는 시종일관 겸손했고 유쾌했다. 하지만 기자에게는 화를 냈고 사진을 찍히는 것도 용납하지 않았던 것은 정말 신기한 일이다. 그 후 많은 미국 학교에서 그를 잡았지만 그를 미국에 붙들어두진 못했다. 그의 은둔처인 러시아로 돌아가서 그의 아이디어를 더 알고자 하는 사람들이 질문한 메일에 자세하고도 친절하게 답장만 해주었다.

논문으로 출판할 생각도, 그의 논문을 좀 더 쉽게 정리할 생각도 안 하는 그를 위해, 아니 수학의 발전을 위해 다른 세 팀이 등장한다. 존 모건과 치안강은 전문가용이 아니라 대학생들이 알게 쉽도록 그의 아이디어를 연구해서 책으로 냈고, 브루스 클라이너와 존 로트은 그들 나름의 해설서를 썼는데, 차오화이둥과 주시핑은 페렐만의 논문을 연구했으면서 페렐만과는 다른 방법으로 ‘푸앵카레의 추측’을 풀어냈다는 오만함을 드러내는 만행을 저질렀다. 나중에 클라이너와 로트의 주석서 앞 장과 똑같은 문구가 발견되지 않았다면 끝까지 우겨댔을지도 모른다는 생각이 들었지만, 어쨌거나 ‘푸앵카레의 추측’을 해결한 공이 페렐만에게 정당하게 돌아가서 다행이었다. 이 부분을 읽으면서 정말 뻔뻔한 중국인이라는 생각을 안했다고 한다면 거짓말일 것이다. 남의 나라 역사를 가져다가 제 역사라고 우기는 그들이니 수학적인 정리 하나 가로채는 사소한 일쯤이야 쉬웠을 것이란 생각도 해보지만, 어디까지나 이 책 자체가 서구인들의 눈에 비춰진 시각으로 보는 것이라 그것도 편견에 휩싸인 것은 아닌가 하는 우려를 감출 수 없다. 푸앵카레가 살았던 당시만 해도 수학자들은 모두 독일어를 배웠어야 한다니, 오스트리아 빈에서 태어난 저자에게 얼마 만큼의 우월감이 있을 게 알게 뭐냐. 물론 페렐만은 러시아인이었기에 그다지 설득력이 있어 보이지는 않지만 말이다. 그 문제는 덮어두고 페렐만은 ‘푸앵카레의 추측’을 해결함에 따라서 필즈상을 받았고(물론 그는 거부했으나) 앞으로 밀레니엄상으로 100만 달러를 손에 넣을 수도 있게 된다(물론 이 상도 거부할 거라 의심치는 않지만). 하지만 수학에 매진하는 것이 어디 상 때문이겠나. 자신이 좋아하는 분야에서 신나게 맘껏 노는 것이 흥미로울 뿐이지. 물론 자신의 분야에서 인정받는다는 의미로 상을 주시는 거야 고맙고 감사한 일이겠지만 상이나 명예에 눈이 멀어 다른 사람의 아이디어를 가로채고도 제대로 된 인정 하나 하지 않는 지식인들을 보면 좀 씁쓸할 뿐이다. DNA 이중 나선 구조의 발견으로 1962년 노벨생리·의학상을 공동으로 받은 제임스 왓슨, 모리스 윌킨스, 프랜시스 크릭도 사실은 X선으로 찍어가며 연구를 했던 로잘린드 프랭클린에게 빚을 진 것인데 말이다. 하여튼 여러 사건에도 불구하고 흥미진진한 이야기를 지루하지 않게 이끌어주신 저자에게 감사하다.

페렐만의 이름 조차 들어 본적이 없었다. 그가 100년간 풀리지 않는 수학의 난제 '푸앵카레의 추측'을 풀었다고 언론에 보도되기 전까지는.

1904년 앙리 푸앵카레가 처음 제기한 이후 100여 년 동안 수많은 수학자가 도전했지만 풀지 못한 ‘푸앵카레의 추측’은  고차원 공간을 이해하고 우주의 모양을 추론하여 우주의 신비를 푸는 데 열쇠가 되리라 여겨지는  증명되지 않은 정리이다.이는 전 세계 수학자들의 노력을 비웃기라도 하듯 100년이 지나도 해결되지 않았다.

2002년에 수학계의 노벨상인 필즈상을 수상한 스티브 스메일이 21세기의 가장 중요한 수학문제로 꼽았으며, 클레이연구소가 세계 7대 수학난제로 선정하였다. 수많은 탁월한 수학자들이 그 문제에 달려들어 학자로서의 일생을 걸고 해결을 추구했으며, 그들 중 많은 이들은 증명을 풀었다고 여겨 발표하고 대가를 치뤄야만 했다. 그리고 마침내 페렐만이 아무도 하지 못했던 것을 해낸다.

그는 100만 달러짜리 밀레니엄 수학상을 받을 권리를 최초로 획득한 주인공이 되었으며, 그가 푸앵카레의 추측을 풀었다는 자체 만으로도 수학사에 큰 획을 긋는 위대한 일임에 아무도 반대하는 이 없었다. 하지만 정작 본인은 수학자에겐 최고 명예인 필즈상 수여를 거부하였다. 그리하여 수학자들 뿐만 아니라 일반인 사이에서도 미스터리한 인물로 많은 관심과 이목이 그에게 집중 되었다. 그가 누구인지? 하지만 여전히 언론에 모습을 드러내지 않는 그에 관해 알려진 것은 극히 일부분 일 뿐.

내가 그를 알게 된것은 우연히 본 한 방송 프로그램에서 그와의 인터뷰를 하고자한 기자에게 인터뷰와 사진 찍기를 거부하며 낡은 아파트 입구로 걸어가던 모습이었다. 덩치가 큰 그는 발목 까지 내려오는 긴 외투를 입고 수염이 온 얼굴을 덮고 있어 흡사 해리포터에 나오는 해그리드의 모습을 연상케 했다. 이 책을 쓴 이는 그런 그의 모습을 도스키예프스키의 소설에서 걸어나온 듯한 러시이인이라 표현했다.

그런 그에게 은둔자적 모습과 더불어 명예나 대중의 환호와 정치적 지원이나 금전과는 바꿀수 없는 순수한 학자의 모습과 맑은 영혼의 모습을 보게 되었다. 그 후론 수학 역사상 최대의 수수께끼라 불리우던 '페르마의 마지막 정리'를 증명한 영국의 수학자 앤두르 와일즈의 이름 앞에 제일 존경하는 사람으로서 그의 이름을 거론하게 되었다. 물론 내가 수학을 좋아하고 관심이 많은건 사실이지만 푸앵카레의 추측이나 위상수학에 관해선 잘 모른다. 하지만 이 책은 단연코 수학사의 길이 빛날 여러 수학자들의 삶과 그들의 연구 실적을 담았음에도 단 한걔의 수학 공식도 나열 되지 않았다. 다소 어려운점도 있지만 일반인들이 읽기에도 그다지 큰 문제는 없으리라. 푸앵카레의 이야기를 시작점으로 하여 풍부한 수학사의 역사적 사실들과  증명과정에 따른 여러 사람들의 열정과 노력을 읽는 것만으로도 가슴 벅찬 일이였으며 역사적인 수학사의 한 장을 장식한 순간을 접할 기회를 얻게 됨을 기쁘게 생각한다. 

20세기에 수백명의 수학자들이 제각기 자신의 방식대로 푸앵카레의 추측을 증명하려고 노력 하였으며, 실제로 많은 부분 기여 하였고 다른 질문들을 만들어 냈다.

아직도 많은 문제들이 미해결 문제로 남아 있어 수학자들의 도전을 기다리고 있다.그러므로 그들의 열정과 모험, 도전은 계속 될것이며 위대한 수학자의 탄생과 그의 이야기를 기대해 본다.  

# 장소, 미국 보스턴의 MIT 공대. - 청소를 하던 청년이 복도 칠판에 적힌 문제를 유심히 들여다보더니 분필을 들고 풀기 시작한다.

# 다음날 - 담당교수, 자신이 학생들에게 한 학기 동안 풀어보라고 제출한 문제를 해결한 학생이 누구인지 수소문하지만 아무도 대답하지 않는다. 이에 교수는 또 다른 문제를 칠판에 적어놓는다. 그 후 칠판 앞으로 다가온 청년, 역시나 쉽게 문제를 풀어내는데, 그 광경을 지켜본 교수, 다급하게 청년을 부르지만 그는 달아나고 마는데...

영화 ＜굿 윌 헌팅＞의 한 장면이다. 노벨상을 수상한 교수들도 어려워서 쩔쩔매는 문제를 쉽게 풀어내는 윌 헌팅. 그는 명석한 두뇌의 소유자로 수학에 탁월한 재능을 가졌지만 불우한 가정환경과 마음의 상처를 안고 노동자로 하루하루 살아간다. 그러다 램보 교수를 만나 수학문제를 풀고 심리학 교수인 숀 맥과이어 교수를 만나 마을을 열게 된다.

＜푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다＞란 책을 읽으면서 불현듯 이 영화가 생각났다. 영화 속 램보 교수가 바로 수학분야의 노벨상이라는 필즈상을 수상자로 나왔다는 것과 그의 눈을 번쩍 뜨이게 한 괴팍한 천재 윌 헌팅은 한사코 자신을 감추려했다는 점. 그것이 백년의 난제, 푸앵카레의 추측을 풀어낸 공로를 인정하여 필즈상을 수상하게 됐지만 이를 거부하고 몸을 숨긴 페렐만을 떠올리게 했다. ‘푸앵카레 추측’이란 무엇이며 페렐만은 그 난제를 어떻게 해결할 수 있었을까. 조지 G. 슈피로는 이 점에 대해 풀어내고 있다.

페렐만의 필즈상 수상거부로 시작한 책은 앙리 푸앵카레에 대해 얘기한다. 푸앵카레는 어릴 때 몸이 약했고 말투도 다소 어눌했지만 뛰어난 아이였다고 한다. 수업시간엔 메모는 물론 기록도 제대로 하지 않았지만 집중력과 기억력이 뛰어나서 어떤 어려운 문제도 척척 풀어낼 정도였다고 한다. 푸앵카레는 그 후 광산대학에 다니면서 본격적으로 수학문제에 몰두하게 되는데 오스카상을 받아 과학계의 총아로 떠오른 자신의 논문에 오류가 있다는 걸 발견하게 된다. 논문을 다시 쓰기 시작한 그는 결국 작은 원인이 엄청나게 큰 결과를 불러온다는 나비효과의 토대가 되는 카오스 이론의 기초를 발표한다. 그리고 이전의 실수를 발판삼아 더욱 깊은 의문을 품게 된다. “어떤 다양체의 기본군이 자명함에도 불구하고 그 다양체가 구면과 위상동형이 아닐 수 있을까?”(141쪽)  이것이 바로 그 유명한 ‘푸앵카레의 추측’이다.

‘푸엥카레 추측’. 암만해도 역시 어렵다. 초반에 언급된 대로 쉽게 설명하자면 둥근 공 위를 기어가는 개미가 있다고 하자. 그에게 공의 표면은 완전히 평평하게 느껴진다. 해서 그 표면이 둥근지, 평평한지 알려면 개미는 거기서 좀 떨어져서 바라봐야 하는데 이것이 파리에겐 가능할지 몰라도 개미에겐 불가능하다는 것이다. 그래서 물체에서 떨어지지 않고도 3차원 물체의 표면이 둥글다는 걸 증명할 수 있을까 하는 것이다. 지구 밖을 벗어나지 않고 지구가 둥글다는 것을 증명할 수 있느냐는 가설이므로 그 범위를 좀 더 넓게 확장하면 우주 밖으로 나가지 않고도 우주가 둥근지 아닌지 알 수 있다는 것이다.

수학분야뿐 아니라 물리학과 천문학에도 큰 업적을 남긴 앙리 푸앵카레. 그가 1904년 발표한 논문에서 자신의 직감을 정리가 아닌 질문으로 제시한 것에 답을 찾아내고 증명하기 위해 이후 100년간 전 세계의 동료 수학자들이 매달리게 된다. 화이트헤드를 시작으로 크리스토스 파파키리아코풀로스, 엘비라 슈트라서라파포트, 제임스 매쿨...등 수많은 수학자들이 모두 푸앵카레병에 걸리는 것도 마다않고 세계 7대 수학난제 가운데 하나인 푸앵카레의 추측에 도전했지만 어느 누구도 완전하게 해결하지 못했다. 2006년 그레고리 페렐만에 의해 푸앵카레의 추측이 정리되기 전까지. 그러나 100만 달러의 상금이 걸린 난제를 해결한 그는 필즈상 수상까지 거절한 채 세상과 단절한 채 은둔해버렸다.

때론 책장 한 장에도 무게가 느껴질만큼 어려운 독서가 필요하다고 생각했다. 학창시절 수학을 어느 정도 했다고 자부했다. 그런데 나의 교만이요, 자만이었다는 걸 깨달았다. 위상수학이니 위상기하학, 3차원, 4차원, 클라인 병, 베티 수...처럼 도무지 이해할 수 없는 말들이 툭툭 튀어나와 앞을 가로막을 때마다 생각했다. 판단착오였어. 수학이 이토록 어려운 학문일 줄이야. 수학을 전공하지 않은 게 천만다행이지...백년의 난제 푸앵카레의 추측을 풀기 위해 수많은 수학자들이 고심한 것처럼 나의 책읽기 역시 고난의 연속이었다.

페렐만에게도 그랬을까. 100년이란 세월의 묵직함. 문제 하나를 풀기 위해 자신의 인생을 송두리째 바친 수학자들의 삶, 생애를 그는 가벼이 여길 수 없었던 건 아니었을까. 40대 중반의 페렐만. 학자로서 아직 한창의 나이인 그가 은둔의 날을 접고 다시 수학자로 나타나길. 그에 의해 밝혀질 심오한 학문의 세계, 손꼽아 기다려본다.

수학과 관련된 책이지만 결코 지루하지 않은, 수학자들의 일생을 그려서 수학처럼 따분하고 어려운 이야기들 같지만우리와 별다른 점이 없는 똑같은 사람처럼 그들도 시련을 겪으면서 고독하기도 좌절하기도 하는 이야기를 들으면서 수학자들에 대한 새로운 시각을 가지게 해준다. 수학을 못하고 싫어하는 사람이라면 이 기회에 그냥 한번 본다는 생각으로 보면 좋겠다. 결코 저자는 수학적인 문제를 여러분에게 이해시켜려고 하지도 않고 푸앵카레가 내 놓은 7대 난제가 어떤 것이고 함께 풀어보고 고민하자는 소리는 절대 하지 않는다. 다만 수학자들에 대한 재밌는 이야기를 알려주고 있다.

굉장한 열정들로 가득한 책이다. 이 책은 푸앵카레가 내놓은 질문을 여러 수학자들이 고민을 겪다가 백년만에 페렐만에 의해 풀리는 이야기를 담은 수학자들의 소설이다. 수학과 관련되서 무척 지루해보일수도 있다. 하지만 이 안에 들어있는 열정만큼은 이 세상에 어느 책에도 밀리지 않을 것이다.

여기서 푸앵카레는 자신의 직감을 질문으로 내 놓아 많은 수학자들을 무릎꿇게 만들었다. 이 질문은 수많은 수학자들을 울렸다는 것을 이 책을 통해서 알 수 있었다. 정말 시대를 넘어선 난제중에 하나였다나는데  난 사실 잘 몰랐다. 솔직히 푸앙카레가 내 놓은 질문의 뜻을 잘 이해하지도 못하고 페렐만이 내놓은 대답이 도대체 무엇을 이야기 하는지도 난 사실 잘 이해하지 못했다. 하지만 한 가지는 분명하다. 수학자에 대해 많은 것을 알게 되었고 그들의 열정을 보면서 나 또한 큰 열정을 품게 되었다.

단순한 한 질문에 대해서 수학자들은 일생을 바치기도 한다. 수학의 묘미는 자신이 직접 생각하고 또 생각해서 마지막에 풀어내서 답을 얻는 그 기쁨이 아닐까? 푸앙카레의 그 한 질문은 100년동안 사람들에게 절망을  살아가야할 이유를 주기도 했다. 수학적인 증명, 증명의 오류, 치열한 논리, 토론 수학은 정말 우리 세상에 없어서는 안되는 것이고 앞으로도 많은 관심을 받아야할 학문이 아닐까?

이 책에서는 푸앵카레의 질문으로 시작해서 페렐만의 답까지 단순히 두사람만의 이야기가 아니다. 그 질문에 도전했던 수많은 수학자들 화이트 헤드, 파파키리아 코풀로스, 스메일, 발렌틴 포에나두까지 그들의 삶과 업적도 같이 이야기 하면서 그들의 아픔을 보여주고 있다.

수학자들이 이 세상에서 얼마나 고독하게 자신과의 싸움을 펼치고 있는지를 직설적으로 보여준다. 솔직히 우리는 고등학교때도 대학교때도 수학을 배우면서 짜증을 내기 필수다. 누가 수학을 발명했냐던지이런건 왜 배우냐고 하는 등의 질타를 많이 한다. 이 얼마나 철 없는 행동인가...

우리가 사는 21세기에서 수학의 도움은 정말 엄청나다, 우리가 편리하게 살 수 있는 것도 수학자들의 뼈를 깎는 고통으로 얻는 수확의 결과이다. 우리는 태도를 바꾸어 수학을 달리 생각해야 하지 않을까? 아직도 초등학생들은 수학을 왜 배우냐면서 뭐라 밀어붙이기 쉽상이다.

청소년들에게 정말 추천하고 싶은 책이다. 그들의 열정을 보면서 공부에 대해 조금 더 관심을 갖고 수학에 대한 안 좋은 생각들을 고쳐서 더 넓고 큰 생각을 가졌으면 좋겠다. 이 세상에 멋진 수학자들을 위해 모두 같이 응원할 수 있었으면 좋겠다.

 "수학도 못하는 사람이 왠 수학책이야?" 안그래도 낑낑거리면서 읽고 있는데 웬수같은 남편이 불난집에 기름을 들이 붓는다. 젓가락질 못해도 밥 먹는 데 지장없다고 가벼이 받아치려 했더니 '푸앵카레 추측'이 뭔지 설명해 보란다. 이런 된장~ 때마침 아무리 읽어도 이해가 안되는 상황에서 설명해보라면 어떡하란 거니? 사람이 궁지에 몰리면 기가 죽기 보다는 오히려 버럭 거리게 된다더니 나도 모르게 목소리가 크게 나와 버렸다. "그래, 나 문과다! 근데 이 책은 수학이 아니라 수학자에 관한 책이거덩~!! " 

 문제의 시작은 위대한 수학자 푸앵카레가 던진 질문에서 시작되었다. 프랑스의 수학자이자 천문학자, 물리학자이면서 과학자인 그는 어려서부터 수학에 천재적인 재능을 보이면서 당대에 큰 업적을 이루었을 뿐만 아니라 후대에까지 큰 영향을 미칠 엄청난 일을 해냈다. 그가 논문의 끝 부분에 던진 질문은 이러하다. "마지막으로 반드시 검토해야 할 문제가 하나 남는다. 기본군이 영인 3차원 다양체가 3차원 구와 위상동형이 될 가능성이 있을까?" 이 말이 조금 어렵다면 "단일연결인 3차원 다양체는 구면과 같은 것인가?" 라는 질문은 어떤가. OTL

  '푸앵카레 추측'에 대해 책에서는 이렇게 설명하고 있다. 커다란 원의 표면을 기어가고 있는 개미가 있다고 가정했을 때, 개미는 자신이 걷는 길이 평면인지 구면인지 어떻게 알 수 있을까? 하지만 파리의 경우는 다르다. 2차원적인 평면에서 벗어나 3차원적으로 생각할 수 있기 때문이다. 3차원 곡면에서 이 문제를 논하고 해결하려는 시도가 바로 푸앵카레가 증명하고자 했던 것이다. 수학적인 설명에 있어서는 제대로 이해하지 못했던 부분도 있었지만 수학을 잘 못해도, 푸앵카레 추측을 설명 못해도 전체적인 내용을 이해하는데는 무리가 없다.  

 말하자면 아르키메데스가 왕관이 순금인지 아닌지를 어떻게 밝혀냈는가도 중요하지만 그가 생각에 몰두한나머지 "유레카!"를 외치면서 알몸으로 뛰쳐나간 일화와 그의 죽음에 얽힌 사연이 주는 안타까움이 그렇고, 수학자의 이름은 정확하게 기억나지 않지만 '파이'의 소숫점 이하 자리를 구하기위해 평생을 바친 수학자가 있다는 사실, 디오게네스의 사상을 정확하게 설명할 수는 없지만 알렉산더 대왕과의 일화를 통해 뭔가 인생을 돌아보게 한다는 점 등을 예로들수 있겠다.   

 다시 책으로 돌아와서 ＜푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다＞ 이 책은 푸앵카레 추측을 증명하기 위한 수학의 역사와 수학자들의 열정에 관한 책이다. '푸앵카레 추측'에 대한 수학자들의 열정을 한 마디로 말해주는 것이 바로 '푸앵카레병'이란 것이다. 한번 빠져들면 평생을 푸앵카레 추측만 연구하게 되니 명석한 수학자이자 과학자들이 다른 연구에 대한 성과를 내지 못한다는 우려까지 낳았을 정도다. 하지만 부정적인 면만 있는 것은 아니다. 푸앵카레 추측을 둘러싼 수학자들의 경쟁은 생각지도 못한 성과를 냄으로써 관련 분야의 발전을 가져오기도 했다.

  1904년 부터 1세기 동안이나 풀리지 않는 수학의 난제였으니 얼마나 많은 수학자들이 도전했겠는가. 그들은 도전하고 검증하는 과정을 통해 좌절하고 무너지고 한 순간 하늘까지 솟았다가 추락하는 과정을 반복했다. 2000년에 접어들어 러시아의 수학자 페렐만이 푸앵카레 추측을 증명한 논문을 인터넷에 올리자 학계가 엄청나게 소란스러워진 것은 말할 것도 없다. 그러나 정작 페렐만 본인은 수학계의 노벨상이라는 필즈상을 거부하고 수학의 난제에 주어지는 상금도 어떻게 될 것인지 알 수 없는 상태다.

 '푸앵카레 추측' 이라는 수학적 난제 한 가지만 가지고도 이렇게 한 권의 책이 나올 수 있고, 수많은 학자들의 인생을 담고 있다는 사실이 놀라울 따름이다. 푸앵카레 추측에 접근해나가는 과정에서도 많은 '증명'이 필요했는데, 누가 무엇을 어떻게 언제 먼저 증명했는가를 놓고 다툼을 벌이는 모습을 보면서 또한 증명된 이후에도 혼란스러운 풍경을 통해 페렐만이 왜 주목받기를 거부하고 숨어버렸는지 조금은 이해가 된다. 하지만 명예나 부에 연연하지 않고 연구에 몰두하는 과학들로 인해 희망찬 미래과학을 기대할 수 있는 것이라고 생각한다.  

"수학은 결코 끝나지 않는다. 한 문제에 대한 성공적인 해결은 수많은 새로운 질문들을 향한 문을 열어놓을 뿐이다. 수학 앞에 서면 쉽게 겸손한 마음을 갖게 된다. 너무나 많은 문제들이 아직 미해결로 남아 있다. 위대한 모험은 계속될 것이다. (p.327)"

[푸앵카레가 묻고 페렐만이 답하다 / 조지 G. 슈피로 / 전대호 / 도솔]

과학이나 철학에서 커다란 이론이나 법칙 또는 어떤 현상이 일어나면, 그것은 다른 분야에도 영향을 주게 되고 인류의 문명과 역사가 발전을 하는데 기여한다. 코페르니쿠스의 지동설이 그렇고, 뉴턴의 미적분, 아인슈타인의 상대성이론이 그렇다. 그러한 대사건, 대발견은 종종 몇몇 천재들에 의해서 이루어지는 경우가 많다.

기하학에서 분화된 위상수학은 집합이 변형되어도 손상되지 않고 유지되는 성질을 주로 다룬다. 즉, 도형을 접거나 잡아 늘이기, 줄이거나 구부리기, 뒤틀기를 해서 가까이 있는 점들이 가까운 다른 점들로 옮겨가는 연속변화를 다룬다. 연속적인 변형을 허용하는 기하학이 바로 위상수학이다. 그 시작은 18세기 오일러, 19세기 리만 등으로 거슬러 올라가는데, 이때 천재 수학자 푸앵카레가 등장하면서 기하학과 위상수학을 한 차원 더 발전시킨다.

푸앵카레는 위상수학에 관한 문제를 풀면서 논문을 하나 발표하는데, 그 논문에 오류가 발견되면서 그것을 수정하는 후속 논문들을 계속 발표한다. 그런 와중에 푸앵카레는 하나의 추측을 내놓는다. 그것이 유명한 ‘푸앵카레 추측’이다.

푸앵카레 추측을 간단히 정리하면 :
“만일 우리가 어떤 다양체 속을 여행하고 있다며, 우리는 그 다양체가 특정 다양체라는 (예컨대 구면이라는) 것을 어떻게 확인 할 수 있을까.” 이다.

이것을 더 간단히 비유를 들어 설명하면 :
“개미가 거대한 구의 표면 위를 기어간다. 개미는 그 표면이 평면인지 구면인지, 기타 다르게 생긴 물체의 표면인지 어떻게 알 수 있을까. 개미가 그 표면을 떠나 먼 곳에서 그 물체를 관찰하면 알 수 있는데, 개미가 그 곳을 떠나서 표면을 바라보지 않고도 그 표면이 구면이라는 것을 알 수 있을까.” 이다.

위상수학을 전공하지 않는 일반인들에게 푸앵카레 추측은 별 의미가 없어 보인다. 하지만 그 의미를 알고 있는 수학자들에겐 이 세상의 진리에 한 걸음 다가서는 물음과도 같다. 푸앵카레 추측은 그 당시에는 ‘추측’이었다. 이후 100년간 수많은 수학자들은 이 추측의 참, 거짓을 판별하기 위해서 노력을 한다. 그리고 2005년 러시아의 은둔 수학자 페렐만이 이 추측을 증명해낸다. 페렐만이 등장하여 이 전쟁터같은 수학자들의 논쟁에 종지부를 찍는다. 이 과정은 치열한 전투의 현장이며, 구도의 길이고, 인간승리이며 감동이다.

페렐만은 이 증명으로 필즈상을 받게 되지만, 페렐만은 수상을 거부한다. 그는 상금이나 수상의 영예, 수학자로서의 명예를 우선시하지 않았다. 단지 수학의 문제를 푸는 일에 열정을 쏟을 뿐이다. 이런 그의 태도는 그와 같이 일을 했던 동료들의 입을 통해서 전해진다. 페렐만은 수학계의 윤리적 타락에 대하여 비판적이고, 논쟁에 휘말리는 것을 꺼리기 때문에 사람들과의 비직업적인 만남을 제한한다. 은둔자의 모습을 보이는 페렐만은 흡사 도인이나 장인과 같다. 진정한 프로의 모습이 바로 이런 모습이 아닐까.

수학난제를 푼 페렐만은 분명 천재이지만, 그의 천재성 하나만으로 난제가 풀린 것은 아니다. 펠레만은 그의 논문과 여러 강연에서 그동안 문제를 풀기 위해서 시도한 수많은 사람들의 노력과 성과를 높이 인정한다. 그런 노력의 조각들이 쌓이고 쌓여서 자신이 이런 업적을 이룰 수 있었다고 말한다. 다른 사람들이 결함과 오류를 찾아내고, 그렇게 인류의 지식은 진보한다.

“만일 내가 더 멀리 보았다면, 그것은 내가 거인들의 어깨 위에 서 있었기 때문이다. - 뉴턴”

이 책의 저자, 조지 G. 슈피로는 수학자출신의 저널리스트다. 저널리스트의 글이라서 글이 명확하고 간결하다. 저자는 많은 논문과 자료를 인용하며 위상수학의 초기부터 푸앵카레가 활동하던 시기, 푸앵카레 추측을 증명하기 위한 100년간의 노력, 페렐만의 등장 등을 명료하게 기술하고 있다. 또한 추측을 증명하는 과정에서 있었던 수학계의 추악한 모습들, 수학자들의 욕심 등 숨겨진 얘기들도 신문기사처럼 일목요연하게 기술하고 있다(어디를 가나 사람 사는 곳은 마찬가지다).

이 책은 최고의 수학난제를 풀기 위한 100년의 열정과 위대한 성취를 담고 있다. 일반인들에게는 다소 어렵게 느껴질 위상수학과 푸앵카레 추측의 내용을 이 책 한 권으로 다 이해할 수는 없지만, 이 책을 읽고나면 ‘위상수학’과 ‘푸앵카레 추측’이 더 이상 낯설게 느껴지지 않을 것이다.