머리말

이 책의 목적은 단 하나로, 여러분이 벡터(vector)와 텐서(tensor)를 제대로 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있도록 돕는 것입니다. 대부분의 학생들과 마찬가지로 여러분은 고등학교나 대학교에서 역학을 다루는 수업을 받을 때 벡터와 처음 마주쳤을 것입니다. 그 당시 수준에서는, 벡터는 속도와 힘처럼 ‘크기(magnitude)’와 ‘방향(direction)’을 모두 가진 양(quantity)을 수학적으로 표현한 것이라고 배웠을 게 분명합니다. 아울러 벡터끼리 더할 때 그래프를 사용하여 기하학적으로 더하는 방법과 x 방향, y 방향, z 방향의 성분을 이용해 계산하는 방법도 배웠을 것입니다. 벡터를 처음 배우기 시작하는 단계에서는 그것만으로도 충분하지만, 사실 이런 벡터 사용 방법은 벡터가 가진 능력의 극히 일부에 지나지 않습니다. 여러분이 조금 더 깊이 파고들면 벡터가 가진 진짜 능력을 활용할 수 있습니다. 다시 말해, 벡터를 단순히 크기와 방향을 가진 대상으로 보는 것이 아니라, 여러 가지 기준계(reference frame)에서 바라볼 때 정확히 예측할 수 있는 방식으로 행동하는 개체로 보는 것입니다. 이렇게 볼 수 있는 것은 벡터가 ‘텐서(tensor)’라고 불리는 더 큰(상위) 클래스의 하위 집합이기 때문입니다. 대부분의 학생들은 학업을 계속해가는 과정에서 훨씬 나중에야 텐서와 마주치게 됩니다. 텐서는 “우주의 사실(the facts of the Universe)”이라고 불리기도 합니다. 아인슈타인이 자신의 중력 이론을 텐서로 표현하는 데 성공한 순간에 바로 우주의 근본 구조에 대한 우리의 이해가 영원히 바뀌었다고 말해도 과언이 아닙니다. 저는 여러분이 벡터에 대해 기초를 미리 더욱 단단하게 다져놓으면 텐서를 훨씬 쉽게 이해할 수 있다고 믿는데 여러분도 제 말에 동의하리라 생각합니다. 이 기초가 바로 여러분을 ‘크기와 방향’이라는 수준에서 ‘우주의 사실’이라는 수준으로 올려주는 사다리가 되어줄 것입니다. 이것이 바로 이 책에서, 처음에 나오는 세 개의 장에서 벡터를 다루고, 네 번째 장에서 좌표 변환을 논의하며, 마지막 두 개의 장에서 고차 텐서(higher-order tensor)와 그 응용에 대해 설명하는 이유입니다.
여러분이 이 책이 유용하다고 느낄 만한 이유 중 하나는, 물리나 공학 분야에서 벡터와 텐서와 관련이 있는 책, 문서, 온라인 자료를 몇 시간만 찾아보아도 다음과 같은 문구와 마주치게 될 가능성이 높기 때문입니다.
“벡터는 크기와 방향으로 특성을 규정할 수 있는 물리적 실체의 수학적 표현이다.”
“벡터는 값들을 순차적으로 배열한 것이다.”
“벡터는 특정한 방식으로 좌표계 사이의 변환을 수행하는 수학적 개체이다.”
“벡터는 1차 텐서(tensor of rank one)이다.”
“벡터는 일차 형식(one-form)을 스칼라로 변환하는 연산자(operator)이다.”
이 문구들 모두 벡터의 정의를 정확하게 설명하고 있습니다. 이 중에서 어떤 정의가 유용한지는 여러분이 해결하려는 문제가 무엇인가에 따라 달라집니다. 여러분이 각각의 정의 사이의 관련성을 파악할 수 있다면 높은 수준의 벡터와 텐서 개념을 사용하는 과목들을 깊이 있게 공부할 때 매우 큰 도움이 될 것입니다. 이러한 과목들의 예로 역학, 전자기학, 일반 상대성 이론 등을 들 수 있습니다. 거의 모든 프로젝트에서 그렇듯이, 첫 단계로는 문제를 해결하는 데 사용될 용어들을 확실히 이해하는 것이 좋습니다. 따라서 이 책의 1장에서는 벡터와 텐서를 이해하는 데 필요한 기본 정의를 제공합니다. 더 높은 수준의 정의를 알고 싶으면 5장의 시작 부분에서 확인할 수 있습니다.
이 책이 벡터와 텐서를 다루는 다른 책들과 어떻게 다른지 궁금할 것입니다. 가장 중요한 차이는 벡터 개념과 텐서 개념에 거의 같은 비중을 두고 있다는 점일 것입니다. 한 장(3장) 전체는 선별한 벡터 응용 예를 다루고 있고 다른 한 장(6장) 전체는 텐서 응용 예를 설명하고 있습니다. 또한 설명 방식도 다른 책들과는 매우 다르다는 것을 알게 될 것입니다. 이 책은 격식에 얽매이지 않고 편안한 스타일로 쓰여 있으며, 물리학의 기본을 이해하는 데 꼭 필요한 경우가 아니라면 수학을 엄밀하게 사용하지 않았습니다.
여러분이 이미 벡터를 잘 이해하고 있어 간단히 복습만 해도 충분하다면 1장부터 3장까지는 아주 빠르게 훑어봐도 좋습니다. 하지만 벡터의 일부 측면이나 벡터를 문제에 적용하는 방법을 확실히 알고 있지 못하다면 1장~3장이 상당히 도움이 될 것입니다. 그리고 이미 텐서를 배웠지만 정확히 무엇인지, 어떻게 적용하는지 확실히 이해하고 있지 못하다면 4장~6장이 통찰력을 제공해 줄 것입니다.
이 책은 학생을 위한 학습 가이드로서, 여러분이 벡터와 텐서를 이해하고 응용하는 데 도움이 되는 두 가지 자료 - 대화형 웹 사이트와 오디오 팟캐스트 시리즈 - 를 추가로 제공하고 있습니다. 웹 사이트에서는 본문에 나오는 모든 문제에 대한 전체 풀이를 상호작용(대화) 방식으로 확인할 수 있습니다. 다시 말해, 전체 풀이를 한 번에 볼 수도 있고 여러분이 최종 정답에 도달할 때까지 안내하는 일련의 유용한 힌트들을 단계별로 요청할 수도 있습니다. 그러므로 본문에서 “이번 장의 맨 끝에 있는 연습문제를 통해 더욱 많은 것을 배울 수 있습니다”라는 문구를 보게 되면, 모든 연습문제의 상세한 풀이가 마련되어 있다는 점을 기억해두기 바랍니다. 또한 본문의 내용을 눈으로 읽는 것보다는 귀로 듣는 것이 더 좋다면 오디오 팟캐스트가 큰 도움이 될 것입니다. 이 MP3 파일들은 각 장의 본문을 읽어가며 중요한 세부 사항을 짚어주고, 핵심 개념에 대한 추가 설명을 제공합니다.
이 책이 여러분에게 잘 맞을까요? 여러분이 과학이나 공학을 전공하는 학생으로서 수업 중에 벡터나 텐서를 접했지만 이를 실제로 응용하는 데 자신이 없다면 이 책은 여러분에게 딱 맞는 책입니다. 그런 경우라면 벡터나 텐서를 다루는 고급 응용 과목을 수강하거나 표준시험(standardized test)2을 치르기 전에, 이 책을 읽고 팟캐스트를 들으며 예제와 연습문제를 풀어보기 바랍니다. 여러분이 대학원생으로서 학부 과정의 수업과 교재의 수준에서 대학원에서 다루는 더욱 높은 수준의 내용으로 넘어가는 데 어려움을 겪고 있다면 이 책이 그 과정을 밟아 올라가는 디딤돌이 되어줄 것입니다.
여러분이 대학생이나 대학원생이 아니더라도, 벡터와 텐서, 또는 역학, 전자기학, 일반 상대성 이론이 어떻게 응용되는지 알고 싶어 하는 호기심 많고 배움을 중요하게 생각하는 사람이라면 나이에 상관없이 누구든 환영합니다. 여러분의 주도적이며 자발적인 도전에 박수를 보내며, 이 책이 여러분의 배움의 여정에 도움이 되기를 바랍니다.

옮긴이 머리말

물리학과 공학에는 우주와 자연의 현상을 설명하는 수식들이 많이 있습니다. 특히 벡터나 텐서 기호로 표기된 방정식들은 간결성과 포괄성을 함께 갖추고 있습니다. 이 책에서도 다루고 있지만, 모든 전자기 현상을 설명하는 단 두 개의 텐서 방정식(4-vector Maxwell’s equation)”과 4차원 우리 우주에 존재하는 중력의 정체를 드러내는 단 한 줄의 텐서 방정식(Einstein Field Equation)을 마주하면 텐서 방정식의 우아함과 텐서의 위력을 동시에 느끼게 됩니다. 문제는 이처럼 아름답고 중요한 방정식들을 이해하고 응용하는 특권은 벡터와 텐서에 대한 지식을 갖춘 사람에게만 허락된다는 점입니다.
아인슈타인과 함께 20세기 최고의 물리학자로 손꼽히는 파인만(Richard P.Feynman)은 그의 명저 「파인만의 물리학 강의(The Feynman Lectures on Physics)」의 머리말에 다음과 같은 글을 남겼습니다. 이 책은 파인만이 1961~1962년에 칼텍(Caltech)의 1, 2학년생들을 대상으로 실시한 강의를 위해 집필한 것입니다.
“우리가 이 강의를 개설한 의도는 고등학교를 갓 졸업하고 칼텍에 진학한 열성적이고 똑똑한 학생들이 물리학에 꾸준한 관심을 갖게끔 유도하는 것이었다. 사실 학생들은 그동안 상대성 이론이나 양자역학 등 현대물리학의 신비로운 매력에 끌려 기대에 찬 관심을 갖다가도 일단 대학에 들어와 2년 동안 물리학을 배우다 보면 다들 의기소침해지기 일쑤였다. 장대하면서도 파격적인 현대물리학을 배우지 못하고 경사면(inclined plane)이나 정전기학(electrostatics) 등 다소 썰렁한 고전물리학을 주로 강의했기 때문이다. 이런 식으로 2년을 보내면 똑똑했던 학생들도 점차 바보가 되어 가면서 물리학을 향한 열정도 차갑게 식어 버리는 경우가 다반사였다. 그래서 우리 교수들은 우수한 학생들의 물리학을 향한 열정을 유지시켜 줄 수 있는 특단의 조치를 강구해야 했다.”(박병철 외 옮김, 승산, 2004)
현재 우리나라에서는 벡터의 경우, 고등학교에서는 아예 배우지 않거나 맛보기에 그치고 있고, 그러다보니 대학에서 신입생들에게 가르치는 내용도 기초 수준에서 크게 벗어나지 못하고 있는 실정입니다. 그러니 텐서의 경우에는 두말할 것도 없습니다. 파인만이 대학의 물리학 강의에서 기초 중의 기초인 ‘경사면’ 해석과 ‘정전기학’만 다루고 있다고 한탄했던 66년 전과 비교해 시대와 장소만 바뀌었을 뿐 비슷한 모습입니다. 여기에 더해 오늘날 대학은 취업 준비를 위한 스펙 쌓기 경쟁 무대로 바뀌어가고 있습니다. 안타까운 현실입니다. 그럼에도, 아니 그럴수록 진리와 학문을 탐구하며 비판적 사고를 기르는 대학의 본질을 지키려는 노력을 결코 멈춰서는 안 된다고 생각합니다. 통신, 항공, 우주, 로봇, 자율주행, 전자, 반도체 등 첨단 기술이 빠르게 발전하고 있는 오늘날 물리학과 공학 분야에서 다뤄야 하는 문제들은 예전과는 비교할 수 없을 만큼 복잡 합니다. 물체의 운동뿐 아니라 전자기장, 중력장, 열, 유체의 흐름, 소재와 물질의 변형 등 여러 종류의 물리량이 4차원 시공간 속에서 서로 영향을 주고받습니다. 이러한 물리량의 크기와 방향, 그리고 여러 방향들 사이의 관계를 표현하는 데 벡터와 텐서는 매우 강력한 문제해결 도구로 사용되고 있습니다. 또한 인공위성, 비행기, 드론에 자율주행 기술을 결합하기 위해서는 비행체 자체의 좌표계, 지구중심 좌표계, 카메라/라이다 센서 좌표계 등 다양한 좌표계들 사이를 실시간으로 변환해야합니다. 이를 구현하는 데 좌표계 독립성(무관성)이 특징인 벡터와 텐서를 사용한 동역학 계산은 필수입니다. 게다가 벡터와 텐서는 엄청난 속도로 영향력을 확대해 가고 있는 AI의 밑바탕을 이루고 있는 핵심 요소이기도 합니다. LLM과 멀티모달(Multimodal) AI는 텍스트, 오디오, 이미지, 비디오 등의 다양한 데이터를 수많은 숫자로 이루어진 고차원의 벡터와 텐서로 변환하고 이들의 특징과 이들 사이의 관계를 행렬 연산으로 처리하는 방법으로 복잡한 문제를 해결합니다. 마침 이 머리말을 쓰고 있는 도중에, 오픈에이아이(OpenAI)가 자사의 AI 모델을 사용하여 수학계의 ‘밀레니엄 7대 난제’ 가운데 하나인 ‘나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equation)’ 관련 문제를 풀었다고 발표했다는 소식이 들려왔습니다. 물과 공기와 같은 유체의 운동을 설명하는 이 방정식 역시 텐서 미분 방정식입니다.
벡터와 텐서는 19세기에 만들어진 고전적 수학 도구입니다. 하지만 첨단 기술의 급속한 발전에 빅데이터와 고성능 컴퓨팅을 기반으로 하는 AI 기술이 맞물리면서 벡터와 텐서는 과거의 유산이 아니라 구체적 물리 공간과 추상적 데이터 공간의 연결을 가능하게 하는 현재와 미래의 필수 도구로 위력을 발휘하고 있습니다.
이 책의 저자가 머리말에서 밝혔듯이 이 책은 벡터에 대한 기초 이론과 응용에서멈추지 않고 텐서에 관한 고급 이론과 응용까지 다루고 있습니다. 최소한의 수학을사용하면서 저자 특유의 치밀한 논리 전개 방식에 친절한 설명을 덧붙여가며 텐서라는 어려운 주제의 핵심 개념을 파악하게 하고 있는 이 책은 향후 본격적으로 더욱 높은 수준의 텐서 이론과 응용을 공부하는 과정으로 이어지는 징검다리 역할을 할 것입니다. 가치 있는 것일수록 거저 주어지지 않으며 원하는 것을 얻기까지는 그에 상응한 노력과 대가가 따릅니다. 이 책을 읽는 학생들에게 꼭 전하고 싶은 말이 있습니다.
“Sapere aude!(사페레 아우데)“, ‘감히 알려고 하라’는 뜻의 라틴어입니다. ‘알기 위해용기를 내어 과감히 도전하라’는 의미를 담고 있습니다. 모든 시작은 어렵습니다. 하지만 시작이 반입니다. 과거를 바탕으로 현재와 미래를 이해하기 위해 노력하는 여러분에게 이 책이 도움이 되기를 바랍니다.
2026년 9월
유태훈