풀지 못한 미적분은 무용하고

    이해하지 못한 미적분은 공허하다

는 책소개에 이끌려 구입한 책 ＜이해하는 미적분 수업＞ 저자는 데이비드 애치슨이고

옮긴이는 김의석.

    최소한 데이비드 애치슨이 [유체역학 전문가로 회전 유체에서 자기장 구배가 불안정하다는 것과 '거꾸로 뒤집힌 진자 정리' 등을 발견했다. 또한 과학 대중화에 대한 관심으로 전기기타 등과 같은 친숙한 사례를 이용해 사람들에게 수학을 널리 알리고자 대중 강연 등 다양한 활동을 하고 있다.]는 것을 알게 되었음.

목차는 다음과 같습니다.

    그리고 솔직히 이번에도 글은 읽었지만 이걸로 계산을 할 수 있게는 되지 않았습니다.

밭의 넓이를 최대로 만드는 법이나 최단강하곡선을 찾아서를 재미있게 읽기는 했지만

그걸로 계산할 수 있는 상태는 아닌 것이 현재 저의 상황.

    그래도 조금씩 조금씩 미적분에 질겁하던 상태에서 벗어나고는 있습니다.

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    라이프니츠는 자신의 새로운 미적분학을 이용해 빛이 경계면을 지날 때 그와 같이 행동한다는 것을 보였다(그림 21.1)

    여러 사람이 그 법칙에서 벗어나는 오목거울의 빛 반사와 같은 예외 사항들을 지적하며 비판했지만, 이런 류의 생각들은 멈추지 않고 계속되다 18세기 중반에 이르러 역학에도 영향을 미쳤다. 이런 움직임은 자연스럽게 최적화 문제에 대한 새로운 수학적 관심을 불러일으켰다. 169쪽

    우리는 초대화나 최소하하고자 하는 양이 곡선이나 곡면에 따라 달라지는 상황이면 최적화 문제는 훨씬 어려워진다.

    그러한 문제 중 효한 베르누이가 1696년 제안한 최단강하곡선 문제가 가장 널리 알려져 있다. 그 문제는 다음과 같다. 물체가 두점 A, B 사이를 중력에 의해 하강할 때, 최단 시간에 이동할 수 있는 경로는 무엇인가?

    일찍이 갈릴레오는 두 점 A, B 사이의 최단 경로인 직선이 최단강하곡선이 아님을 보였다. 하지만 그는 그 답이 원호라는 오류를 범했다. 그림 21.4 173쪽

    최단강하곡선과 같은 문제를 풀려면 18세기 오일러과 조제프 루이 라그랑주가 만든 변분법을 사용해야 한다. 변분법을 사용하면 우리가 원하는 극대값이나 극솟값을 갖는 곡선이나 곡면에 관한 미분방정식을 얻을 수 있다.

    예를 들어 두 개의 원형 링을 양쪽으로 잡아당겨 만든 비눗물막을 상상해보자 그림 21.5 이때 비눗물 막은 표면적을 최소한으로 작게 유지해 표면적 에너지를 최소화하려고 한다.

    그리고 변분법을 사용해 얻은 반지름 y에 대한 미분방정식은 다음과 같다.

    y(d2y)/dx2 -(dy/dx)2 = 1

     그런데 이 문제에서 가장 흥미로운 것은 답 자체가 아니라 a/R ＞ 0.6627 이라면 답이 없다는 사실이다. 이는 두 개의 링이 지름의 2/3보다 더 멀리 떨어진다면 조건을 만족하는 비눗물 막이 만들어지지 않는다는 뜻이다.

    실제 실험에서도 두 링의 거리를 점차 임계 값 이상으로 증가시키면, 뚜렷한 이유 없이 갑자기 막이 터져 각 링에 하나씩 두 개의 평평한 비눗물 막이 만들어진다. 175쪽 

    이 말은 이해했지만 수식을 풀자고 들면 풀지 못하는 어려움을 겪고 있습니다. 4년제 정규대학을 나왔으면서도 이런 어려움을 겪는 것이 창피하기보다는 황당한 상황. 이래서 제게 수학개념대백과가 필요하고 울트라러닝이 필요하지 싶네요.

    우엣든 ＜이해하는 미적분 수업＞을 이해할 뿐만 아니라 빅데이터 활용과 인공지능을 사용할 수 있는 그날까지 배움을 멈추지 않겠습니다.  

사실을 고백하자면 난 학창 시절 수학을 잘 못했다. 아니 정확하게 표현하자면 수학이 싫었다. 

수업 시간은 항상 공식을 적는 것으로 시작해 공식을 적용해 문제를 푸는 것으로 끝났다. 

공식만 외웟 문제를 푸는 것이 재미있지도 않았고, 공식은 외워도 외워도 자꾸 잊혀졌다. 

그 후, 수학에 흥미를 느낀 것은 재수를 하면서... 문제를 풀기보단 수학에 나오는 공식을 증명하는데 재미를 느끼기 시작하면서 부터다. (결국,, 공대에 들어갔으니..수학을 아주 못한 것은 아닌 듯 하다)

이 책은 미적분을 중심으로 놓고 있지만 문제를 풀기 위한 책이 아니다. 미적분이라는 분야가 나오기까지의 흐름을 따라 주요한 내용을 정리해 놓은 연대기라고나 할까... 

물론, 미적분을 이해하지 못한다고 해서.. 살아가는데 큰 문제가 없을지도 모른다. 그래도 이런 종류의 책이 많이 나왔으면 한다. 적어도 무엇을 배워야하는지에 대해 고민 해 볼 수 있고, 수학에도 이야기가 있다는 것을 알게 해주니 말이다. 

제가 가지는 착각이 이제라도 다시 미적분을 차근차근 공부를 한다면 

잘 이해할수 있을거야라는 착각이 있습니다.

그리고 슬슬 아이가 중학교를 가고 고등학교가 보이기 시작했습니다.
그래서 이 책을 선택하여 다시 한번 미적분에 도전해 봤습니다.

처음은 순조롭게 미분이란 무엇인가.. 어떤 목적으로 출현을 했는가..
그러면서 순차적으로 차근 차근하게 이해가 되는 순간..

한장 한장 넘어가면서 개념은 점점 안드로메다로 가고.. ㅠㅜ

아주 슬픈 상황이 되면서 다시 앞장을 넘기고 있더군요.

역시 이 책은 독서가 아닌 공부로 해야 되는 분야입니다.

그래도 시작을 했으니 언제가 마지막까지 다 이해할 순간이 오기를 고대해야 겠습니다.

그런데 정말.. 광속으로 까먹은 것이 확실한게 예전 기억이 하나도 안나오네요.

관심있는 분들의 일독을 권합니다.

미분에서 중요한 것이 계산하는 방법인가?

많은 사람들은 미분 방법을 알고 계산 방법을 익혀서 시험문제에 정답을 찾으려고 할 것이다.

그런데 그것이 어떤 흥미를 불러 일으키는가?

오직 점수만 받고 필요가 없으면 잃어버리는 시험공부 아닌가?

우리는 지식을 공부할 때 그 지식이 어떤 상황에서 누가 무슨 생각으로 개발했는지를 살펴봐야 한다.

그래서 과학에는 과학사가 함께 한다.(사실 뉴턴은 과학자인지 수학자인지 구분이 안된다.)

수학에도 나름의 수학사가 있다고 생각된다.

그 수학사는 수학 개념이 개발되는 맥락을 담고 있다.

미분에서는 극한이라는 개념이 중요한데, 이것을 엄밀히 정의하기는 어렵다.

(입실론 델타 논법은 훨씬 후대에 등장했다. 이것을 생략하고) 모호한 극한의 정의로 미분 내용을 전개한다. 이 부분이 핵심이다. 왜냐하면 미분을 개발한 시대의 사람들은 모호한 정의를 사용해서 필요한 값들을 계산해냈기 때문이다.

이렇게 수학은 실용적으로 먼저 발달한다. 그러면 나중에 수학자들이 이것을 엄밀하지 못해~ 하면서 정밀한 논리를 만들어낸다. 그런데 우리는 수학을 공부할 때 엄밀한 논리를 먼저 배운다. 그래서 수학이 어려운 것이다. 또 수학교육이 점점 희망을 잃어가는 것이다.

이 책의 전개 방식은 저자의 생각을 담고 있다. 이를 잘 참고하면 지식과 사회의 발전을 깊이 있게 이해할 수 있다.

물론 미분을 배운 적이 없는 사람이라면 전체적으로 내용이 어려울 수 있다. 미분을 배운 사람이라면 아주 빠른 속도로 읽을 수 있다.

개인적으로 미분 적분 정말 싫어한다. 수학 책의 내용 중에서 유일하게 건너 뛰고픈 파트였고, 지금도 그렇다. 그럼에도 미적분을 이해소 싶다는 마음 한켠의 욕심에 이 책을 구입하게 되었다. 아, 되었다. 그런데 왜 그랬을까,,,,수학적 머리가 없는 편은 아닌데, 숫자를 바라보며 생각하는게 싫어서 인가보다. 이 책을 편 그 순간 부터 머리가 지끈 거렸다. 그럼에도 불구하고 미적분어린이가 되기 싫어 꾹 참고 읽어보려 한다. 저자의 말인 듯 하다. "풀지 못하는 미적분은 무용하고 이해하지 못한 미적분은 공허하다"라 말하고 있다. 지금 현재 나는 공허하다. 공식을 보고 대입하여 풀기는 하겠으나, 왜 그래야 하는지를 이해하고 있지 못하다. 수포자 티를 너무 씨게 내고 있다. 그럼에도 머리는 이해하려는 준비를 하고 있지 못하다. 수준이하의 머리로 고차원의 수학을 이해하려는 중인가보다.

책 ＜이해하는 미적분 수업＞은 "미적분의 핵심을 이해한다"는 취지로 만들어진 책으로, "미적분의 핵심에 대한 간결한 안내서"라 칭해지고 있다. 그런데 정작 나는 인도되지 못하고 있다. "누구나 한 번쯤은 미적분을 배우지만 그 핵심 아이디어가 무엇이고, 무엇을 위해 배우는지 이해하는 사람은 많지않다"라 말하는 그 무엇을 위해 배우는지 이해하지 못하는 사람이 바로 나이구나! 초심자에게 이상적인 입문서라는데, 자괴감이 밀려온다. 초보자 입문서가 아니라 깡통을 위한 입문서가 있어야 할라나보다. 이 책을 왜 샀을까! 후회만 하지말고 이해하려 애를 써보아야겠다. 자존심이 금이가고 있다. '미적분학은 변화를 다루는 학문'이다. '무엇인가 변화하는 비율을 다루는 학문'이다. 그리고 이 책의 목표는 미적분학의 주요 원리와 응용을 잘 전달하겠다는  높은 목표를 가지고 있다" 말한다. 

책은 미분의 기본 아이디어부터 시작해서 무한급수를 지나 미적분에서 카오스이론까지 펼쳐지고 있다. 가능한한 쉽게 에제를 들어 설명하고 있다. 고등학교 수학 시간에 극한과 무한대에서 질리도록 들어서 질려버 미적분을 했었던 기억이 난다. 그러나 이 부분을 모른고는 결국 미적분을 모르게된다. 관심이 있다면 끈기와 참을성있게 반복해서 읽어보자. 사실 책을 읽는 것만으로 그 부분은 이해를 할 수 있다. 그러나 필요한 부분에 왜?라는 의문부호를 들이대면 탐구하는 정신을 보이는 메타일 수 있으나 반대로 모르겠다는 의미일 수도 있다는 게 안타까울 뿐이다. 미적분은 사실 우리의 일상에서 우리도 모르는 사이에 참 많이 적용되고 있는 수학적 방식이다. 우리가 관심을 기울이지 않아서 그렇지! 예를 들자면 한 번이라고 카지노에서 잭 팟이 터질 확률을 알아볼 수 있다. 잘 계산해 보자, 혹 아는가 잭팟이 터질지. 양자 역학이나 비행 우주선의 낙하와 착륙 등 다양한 곳에서  자신의 역할을 한다. 

이 책은 한 번의 읽기로 그동안도 몰라왔던 미적분학을 알 수 있다고 생각하지 않는다. 물론 수학적 재능이 있어 이미 미적분학을 줄줄이 꽤고 있을 수도 있으나 역시 반복이 답일 것 같다. 특히나공식들은. 자주자주 떠들러보다보면 이해되는 일이 올것이다. 나와 같이 헤매이지 말고 책을 반복함으로써 스스로 정립되길 바래본다. 또한 미적분학을 제대로 알아 사람에, 삶에 도움이 될 수 있길 기대하며 응원한다. 화이팅이다!

고등학교 이과(理科), 대학교는 공대 - 기계공학과를 졸업하고 미적분은 엄청나게 풀었다. 솔직히 석/학사를 하면서 미적분만큼 쉬운게 없었다. 그도 그럴것이 기계공학은 미적분이 없으면 시체와 같은 분야가 많다. 모델링만 제대로 세우면 미적분은 거의 기계적으로 풀수 있다. 유체역학, 고체역학같은 공학은 미적분이 필수적이다.

따라서 고등학교 시절 미적분을 공부할 때 보다, 대학시절 미적분학이 공부하거나 풀이를 하는데는 휠씬 쉬웠다. 특히 공업수학이나 미적분학은 더 쉬었다.

대학을 졸업하고 직업은 기계공학이 아닌 IT쪽으로 진로를 정하다 보니 미적분은 사용할 일은 별로 없었다. 그도 그럴것이 그 시절은 IT 버블이 한참일 때고 미적분을 IT 쪽에 적용할 필요가 있는 분야가 별로 없었기 때문이다. 이후에도 그런 분야로 갈일이 없었다.

이렇게 미적분을 잊고 일하면 살아왔는데... 미적분을 다시 공부를 하게 될 줄이야...

최근에 각광을 받고 있는 머신러닝(ML), 특히 딥러닝을 심도있는 학습에 필요한 것이 미적분이다. 물론 ML에는 선형대수도 많이 사용한다. 필요에 따라 오래 잊고 있었던 미적분을 망각의 저편에서 소환하기 위해 선택한 책이 바로 이 책이다. '이해하기 쉬운'이란 키워드가 웬지 내가 몰랐던 미적분의 다른 이해가 있을지도 모른다는 생각을 하게됐다. 

미적분의 추억어 젖어 서론이 길었는데, 책을 다 읽고 나서 느낀점은 이렇다.

처음의 미적분의 개념을 설명하는 부분에서는 수학의 기본만 있으면 어느 정도 이해가 가능한 수준이다. 여러 증명이나 설명 중에 명쾌한 부분도 많다. 그런데 알고 보면 이런 것도 중학수학이나 고등수학에서 다 설명하는 부분들이다. 공식이냐 이야기냐-공식 유도과정이 더 명쾌할 때도 있다-, 수학공식 유도로 증명하느냐 기하로 증명하느냐 정도의 차이라고나 할까. 미적분의 응용분야로 가면 다소 실망스러운 부분들도 많다. 공식이나 유도 부분이 상당부분 생략되어 최종 공식을 이해하기 위해 종이와 연필이 필요하기 때문이다.  좀더 사용자 친화적인 책이려면 설명이 더 필요한 부분도 많다.

미적분학에 얽힌 역사적인 이야기도 부실한 감이 있다. 일반인 입장에서는 미적분의 애매한 설명보다는 역사적인 사건과 연결해 미적분을 설명하는게 더 쉽게 읽을 수 있을 거란 생각도 해본다. 예전에 봤던 [E=mc^2]이나 [일렉트릭 유니버스]가 그런 측면에서는 흥미로운 그런 종류의 책이였다.

어째든 결론적으로 좀 애매한 포지셔닝인 책이다. 쉬운듯 하면서도 설명이 부족해 쉽지 않고, 미적분의 역사적인 연결점을 다루면서도 극적 흥미가 좀 부족하다. '계륵'이 생각나게 하는 책이다. 수학 문외한이거나 수학을 잘하시는 분은 비추천.

미적분에 대한 개념을 이해하기 쉽도록 알려주는 28가지 이야기 스토리이다.

미적분에 사용되는 개념들부터 그 역사, 쓰임새 까지 미적분을 설명해주는 책이다.

미적분을 공부하고, 공부했고, 왜 공부해야하는지가 궁금하다면 반드시 읽어봐야할 

필독서인거 같다. 하지만, 이책이 쉬운 책이라는 뜻은 절대 아니다.

고3에 배우는 미적분이 기본적으로 나오지만, 그외에 과학과 연관되어 있는 미적분방정식까지

앞부분보다는 뒤부분이 많이 어려운... 그런 책입니다.

감사합니다.

미적분...고등학교 졸업때까지 그 내용을 완벽하게 이해하지 못했고, 대학에서 접한 미적분은 정말 머리가 터질 것 같았던 기억이 있다.

이 책 한권 읽는다고 그때 몰랐던 것을, 한번에 이해하게 해주는 마법을 부리지는 않는다.

다만, 없었던 개념을 완성하고 미지의 영역을 열어주는 뉴턴과 라이프니치 두사람의 업적이 얼마나 큰 공적인지를 알게되었다.

만들어진 업적을 이해하기도 힘든데, 이 개념을 완성했다는 것이 너무나 존경스럽고 미적분이 얼마나 삶에 큰 영향을 주는지 곰곰히 생각해보게 되었다.

이해하는 미적분수업은 조카가 미적분 수업을 선행으로 하고 있는데 어려워 해서 흥미를 돕가 위해 구입했어요. 실생활에서 미적분이 어떻게 사용되는지 설명하는 내용이 많은데 쉽게 술술 읽힌느 책은 아닌것 같아요. 경제에서 미적분이 어떻게 사용되면 의미하는 바가 무엇인지 물리에서 미적분이 어떻게 사용되는지 구체적으로 잘 설명하고 있는 책인것 같아요. 그래도 공부이외에 교양으로 읽기헤느늬 머리가 아폰것 같아요