서문 iii

기본적 수학지식 1
0.1 함수와 사상 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 실함수의 미적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 복소수의 기본성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4 급수의 수렴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I 구조와 해석 - 선형대수, 벡터해석, 복소변수 13

제1 장 선형대수학 15
1.1 R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 벡터공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 선형사상과 행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 행렬식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 연산자(operator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6 스펙트럼 분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7 ∗ 선형사상과 인덱스 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

제2 장 벡터의 미분과 적분 59
2.1 벡터에 작용하는 미분 연산자들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 벡터의 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 미분 연산자들의 의미 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 가우스 정리와 스톡스 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 퍼텐셜 이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

제3 장 곡선좌표계의 벡터해석 79
3.1 곡선좌표계와 기저 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 곡선좌표계에서의 미분 연산자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

제4 장 곡선좌표계의 미분기하학 89
4.1 텐서와 물리법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 공변 미분과 측지선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

제5 장 복소수와 복소적분 99
5.1 복소함수의 미분: 코시-리만 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 코시의 적분 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 코시의 적분 공식과 그 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 복소함수에 의한 사상(mapping) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5 유수 정리와 그 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 해석성, 분산관계, 그리고 인과율의 동치성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.7 안장점 근사법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.8 해석함수의 폴과 제로 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

제6 장 감마함수 137
6.1 감마함수의 세 가지 정의와 그 동등성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 폴리감마함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 베타함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

II 미분방정식과 특수함수론 149

제7 장 상미분방정식 151
7.1 특이점에 따른 상미분방정식의 분류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2 급수해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3 론스키안과 두 번째 해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

제8 장 편미분방정식 163
8.1 편미분방정식의 분류 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2 변수분리법과 특수 함수들의 근원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

제9 장 함수공간의 선형대수: 스텀-리우빌 이론 171
9.1 함수공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.2 자기수반 연산자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.3 고윳값과 고윳값 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.4 에르미트 연산자의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.5 직교다항식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

제10 장 그린함수 185
10.1 그린함수의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 1차원에서의 그린함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

제11 장 원함수: 푸리에 급수와 푸리에 적분 195
11.1 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.2 푸리에 급수의 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.3 깁스 현상 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.4 푸리에 적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

제12 장 원주함수: 베셀 213
12.1 제1종베셀함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
12.2 제2종베셀함수: 노이만 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.3 한켈함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.4 변형 베셀함수 Iν(x)와 Kν(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.5 베셀함수의 점근전개 공식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.6 구면베셀함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

제13 장 구면함수: 르장드르 235
13.1 르장드르 생성함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.2 연관 르장드르 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
13.3 구면조화함수와 각운동량 연산자 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.4 르장드르 제2종해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

제14 장 직교함수계 253
14.1 에르미트 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.2 라게르 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
14.3 체비셰프 다항식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
14.4 초기하 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.5 합류 초기하 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

III 대국적 고려 - 적분변환과 적분방정식, 변분원리 277

제15 장 적분변환 279
15.1 여러 가지 적분변환 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
15.2 라플라스 변환 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

제16 장 적분방정식 289
16.1 미분방정식의 적분방정식화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
16.2 적분변환과 생성함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
16.3 적분방정식의 해법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
16.4 힐베르트-슈미트 이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

제17 장 변분이론 303
17.1 변분의 개념과 오일러의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
17.2 고전역학의 변분법적 정식화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
17.3 구속 조건과 라그랑주 승수법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

IV 대칭성 319

제18 장 대칭성과 군론 321
18.1 군의 정의와 행렬표현 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
18.2 이산군과 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
18.3 리 군과 리 대수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
18.4 로렌츠군과 특수상대론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

제19 장 각운동량 대수와 그 표현 343
19.1 각운동량의 양자화 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
19.2 스핀1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
19.3 각운동량의 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
19.4 텐서 연산자와 위그너-에카르트 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
19.5 SU(n) 군의 영 타블로 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
19.6 일반적 리 대수의 표현이론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

V 미분기하학 367

제20 장 다양체의 미분기하학 369
20.1 위상공간 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
20.2 다양체 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
20.3 벡터, 짝벡터와 미분형식, 텐서 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
20.4 흐름과 리 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

제21 장 미분형식과 스톡스정리 389
21.1 외미분(exterior derivative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
21.2 다양체에서의 스톡스 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

찾아보기 399