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웬지 코로나가 아니어도 집콕할 스타일의 작가님이시다. 수학이 좋아서 연산하고 문제해결하고 증명하고 이런것들이 너무나 매력적이어서 집에서 모든 걸 심지어 칵테일도 혼자 막 만들어 먹으면서 자축하는 스타일인듯 싶다. 수포자들은 감히 상상하기 힘든 수학을 풀면서 희열과 매력과 애정이 퐁퐁 쏟아지면서 온 우주가 나를 감싸 안는 듯한 느낌을 느끼는 독일수학자시다. 그래서 읽는 독자로서는 뭔가 있지 않을까 기대를 조금은 품게 하는게 맞다. 너무 침튀기면서 설명하면 귀를 기울이게 마련이니 말이다.
전 과목 통틀어 수학을 제일 못하고 수학이란 과목이 왜 있어야 하는지 몰랐던 나에게는 외계 생물체 같은 느낌이지만 이 책을 통해서 알게된 것이 있다. 아! 수학이 꽤 다양한 분야에서 유용하구나 나만 몰랐구나(물론 안다고 내가 응용적용하기에는 거리감이 있긴하다.) 일례를 들자면 뒷부분에 나오는 이야기인데 '날짜만으로 달력을 안보고 요일을 계산하는 법' 이건 정말 유용하긴 하다. 이런 케이스는 많긴하다. 울아들도 얼마전에 "엄마 나는 그런데 무슨 요일에 태어난거야? " 물론 요즘은 검색만 하면 금방 알수 있긴하다. 계산하는 것 보다 빨리 그런데 이게 설명대로 막 계산하고 있으면 우와~~헐~~대박~~맞네맞아 이러게 된다. 이런 장면이 이 책을 읽으면서 한 3-4번쯤 등장한다. 왜 3-4번 밖에 등장하기 않냐면 나머지는 세제곱근이나 로그값에서는 좀 들어도 막히는 부분이 있어서 였다.
수학적 마인드의 말씀이신데 뭐 일반적으로도 다 통용될 듯 싶다. 물론 나에게 수학적으로는 삶에 적용이 잘 안됐던게 사실이다. 나의 돌파구는 늘 '정답지'를 보고 암기해 버리는 것이었으니 말이다.
'눈 깜짝할 새'가 여기서 핵심 포인트다. 참 '두뇌 하나'도 포인트다. 이책은 암산해야 하는 책이고 어떻게 하면 빠르게 정확하게 풀어내는 가를 여러 수학학자들과 증명을 통해서 알려준다. 우리가 아는 흔한 연산이다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 제곱근, 로그 등등 하지만 교과서 학교에서 배웠던 그런 내용이 아니다. 마술, 마법이 많이 나오는데 진짜 마법같긴하다. 18과 11을 곱하려면, 먼저 18을 이루는 두 숫자 1과 8을 더하고 , 여기서 나온 값 9를 숫자 1과 8 사이에 적어 넣는다. 답은 198이다. 이런 식이니 와우~~연발이긴 하다.
물론 몇몇 예외사항들이 있는 연산법이 있어서 적용이 한정된 부분에만 되는 것도 있다. 그런데 모든 적용이 가능한 기법을 개발한 사람이 있는데 '트라첸버그'라고 [22개의 감옥 그리고 게슈타포의 지하실]이란 책을 쓴 뷴인데 평화주의로 나치 정권에서 수감되었던 분이다. 감옥에서 종이도 연필도 없이 오로지 정신력과 기억력으로만 연산 과정들을 고안해 냈다고 한다. 극한이나 창의력을 높이는게 맞는것도 같다. "먼저 수직으로 한번, 그 다음 대각선으로 교차, 그리고 다시 수직으로 셈하기" 끝. 너무 간단해서 나도 100%이해 가능했다. 21 32
1. 두수를 나란히 놓아야 한다. 2. 일의자리수 부터 1과 2를 곱한다.1x2=2 3. 대각선 교차, 십의 자리와 1의 자리를 교차해서 곱하고 더한다. (2X2)+(1X3)=7 4. 십의자리수 수직 계산 2x3=6 5 지금까지 나온 값들 쭉 적어주기 672가 답이다. 6. 10이 넘는 수가 나오면 받아올려주기만 해주면 된다. 모든 수에 적용되니 한번 해보시길 제일 응용하기 좋은 난이도 0수준이다.
물론 세자리수 곱셈법도 비슷하다. 약간의 추가항목이 들어간다. 이분이야 말로 천재인듯...
다양한 연산 기법으로 구한 값이 옳은지 검산하는 9와 11거법이 나오는데 그 원리는 다음과 같다.
" 어떤 수를 9로 나눈 나머지는 , 그 수의 각 자리에 있는 수를 모두 더한 값을 9로 나눈 나머지와 같다."
신기할세.. 또 신기한 연산법 중에 중국의 고대 연산 법인 산가지 연산법이 오히려 나에게는 딱이었다. 가시적으로 눈에 딱 들어오는 것이 딱 내 수준이다.
그리고 제곱근을 설명할 때는 주로 돌멩이로 정사각형의 을 만든다는 설명을 많이 쓴다고 한다. 4의 제곱근이면 ㅇ ㅇ ㅇ ㅇ 이렇게 놓으면 각 면에 놓인 돌명이 개수가 4의 제곱근인 2가 되는 것이다. 난 이렇게 안 배웠던 거 같은데 쉬운 방법이다. 써먹어야지
로그에 벤포드의 분포도라는 것이 있다고 한다. 이건 분식회계를 막아주는 역할을 한다고 한다. 벤포드 분포도를 세무 프로그램에 적용해서 위조작부에서는 경보음이 나도록 장치를 해두었다고 한다. 위조도 똑똑해야 하나보다.
수학은 겁나고 무섭고 머리아프고 전문가들이나 써먹는 건지 알았는데 나름 다양하게 생각을 전환하게 된 계기가 되었다. 알고보니 어렸을 적부터 원리와 다양한 아이디어를 통해 배웠다면 조금 달라져 있지 않았을까 생각이 든다.
YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다.
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보는 즉시 문제가 풀리는 '3초 수학'의 힘 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학생활 크리스티안 헤세 지음 / 장윤경 옮김 / 청림출판(추수밭)
곱셈과 나눗셈부터 제곱근과 로그에 이르기까지 불필요한 것들을 쳐내는 빠르고 정확한 '3초 수학' 슬기로운 수학 생활을 위한 연산의 기법
지금도 암산으로 빠르고 정확하게 계산을 해야 할까? 어린 시절에 주판을 배운 친구들이 있었다. 어렴풋한 기억속에 주판을 배웠던 친구들은 공통적으로 암산을 잘했던 것 같다. 눈을 감고 머릿속으로 뭔가를 떠올리는 듯한 표정을 지으면 금방 복잡한 숫자들의 덧셈까지도 곧잘 했다. 머릿속으로 주판의 이미지를 그리고 계산하면 어렵지 않다나 뭐라나? 지금은 주판을 배우지 않는 시대에 살고 있어서 더이상 그런 친구들의 모습을 보기는 쉽지 않은 것 같다.
픽사베이에서 받은 무료 이미지 요즘은 간단한 계산을 할 때 굳이 주판을 머릿 속으로 떠올릴 필요가 없다. 아니 암산을 할 필요도 없다. 손 안에 있는 작은 도구 하나만 있으면 누구보다도 빠르고 정확하게 계산할 수 있다. 뭔가를 계산할 일이 생기면 머릿 속으로 계산을 시도하기보다는 주머니 속에서 스마트폰을 먼저 찾고 있지는 않은지?
픽사베이에서 받은 무료 이미지 (대안)학교에서 학생들에게 수학과 과학을 가르치는 교사로서 고민이 참 많다. 수학이라는 말만 들어도 경기를 일으키며 괴로워하는 학생들을 만나면 답답하기도하고 미안하기도 하다. 수학을 평가의 도구로 이해하고 있는 학생들 사이에서는 이 만한 적이 또 있을까? 내가 만나는 학생들이 수학을 포기하지 않았으면, 수학을 즐거워했으면, 평가의 도구가 아니라 놀이의 도구로 느꼈으면 좋겠다는 생각을 늘 한다. 이것이 교사로서 나의 사명이자 책임감이라고 생각하고 있다. 그 한 가지 방법으로 학생들과 재미있고 흥미있게 읽을 만한 책을 찾는 게 늘 큰 숙제이기도 하다. 그리고... "스마트폰만 있으면 쉽게 계산할 수 있는데, 뭐하러 이렇게 복잡한 계산을 공부해야 해요?"라는 학생들의 질문에 뭐라고 대답해야 할 지도 큰 고민이고 숙제이다.
책을 만났다
얼마 전부터 YES24 리뷰어클럽에서 서평단 활동을 하는 재미를 알게 되었다. 여느 때와 마찬가지로 서평단을 신청할 책들을 보다가 이 책 "하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활"을 발견했다. 책 표지에 미소짓는 파이가 눈에 띄는 책. 보는 즉시 문제가 풀리는 '3초 수학'이라... 내용이 정말 궁금해졌다. 앞에 썼던 고민을 담아서 바로 댓글을 달았다. 그리고 이 책이 도착했다. 이 책의 저자 크리스티안 헤세(Christian Hesse)은 독일의 수학자이자 통계학자이다. 미국 하버드 대학교에서 박사 학위를 받고 독일 슈투트가르트 대학교에서 수학 및 통계학 교수로 재직하고 있다. 다양한 방면에서 수학을 대중적으로 풀어 소개하는 서적을 집필했다고 한다.
캡처 사진이에요. 클릭 안되요..ㅎㅎ
책의 목차는 다음과 같다.
"Chapter 1 워밍업"에서는 우리가 많이 들어본 가우스의 일화를 시작으로 연산의 발전을 아주 가볍게 소개해주고 있다. 1부터 100까지 빠르게 더하는 방법은? 1+2+3+4+ ... +99+100 =? 이건 쉽게(?) 할 수 있다. 물론 가우스가 이미 알려줬기 때문에... 그렇다면 1부터 100까지 모든 숫자를 더하면 얼마일까? 예를 들어 99는 9+9로 계산하는 걸 의미한다. 과연... "Chapter 2 곱하기"에서는 다양한 경우의 곱셈법을 소개하고 있다. 여러 가지 곱셈의 기술을 알려주는 데 단순히 방법만 알려주는 데 그치지 않고 원리도 잘 소개하고 있다. 수학자라면 당연한 책임감(?)을 가지고 계시겠지...
여러 가지 재미있는 곱셉의 기술들이 소개 되어 있다. 그 중에 한 가지를 간단히 살펴보자. 21 곱하기 32를 보통은 어떻게 계산할까? 학창시절에 배웠던 곱셉 방법 한 가지를 떠올리지 않을까? 책에서는 다음과 같은 방법을 소개하고 있다.
여기에서 방법을 자세히 소개하지는 않겠지만 저 그림을 보고 방법을 유추해낼 수 있지 않을까? (물론 그렇지 않아도 상관은 없다. 책에 잘 소개되어 있으니...) 아래에는 같은 방법의 계산을 세자리수 곱하기 세자리수(123 곱하기 231)를 그림으로 나타내었다.
이렇게 흥미로운 (곱셈) 계산법들을 많이 소개해주고 있다. "Chapter 3 나누기"에서는 나눗셈 연산에서 활용할 수 있는 연산법을 몇 가지 소개하고 있다. 나눗셈은 다른 연산들에 비해 확실히 어려운 편이지만 책에서 설명한 대로 차근차근 읽어내려가면 따라하는 데는 큰 무리가 없었다.
"Chapter 4 정답체크"에서는 9거법, 11거법이라는 다소 생소한 이름의 연산법이 소개되는 데, 이 두 방법은 내가 계산한 결과가 옳은지를 체크하는 일종의 검산법이다. 9와 11이라는 숫자들이 펼치는 마법 같은 기술들을 살펴볼 수 있어서 정말 흥미진진했다. "Chapter 5 거듭제곱의 뿌리 캐기"와 "Chapter 6 로그의 마법"에서는 거듭제곱 연산과 로그 연산의 활용을, 마지막으로 "Chapter 7 쿨다운"에서는 대망의(?) 달력 요일 계산하는 방법을 소개한다. 책 읽은 소감 모든 것을 다 기억하기는 어렵지만, 하나하나 따라하다보면 재미있는 계산법들이 많이 소개되어 있다. 암산하는 방법을 기억하는 의미 보다는 수에 대한 다양한 감각들을 훈련해볼 수 있는 재미난 훈련(?)법들이라는 생각이 든다. 계산기가 있는 시대에 왜 연산을 연습해야 하는가? 논리적 사고력을 기르고 연습하기에 이만큼 좋은 게 있을까 싶다. 감각이 생각을 지배하고, 빠르게 결과가 나오지 않으면 견디기 힘들어하는 시대가 도래했다. 그러나 생각이 멈추어서는 안되겠지. 꾸준히 생각하고 기억하고 판단하는 연습을 하지 않으면 결국 기술에 지배를 받고 살게 되지 않을까?
우리 학생들이 생각을 멈추지 않았으면 좋겠다. 계산을 포기하지 않았으면 좋겠다. 두뇌에 다양한 자극을 주며 성장했으면 좋겠다. 학생들과 천천히 책을 읽으면서 수에 대한 감각을 익혀나갔으면 좋겠다. 학교 수학과 필독서로 추천? ^^
YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다. 제 개인 블로그에도 같은 내용이 작성되어 있습니다. |
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모르긴 몰라도 세상 사람 절반, 아니 그보다 훨씬 더 많은 사람은 수포자가 아닐까 생각한다. 우리 집만 보더라도 나를 필두로 아내도 딸도 다 수포자다. 그나마 아들은 못하지만 싫어하진 않다는 이유로 수포자가 아니라고 우기지만 내가 보기엔 도긴개긴이다. 최소한 내게 '수학=어렵다' 혹은 '재미없다'라는 정설이다. 한데 표지에서 파이가 웃는 얼굴이 왠지 모르게 읽는데 용기를 준다. 책 한 권 읽는데 용기를 내야 하는 게 웃기지만 어쨌든 이 책은 어려운 수학 책이 아닌가. 그런데 슬기롭다니 믿어보는 수밖에.
워밍 업에서 저자가 말하는 내용에 발끈한다. 수학이 산술이 아니면 뭐람! 솔직히 산수던 수학이던 문제에 대한 정답을 찾아야 하는 압박은 보통 사람에겐 예술로 여기기엔 무리다. 그저 수학자의 건방일 뿐이 아닐지. 바로 말을 바꾸려니 부끄럽긴 하지만 놀랍다! 워밍업에 두 자릿수 곱셈을 읽으며 신기해서 따라 해 봤더니 역시 안 된다! 분명 저자가 하라는 데로 85×11=? 8과 5사이에 8과 5를 더한 수를 가운데 넣으면 8135여야 하지 않은가. 답은 935인데 말이다. 해서 다른 문제에 도전! 역시나! 그래서 혹시 자리 올림 수인가?라는 생각에 10자리로 넘어가면 앞 두 자리를 더했다. 빙고! 다른 수로해보자. 69×11=? 6159, 앞 두 수를 더하면 759! 정답!. 정말 재밌다. 오! 두 자리 곱셈까지! 이 책은 해보고 놀라고 환호성 치느라 도무지 진도가 나가지 않는다. 작가의 말처럼 '뭔가 빠르고 신나는 연산'이 펼쳐지는 게 정말 신기하고 재미있어 책 읽기는 느리만 하다. 수학의 역사적 기원부터 인물들의 이야기를 양념처럼 적당량을 섞어 재미를 더하기도 한다. 그리고 현재 사용되는 연산에 대한 상식과 방법을 흔들어 놓는다. 종이가 아닌 느리지만 암산으로 따라 해보는 재미가 쏠쏠하다. 그렇다고 나 같은 수포자 눈높이에 맞춰진 수준만 있는 건 아니다. 진도가 나갈수록 머리는 점점 한계에 다다르지만 쉽게 책을 덮진 않고 있다.
2장의 섹션 9에 "다들 여기까지 잘 따라오고 있으리라 믿는다."라는 저자의 말에 솔직히 위축됐다. 다들 잘 따라가는 수준인 거 같은데 나는 사실 따라가기 쉽지 않아 어느 순간부터는 눈으로 스치는 수준이다. 환호했던 순간은 찰나고 곧바로 수포자의 자세로 돌아왔다. 내 처지에 오일러 법칙이라니, 쿠터라니 가당키나 하겠는가. 다시 회생하는 기분이 든 3자리 수의 곱셈은 신기할 정돈데 역시 책은 일부만 이야기 해놨다. 높은 수를 계산해 보니 계속 올림 수가 발생하는데 이 올림 수를 어찌할 바를 모르겠다. 곰곰이 생각하다 올림 수의 자세로 기존 수와 합쳐봤더니 역시 빙고! 그것도 우리가 풀던 기존 방정식보다 훨씬 빠르게 정답을 맞혔다. 이런 방법을 왜 교육과정에서 적용하지 않은 것인지 이해가 안 된다. 쉽고 빠르고 명쾌한데 말이다. 교육부 장관은 이런 방법을 아시우?
이 책은 가우스의 놀라운 수에 대한 직관력부터 다양한 수학 사의 인물들을 알려준다. 또 곱셈, 나눗셈을 비롯 검산 방법 나아가 무시무시한 제곱근, 나에게 모욕감을 준 로그 같은 연산을 손으로 머리로 직접적으로 해보며 대부분 모욕적이긴 하지만 살짝 즐거움도 맛보게 해주기도 한다. 암튼 신기한 책이다. 수학의 기원이나 원리 등 이론에 대해 집중된 여타 다른 책과는 달리 연산을 문제를 '푸는' 것 그것도 빠르고 정확하게 풀어내는 다양한 방법에 집중한다. 게다가 이런 방법이 계속 연구되고 있다는 것 또한 흥미롭다. 정해진 방법으로 정해진 답을 찾는 것이 수학이라는 생각이 완전히 새롭게 바뀌었다. 그렇다고 이 책을 읽는다고 수포자가 수학을 잘하게 되리라는 생각은 들지 않는다. 다만 애초에 이렇게 '푸는' 것이 흥미롭고 재미있는 것임을 알 수 있다면 최소한 많은 수포자를 막아낼 수 있지 않을까 싶다. 이 책은 그런 책이다.
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이 책은 독일의 수학자이자 통계학자인 '크리스티안 해세' 가 쓴 책이예요. 독일 슈투트가르트 대학교에서 수학 및 통계학 교수로 재직하고 있죠. 저자는 좀더 즐겁고 신기한 수학을 알려주기 위해 이 책을 쓴 것 같아요.
챕터 7개로 이루어진 이 책은 처음은 워밍업 , 그 다음 곱하기, 나누기, 정답 체크, 거듭제곱의 뿌리캐리 , 로그의 마법, 쿨 다운으로 이루어져 있어요.
워밍업 부분에 누구나 가우스가 될 수 있다고 말하며 가우스에 대한 간단히 소개 하는데 너무 대단하더라고요^^ 가우스가 일곱 살 일 때 선생님께 반 학생들에게 1부터 100까지의 수를 모두 더해보라는 문제를 냈다네요. 선생님의 의도는 아이들이 숫자에 몰두하기를 바랬던 것인데 가우스가 몇 초만에 정답을 말했다네요. 5050!! 너무 대단한 것 같아요. 1부터 100을 적고 아래는 100부터 1을 적어요. 1과 100을 더하고, 2와 99를 더하고....3과 98을 더하고.. 모두 합이 101 이예요. 101이 100개니까 곱하면 10100이 나오고, 이걸 반으로 나누니 5050이 나왔데요!
전 이부분 보며 대단하다~~ 생각했네요. 이런 수학적 사고를 할 수 있다니!! 일곱살 에?!!! 두자리수 곱하기나 나눗셈, 제곱수와 원주율, 산가지로 하는 액션 수학, 제곱근 등등 다양한 수학의 신기한 원리들을 소개해줬는데 저는 읽어도 좀 어렵더라고요^^; 마지막에 저자는 '수학이 정말 행복의 도구가 될 수 있을까? 라는 주제를 갖고 글을 썼는데 저자는 수학은 무엇보다 흥미진진하고 자극적이며 우리를 어느 때 보다 행복하게 만들어준다고 말했네요^^ 수학을 좋아하는 분들이 읽으면 더 좋아할 내용일 것 같아요^^
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 표지부터 시선을 사로잡는 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활
그동안 수많은 스마일 이모티콘을 봤지만 파이로 제작한 이모티콘을 보고 나도 모르게 미소 지었다. 왠지 이 책과 함께라면 수학을 즐기며 시간을 보낼 수 있지 않을까 하는 생각이 들어서였다. 아이들과 수학 문제를 해결하다 보면 종이와 연필만 가지고 문제에 갇혀서 이걸 왜 이해 못하지 의문이 들었던 적이 많았다.
학교에서 공부하고, 학원에서 공부하니 집에서 가르치는 조금 다른 방식으로 적용해볼까 하며 핀란드 연산, 인도 베다 수학 등 다른 나라의 수학풀이를 가져와 아이들을 가르치곤 했다. 이 책은 이런 나의 방식을 조금 더 흥미롭게, 그리고 다양화해 줄 수 있을 듯하다.  - p.13 본격적인 책으로 들어가기 전에 온갖 수학 공식들과 큐브로 이루어진 간지가 눈에 띄었다. 정말 수학의 세계로 나를 인도하는구나 생각이 들었고 어떤 수학 풀이 방법들이 기다리고 있을까 기대되기도 했다. 이름만 들어도 아 수학자 하는 가우스 그의 어릴 적 일화를 가져오며 간단한(?) 덧셈으로 수학의 세계에 들어간다.
가우스가 7살 때, 선생님이 1부터 100까지 다 더해보라는 문제를 냈을 때 아주 짧은 시간동안 고민하다가 5,050 답을 찾아 교탁에 냈다고 한다. 바로 1+100, 2+99 등으로 모든 수를 더하여 101로 만들면 그 개수는 100의 반 즉 50개의 101이 나오기 때문에 101*50은 5,050이라는 답이 순식간에 나오게 된다. 수학이란 이런 학문이라는 생각이 든다. 하나하나 계산하려면 한없이 시간이 많이 들지만 더 큰 범위로 생각을 바꾸어 계산하면 절대적인 수는 커지더라도 그 계산은 단순해진다는 수학적 사고를 설명하는 듯하다.
문제해결을 위해 우리에게 필요한 건 수학적 사고가 아닐까. 현재 문제에 얽메여 근시안적인 해결방법을 찾는다면 문제를 해결하더라도 시간이 오래 걸린다. 조금 물러나서 큰 그림을 본다면 의외로 간단히 풀리는 해결방법을 찾을 수도 있다. 이것이 수학적 사고가 필요하고 수학적 사고를 키워야 하는 이유이다.
 - p.20책에서는 함께 풀어볼 만한 문제들을 함께 내준다. 이 문제는 1~10까지의 수와 이를 각각 두 배, 세 배, ... , 열 배한 수를 모두 더해보라는 이 문제를 제시한다. 문제의 해답은 가우스가 사용한 1부터 100까지 더하는 방법을 활용하면 55 + 55*2 + 55*3 + ... + 55*10 이 되며, 이는 (1+2+...+10)*55가 되고, 이는 55*55이 되므로 3,025가 된다. 직접 하나하나 앞서 나온 풀이방법을 활용할 수 있도록 한다는 점이 재미있다. 아이들과 누가 먼저 문제를 푸나 대결을 벌이며 한동안 시끌벅적해졌다. 
- p.32 유용한 손가락 주판. 예전에는 주판을 많이 사용했다. 요즘도 수연산을 빠르게 하기 위해 주판학원을 보내는 사람들도 있지만 예전처럼 대중화되어 있지는 않다. 주머니에서 스마트폰만 꺼내면 뭐든 다 계산할 수 있으니 주판도 계산기도 따로 필요하지 않기 때문일 것이다. 하지만 주판의 원리만큼은 수연산을 할 때 유용하다. 그것을 손가락으로 하는 방법이라니! 덧셈도 아닌 두자리 수 곱셈을 손가락으로 하는 것은 정말 흥미로웠다. 
- p.175 수학이라면 확률과 통계가 빠질 순 없지, 이 책에도 확률이 나온다. 바로 모자 속에서 0~9까지의 수 중 무작위로 꺼내서 위 그림에서 숫자들 사이의 수를 채우고 그렇게 완성된 수가 396으로 나누어 떨어질 확률은? 글을 읽기만 해도 복잡해 보였지만 걱정이 없었다. 책을 보면서 따라가다 보면 어느샌가 간단히 셈을 하는 방법을 익혀갔기 때문이다. 우선 모자속에서 나오는 숫자의 경우의 수는 10!가지, 그리고 주목해야 할 것은 396을 4*9*11로 나누어 생각하는 것이다. 그래서 세 수의 공배수가 되는 경우를 찾으면 된다. 헌데 이 수는 어떤 경우더라도 396으로 나누어 떨어진다. 확률이 100%인 것이다. 어렵게 풀었더니 모든 경우 396로 나누어떨어진다니 허를 찌르는 문제였다.  - p.218 위의 긴 수 10112359550561797752808988764044943820224719에 9를 곱하면 맨 끝의 수를 앞으로 보내면 끝이 난단다. 이 수는 아주 특별하고 정말 아홉배만으로 똑똑해진 아홉배로 똑똑한 수라고 할 수 있다. 아이들에게 알려줄 때 학교 가서 친구들과 계산해보라고 하면 친구들과 수를 가지고 재밌게 놀지 않을까ㅋㅋㅋ
- p.310 확실히 뒤쪽으로 갈수록 어려운 수학 공식들이 나온다. 얼마만에 보는 로그인지. 로그 기호는 볼 일이 별로 없지만 로그는 생활 속 많은 부분에 밀접하여 연관되어 있다. 특히 소리를 나타내는 데시벨이나 지진파를 계산할 때 로그가 쓰인다. 이 책에서는 어른들이라면 흥미로울 주식의 시세를 가지고 로그의 쓰임을 설명한다. 확실히 로그는 큰 수를 단순히 나타내고 계산을 용이하게 함으로써 수를 더 깊고 넓게 이용할 수 있게 했다. 처음 책을 읽을 때 아이들에게 어떻게 알려줄지가 초점이었다. 하지만 읽으면 읽을수록 나의 수학적 사고 능력이 향상되는 것을 느낄 수 있었다. 아이들과 함께 배울 수 있는 책으로 손색이 없는 도서. 물론 책의 마지막까지 아이들과 함께 읽기엔 아직은 무리가 있지만 아이들이 수학의 새로운 개념을 배우기 시작할 때 함께 읽으면 도움이 될 것 같다. 앞으로도 이어질 슬기로운 수학생활을 기대하며 주말에 한 번 더 읽으면서 수학적 사고력을 향상시켜야겠다. 책은 처음부터 끝까지 다양한 수로 가득하지만 흐름만 잡으면 수학이 생활에 쏙쏙 들어올 것만 같은 느낌적 느낌! 앞으로 수학 문제를 보며 "내가 이 문제를 이렇게 빨리 풀다니!" 라고 외치는 순간이 벌써부터 기대된다. YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다. |
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복잡한 계산은 기기가 해주는 시대이지만 그래도 암산을 빠르게 하는 사람들을 보면 신기하다. 암산 하나로 매스컴에 나와 주목을 끌 수 있는 걸 보면 나만 그렇게 느끼는 건 아닐 것이다. 어떤 이는 계산은 계산기로 누구나 할 수 있다며 계산력을 폄하하기도 하는데, 암산은 계산의 심화 단계로 계산기보다 빠르게 계산을 할 수 있기 때문에 배워두면 절대 손해볼 일이 없다. 하지만 암산은 절대로 쉬운 게 아니다. 이 책은 어려운 내용을 최대한 쉽게 설명하려고 한다. 그래서 유익하면서도 재미있는데, 난이도를 조절해서 목차를 구성한 면에서 저자의 친절함을 느낄 수 있었다. 곱셈, 나눗셈, 검산, 제곱근 구하기, 로그 순으로 암산법을 소개하면서 중간 중간 수학으로 빚어낸 마술이나 칵테일 만드는 방법을 소개하며 적절히 두뇌에 휴식을 취할 수 있게 했다. 암산으로 곱셈을 하는 다양한 방법과 여러 나라의 연산법은 뒤로 갈수록 머리가 깨질 듯이 아픈 어려운 내용이었지만 저자의 속도를 따라 가다보면 견디지 못할 정도는 아니었다.
모든 일이 다 그렇듯이, 저자가 설명하는 암산법은 체화를 시키지 않는다면 무용지물이다. 수학이라는 학문이 쉽지 않기 때문에 이 책에 나오는 모든 암기법의 원리를 다 이해할 수는 없다. (이해할 수 있다면 더 좋겠지만 우리가 수학자가 될 건 아니니까.) 저자가 누누이 말하듯 이미 증명이 된 공식들이므로 의심없이 체화 시킬 수 있다면 엄청난 이득이 될 거라는 확신이 들었다.
계산에 관심이 있는 중,고등학생 이상이라면 이 책을 매우 재미있게 읽을 수 있을 것 같다. 그리고 나는 특히 수학 선생님들에게 이 책을 적극 추천하고 싶다. 학생들이 수학이 어렵다며 투덜거릴 때 재미로 하나씩 알려줄 소재거리가 이 책에 가득하기 때문이다.
이 책의 저자는 빠른 암산법을 소개하기 위해 이 책을 썼다고 하나 수학의 아름다움과 신기함, 재미 그리고 숫자들의 경이스러움을 다른 사람들에게도 알려주고 싶어 이 책을 집필했다는 생각이 들었다. 저자의 바람이 전달된 것일까. 이 책의 마지막 장까지 읽고 첫 표지를 다시 봤을 때, 책을 읽기 전에는 의식하지 못했던 책 표지의 파이가 날 보고 웃으며 '어때, 재밌지?' 하고 묻는 것 같았다. 그리고 나는 그 물음에 '예스'라고 답했다. YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다.
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초등2학년인 아들은 지금 구구단을 외우는 단계지만 곱셈은 덧셈 연산을 바탕으로 한다는 사실을 벌써 깨우쳤답니다. 저자의 말처럼 수학의 시베리아가 아닌 수학의 캘리포니아에서 오렌지 아니 수학이라는 달콤한 열매를 수확할 수 있도록 도와주고 싶습니다. 생활 속에서 수학의 규칙을 찾아가는 재미를 알고, 수학으로 행복해 질 수 있었으면 하는 바람입니다.
이 책은 곱하기, 나누기, 거듭제곱, 로그의 큰 틀로 나누어져 있고, 그 중에서도 곱하기에 가장 큰 비중을 두고 있습니다. 처음에 '수학과 템포-느리지 않게 계산하는 방법'이라는 가제로 기획되었고, 더 깊고 풍요로운 수학적 사고에 관심이 생기기 시작한 사람들의 지적 호기심을 채워주는 역할을 한다고 저자는 말합니다.
p. 18 무언가를 해 낼 수 없을 것 같을 때는, 한 번 더 시도해 보자. 지금 서 있는 곳을 벗어나 다른 방향에서, 조금 더 시야를 넓혀 광범위하게, 좀더 어려운 방식으로 돌파구를 찾아보자. 그러면 문제는 생각보다 더 쉽게 풀릴 것이다.
이 책은 빠른 암산에 목말라하는 수학 입문자를 위한 안내서로 마법과도 같은 신기한 아이디어가 숨어 있는 수많은 암산 기법들을 소개하고 있습니다. 대부분의 암산 요령들은 지적으로 풍부한 사고를 가능하게 해 주기 때문에, 특히 학생들이 공부하는 데도 큰 도움이 될 것입니다. 처음에는 복잡한 계산을 단순화하고, 계산의 모든 과정을 가볍고도 빠르게 만드는 기술만 습득해서 실생활에 유용하게 사용하기만 하면 된다라고 생각했지만, 책을 읽다 보니 암산 기법에 숨겨진 아이디어와 수학적 사고에도 점차 흥미가 생겼습니다.
정말 이 책에 빠져들게 된 건 바로 야곱 트라첸버그라는 천재 수학자 덕분입니다. 트라첸버그 계산법은 모든 두자리 수에 적용가능 합니다. 10의 자리가 같다거나 두 수의 차가 짝수라거나 등 어떠한 전제 조건이나 모든 제약으로부터 자유롭습니다. 21 X 32 = ? 1단계(수직으로 한번)---- 1의 자리(1과 2)를 곱한다. 1 X 2 = 2가 끝자리가 된다. 2단계(대각선으로 교차)---10의 자리와 1의 자리를 교차해서 곱한다음 그 값을 더한다. (2 X 2)+(3 X 1) = 7이 가운데 자리가 된다. 3단계(다시 수직으로)---- 10의 자리(2와 3)를 곱한다. 2 X 3 = 6이 맨 첫자리가 된다.
정답은~~~~~~~~~~~~~~~~~672 완전 대박~ 진짜 보는 즉시 문제가 풀리는 '3초 수학'의 힘을 느끼는 순간입니다!!!!!!!!!!!
일상 수학과 관련된 수학법칙 뿐 만 아니라 '수학적' 수학법칙도 다루고 있습니다. 두 정수의 제곱을 합하여 M이 나올 수 있는 경우의 수를 모아 평균을 내 보았더니, 원주율에 가까운 3.2가 나온다는 사실~!!!
트라첸버그 계산법은 세 자리 수 곱셈법까지 확장되고, 두 자리 수와 세 자리 수를 같이 곱할 때도 활용할 수 있습니다. 두 자리 수의 맨 앞에 0을 덧붙여서 사 자리 수와 자리를 맞춰 준 뒤 계산하면 됩니다.
729 X 11 = ? (8019) '11'과 곱하는 경우에는 곱하는 수의 앞, 뒤로 '0'을 놓고 두자리씩 더해주면 너무나도 쉽게 암산이 가능하다는 사실도 알았습니다. 예전에 학교에서 배운 것처럼 곱셈해봤더니 어떤 원리인지 알아차릴 수 있습니다.
39 X 186 = ? (7254) 곱하려는 수의 각 자리에 있는 다섯 개의 숫자, 곱셈 값으로 나온 네 자리 수를 구성하는 네 개의 숫자에는 1부터 9까지의 숫자가 딱 한 번씩만 나온다는 사실은 진정 수가 만들어 내는 우연이라 할 것입니다.
993 X 1014 = ? (1006902) 1000에 가까운 수들의 곱셈방법까지~
진짜 3초만에 정답을 구할 수 있습니다. 아~~~ 너무 쉽다!!! 정말 재미있다!!! 저자가 이끌어주는 대로 따라 풀기만 했을 뿐인데 금방금방 답이 나오니까 재미가 쏠쏠합니다.
P. 151 겉보기에만 신기한 게 아니라 수학적으로도 내실이 탄탄해서, 말 그대로 수가 만들어 내는 웅장한 교향곡 같다. 우리 함께 이 교향곡을 즐겨 보자! 수학은 즐기는 것이다.
YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다.
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보는 즉시 문제가 풀리는 '3초 수학'의 힘 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학생활 크리스티안 헤세 지음 / 장윤경 옮김 / 추수밭 출판
정말 태어나서 처음인 것 같습니다. ㅎㅎ 제가 수학과 관련된 교양서적을 읽다니요! 역시 엄마가 되면 뭐든 하게 되나 봅니다. ;;
저는 아주 대표적인 수포자예요. ㅋㅋ 저희 집안 형제자매들이 전부 수포자였기 때문에
지극히 당연히, 아주 일찍부터 아~! 수학은 해봐야 안 되는 과목이구나! 뭐 그렇게 생각했다고 할까요? ;;
형제가 많은 집에서 태어난 넷째라 수학 반타작을 겨우 했네마네 이런 얘길 6,7살 차이 나는 언니오빠들이 학력고사를 보고 와서 한탄하는 걸 일찍부터 봐왔기 때문인데요.
대학을 갈 수 없다는 걸 몸소 체험하고 ㅋㅋ 재수를 하면서 1년 내내 혹독하게 수학만 공부해서 겨우 언니오빠들만큼이라도 성과를 이루고서야 수학과의 전쟁은 끝났지만, 그 역시 벼락치기라 1년여의 공부가 끝나고 나니 수학은 다시 제 인생에서 멀어져 버리더라고요. ;; 저의 수학 기본기가 어느 정도 수준이냐면 저는 기본 연산도 간혹 헷갈릴 때가 있을 정도랍니다.;;
특히 6+7, 8=7 이런 류는 여러 자리 수 연산에 이것들이 등장하면 버벅대기 일쑤라 ㅋㅋ 계산기의 도움을 꼭 받아야 하는 수준이랍니다.;;
그런 제가 이 책을 읽을 결심을 하게 된 건 내 아이는 나와 같은 길을 걷게 하면 안 되겠다는 절박함 때문이랄까요? ;;;
뭔가 이 책을 보면서 수학의 새로운 재미 요소들을 좀 만나봐야겠다는 생각이 강하게 들었는데요. 제가 머리가 아프고 하기 싫은데 아이한테만 강요할 순 없잖아요. ;;
결론부터 말하자면, 확실히 유효한 것 같다는 생각이 들어요. ^^ 그만큼 재미있고, 신기한 것들이 참 많습니다. 진짜로 책 표지에 적힌 카피 문구처럼 "내가 이 문제를 이렇게 빨리 풀다니!" 이런 감탄사가 저절로 쏟아져 나오거든요. ^^
1. 워밍업 2. 곱하기 3. 나누기 4. 정답체크 5. 거듭제곱의 뿌리 캐기 6. 로그의 마법 7. 쿨다운 이렇게 구성돼 있습니다.
먼저 이야기의 시작은 저 같은 수포자도 들어본 적이 있는 유명한 가우스의 일화로 시작됩니다.
독일에서 태어난 가우스는 학교에서 선생님이 1부터 100까지의 수를 모두 더해보라는 문제를 내자 1+100, 2+99, 3+98...... 99+2, 100+1 이렇게 배치를 해서 각각의 답이 101이 되도록 하는데요. 101이 100개 있는 거니까 답은 10100! 그런데 위 식은 1부터 100까지의 수를 두 번 더한 것이므로 구한 답을 절반으로 나눠야 하므로 최종 정답은 5050! 이라는 식으로 순식간에 답을 풀어내는 영특함을 보였다는 일화입니다.
소위 수를 갖고 논다는 수학 영재들에 대한 이야기에서 빠지지 않고 등장하는 일화이기도 하죠.
2장 곱하기에서는 위에서 살펴본 가우스의 계산법처럼 좀 더 흥미롭고 재미있게 그리고 빠르게 곱셈 연산을 하는 방법들을 소개하는데요.
그 중 하나가 얼마 전에 신랑이 큰 아이에게 지나치듯 알려줬던 방법이라 조금 놀라웠답니다.
말로만 들을 때는 뭔 소린가 했는데 책을 통해 정리된 내용을 보니 더 잘 이해가 됐는데요.
첫 번째 수 13에 두 번째 수의 1의 자리를 더합니다. 그럼 13+7=20 거기에 0을 하나 더 붙여 주어 200, 여기에 두 수의 1의 자리를 곱한 값 3×7=21 을 더해주는 겁니다. 즉 답은 221이 되는 건데요.
그럼 15×18을 계산해 볼까요 15+8=23 여기에 0을 붙이면 230 그리고 두 수의 1의 자리를 곱하면 5×8=40 따라서 정답은 230+40=270 계산기를 두드려 보니 정말 270이 맞네요!
신랑은 대체 이걸 어떻게 알고 있었을지 궁금해서 물어봤습니다.
“그런 정보들이 나올 때마다 눈여겨보고 직접 해보고 그래서 익힌 거야!”
그렇죠. 저도 상식은 그렇게 습득하니까요. ;;
그게 숫자라서 저는 어디선가 봤더라도 제대로 눈여겨보지도 않고, “뭐래~”하고 외면해 버렸을 테고요. ㅜㅜ
이게 수포자와 수학이 즐거운 사람의 결정적 차이라는 생각이 들었습니다.
그리고 그런 식으로 흥미롭게 재미있게 여겨질만한
신기할 정도로 빠른 계산법들이 이 책에는 다양하게 등장합니다.
산가지 계산법도그 중 하나인데요. 산가지 계산법은 고대 중국인들이 즐겨 쓰던 계산법이라고 합니다.
먼저 그림처럼 21×32를 계산한다면 21을 나뭇가지 2개와 1개로 표현해서 같은 방향으로 간격을 띄워 바닥에 두고 다음에 32를 3과 2로 나누어 아까와는 반대방향으로 놓아 나뭇가지이 포개지도록 만듭니다. 이렇게 해서 포개지는 꼭짓점을 세어주면 답이 나오는 건데요. 그렇게 구한 21×32의 답은 672입니다. 물론 계산기로 해보니 답이 맞아요.
 그래서 저도 직접 해봤습니다. 13×24 합이 10자리 수가 되면 자연스럽게 그 앞자리 수에 보태면 됩니다. 그랬더니 나온 답이 312
계산기로 검산을 해보니 312가 맞네요! 세상에 작대기 몇 개만 그었는데 두 자리 곱셈 연산이 된다니요!! 너무 신기하고 신기하더라고요.
바로 이거인 것 같습니다. 이 책에서 말하고자 하는 바가 말이죠!
다양하고 신기한 계산법들을 만나다 보니 숫자만 보면 머리가 지끈거리던 저 같은 수포자도 오호~! 신기하네~! 이런 말을 연발하고 있더라고요.
다른 것들은 아직 저희 아이들에게 필요한 부분들이 아니니 조만간 아이들과 함께 산가지 곱셈법으로 재미있게 놀아봐야겠습니다. ^^
제가 할 수 있으면 누구나 할 수 있다고 확신!합니다. ㅋㅋ 저는 정말로 끔찍한 수포자였거든요.
여러분도 ＜슬기로운 수학생활＞을 통해 흥미로운 수학놀이 하나쯤 익혀 아이들과 즐겁게 수학 놀이 해보시는 건 어떨까요
그 작은 사건을 계기로 수학을 전혀 새롭게 인식하게 될 지도 모르니까요! ^^
#하버드수학박사의슬기로운수학생활, #크리스티안헤세지음, #장윤경옮김, #추수밭출판, #보는즉시문제가풀리는3초수학의힘, #산가지곱셈법, #가우스, #슬기로운수학생활
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하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활 보는 즉시 문제가 풀리는 '3초 수학'의 힘 곱셈과 나눗셈부터 제곱근과 로그에 이르기까지 불필요한 것들을 쳐내는 빠르고 정확한 '3초 수학' 어렸을때만해도 수학도서라는건 본적이 없는것같아요. 수학은 그냥 문제집으로만 만나는 거라고 생각했는데요. 아이들 키우다보니 스토리텔링 수학 시작하고 수학도서까지 읽어보는 중입니다. 언제 어디서나 바로 써먹는 가장 빠르고 정확한 계산의 기술~~ 생각만으로도 좋으네요. 수학도 기술적인 면이 있는거라 같은 문제도 빠르고 정확하게 계산하는 기술이 필요하죠.
그냥 읽히는 대로 풀었을 뿐인데.... 아무 생각 없이 풀기만 해도 수학의 신이 되는 비결이라니 안 읽어볼 수가 없죠. 수학 영역중 수와 식에 대한 내용이라 할 수 있을것같은데요. 빠르고 정확한 계산의 기술을 익혀두면 다른 영역에 할애할 시간이 많아지겠죠. 시간내에 문제를 풀어야하는 시험에서도 시간절약도 되고 도움될것같아요. 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학생활이라는 제목에 이끌려 살펴본 수학도서인데 흥미롭게 읽기^^
학교에서는 들어본 적 없는 기상천외한 계산 방법으로 수포자들이 일상에서도 수학을 쉽게 활용할 수 있도록 안내하는 책 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활이에요. 한 번도 본 적 없어서 새롭기도 하면서 더 신기하기도 해서 해보고싶죠^^ 세상의 혁신을 주도하는 가장 중요한 학문인 수학 계산기가 있으니 연산쯤은 잘 못해도 된다는 생각을 가질 수도 있는데 할 줄 아는데 편한 방법을 찾는것과 아예 할 줄 모르고 편한방법을 찾는 건 다른 문제인거같아요. 세상의 혁신을 주도하는 가장 중요한 학문으로 뽑히는 수학 그러나 이런 중요한 학문인 수학을 포기하는 수포자가 많은 요즘~~ 요즘에는 초4부터 수포자가 많아진다고하더라구요. 초등수학도 참 어려워진.... 중요한 학문인 수학을 포기하지않기 위해 흥미롭게 접하는 수학도서 하버드 수학 박사의 슬기로운 수학 생활로 수학의 재미를 알아보는 것도 좋을듯합니다.
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1.우선
곱하려는 두 수에서 각각 1000을 빼서, 그 값을 두수의 오른쪽에 적어준다.
2.왼쪽
수와 오른쪽 수를 대각선으로 더한 뒤에, 0을 세
개 붙인다.
996-15=985-4=981 → 981000
3. 오른쪽의 두 수를 곱한 값 (-4)X(-15)=60을 2에서 나온 값에 더해준다. 즉, 996X985=981060 이다.
앞에서 활용했던 틀에서 크게 벗어나지 않다. 그저 부호가 다를 뿐, 계산 과정은 똑같은 방식으로 진행된다. 1000을 뺀 수를 오른쪽에 적는 데서부터 시작한다.
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