나는 이과 출신이지만 유독 수학을 싫어했다. 삼각함수나 미분적분까지는 좋았는데 확률과 수열로 넘어가면서 수학 성적이 바닥을 기기 시작했고 급기야 가장 싫어하는 과목중 하나가 되어버렸다. 삼각함수를 처음 배우면서 당구장에서 응용을 할 수 있을지도 모른다는 생각에 흥미로웠지만 일상생활에서 도무지 도움이 될 것 같지 않은 확률,수열로 넘어가면서 악몽이 시작된 것이다. 가끔식 지금도 꿈에 수학시험 준비하는 것이 나타나곤 하는데 남자들이 가장 싫어하는 군대 다시 가는 꿈만큼 무섭기도 하다. 하지만 지금 우리가 이렇게 편안한 삶을 살 수 있게 된 것도 따지고 보면 우리보다 먼저 태어나 고생을 한 위대한 수학자들 덕분이기도 하다. 원주율이 3.14라는 사실을 먼저 증명한 학자들이 있기에 우리는 물이 세지 않는 두레박을 이용할 수 있는 것이고 두루마리 화장지가 정확히 50미터인지 아닌지도 증명해낼 수가 있는 것이다. 그런데 이렇게 위대한 학문이고 역사가 오래되었는데도 불구하고 노벨 수학상은 없는 것일까? 물리학, 화학 심지어 평화상도 있는데 말이다. 아무래도 가장 기초가 되는 학문이라 그런지도 모르겠다.

  근데 [대통령을 위한 수학]이라는 제목의 책이 짜~잔 나타났다. 대통령을 위한 것이라...그렇다면 대통령도 수학을 알아야 한다는 것일까? 그렇지는 않을 것이다. 한 나라의 대통령이 되기 위해서는 최소한 고등교육을 받았으니 굳이 학문으로서의 수학은 필요 없을 것이다. 그건 그렇고 우리 나라에도 얼마전 대선이 치러졌다. 미국의 경우 민주당과 공화당 두개의 당만 존재하기에 양자대결이다. 우리는 여러 개의 군소정당과 무소속 후보까지 합하면 양자대결이 아니라 8~9자 대결이 된다. 하지만 유력한 후보는 항상 2~3명 정도되기 마련인데 투표 방식은 일정 나이 이상의 투표권을 가진 국민이면 누구가 참가할 수 있다. 즉 투표에 대한 제약이 거의 없다고 봐도 무방할 것이다. 대통령 직선제로 바뀌어 직접 투표를 하는데 특정 평가 기준에 따라 선출하는 것이 아니라 누구나 한표씩 지지하는 후보를 찍는 것이다. 어떤 공약은 이 후보의 것이 마음에 들고 또 다른 공약은 저 후보의 것이 마음에 들더라도 무조건 한표씩만 행사해야 하며 가중치도 없이 누구나 동일한 효력을 가진 한표이다. 그래서 대선이 끝나고 나면 1주일 정도는 술렁거린다. 내가 지지한 후보가 당선이 되지 않았거나 절대로 당선되지 않았으면 하는 후보가 당선되었을때 분노에 가득차거나 며칠 잠 못이루는 사람들 혹은 투신자살까지 하는 사람도 생기기도 한다. 대통령이 수뇌부들을 임명하는데 나의 한표가 별 것 아닌 것 같지만 모이고 모여 우리의 5년을 결정하기도 한다.

  학교 다닐적에는 반장 선거를 해서 가장 많은 표를 받은 사람이 반장 그 다음이 부반장 이런식으로 내려갔는데 사람마다 자리가 있듯이 반장을 했을때 가장 잘할 만한 사람이 있고 부반장에 가장 어울리는 사람이 있다. 몇 표차이로 반장에 떨어졌다고 무조건 부반장을 하는 것도 사실 모순이라는 생각이들기도 했다. 그렇다면 우리의 대통령 선거는 어떨까? 역시나 많은 모순들을 안고 있다고 생각한다. 미국과 같은 양자 대결도 마찬가지 이고...하지만 미국이란 나라는 어떤 나라인가? 영국인들이 생각했을때 가장 이상적인 국가라고 건국한 나라 아닌가? 그래도 우리나라도 미국처럼 의료보험 민영화 등 많은 부분을 따라하려고 하지 않는가. 우리처럼 직접 선거가 아닌 대통령을 선출할 선거인단을 뽑되 주별로 과반수를 차지한 당이 다른 선거인단을 모조리 가져가는 승자독식의 구조때문에 실제로 표를 적게 얻고도 과반수 선거인단을 확보하는 모순도 존재한다. 그렇다면 그리스 시대부터 수천년 역사를 가진 선거방식이 아직도 미완성인 것이다. 어쩌면 가장 완벽한 선거방식은 존재하지 않는 것이고 우리가 민주주의라고 부르는 사상도 모든 국민을 위한 민주주의가 아닌 것이다. 부자들을 더 부자로 만드는 자본주의와 함께 엄청난 모순을 안고 있는 것일지도 모른다.

  책을 덮을때쯤 수학이란 학문은 대단하다는 생각이 들었다. 46개 숫자중 6개를 맞추면 대박이 터지지만 하나도 맞추지 못해도 쪽박차지 않고 담배값이나 커피값 정도로 며칠이나마 기분 좋게 만드는 묘한 매력을 지닌 로또나 심리학에서나 등장할 만한 게임 이론 모두 수학이 바탕이 되지 않고서는 불가능한 것이다. 마찬가지로 투표나 선거 혹은 민주주주의에 대해서도 수학이론으로 얼마든지 설명도 가능하고 모순점도 찾아낼 수 있는 것이다. 이것이 수학이 주는 묘한 매력이며 한 나라를 통치할 대통령이라면 수학은 필요한 학문이 아닐까싶다. 그렇다면 수학은 과학일까? 인문학일까?

대통령을 위한 수학

(역사적으로 본 투표방식과 수학)

지난 18대 대선에 야권단일화를 앞두고 단일화후보인 안철수와 문재인이 여론조사방식을 가지고 진통을 겪은 바가 있다. 그당시에 나왔던 투표방식에 대한 내용들이 이 책에 고스란히 담겨져 있다. 즉, 적합도와 경쟁력을 가지도 당시에 두 후보가 왜 그렇게 대립할 수 밖에 없었는지 이 책에서는 정확하게 다루고 있다.

즉, 이 책은 대통령을 위한 수학이라기 보다는 오히려 대통령을 뽑는 투표에 대한 수학이라는 제목이 어울릴만한 책이라고 생각된다.

책의 구성은 다음과 같다.

1 민주주의를 경멸한 플라톤 - 어리석은 대중이 국가를 망친다

2 투표 조작에 저항한 플리니우스 - 양자대결방식이 옳은가, 삼자대결방식이 옳은가?

3 투표이론을 최초로 정비한 중세시대 철학자 라몬 유이 - 양자대결과 승자진출방식을 제안하다

4 니콜라우스 쿠사누스 추기경의 선거이론 - 신성로마제국의 황제를 선출하는 최고의 방식, 버블 정렬

5 투표제도의 모순을 지적한 수학자 장 _샤를 보르다 - 순위를 매기는 투표방식 ‘보르다 투표법’

6 ‘콩도르세 역설’의 발견, 수학자 콩도르세 - 다수의견에는 이행성이 없다

7 과반수 선거이론, 수학자 라플라스 - 과반수 요건, 전략적 투표는 차악을 택하게 만든다

8 선거이론을 다시 부흥시킨 수학자 찰스 럿위지 도지슨 - 『이상한 나라의 앨리스』의 동화작가이자 수학자가 쓴 선거논문

9 전 세계 국회를 괴롭힌 의원배정방식 - 앨라배마 역설, 새로운 주의 역설, 인구 역설

10 아이비리그 교수들의 공방전 - 웹스터 윌콕스 방식을 지지한 코넬학파, 헌팅턴 힐 방식을 지지한 하버드학파

위와 같이 대통령을 위한 수학은 시대순으로 투표에 대한 사회적 인식과 그 변화과정을 실제사례와 수학자들을 통해서 그리고 있다. 따라서 이 책을 통해 시대에 따라서 투표방식이 달라졌던 점, 그리고 투표방식에 따라서 여러가지 변수가 있을 수 있다는 것을 확인 할 수 있었다. 

그러나 결국은 투표의 승자 모든 권리를 가지는 것임에는 변함이 없다. 그래서 이렇게 다양한 투표방식이 나오는게 아닌가 싶다. 승자도 패자의 정책을 반영하는 용기가 필요하지 않을까 생각이 된다.

본문의 내용을 일부 인용하면,

그렇다면 투표절차에 대한 당시 플라니우스의 행동은 과연 옳은 것이었을까? 두번의 연속적인 양자대결(유무죄 여부를 정한 뒤 형량을 결정하거나 노예들을 살려줄 것인지를 먼저 정한 뒤 석방이나 유배를 결정) 보다는 단 한번의 삼자대결(무죄석방,유배,사형 중에 하나를 결절)을 밀어붙인것이 옳은 결정이었을까? 후에 3가지 이상의 선택안이 있는 표결이나 3명이상의 후보자가 출마한 선거에서는 종종 절대다수, 즉 50%가 넘는 과반수의 지지를 요구하게 된다. 절대다수는 당선된 후보가 다른 모든 후보들을 표수에서 압도할 뿐만아리나 다른 모든 후보들의 표를 합칠 경우라도 표수에서 앞설 수 있다. 만약 표결에서 절대다수가 도출되지 않으면, 가장 많은 표를 얻은 후보자 2명을 두고 2차 투표가 열리곤 한다.

보르다 투표법에서는 허수아비 후보를 출마시킴으로써 당선자를 바꿀 수 있다. 만약 후보자가 중간에 사퇴하거나, 이런 일이 일어나선 안 되겠지만, 투표를 앞두고 후보자가 죽은 경우에도 같은 결과가 초래될 수 있다. 하지만 보르다 투표법에서 가장 큰 문제는 이른바 전략적 투표를 통해 선거결과가 조작될 수 있다는 점이다.

라플라스는 후보들에 대한 선호도가 동일한 경우를 염두에 두지 않은 채, 만약 모든 유권자가 진실하게 후보자들의 순위를 매긴다면 보르다 투표법은 매우 효과적이라고 주장했다. 하지만 유권자들도 사람이여 사람마다 욕심이 다르고 관심사도 다르기에 후보자의 적합성과는 전혀 상관없는 요소들이 후보자의 순위에 영향을 끼칠 수 있다고 덧붙였다. 특히나 유권자가 특정 후보자에게 일부러 최하위 순위를 줄 수도 있었는데, 그 후보를 가장 싫어해서라기보다는 가장 선호하는 후보의 강력한 경쟁자였기 때문이다.

1. 요약 。。。。。。。     

     민주주의란 국민이 주권을 행사하는 정체를 가리킨다. 하지만 이건 원칙적으로 그렇다는 거고, 실제적으로 한 국가나 조직의 운영을 위해서는 대표자를 선출해 그로 하여금 일정한 책임과 권한을 부여하고 일하도록 하는 것이 일반적이다. 이 책의 고민은 바로 여기에서 시작한다. 그러면 어떤 자격을 가진 사람을 어떤 방식으로 선출해 낼 것인가.

     물론 선거를 통해서 가장 많은 사람들의 선택을 받는 사람을 뽑으면 되는 것 아니냐고 쉽게 대답할 수도 있지만, 문제는 생각만큼 쉽지 않다. 후보자가 3인 이상이 된다면 사람들의 지지도를 정확하게 계산하는 것 자체가 쉽지 않을뿐더러(예를 들면 A가 40%, B가 36% C가 24%의 표를 얻었다고 하자. 당연히 A가 당선되어야 한다고 생각하기 쉽지만, C를 뽑은 24%의 사람들은 A보다 B가 더 낫다고 생각했을 수도 있다. 그래도 A가 가장 많은 지지를 얻은 것일까?), 완전히 공평하게 국회의원들의 의석수를 분배하는 일은 사실상 불가능하다!

     저자는 선거에 관한 이론들의 역사를 살펴본 뒤, 미국의 예를 들어 공평한 의석배분에 관한 수학자들의 치열한 고민들과 다툼을 재미있게 설명해주고 있다.

2. 감상평 。。。。。。。   

     같은 출판사에서 나온 비슷한 제목의 책을 읽은 적이 있다. ‘대통령을 위한 물리학’이라는. 통치자로서 알아야 할 물리학과 관련된 주제들을 흥미롭게 제시해 놓은 책이어서, 이번 책도 기대를 하고 읽기 시작했지만, 그리고 뭐 내용도 나쁘진 않았지만, 제목과의 연관성은 그다지 높지 않다. 대통령이 알아야 할 수학적 원리나 내용들이라기보다는 그저 선거방식과 관련된 여러 논의들을 정리해 놓았을 뿐, 이 내용을 대통령이 알아야 한다거나 하는 건 아니다. 앞의 책이 ‘대통령’에 강조점이 찍혀 있으면서 물리학을 잘 안고 갔다면, 이 책은 ‘수학’에 방점이 찍히면서 ‘대통령’은 희미해져버린 느낌이랄까.

     참 많은 사람들이 민주주의를 입에 올린다. 민주주의가 무엇인지 다들 잘 알고 있고, 이야기만 나오면 한 마디씩 거들곤 한다. 하지만 실제 기술적인 차원으로 들어가면, 생각만큼 쉽지 않은 부분들이 잔뜩 있다. 플라톤의 말처럼 어리석은 대중의 선택이 국가를 망칠 수도 있는 거고, 단순히 다수결의 원칙을 따르는 것만이 민주적인 방식이라거나 시민들의 의사를 가장 정확히 반영하는 것도 아니라는 사실은 좀 당황스럽기도 했다.

     결국 사람이 생각해 낼 수 있는 방식으로는 완벽한 선거제도를 만들 수 없다는 결론은, 치열한 정치의 현장에서 자신만이 민의를 알고 대변하고 있다는 양 착각하는 일부 직업 정치인들의 정신을 좀 차리게 해야 할 텐데 그게 쉬워보이진 않는다.

     교양으로 읽어볼 만한 책.

다수결의 원칙이 공정한 방법이 아니라면

지금까지 당연시 되었던 선거방법이 옳지 않은 방법이라면

대통령을 선출하기 위한 여러 이론들을 제시했던 각계 인물들의 이야기와 이론이다

지금껏 알고있던 방법과 고정관념을 깰 수있는 좋은 기회가 될 책이다