많은 수을 지칭하기 : 조건

우리가 이상형을 말할 때

친구들과 이런 얘기를 자주 한다.

“넌 이상형이 누구야?” 혹은 “넌 이상형이 뭐야?”

우리가 이상형을 얘기할 때, 실존하는 인물을 예로 들어 얘기하거나(“나는 아무개가 좋아”), 이상형이 갖추어야 할 조건(“나는 키 작고 통통한 애가 좋아.”)을 얘기하기도 한다.

그런데 그런 기준이 어떻게 생겼을까? 아마도 이제껏 만났던 사람들의 공통 분모를 찾아낸 게 아닐까?

‘나는 소라, 민정, 미희를 좋아하니까 활발한 성격을 좋아하나봐.’

아니면 상상 속의 인물에서 가져온 것일 수도 있겠다. 예를 들면, 백마 탄 왕자? 신데렐라?

그런데 여기서 ‘내 이상형은 아무개야’라고 말하는 것보다 ‘내 이상형은 예쁘고 착한 여자야.’라고 말하면 장점이 있다. 예쁘고 착한 여자는 무수히 많다. 반면에 아무개는 한 명이다.

보통 이상형에 부합하는 사람은 은근히 많다. 좋아하는 사람을 열거해보자. 하지만 지구에는 70억여 명이 살고 있다. 내가 모르는 사람 중에도 이상형에 부합하는 사람이 있을 것이다. 따라서 그 사람들을 모두 열거하는 것은 불가능하다.

반면에 이상형의 조건 혹은 특징을 얘기한다면 간단하게 정리할 수 있다. 예를 들어 “활발한 성격의 사람”, “예쁘고 착한 사람” 등이 가능하다. “예쁘고 착한 사람”은 내가 만나 본 사람 뿐 아니라 내가 만난 보지 못한 사람들까지 포함된다.

조건 활용하기

왜 뜬금없이 조건을 활용하여 대상을 지칭하는 방법에 대해 얘기를 하는가? 사실 조건을 활용하는 방법에 특별히 어려운 점은 없다. 하지만 수학에서 맥락도 없이 등장하거나, 기호 속에 묻혀 있다면 당황할 수도 있다.

예를 들어, 집합을 처음 배울 때 이런 내용을 배운다.

“집합 와 집합 가 같다”는 “집합 가 집합 에 속하고, 집합 가 집합 에 속한다”는 의미이다.

근데 이게 도대체 무슨 소리야? 그리고 왜 그래야 하는 거지?

“집합 와 가 같다.”는 것을 어떻게 확인하는가?(혹은 증명하는가?) 집합은 원소에 의해 결정된다.

집합 와 집합 는 서로 다른 방식으로 정의되었지만, 동일한 원소를 가지고 있으므로 동일한 집합이다.

원소나열법으로 집합 와 집합 를 나타내면 이 두 집합이 동일함을 확인할 수 있다.

이렇게 두 집합이 동일함을 보이려면 두 집합을 원소나열법으로 표시하면 된다. (식은 죽 먹기다.)

원소나열법의 첫 번째 문제: 원소의 개수가 무한히 많을 때

집합의 원소가 많다면, 두 집합이 같다는 것을 확인하는데 시간이 오래 걸리지만 불가능한 것은 아니다. 충분한 시간이 주어진다면 말이다.

하지만 원소의 개수가 무한히 많을 때는 어떠한가? (

<B>첫 번째 질문: 수학을 쉽게 배울 순 없을까?</B><br/>“학문에는 왕도가 없다.” <br/>과연 그럴까? 모든 변화의 시작은 작은 의문, 작은 질문에서 시작한다. <br/><br/>“과연 현재 수학을 배우는 방법이 최선인가?”<br/>사람들이 수학을 어려워하는 이유의 하나는 수학을 자신과는 동떨어진 전문적인 분야라고 생각하는 데 있다. 하지만 그렇지 않다. <br/><br/>“나는 철수를 좋아해. 나는 영희를 좋아해. 나는 민정이를 좋아해”<br/>앞의 문장을 간단하게 정리해보자. 누구나 쉽게 할 수 있다. “나는 철수, 영희, 민정이를 좋아해.”<br/><br/>다음의 수식을 정리해보자.<br/><br/>ax+bx+cx<br/>잘 모르겠다면 이렇게 물어보자. 무엇이 반복되고 있는가?<br/><br/>ax+bx+cx=(a+b+c)x<br/><br/><B>두 번째 질문: 도대체 왜 그렇게 하는 건데?</B><br/><br/>왜 제곱해서 2가 되는 양수를 √2 라고 쓰는데?<br/>왜 1/(√2-1)은 왜 굳이 분모를 유리화해서 √2+1로 바꾸는 건데?<br/>왜 곱셈은 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립하는데?<br/>왜 방정식은 양변에 같은 수를 더하거나 빼고, 곱하거나 나눠서 푸는데?<br/>왜 인수분해를 할 때에는 최고차항이 가장 낮은 변수의 내림차순으로 정리를 하는데?<br/>두 양수의 기하평균이 산술평균보다 항상 작다는 것을 수식없이 보여줄 수 없을까?<br/><br/>학교 교육은 이런 질문에 답해 주지 않았고, 학생들의 다양한 질문에 대답해 줄 수 없었다.<br/><br/><B>세 번째 질문 : 그래서 수학의 핵심적인 사고 방법이 무엇인가?</B><br/><br/>반복되는 것은 합쳐라! 그럼 문제가 간단해 질 것이다.<br/> 2x+3x+5x=3에서 반복되는 부분을 합쳐보자. 2x+3x+5x=(2+3+5)x=10x. 따라서 2x+3x+5x=3은 10x=3으로 나타낼 수 있다. 간단한 문제는 복잡한 문제보다 쉽기 마련이다!<br/><br/>공통점을 확인하라. 없다면 만들어라.<br/> 방정식 은 어떻게 푸는가? 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔 써보자. x+2=5+2에서 x에 어떤 수를 대입해야 등식이 성립하겠는가? 좌변과 우변의 공통점을 확인하자. 양변에 모두 +2가 있다!<br/> √172와 13의 대소를 비교해 보자. 잘 모르겠다면 이렇게 바꿔보자. 13=√(13^2)=√169. √172와 √169의 대소를 비교해 보자. <br/> <br/>무엇을 알고 있는가? 그것을 어떻게 활용할 것인가?<br/> 2x+3=2x+1을 풀어 보자. 정리해보면 0x=-2가 된다. x가 사라진다. 만약 등식의 양변에서 어떤 변수의 계수가 같다면, 그 변수는 사라진다!<br/> 연립 방정식 x+y-2=0, 2x-y+1=0에서 x를 사라지게 하려면 어떻게 해야 할까?

수학의 기초를 다지기 위해 꼭 읽어야 할 책이다.
유성현(의사)

시중의 수학책을 살펴보면 내용은 거의 대동소이하다. 이 책은 다르다. 같은 내용도 다른 방식으로 제시하여, 수학의 본질에 대해 다시 한번 생각하게 도와준다. 이것만으로도 이 책은 존재의 의미가 있다.
최창만(전 한국전력공사 전무)

문제를 풀기 위해 어떻게 생각을 해야 하는지 알려 주는 책이다. 이 책에서 소개하는 방법으로 수학적 사고를 해나가면 수리논술이나 수학능력시험의 어려운 문제도 거뜬히 해결할 수 있을 것이다.
최승인(종로학원 서울역 본원 수학 강사)

4차 산업혁명시대에 요구되는 창조적인 인재가 되려면 익숙함에서 벗어나려는 관점의 변화가 필요하다. 이 책은 우리에게 익숙한 수학적, 논리적문제들에 ’왜?’라는 질문을 새롭게 던지면서 그와 같은 시도를 하고 있다. 각 장마다 펼쳐져 있는 저자의 설명을 따라 가다 보면, 어느 샌가 독자들이 갖는 사고의 폭도 더욱 넓어질 것이다. 학교에서 익숙하게 배웠던 문제들이 쉽고 재밌게 되는 것은 덤으로 얻는 즐거움이다. 일독을 권한다.
유세진(삼성전자)

책은 수학을 배우는 주 목적인 논리적 사고에 대해 이야기하는 반가운 책이다. 이미 많은 책들이 같은 목적으로 쓰여졌지만, 다른 책들은 천재들의 독창적인 사고나 오랫동안 풀리지 않고 있는 난제 등을 예시로 삼고 있어 직접적인 공감을 이끌어 내기 힘들었다. 기존의 책과 다르게 이 책은 우리가 중고등학교 때 이미 경험한 수학 문제에 숨겨있는 논리적 사고를 보여주고, 그것을 통해 수학의 논리성을 이해할 수 있게 한다. 이 책은 입시를 위해 수학을 공부하는 수험생에게는 수학 공부의 목적을, 일반 교양을 위해 이 책을 읽는 독자에게는 논리적 사고가 무엇인지를 알려주는 고마운 책이다.
김기하(연세대학교 계산과학공학 박사 과정)

무작정 공식을 암기하는 것이 아니라 수학의 원리를 이해하면 수학과 친해 질 수 있습니다. 이 책과 함께 수학의 매력에 빠져보세요.
차기훈(고려대학교 수학과, 2013 수능 수학 100점)