수학은 역피라미드 구조, 어려우면 초등 교과서로 돌아가라
[영역별고수/특목고 대표교사] 한국과학영재학교 수학과 김훈 선생

도형퍼즐을 쌓는 방법을 떠올리면 수학의 학문적 구조도 쉽게 이해할 수 있다. 하나의 구조물을 완성하려면 퍼즐조각 하나하나를 논리적으로 탄탄하게 쌓아 올려야 한다. 조각 하나라도 어긋나면 구조물은 형상을 갖추기 전에 와르르 무너지게 마련이다. 한국과학영재학교 수학과 김훈(38) 선생은 수학의 구조를 '역 피라미드 구조의 도형퍼즐'로 설명했다. 위로 올라갈수록 덩치가 커진다. 아래층 퍼즐조각은 바로 위층 여러 개의 퍼즐조각과 연결된다. 아래층 퍼즐의 상태가 빈약하다면 구조물은 상위로 갈수록 아슬아슬한 상태로 쌓여가다 언젠간 무너질 것이다. 사상누각, 누란지위가 따로 없다. 퍼즐조각은 수학에 있어서 곧 개념이다. 어느 한 개념이라도 사소하게 여겨 그냥 지나쳐버리면, 해당 개념에 기반한 상위개념들 역시 언젠간 와르르 무너질 게 뻔하다. 가장 기본 개념이 얼마나 단단해야 할지 알 수 있는 대목이다. 물론 밀도도 높아야 한다. 한국과학영재학교 수학과 김훈(38) 선생으로부터 역 피라미드 형상의 구조물을 완성해 가는 수학 공부법을 들었다.



도형퍼즐=수학개념
"가리키는 달은 안 보고 손가락 끝만 보는 게 문제"

수학을 공부하는 데 부담스럽거나 흥미를 잃었다면, 중간에 퍼즐조각 하나를 빼먹었거나 부실하게 쌓았을 가능성이 높다. 김 선생은 "'넘어야 할 산'을 넘지 못해 생긴 경우"라고 말한다. "교육과정을 들여다보면 벽이 하나씩 있습니다. 초등 땐 분수계산, 중등 땐 도형, 고등 땐 미적분이 대표적입니다. 이 세 개의 벽에서 좌절하면서 헤어나오질 못하면 결국 수학공부를 못하는 지경에 이릅니다."

분수계산은 못해도 초등시절 수학성적은 나쁘지 않다. 문제는 중등 단계에서 발견된다. 어처구니 없는 계산실수가 잦은 이유는 초등시절에 분수계산을 제대로 익히지 않은 데서 찾을 수 있다. 중간에 개념의 원리와 단계를 빼먹는 게 문제의 원인이다. 고등 단계에선 심각한 상태에 이른다. 공부하다 구멍이 생겼는데도 그 위에 계속 쌓다 보니, 연관된 문제가 자꾸 생겨 와르르 무너진 것이다. 다 무너지고 나면 어디에서 잘못됐는지조차 모르게 된다. 수학을 포기하는 이유다.

한국과학영재학교 학생들도 역 피라미드의 논리에서 벗어나지 못한다. 역 피라미드 형 개념 틀에서 하단이 약한 학생들이 공부 분량과 수준이 급격히 올라가는 과학영재학교에 진학해 어려움을 겪는다고 한다. "개념을 등한시한 채 문제만 풀어온 게 문제점입니다. 흉내는 내도 기초가 안 되어 있으면 틀을 계속 쌓아나갈 수 없죠. 대부분 미적분에서 좌절합니다. 우리학교의 고2 미적분학은 대학에서 배우는 개념까지 들어갑니다. 고등학교 단계에선 비약적인 부분이라 빼놓은 개념들까지 다루지요. 어렵습니다. 문제는 달을 가리키면 아이들이 달은 안 보고 손가락 끝만 바라본다는 것이죠."

잘못된 논리를 세우면 구조물을 완성할 수 없다. 이상한 논리라면 구조물도 이상하게 만들어질 것이다. 개념을 정립하고 활용하는 게 수학의 기본이다. "수학이 어려운 이유는 논리에 기반하고 있는 탓이지만, 역으로 수학이 명쾌한 이유도 논리에 기반하고 있기 때문입니다. 개념만 제대로 정립한다면 아슬아슬해 보이는 역 피라미드 구조물이라도 쌓지 못할 이유는 없습니다."…(중략)