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고등학교 때 나름 수리영역 문제 푸는 것을 즐겼고, 수학에도 어느 정도 머리가 있다는 생각을 오만하게 한 적이 있었다. 하지만 성적은 그닥 잘 나오진 않았다. 무엇이 문제일까... 라는 생각을 한참 했고, 그 답은 애석하게도 수능 시험을 칠 때까지 찾을 수 없었다.
계산만 잘 한다고 수학을 잘 하는 것은 아니다. 식만 잘 전개하고 정리한다고 수학을 잘 하는 것은 아니다. 아니, 애초에 고등학교 수학은 수학이라기보다는 퀴즈다. 수학 선생님들한테 이런 얘기를 잔뜩 듣고, '그렇구나.'라는 생각을 해도 그게 문제를 푸는 과정에 고려사항이 될지언정 문제를 해결하는 실마리를 제공하진 못했다.
그리고 최근들어 어느 정도 '그럴싸하다.'싶은 결론을 내렸는데, 바로 '평소 생각하는 방식대로 생각하면 맞추던 문제만 맞춘다.'라는 것이었고 그건 비단 수학 문제를 푸는데에만 국한되는 것은 아니라는 생각으로 발전했다.
"이 책을 보면 수학 성적이 잔뜩 오른다..."라는 상술스러운 소감이라든가, "잠자고 있는 두뇌 속 수학을 깨운다!!"라는 어느 학원에서 나올 법한 소감은 너무 식상하고, 실제로 모든 사람들이 이 책을 읽고 이런 느낌을 받을 수 없을 것이라는 생각이 든다.
하지만 만약의 상황을 들어 추측해보자면, 내가 이 책을 고등학교 때 제대로 읽어봤을 경우 최소한 한 문제를 풀어보는 과정에서 두 가지 이상의 풀이를 내놓을 수 있었을 것이라는 생각이 든다.
문제를 바라보는 관점이 변한다는 것은 이미 머리 속에서 어느 정도의 회로 변화가 일어났다는 것을 의미한다. 그리고 이것이 사람의 생각 수준에 미치는 영향은...
읽어보고 판단하시라. |
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수학 잡는 수학을 읽고...
이 책에는 수학을 여러가지 관점으로 다가가고, 여러 원칙들을 한껏 모아두었다. 유추, 반대, 대입, 추론, 역으로샌각하기등 다양한 접근방식을 제시하고 그에 맞는 예시문을 제시한다. 그리고 다양한 접근방식을 가지고 문제를 풀어나가고 원리를 알려주고 응용을할 수 있도록 추가문제를 제시해 준다. 마치 수학 문제집을 보는 느낌이다. 그러나 이 책은 문제만을 나열한 단순한 책이 아니라 수학을 좋아하고, 편하게 대할 수 있도록 만들어주고, 수학 응용력과 다양한 사고방식을 키워주고 내 것으로 만들수 있는 기회를 많이 제공한다. 다른 수학서적과는 다른 색다른 매력에 마약을 먹어버린듯한 느낌을 받았다. 이 책은 정말 한시라도 눈을 뗄 수 없게 만드는 신기한 책이다. 나는 원래 책은 짜투리시간에 가끔 읽는 편인데, 이 책을 처음 정독하기 시작하자마자 짜두리시간은 물론 자유시간이나 다른 시간을 버리면서까지 읽고싶게하고 또한 끝까지 붙잡고 읽어도 재미있는 마치 소설을 읽고있는 느낌을 받았다. 이 책의 내용은 너무 재미있다. 그중 하나를 말하자면, 수학을 이용하여 마술을 알려주는 코너도 있다. 카드마술, 상대방이 뽑은 그 카드가 어떤모양이고, 또 무슨 숫자인지 알수 있는 이유가 수학에 있다. 이 책을 읽으면 그 비밀을 알 수 있으며, 나또한 이 코너를 읽고 연습하여 마술을 다른 사람들에게 보여주고 재미있게 놀수 있었다. 그 외에도 많은 문제점과 해결방법, 해결유도를 통해 많은 수학적 사고를 기르고 수학을 재미있게 다가갈 수있도록 해 주는 마치 수학을 수학이 지배하는 수학잡는수학 이 책의 제목부터 의미가 있다. 글쓴이가 모든 문제를 해결하는 것이 아니라, 독자들이 생각하고, 고민할 수 있도록 하는 기회를 많이 제공하는 독자와 같이 소통하는 참 좋은 책이다. |
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‘22가지의 생각의 도구’의 문구가 끌렸다. 이 생각의 도구로 일상에서 수학적 사고를 할 수 있도록 도와주려나 많은 기대를 하고 펼쳐 보았다.
자연계열 대학생으로서 어려운 부분도 많았다. 그렇기에 수학을 완전히 모르는 사람들이 보기에는 어려울 것 같다. 읽으면서 수능 준비할 때가 생각이 많이 났다. 수능유형문제들이 많이 수록되어있었다. 수식을 멀리한지 꽤 오랜 시간이 흘러서였을까? 수식이 나오는 부분은 스킵하며 읽었다. 수식이 많은 부분을 차지하고 있다는 점이 가장 아쉽다.
그래도 여러 가지 재미있는 수학 문제들이 그곳에 내 생각이 오랜 시간 머물게 하였다. 때로는 물리 이론들도 설명하고, 저자의 농담(흐뭇한 미소를 주는 정도? - 번역본이라 그러한가? )이 재미를 더했다.
수능준비를 방금 마친 대학교 신입생들, 수능준비를 하며 재미있는 수학문제로 머리를 식히고 싶은 고등학생들에게 추천한다. (수능 뿐아니라 수리논술에도 도움이 될 것 같다. ) |
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22가지, 생각의 서술을 도와주는 수학적 도구, 그 도구상자가 우리에게 찾아왔습니다. 여러분이 혹시나 수학을 제대로 공부하실 생각이시라면 한번쯤 읽어보는 것도 나쁘지 않을 책, 수학 잡는 수학입니다.
아직 일반적인 사람들은 물론이거니와 실제로 수학을 공부하고 있는 사람들은 솔직히 '책'이라는 이유로 별로 읽고싶은 생각을 하지 않을 수도 있습니다. 하지만 읽다보면 뭔가 다른 책들에 비해 매우 독특하다는 사실을 알 수 있습니다.
단순한 설명도 아니고... 푸는 방법?
이 책이 다른 서적과 가장 다른점은 바로 '생각하는 도구'를 나열했다는 점입니다. 보통 일반적인 다른 수학 교양서적들은 수학적인 내용을 담지만 '결과'를 담지 '과정'이나 '도구'를 담는 경우는 별로 흔하지 않습니다. '수학 콘서트'같은 책들이 대표적인 예입니다. 왜 그런고 하니 이유는 간단합니다. 교양서적이라는 이름 하에 너무 많이 '수학적'으로 보이면 읽는 사람들이 별로 안좋아하거든요. 그런데 이 책은 좀 다른 방법으로 접근을 했습니다.
보통은 쓸데없다고 생각하는 수학에서 직접 '사용'하는 도구들을 알려줍니다. 원리를 기반으로 간단한 문제를 푸는 방법을 보여주지요. 분명 사람들이 별로 좋아하지 않는 형태의 책입니다. 그래도 책의 내용을 재미있게 하기 위해 저자가 노력한 흔적이 보입니다. 오죽하면 '수식에 거부감을 없애는 방법'이라는 글도 있을까요.
어디서 많이 봤는데...
지금 수학을 공부하고 있는 고등학생(혹은 '초'선행주의 중학생)이라면 이 책의 전반부를 읽으면서 뭔가 어디서 많이 본 듯한 느낌이 들 겁니다. '대우', '귀류', '귀납'... 머릿속에 이런 학교에서(혹은 사교육의 장에서) 분명 배운 단어들이 통통 튀어나올 겁니다. 아닌 게 아니라 이 방법들은 분명 우리가 수학 문제를 풀 때 사용하는 방법들입니다. 우리는 실제로 수학문제를 풀면서 이미 이 책의 일부 과정을 이해하고 있던 것이지요.
그래서 고등학생들은 이 책을 읽을 필요가 없느냐? 그건 더더욱 아닙니다. 알고 있기에 오히려 더더욱 읽어야 합니다. 분명 알고 있지만 우리는 수학 '문제'만을 풀기 위해 너무나도 단순화된 지식만을 알고 있거든요. 기본지식이 있는 고등학생들이 상대적으로 다른 사람에 비해 전반적으로 내용 이해를 하기 쉬울 겁니다. 또한 '어 이런 것도 있었네?'라는 생각이 들 정도로 추가된 내용도 더 있기 때문에 더 읽는 것이 매우 중요합니다.
수학은 '모든 것'에 적용되나봐?
책을 읽으면서 느낀 세 번째 느낌입니다. '수학 잡는 수학'은 교양서적입니다. 만약 저자가 아무 생각도 없이 정말로 22가지 생각만을 나열하였다면 이 책은 교양서적이 아니라 그냥 참고서가 되어야 했습니다. 교양서적이기에 느낄 수 있는 세 번째 느낌은 바로 책 내용이 단순히 '수학'에 국한되지 않는다는 점입니다.
위에 등장하는 22가지 원리에는 완전히 수학만을 위한 방법도 있지만 수학 말고도 다양한 분야에 적용되는 원리도 많습니다. 특히 수학과 엄청난 연계성을 자랑하는 물리학은 제일 많이 언급되면서 책 소개글에 나온 대로 '수학이 물리학의 언어인 이유'를 말해주는 또다른 강력한 증거가 되어주고 있지요.
사이사이 '독일식' 유머, 재미있니?
또 이 책의 특징은 사이사이에 독자들 재미있으라고 저자가 수학계에서의 재미있는 사건이나 유머를 집어넣었습니다. 문제가 하나 있다면 저자가 독일인이다 보니 '독일식'으로 유머를 날립니다. 그래서 일부는 재미있는 것도 있는데 일부는 유머 자체가 이해되지 않는 웃지못할(정말로 못 웃는) 상황이 벌어지게 됩니다. 그래도 나름 재미있는 것도 있으니 다행입니다만... |
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수학잡는수학 G brain 크리스티안 헤세 지음, 강희진 옮김 남오영 감수
1. 진짜서문 2.생각의 도구 3.결론 유추의 원칙,푸비니의원칙, 홀짝성의 원칙, 디리클레의원칙, 포함-배제의원칙, 반대의 원칙,귀납의원칙, 일반화의원칙,특수화의 원칙, 변화의 원칙,불변의 원칙, 일변성의 원칙, 무한강하의 원칙,대칭의원칙, 최대-최소의 원칙,재귀의원칙, 단계적 접근의 원칙, 염색의 원칙, 무작위의 원칙, 관점 바꾸기의 원칙, 모듈화의 원칙,무차별 대입의 원칙 모듈화의 원칙은 분할하여 통치하라 라는 말에서 비롯된 것이다. 분할하여 통치하는 방식은 율리우스 카이사르가 갈리아 부족을 정복할 때 활용한 전략이기도 했다. 갈리아 부족은 일치단결하여 로마군에 대항하기에는 너무도 분열되어 있었고, 카이사르는 바로 그 점을 공략했다. 이에 따라 상대해야 할 적은 갈리아족 전체가 아니라 갈기갈기 찢긴 일부였고 , 그런 만큼 로마군이 전투에서 승리할 확률도 더더욱 높아졌다. '분할하여 통치하라' 원칙은 분야를 불문하고 널리 활용되고 있다. 해결하기에는 접근이 아예 불가능할 만큼 복잡한 문제의 경우, 되도록 서로 연관성이 없는 여러 개의 소단계들로 문제를 쪼갠 뒤 각각의 문제를 해결하고, 마지막으로 소단계들에 대한 답변을 모아서 전체 문제를 해결한다. 이렇게 문제를 분할하는 방식, 나아가 분할된 문제의 해결책들을 다시금 조합하는 방식이 바로 모듈화의 원칙이다. 체스에서는 여러 개의 말이 사용된다. 그중 기사는 나이트knight는 장기의 말와 같은 방식으로 이동한다. 상하좌우으로 두 칸을 이동 한 뒤 한 칸을 다시 이동하는데, 상하로 두 칸을 이동한 경우에는 왼쪽이나 오른쪽으로 한 칸, 좌우로 두 칸을 이동한 경우에는 위나 아래로 한 칸 씩 이동한다. 그렇다면 체스판8*8위에 서로 공격할 수 없는 나이트를 몇 개까지 세워둘 수 있을까? 이 질문의답은 책에서 기술하고 있다. 늘 풀이로 푸는 수학에 익숙해져 말로 표현하고 그것을 활용하는 머리까지 돌아가지는 않았다. 답답한 심정으로 이 책을 전체적인 흐름만 알 뿐이지 정확한 풀이나 접근방식을 다 이해가 되지않았다. 좀더 구체적이고 실제로 수학이라는 학문을 우리가 활용해 사용할 줄 아는가의 문제인데 관심있고 호기심이 있고 수학을 잘 아는 사람들에게는 재미있을 책이다. 나는 정말 재미없고 수학적인 공식들만 익숙할 뿐이지 아직까지는 나의 수학이 폭넓지 않다는 것을 재확인 시킬뿐이었다. 수학을 정말 사랑하고 재미있어하고 수학능력을 행상시킬 수 있는데 참고 자료로 보기에는 활용도가 있을 것 같다. 수학적인 원리가 잡히 사람에게는 재미있을 것 같다. 1. 진짜서문 2.생각의 도구 3.결론 유추의 원칙,푸비니의원칙, 홀짝성의 원칙, 디리클레의원칙, 포함-배제의원칙, 반대의 원칙,귀납의원칙, 일반화의원칙,특수화의 원칙, 변화의 원칙,불변의 원칙, 일변성의 원칙, 무한강하의 원칙,대칭의원칙, 최대-최소의 원칙,재귀의원칙, 단계적 접근의 원칙, 염색의 원칙, 무작위의 원칙, 관점 바꾸기의 원칙, 모듈화의 원칙,무차별 대입의 원칙 모듈화의 원칙은 분할하여 통치하라 라는 말에서 비롯된 것이다. 분할하여 통치하는 방식은 율리우스 카이사르가 갈리아 부족을 정복할 때 활용한 전략이기도 했다. 갈리아 부족은 일치단결하여 로마군에 대항하기에는 너무도 분열되어 있었고, 카이사르는 바로 그 점을 공략했다. 이에 따라 상대해야 할 적은 갈리아족 전체가 아니라 갈기갈기 찢긴 일부였고 , 그런 만큼 로마군이 전투에서 승리할 확률도 더더욱 높아졌다. '분할하여 통치하라' 원칙은 분야를 불문하고 널리 활용되고 있다. 해결하기에는 접근이 아예 불가능할 만큼 복잡한 문제의 경우, 되도록 서로 연관성이 없는 여러 개의 소단계들로 문제를 쪼갠 뒤 각각의 문제를 해결하고, 마지막으로 소단계들에 대한 답변을 모아서 전체 문제를 해결한다. 이렇게 문제를 분할하는 방식, 나아가 분할된 문제의 해결책들을 다시금 조합하는 방식이 바로 모듈화의 원칙이다. 체스에서는 여러 개의 말이 사용된다. 그중 기사는 나이트knight는 장기의 말와 같은 방식으로 이동한다. 상하좌우으로 두 칸을 이동 한 뒤 한 칸을 다시 이동하는데, 상하로 두 칸을 이동한 경우에는 왼쪽이나 오른쪽으로 한 칸, 좌우로 두 칸을 이동한 경우에는 위나 아래로 한 칸 씩 이동한다. 그렇다면 체스판8*8위에 서로 공격할 수 없는 나이트를 몇 개까지 세워둘 수 있을까? 이 질문의답은 책에서 기술하고 있다. 늘 풀이로 푸는 수학에 익숙해져 말로 표현하고 그것을 활용하는 머리까지 돌아가지는 않았다. 답답한 심정으로 이 책을 전체적인 흐름만 알 뿐이지 정확한 풀이나 접근방식을 다 이해가 되지않았다. 좀더 구체적이고 실제로 수학이라는 학문을 우리가 활용해 사용할 줄 아는가의 문제인데 관심있고 호기심이 있고 수학을 잘 아는 사람들에게는 재미있을 책이다. 나는 정말 재미없고 수학적인 공식들만 익숙할 뿐이지 아직까지는 나의 수학이 폭넓지 않다는 것을 재확인 시킬뿐이었다. 수학을 정말 사랑하고 재미있어하고 수학능력을 행상시킬 수 있는데 참고 자료로 보기에는 활용도가 있을 것 같다. 수학적인 원리가 잡히 사람에게는 재미있을 것 같다.
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카페 ＜물리 세계로의 즐거운 항해＞의 이벤트에 당첨이 되었다. 수학이라서 먼저 응모를 했고, 책을 받게 된다는 기쁨도 있을까 라고 생각해서 응모를 했다. 당첨이 되었다. 기뻤다. 물론 이 사실을 일주일 정도 뒤늦게 알았다. 카페에 잘 들르지 않아서(일주일에 2~3번 정도) 당첨이 될까 생각했는데 딱 당첨이 되었다. 받고나서 읽기 시작했는데 처음에는 재미가 없었다. 난 수학을 할 때부터 도형문제를 싫어했다. 물론 수식처럼 전체가 잘 보이지 않고 형체를 그대로 보여주어서 좋지만 그래도 난 수식이 있는 수학이 좋았다. 그래도 꾹 참고 읽어보았다. 서문에 써 있듯이 중고등학교 수준의 수학을 이해하면 읽기에는 문제가 없었다. 22개의 도구들, 수학뿐만 아니라 생각의 도구, 22개. 그런데 수식이 마치 확률에서 쓰이는 그런 문자를 사용하고 수식을 사용했다. 역시 싫었다. 도형보다 더 싫은 것이 확률이었는데 특히 그 수식 모양이 더 싫어서 지금까지 확률을 싫어하고 있다. 그래도 수식만 대충(?) 이해하고 읽게 된다면 아주 재미있을 것이다. 지금까지 이 책을 읽고 느낀 나의 느낌은 기대했던 것보다 약간 실망이었다. 앞에서도 말했다시피 이 책에 쓰인 수식이 마음에 들지 않았다. 굳이 그런 수식을 쓰지 않아도 될 것 같은 느낌이 든 것은 나만의 기분일까?
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