수학에서의 공리주의

「수학에세이 Ⅰ」

수학을 정말 힘들어하는 딸 아이와 함께 읽고싶어 선택한 책이에요. 수학 이라는 단어와 에세이 라는 단어의 조합이 영 어울릴거 같지 않아 보이지만 책을 몇장만 넘겨봐도 아~! 라는 감탄사를 연발하게 될 거에요. 이 책은 수학을 좀더 쉽게 풀 수 있는 방법이나 보다 빠르게 문제를 해결하는 방법이 담겨있는 이론서는 아니에요. '수학이야말로 고정 관념을 깨고 자유로운 상상이 요구되는 학문이다' 라고 말씀하시는 민경우 선생님의 주관적인 생각들이 가득 담긴 수학적 배경과 역사가 담긴 그런 책이었어요. 수학을 좀더 깊이 이해하고자 하는 취지에서 쓰신 책이라고 하더라고요. 결과적으로 전 정말 재미있게 읽었어요.

저도 학창시절 수학과 그리 친하지 않은 학생중 하나였기에 수학과 관련된 책들을 좋아하진 않아요. 그래서 이 책의 첫장을 넘기면서도 큰 기대는 하지 않았어요. 그런데 한장 두장 책장을 넘기며 제가 '아~!' 라는 감탄사를 얼마나 뱉었는지 모르겠어요. 아 그게 그거였구나, 그래서 이런 명칭이 붙은거구나를 알게되니 점점더 책에 빠져들게 되더라고요. 이 책이 너무 얇다 느껴지면서 아쉽기까지 하더라고요. 물론 재미있다고 책의 내용을 모두 이해한건 아니지만 공부를 하는게 아니잖아요. 조금은 가벼운 마음으로 읽어도 되니 더 재미있게 느껴졌어요.

[ 차 례 ]   01 수 / 02 대수 / 03 기하 / 04 미적 / 05 확률 

시작은 자연수의 기원 '눈' 이지만 그보단 손가락 이야기가 더 흥미로웠어요. 손가락을 통한 셈은 우리 말에 깊은 흔적을 남겼는데 다섯 할때 다섯은 손가락을 닫다와 어원이 같고, 열은 열다와 어원이 같다고 하더라고요. 숫자가 없던 시절 항아리 속 돌맹이로 양의 마릿수가 늘 같다는 걸 알았고, 손가락으로 셈을 했던 경험 때문에 5개씩 묶어 셈하는 걸 편하게 느끼는 거래요. 뒤로 갈수록 생각보다 어려운 내용들이 등장하기도 하지만 부담이 느껴지진 않더라고요. 한번 읽어 이해가 안되면 다시 읽어보면 되고, 모르는 내용을 여기저기 찾아보고, 마치 학창시절로 돌아가 교과서를 보는 듯한 기분이 느껴지기도 했지만요 그때와 다른점이라면 이 책이 재미있다는 거였어요.

학창시절엔 왜그렇게 수학을 멀리 했을까요. 수학 관련 학과에 진학하겠다는 꿈을 키우는 친구들이 이해가 되지 않았었는데, 이젠 아~~주 조금 이해가 될거 같아요. 딸 아이는 이 책을 통해 뭘 느끼게 될지 너무 궁금해요. 내민다고 읽기는 할지 모르지만 밑밥을 깔아주며 이 책의 매력을 어필해 봐야겠어요. 분명 딸 아이에게 더 큰 도움이 되는 책일거에요.

수학이라는 것이 학창시절 많은 사람들을 왜이리 힘들게 하는지.... 수학이라는 단어를 들으면 왠지 작아지는 것을 느끼는 것은 비단 나만의 느낌일까? 하지만 나의 자식만큼은 나처럼 그렇지 않기를 바라는 것은 나의 욕심은 아닐까? 하지만 어찌보면 나는 점수를 받고자 하는 욕심만 앞섰지 수학을 배우는 즐거움에 대한 것은 느낄 수 없었기에 그랬던 것은 아니었는지 생각해 보곤 한다. 이번 ＜수학에세이＞라는 책을 보며 수학과 에세이가 통하는 점이 무엇일까? 라는 의문이 생겼다.

이 책은 수학강사로 현장에서 아이들을 직접 가르치고 계신 민경우 선생님이 내신 책이다. 수학이라는 학문이 만들어 진데는 분명 수학적 배경과 역사가 있음에도 불구하고 그 과정은 쏙 빼고 수학을 하나의 학문으로써 기계처럼 풀어서 맞추는 데 방점을 두고 있기에 선생님은 현장에서 이런 재미있는 수학과 관련된 이야기를 아이들에게 해주시다 한다.

＜수학에세이Ⅰ＞에서는 크게 수, 대수, 기하, 미적, 확률 이렇게 다섯 부분에 대한 에세이가 수록되어 있다.

우리가 무심코 사용하고 있는 10진법이 혹 우리의 손가락이 열 개이기 때문에 사용되어진 것은 아닐까? 하지만 숫자 10만큼이나 0도 큰 가치를 가지고 있다고 한다. 초등수학의 기저에는 1이 있다면 중등수학은 방정식과 함수를 자유롭게 사용하기 위해서는 음수와 0이 필요하다고 한다. 그것이 현대 수학의 꽃인 좌표의 세계로의 입문이 가능하게 만들어 주는 분수령이라는 것이다.

이밖에도 곱셈과 구구단을 광범위하게 사용했다는 것은 농작물을 생산하고 이를 분배하는 사회 시스템이 대규모적으로 조직되고 활용되었음을 뜻한다고 한다. 또한 곱셈과 구구단은 인류가 고도로 문명화되고 조직화 되었음을 보여주는 하나의 징표이기도 하다.

이 책을 읽다보면 고대 수학에서 피타고라스의 정리, 연역법과 귀납법 등 기하학이 일찍 많은 발달되어 있었다는 것을 알 수 있다. 하지만 지금의 관점에서는 이해가 되지 않지만 산술과 대수에서는 취약하였다니 지금의 교육과정에서는 말이 안되는 아이러니한 상황도 알 수 있었다.

이 책은 ＜수학에세이＞라는 책이름에서도 알 수 있듯 스토리로 수학적 접근을 하는 책이다. 따라서 수학적 이론서는 아니지만 우리가 수학을 배울 때 느끼는 이것이 어디에 쓰이기에 이런 것을 배우나 가 아니라 정말로 수학이 우리 생활과 밀접한 관련이 있는 학문이구나를 알 수 있는 책이라는 생각이 든다. 우리가 점수를 따기 위한 가장 중요한 과목이라는 접근으로 수학을 공부하기 싫어할 것이 아니라 수학과 과학 모두 우리의 생활을 발전시키기에 큰 공헌을 한 학문으로서의 가치를 느낄 수 있는 책이라는 생각이 들었다.

아이가 배우는 요즘 수학책을 보면서 옛날 생각이 나기도 하고, 좀 더 쉽게 수학을 배우고 즐길수 있기를 바램으로 매번 새로나온 수학도서가 있으면 눈여겨 보게 되고 또 관심을 갖게 된다. 수학자체가 기초가 없는 상태에서는 쉽지 않은 과목임을 알고 있지만 그럼에도 고2 수1,2과정이 수능에 직접 포함이 되다보니 부모로서 그 중요성을 간과할 수 없게 됨은 물론, 미적분을 포함해 확률통계의 고3과정까지의 목록이 적힌 책을 보니 눈이 저절로 갈 수 밖에 없는게 사실이다. ＜수학에세이＞라는 이 책을 아이와 함께 이번에 읽어겠다고 내가 선택한 이유다.

이 책은 수학강사로 현장에서 아이들을 가르친 작가가 수학에 대한 이해에 도움을 주고자 하는 취지에서 만든 책이다. 수학을 학습함에 있어서 수학적 배경과 역사, 그 과정에 대한 이해가 중요함에도 불구하고 입시수학이나 학교수학은 이 부분에 대한 시간할애는 거의 이뤄지지 않고 있다고 지적하면서 그 부분을 좀 더 집중적으로 얘기해 이해를 시킴으로써 수학에 대한 본질을 알아가며 흥미를 이끌어가고자 한 취지의 책으로 보인다.

＜수학에세이Ⅰ＞에서는 크게 수, 대수, 기하, 미적, 확률 이렇게 다섯 부분을 나누어져 있다. 자연수의 출현, 손가락으로 수세기를 하던 원시시대, 숫자 0의 효용성, 지수, 실수와 허수의 올바른 의미, 디지털화된 정보전달방식을 통해 보는 수 파트, 연산역사에 획기적인 전기를 마련한 사칙연산, 형식불역의 음수, 컴퓨터게임의 시스템의 일관성, 수학의 핵심기능인 추상적 개념을 통한 수학적테크닉을 알게해 준 동류항, 과거의 주판과 문자연산에 대한 이야기를 풀어가는 파트가 대수 부분이었다. 피타고라스의 정리, 연역법과 귀납법, 유클리드 원론에 기초한 공리, 작도법, 점, 60분법까지는 기하파트에, 낙하운동을 보고 시간, 위치에 수를 부여해 함수라는 수학적 가공분야로 발전하게 된 미분과 넓이구하기를 통한 미적분학의 역사를 엮은 미적파트, 그리고 마지막으로 베이그의 정리와 집합과 무한, 명제를 통해 컴퓨터로 인공지능까지의 진화과정을 다룬 확률파트까지 모두 제목에서의 ＜수학에세이＞답게 스토리 위주로 재미있고 쉽게 풀어내 주었다.

4개씩 묶는 것보다 5개씩 묶는게 셈이 빠른 이유가 손가락셈의 활용도로 인한 기념비적인 발전이라고 칭찬 부분은 공감이 갔고, 0이 태어나기 위해 없다는 것을 0이라는 숫자가 있는 걸로 해야한다는 독특한 태도 역시 재미있었다. 15세기 독일문헌을 빌어 두자리 곱셈을 배우려고 이탈리아로 유학을 가는 것이 좋다라는 문헌의 기록을 보면서 웃음이 절로 났고, 실수가 실제 존재하는 수이고 허수가 가상의 수가 아니라 모든 수학적 필요에 의해 인간이 만들어 낸 것이고, 뉴턴이 위대한 까닭을 과학적 접근법이 아닌 수학적 방식으로 풀어준 부분에서는 이해도 쉽고 상당히 공감이 되는 부분이었다. 책에서 강조하는 수학의 핵심적 기능은 추상이며, 사고력을 통해 문제와 실험을 통한 학문이고, 생각보다 유한한 특징을 가진 학문이라는 사실을 알게 되었으며, 책에서 여러 번 등장하는 유클리드의 ＜원론＞도 기회가 되면 꼭 읽어보아야겠다는 생각이 들었다.

누구나 알 수 있듯이 이 책은 사실 당장 수학점수랑 연결될 만한 부분은 전혀 없다. 원론에 가까운 내용과 이색적인 당론들이 담겨져 있는데다 자유로운 비약과 상상이 더해져 읽는 재미는 상당하다. 딱딱한 입시나 학업스트레스에 젖어있는 아이들이 머리도 식힐 겸 잠시 잠깐 시간내어 읽어보면 좋을 책이라 여겨진다.

수학을 딱딱하고 재미없는 과목이며 더군다나 학업과 동떨어진 상황의 대개의 어른이라면 수학을 다시 만날 일은 대체로 없다. 대입을 위해 수학 점수가 필요했지만 슬하에 아이가 없다면 실생활에 필요한 수학 이상의 고차원적, 추상적 수학을 일부러 찾을 필요는 없다. 나 역시 아이가 없었다면 굳이 수학을 가까이 하려고 애쓰지 않았을 것이다. 혹은 아이가 수학적 사고에 잘 맞는 두뇌형이거나 아이 스스로 난관을 넘는 도전적인 성향이라면 아이가 잘 하고 있거나 무심하게 칭찬해 주는 정도에 그쳤을 것이다. 하지만 어디서 잘못됐는지 아이는 지독히도 수학을 증오한다. 수학적 사고를 싫어하는 게 아니라 문제로 단련시키고 점수로 실력을 드러내는 것을 싫어해서 수학 자체를 멀리 하고 싶은 게 큰 듯싶다. 이런 성향의 아이를 구슬리기 위해 [수학 에세이 I] 같은 책을 보며 아이에게 수학이 인류와 어떻게 연결되어 있고 수학 교과서에서 만나는 개념들이 한 사람의 잘난 척하는 사치품 같은 무엇이 아니라 한 개념의 시작이 얼마나 어려웠으며 인류의 생활과 오랜 역사 속에서 발전해 왔고 여전히 발전 중이라는 사실에 아이가 더 주목해 주길 바랬다. 그리고 아이가 수학 보다 더 친근하게 느끼는 사회, 언어 체계 안에서 설명해 주는 교재를 더 선호하게 된다. [수학 에세이 I]이 내 요구에 딱 맞아 떨어지는 책이다.

자연수의 시작을 사자, 악어, 뱀의 사냥하는 눈이 “한” 피식자를 어떻게 인식하는지 다소 과학적인 접근으로 시작한다든지, 지수 법칙을 적용해서 신문지 한 장에 지구에서 달까지의 거리를 담아 낸다든지, 고대 이집트에서 피타고라스의 정리를 피라미드에 어떻게 적용했는지.. 수학에 대한 여러 개념의 태동과 발전을 저자는 간략하고 흥미롭게 풀어내고 있다. 그 동안 아이들에게 수학을 가르치며 아이들이 이해하기 힘들어 했던 개념을 더 이해하기 쉽게 설명하기 위해 애쓴 저자의 교수 과정의 결과물이라고 느껴진다.

긴 수학사 안의 모든 개념과 공리의 존재 이유에 대해서 책 속 내용을 천천히 음미해 가며 아이가 조금 더 공감을 가진다면 지난할 수 있는 수학 학습의 시간을 견뎌낼 힘을 쌓아갈 수 있으리라 기대해 본다.  

수학을 싫어하는 사람이 수학을 좋아하는 사람보다 많다. 그만큼 수학에 대한 편견이 많을 것이라 생각한다. 수학의 매력을 알게 되면 사실 엄청 재미있는 학문인데, 사람들을 수학에 대한 고정관념으로 불편하게만 바라본다. 그런 점에서 이 책이 수학적 고정관념을 조금은 바꿔줄 수 있을 거라 생각한다. 수학의 배경이나 역사에 관한 이야기가 담겨있어서, 이야기책을 보는 느낌이 드니까 말이다.

저자는 꽤 오랜 시간 동안 수학을 아이들에게 가르쳐왔다고 한다. 수업을 할 때면 수학적 배경이나 역사에 대해 많은 시간을 할애한다고 하는 데 수학을 더 깊이 이해하는 데 도움이 되기 때문이라고 한다. 이 책도 그런 취지에서 쓰였다고 하니, 수학적 배경을 알고 싶다면 한번 읽어보면 좋겠다. 너무 깊이 파고든 게 아니라 조금은 가볍게 살펴보고 있고 두껍지 않은 책이라 편하게 읽을 수 있다는 게 장점이다.

아이들이 처음에 숫자를 셀 때 물건을 가지고 숫자를 센다. 사탕 1개, 사탕 2개, 사탕 3개... 이런 식으로 말이다. 그게 익숙해지면 손가락을 이용해 숫자를 헤아린다. 우리가 자연스럽게 숫자를 익히는 방법을 고대에서도 사용했다고 한다. 양을 모는 목동이 양의 숫자를 셀 때 지금처럼 한 마리, 두 마리 이렇게 센 것이 아니라, 양과 돌멩이의 개수를 동일하게 세어서 셈을 했다고 한다. 그게 발달해서 손가락을 이용했고, 지금 우리가 사용하는 자연수, 숫자가 나오게 된 거라고 한다. 손가락으로 셈을 했기에 5단위로 수를 세는 게 익숙하다는 것, 22개의 물건이 있는데, 4개씩 5묶음과 2개보다 5개씩 4묶음 2개가 더 눈에 띄고 쉽게 계산되는 것도 바로 이런 이유라고 하니 참 재미있다.

그 외에도 기학, 확률, 미적, 대수까지 수학적 배경에 관해 간단하게 알 수 있으니 이 책을 읽고 수학적 상식을 갖고 있는 건 어떨까? 우리가 아는 딱딱한 수학의 느낌보다,

수학이야말로 고정 관념을 깨고 자유로운 상상이 요구되는 학문이다.

라는 표지의 문장을 공감하게 될 것이다.

수학 에세이 1 - 원론에 대하여                     

실제로 원론의 구성이 그러하다. 원론은 피타고라스의 정리와 같은 어떤 수학적 사실에 대한 소개를 넘어 기하학 지식 전체를 종합하려는 의도와 지향을 갖고 있다. 따라서 그는 애써 기하학의 기초가 되는 몇 가지 문제들을 정리하고 여기서부터 책을 시작한다. 
원론은 먼저 23개의 정의를 시작한다. 23개의 정의 중 첫 번째는 유명한 “점은 쪼갤 수 없는 것이다” 사실을 거슬러 거슬러 기원에서부터 문제를 설명하고자 하는 자세를 엿볼 수 있다. 이어 5개의 공리로 이어진다. 여기에는 5번째로 유명한 평행선 공리가 있다. 다음으로는 5개의 상식이 있다. 상식 5번째는 “전체는 부분보다 더 크다”는 내용이 있다. 원론은 23개의 정의, 5개의 공리, 5개의 상식에 기초하여 465개의 정리를 담고 있다.

수학 에세이 1 -  프린키피아                           

원론이 근대 사회에서 강력한 영향을 미친 만큼 근대 지식인들은 원론의 영향을 받았다. 뉴턴도 예외가 아니다. 뉴턴은 1687년 그의 저서를 ‘자연철학의 수학적 제 원리’라 명명했다. 자신의 책이 유클리드의 원론과 비슷한 레벨이라는 것이다. 여기서 원리는 영어로 principle인데 이를 라틴어로 읽으면 프린키피아이다. 덕분에 뉴턴의 책을 간단히 일컬을 때 프린키피아라고 부른다. 
제목뿐만 아니라 형식도 원론 그대로이다. 프린키피아에서 뉴턴은 8개의 물리량을 정의하고 3개의 운동법칙을 공리로 채택한다. 이어 지상에서 다양한 원리들을 정리한 후 3권에서 태양계를 분석한다. 원론의 설명 방식 그대로이다.

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'상기 요약은 수학을 바라보는 일반인들을 위한 개념 정리 정도라고 보아 두자 , 저자 또한 어렵게 이 책을 시작하려는 의도는 아니었기 때문에 수와 현실 세계  그리고 응용에 관한 부분 , 그리고 마지막으로 지구 상에 존재하는 다른 학문들과의 연관성과 확장성에 대해서 이야기하며, 쉽게 그 사례를 들어 설명한다. 

우선 수학여행을 떠나기에 앞서 , 공리 원론 근원이 되는 사람들의 사고방식에 대해 원시 시대부터 혹은 이후 문명이 발달하면서 수십 세기에 걸쳐서 손가락으로 셈을 하고, 주판을 사용하다고 인도에서 0을 발견하여 15-16세기 데카르트의 지각 좌표계에 지대한 영향을 준 기준점이 되었고  음수의 발견과 대수의 확장 그리고 미분과 적분으로 면적과 무한대와 무한소에 대해 사람들 특히 과학자들은 논의 하기 시작하였다. 

지금이야 쉬운 구구단이나 가감승제 또한 예전 과거에는 상당한 고등수학의 하나였고, 미분을 이해하지 못하면 무한소에 접근하는 쏘아 버린 화살은 결코 과녁에 달지 않는다라는 제논의 궤변이 가능할 수도 있다. 

만유인력의 법칙을 발견 ( 발명이 아님) 한 지구의 진정한 사과를 본 뉴턴 또한 우주를 대상으로 하는 시간과 공간에서의 아인슈타인의 상대상 이론에 그 작위를 내주어야만 했다.  지구 탄생 약 46억 년 정도 되는 오늘날 태양계가 사라질 시점이 50억 년 정도 가늠한다라고 하는 과학자들의 이야기를 증명이 가능할 것인가 인류가 약 4억 년 정도 더 문명을 이어 나갈 수가 있을까 ,, 고작 공룡 시대 거쳐 현생 인류가 나타난지도 아직 100만 년도 채 되지 않으니 맗이다.. 

다시 수학의 화두로 돌아가면 이는 우리들 일상에서 떼려야 땔 수 없는 불가분의 관계와도 같다. 늘 우리는 공간 속에 살며 사유하며, 시간과 공간을 느끼면 행동하고 있기 때문이다. 

전체는 부분 보터 크다 -라는 명제는 옳은 것일까 ,, 당연히 상식적으로 알지만 수학적으로 거의 같을 수도 있라라는 것이 성립한다.. 우리가 알고 있는 중력과 지구 위에서의 삼각형 작도 법은 북극과 적도부분을 이어 주면 거대한 편 구형이 되어서 내각의 합이 180도가 넘아 간다. 

비현실적인 혹은 비 논리적이고 상상적인 일들이 미세 구조 운동이나 거대한 천체 운동에서는 가능하다고 한다.  이전 만유인력의 뉴턴도 사과를 대지 위로 떨어지는데 달은 떨어지지 않고 자전 공전 운동을 하는 것에세 

만유인력을 발견해 내었고 미분의 시초가 되었다. 

인류가 살아 나가는 한 , 언제 까지나 이러한 수학의 바탕을 기저에 깔릴 듯하고 철학과 물리학 제반 학문의 파생에도 많은 영향을 주는 듯하다.  오늘도 수락 문제로 머리 아픈 수험생들은 자연의 아름다운 수의 체계에 가만히 눈을 돌려 보아도 좋다. 파노 나치 수열이나 , 황금 비율의 미술 작품 감상, 그리고 소수로 이어지는 끝이 없는 무리수의 행렬 속에 어떰 그대들의 우주가 있다.  Written by E HAN 

에필로구; 인간의 지성으로 현실 세계의 무한대를 이해 하는 것은 심적으로 매우  어렵다 우주를 보라 우주 넘어 다른 우주가 존대하고 그를 둘러싼 무한대의 우주가 있다고 하지만 나머지 공간은 무엇으로 채워져 있고 그 공간을 둘러싼 너머는 무엇인가.. 빅뱅이 팽창 하더라도 공간 없이 팽창 하는 것이 우주적으로 가능 한 것인가등

수학이 언제나 힘들었다. 중학교 때는 기하, 고등학교 때는 미적분, 확률, 통계 수포자는 아니었지만 평범한 사람이 하기에는 버거웠고 이해가 힘들었다. 더군다나 대학 때는 증명하는 문제까지 등장해서 거품물게 했다.

저자는 수학의 기원을 설명하면서 등장의 필연성을 잘 보여주고 있다. 손가락으로 하는 셈부터 시작한 자연수가 대수, 기하, 미적, 확률로 발전했는지 이유를 나름대로 논리로 설명하고 있다. 사람의 인식이 자신의 몸에서 주변 환경으로 그리고 우주로 확대되면서 수학의 폭과 깊이가 커진 듯 하다. 손가락의 개수가 10개라서 10진수가 지구의 공전 주기가 365이라서 원이 이루는 각도를 360으로 정한 것도 그 때 인식의 폭이 그 정도였기 때문이었다고 한다. 저자는 수학자들은 추상적이며 타당한 논리를 만들어서 곳곳에 숨어있던 논리가 막히는 현상을 뚫고 공리를 만들면서 확장해왔다고 한다. 수학이 자연에서 출발했지만 더 이상 자연을 설명할 수 없어서 과학을 분리시켰다고 한다. 하지만 과학을 설명하는 도구는 수학이라서 완전하게 이별하지는 않았다.

저자가 중간 중간 이해를 돕기 위해 넣은 수식이 잘못된 건지 아니면 내 수학 수준이 낮아서인지 이해가 되지 않은 채 넘어 간 부분이 있다. 대학생 두 아들에게 물어보았지만 이상하다고 한다. 식이 나온 중간 단계를 각주나 부록으로 남겼으면 좋았을 것 같다.