방정식이라는 편리한 방법대신 원과 삼각형(즉, 자와 컴퍼스)을 이용하는 데는 여러 가지 이유가 있다.

? 첫째, 기하학의 재미를 살리기 위해서다.
좌표와 방정식으로 도형을 연구하는 해석기하학은 여러모로 유용하다. 특히 미분과 적분의 활용이 가능하게 된 것은 좌표와 방정식 덕분이라고 할 수 있다. 그러나 이 유용한 때문에 고등학교 수학에서 기하학적 상상력이 멈추어 버렸다. 기하학 본래의 깊이있는 재미가 공식 외우기로 바뀐 것은 안타까운 일이다. 고전기하학은 자와 컴퍼스만을 사용한다. 자와 컴퍼스는 기하학의 재미를 일깨우는 근원으로의 복귀하고 할 수 있다.

? 둘째, 논리력을 기르기 위함이다.
기하학은 고대부터 땅을 재고, 건물을 짓고, 기계를 만드는 기초이자 우주와 자연의 원리를 이해하는 기초였다. 그러나 기하학을 배우는 더 중요한 목적은 논리력을 기르기 위함이었다. 기하학은 자체로 엄격한 논증체계이기 때문에 왕에서 신하까지, 철학자에서 예술가까지, 고대에서 근대까지 많은 사람들이 기하학을 배웠다. 근대의 철학과 논리학이 기하학의 엄밀한 증명체계를 기반으로 했다고도 말할 수 있다. 현행 대입 시험에서 논술과 구술의 대부분은 증명과 논리력을 묻는 시험이다. 대입을 위해 논리력을 키우는 가장 빠른 길은 기하학을 배우는 것이라고 할 수 있다.

? 셋째, 상상력을 기르기 위함이다.
원과 직선을 사용하는 고전기하학은 모든 과정을 그림으로 설명하기 때문에 직관적이다. 시계를 예로 들어보자. 시계는 크게 기계식 시계와 전자식 시계가 있다. 기계식 시계는 톱니바퀴와 용수철, 나사 등의 부품으로 이루어져서 분해하는 순간 작동 원리가 상상력을 자극한다. 반면에 전자시계는 편리하고 여러 가지 기능이 있지만 분해해 보면 쿼츠, 회로기판, 배터리 등 전자부품과 전선으로 구성되어 있어 작동 원리가 눈에 잘 보이지 않는다. 고전기하학을 기계식 시계라고 한다면, 방정식은 전자식 시계라고 할 수 있다. 상상력이 커지면 기하학의 논리는 음악과 미술처럼 아름답고, 원과 직선의 대칭과 비례미는 건축처럼 아름답게 보인다.

? 넷째, 문제를 더 잘 풀기 위해서다.
학생들이 어려워하는 미분, 적분, 벡터 문제의 대부분은 기하학적 상상력을 발휘하면 쉽게 풀 수 있는데, 이는 미-적분과 벡터가 기하학에서 탄생되었기 때문이다

따라서 이 책은 다음과 같은 방법으로 읽기를 권한다.

? 1. 흥미있는 곳에서 시작하라.
이 책은 수식과 증명으로 가득차 있다. 원의 기본 성질에서 시작하여 극한의 이해까지 이어지는데, 처음에는 대강의 체계를 먼저 보는 것이 좋다. 개별 내용 중 흥미있는 곳이 발견되면 그 곳의 증명 하나를 따라가 보라. 모든 정리가 시계의 톱니바퀴처럼 서로 연결되어 있어서 하나의 증명이 다른 증명으로 꼬리를 물고 연결될 것이고, 연결되는 증명을 따라가다보면 놀라운 기하학의 세계에 빠져들 것이다.


? 2. 자와 컴퍼스를 준비하라
이 책의 증명과 작도는 대부분 삼각형과 원의 성질을 이요하기 때문에 그리기 쉽고, 결과가 직관적이다. 자와 컴퍼스로 직접 하는 증명과 작도는 또 다른 기하학의 묘미이다. 톱니바퀴와 스프링이 결합하여 정교한 기계식 시계가 나오듯이 원과 삼각형이 결합하여 다양한 이차곡선의 성질이 나오는 것을 직접 확인하자. 방정식이 주지 못하는 상상력과 즐거움이다.


? 3. 또 다른 증명을 생각해 보라
이 책에 있는 대부분의 증명과 작도법은 필자가 고등학생의 눈높이에 맞추어 새로 한 것들이다. 증명과 작도는 한 가지 방법만 있는 것이 아니다. 더 간단하거나 재미있는 방법이 얼마든지 있을 수 있다. 자신만의 증명법을 발견하는 순간의 짜릿한 기쁨을 맛보아라. 수학의 세계가 새롭게 열릴 것이다.

? 4. 수학의 역사를 같이 살펴보라
유클리드, 아폴니우스, 케플러, 갈릴레이, 하위헌스, 뉴턴.... 이들이 고민하고 연구했던 기하학의 궤적을 살펴보는 것만으로 수학 실력이 한 단계 더 발전할 것이다. 교사용 지도서에 보면 수학을 배우는 목적 중 하나가 ‘수학을 통해 역사와 문화를 배우는 것’으로 나와있다. 논술과 구술 문제도 역사와 문화를 섞어서 수학 문제를 내고 있다. 수학이 역사와 문화의 한 부분임을 이해하면 수학이 깊이 있게 이해될 것이다.

? 5. 미적분의 위대함과 벡터의 포괄성을 느껴라
자와 컴퍼스로 고전기하학을 보고나면 미-적분의 위대함을 다시 보게 될 것이다. 세상은 움직이고 변화한다. 고전기하학은 정지한 세상을 보는 창이다. 변화하는 세상을 보는 새로운 도구가 바로 미-적분과 벡터이다. 고전기하학을 이해하면 미-적분과 벡터가 더 잘 보일 것이다. 미-적분과 벡터까지 기하학이라는 범주에서 볼 수 있으면 이 책의 목표가 달성된 것이라고 할 수 있다.

? 6. 연습문제는 필요에 따라 활용하라
예제와 연습문제는 수능, 논술, 구술 등 다양한 문제로 구성되어 있고, 문제마다 난이도를 표시해 놓았다. 자신의 이해도에 따라 선택하여 풀어보자. 필요에 따라 연습문제는 건너뛰어도 되고, 풀이 과정을 읽어 보기만 해도 된다.