숫자의 수수께끼 풀기
수수께끼를 풀어 보자.
6~7세기경, 인도의 어느 스승이 체스를 발명했다. 체스를 왕에게 진상하자 왕은 매우 기뻐하며 스승에게 하사품을 내리겠노라 한다. 스승은 첫째 칸에 밀알 1개를 넣고 다음 칸에 2개를 넣고 셋째 칸에 4개를 넣는 방식으로 마지막 칸까지 가득 채울 밀알을 요구한다. 그렇다면 스승이 요구한 밀알의 총계는 얼마일까? 참고로 체스판은 가로세로 각 8개, 모두 64개의 칸으로 이루어져 있다. 정답은 ‘18,446,744,073,709,551,615개’이다. 스승의 요구를 우습게 여겼던 왕은 하마터면 왕국을 전부 밀밭으로 바꾸어야 할 뻔 했다. 놀라운 것은 서양의 대표적인 놀이인 체스가 인도에서 발명되었다는 것이고, 6~7세기경에 인도에서는 이미 십진법과 대수법이 존재했다는 사실이다.
수수께끼를 하나 더 풀어 보자.
농부가 한 쌍의 새끼 토끼를 갖고 있다. 이 새끼 토끼들이 두 달 걸려 자라 매월 초에 한 쌍의 토기를 낳게 된다. 또 이 토끼들이 자라 계속해서 똑같은 새끼들을 낳게 된다면 매월 몇 쌍의 토끼를 얻게 될까? 정답은 ‘1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55······의 방식으로 늘어난다’이다. 즉, 어떤 달이라도 상관없이 토끼의 수는 지난 두 달 동안 얻었던 토끼들의 합과 같다. 이것이 바로 피보나치수열이다. 그리고 이 수열의 어떤 수든 한 수를 선택해서 그 이전의 수로 나누면(예 : 8/5=1.6, 13/8=1.625 등등) 그 유명한 황금수 1.618에 가까운 수가 된다.
그밖에도 숫자와 관련한 많은 수수께끼가 있다. ‘숫자들은 언제 어디서 생겨났는가’ ‘0은 누가 언제 만들었으며, 기독교인들은 0을 받아들이길 거부했는데 그 이유는 무엇일까?’ ‘6은 왜 완전수이고, 666은 왜 짐승의 수인가?’ ‘π의 소수점 이하 자릿수는 얼마까지 계산되었을까?’ ‘숫자는 마법의 힘을 갖고 있을까?’ 누구나 한번쯤 들어봤고, 갖게 되는 의문들이다. 이 책은 이 많은 수수께끼들에 대해 친절하게 답하고 있다.

역사·철학·종교의 영역에서 본 숫자의 의미
하지만 이 책은 단순히 수수께끼 풀이집이 아니다. 이 책의 가치는 “수와 숫자가 갖는 수학적 의미뿐만 아니라, 그 역사적, 상징적, 종교적, 비의적인 의미까지도 다양하게 소개하고 있다”는데 있다. 간단히 살펴보자.
수와 숫자는 다르다. 숫자는 수를 표기하고 나타내는 방법이다. 어떤 그림에 그려져 있는 네 사람을 표기하는 방식은 ‘4’일 수도 있고, ‘Ⅳ’일 수도 있다. 이것을 명수법이라 한다. 바빌로니아, 이집트, 마야, 그리스, 히브리인들은 제각각의 명수법을 갖고 있었다. 그런데 인류는 언제부터인가 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9라는 명수법을 따르게 되었다. 이것을 근대 명수법이라고 한다. 왜 그렇게 된 것일까? 지은이는 1이라는 기표가 1이라는 기의(마찬가지로 9라는 기표는 9라는 기의)를 갖게 되었고, 어떤 자리에도 끼어들 수 있는 숫자이자 수인 ‘0’(0의 발명으로 6천7십1을 671이 아니라 6701로 표기하게 된다)과 십진법을 사용하게 되면서 어떤 다른 명수법보다 우월성을 갖게 되었기 때문이라고 해석한다. 바야흐로 근대 명수법이 표준이 된 것이다. 그리고 이 근대 명수법이 ‘수학’을 탄생시킨다. 결국 ‘수학’이 탄생하기 이전까지 수와 숫자의 역사는 명수법의 생성과 발전, 소멸의 역사에 다름 아닌 것이다.
근대 숫자의 역사 이외에도 이 책에서 특별히 다루고 있는 표기 방식이 ‘카발’(유대 신비주의)이다. 우선은 저자가 유대인이자 랍비이기 때문일 것이다. 하지만 ‘카발’이 중요한 것은 숫자와 문자 사이의 관계를 지칭하는 ‘게마트리아’를 이해하지 못하고서는, 성서에 담긴 수의 신비를 해석할 수 없기 때문이다. 모든 문자에 수적 가치를 부여했던(아담의 경우는 45) 고대 히브리인의 사고를 이해하지 못하면 666이 왜 짐승의 수인지 우리는 전혀 알아챌 수 없다.
그렇다면 ‘수학’은 언제 시작된 것일까? 저자는 “하나의 개별적이고 구체적인 대상으로부터 출발하되(이것은 이집트인들이나 바빌로니아인들에게서 볼 수 있었던 것이다) 존재들 전체의 분류에 관계된 수많은 진리들로부터 정립된 단순한 숫자적 결과만을 더 이상 제시하지 않게 될 때 비로소 수학이 본격적으로 시작되”었다고 말한다. 이 말에는 두 가지 함의가 있다. 첫째는 수학이 표기를 핵심으로 하는 명수법을 넘어 여러 다양한 기준과 관계에 따라 수를 분류하게 되었다는 것이며, 둘째는 개별 사물들을 관통하는 ‘사물의 본질’을 수학이 추구하게 되었다는 것이다. 전자를 탐구한 사람들이 바로 피타고라스와 그의 학파였다. 이들로부터 우리가 알고 있는 완전수, 우정수, 짝수와 홀수, 유리수와 무리수 등이 생겨났다. 그리고 기존의 숫자와는 차원을 달리하는 이러한 수들의 탄생에 힘입어 인류는 사물에 대한 본질적 사고 즉, ‘수학적 사고’를 더욱 촉진하게 되었다. 수학이 추구하는 것은 항상적인 동일 법칙이며, 이러한 수학 혁명을 통해 과학과 철학은 새로운 시대로 접어들게 되었다.
수의 신비로운 힘과 관련해 이 책의 마지막에서 제시하고 있는 것이 마법진이다. 저자는 마법진의 정의, 기능, 마법진을 만드는 방법, 여러 가지 마법진 등을 자세히 소개하고 있다. 그런데 궁금한 것은 도대체 왜 마법진을 만드는가이다. 저자의 대답은 허무하게도 “아무 것에도 소용되지 않는다”이다. 하지만 “아무 것에도 소용되지 않기 때문에 오히려 많은 것에 소용될 수 있다”고 역설한다. 대표적으로 ‘이완과 진정’ 즉, 동양에서 행해지는 명상과 비슷한 기능을 갖는다고 주장한다. “탈의미작용은 언어와 사고가 갖고 있는 모든 구성 요소들을 해방시키”는데, 마법진이 바로 이러한 특성은 갖고 있다는 것이다. “그러므로 마법진의 신비는 본질적으로 그것의 실존과 숫자들의 위치, 그리고 그 수들이 만들어내는 비밀에 있지 않다는 것을 이해해야 한다. 오히려 마법진의 신비는 이러한 수의 위치가 낳은 모든 가능한 놀이와 성찰에 있다는 것을 알아야 한다. 가령 가로, 세로, 대각선의 상수의 값이 같다는 것을 검증하는 계산을 필두로 이 마법진 안에서의 움직임이 치료적인 가치를 가지고 있다는 생각 등에서 그것의 신비가 유래한다는 것이다.”

수학으로 세계를 해석하고자 했던 수학자들의 이야기
이 책에는 역사를 빛낸 수학자들이 등장한다. 알 쿠아르즈미, 제르베르 도리약크, 피보나치, 피타고라스, 파스칼, 페르마가 대표적이다. 이들은 모두 갈릴레이처럼 “세계는 수학 언어로 쓴 한 권의 책이다”라고 생각한 사람들이다. 이 가운데 특별히 주목해야 할 사람들이 제르베르 도리약크와 피보나치이다.
인도-아라비아 숫자가 유럽으로 유입되는 과정에는 중요한 세 단계가 있다. 첫째가 ‘아바크’의 새로운 모델과 ‘아피세스’에 대한 새로운 지칭이라는 혁명의 단계이고, 둘째는 십자군 원정이며 셋째가 라틴어로 된 그리스, 아랍, 인도 저서들이 번역되는 단계이다. 여기서 첫째와 셋째에 등장하는 주인공이 바로 제르베르 도리약크와 피보나치이다.
제르베르 도리약크는 기독교 세력권 하에 있던 서구에 ‘인도-아라비아’ 숫자를 처음으로 도입한 장본인이다. 그는 ‘아피세스’로 불리는 9개의 인도-아라비아 숫자를 이용해 ‘아바크’라는 계산판을 발명함으로써 서구에서도 쉬운 계산이 가능하게 했다. 그럼에도 놀랄만한 사실은 “그가 0의 존재도, 이 0이 가져왔을 숫자의 세계, 즉 위치에 따른 인도식 명수법도 받아들이지 않았다는 점이다.” 정작, 서구에 ‘0’과 인도식 명수법을 도입한 것은 ‘피사의 레오나르도’로 불리는 피보나치였다. 피보나치수열이 그를 유명하게 만들었지만, 그의 가장 위대한 업적은 바로 이것이다. 피보나치의 업적을 마지막으로 숫자의 역사는 거의 막을 내린다.