몇 해 전, 이스라엘 텔아비브대학 수학교스 노가 알론이 라디오에 출연해서 수학에 관한 질문을 받은 적이 있다. 교수는 진행자에게, 소수는 무한히 많다는 것을 증명한 사람은 2,300년 전에 살았던 유클리드라고 설명했다. 그러자 진행자가 물었다. "그런데 그게 아직도 유효한가요?" 물론 아직도 유효하다고 진행자를 안심시키고 싶다. 수학이 아름다운 것은, 아담 리스의 산술이 옳다면 그건 언제까지나 옳기 때문이다. 유클리드에게 배운 방법으로 어떤 것이 옳다고 입증되면, 그 결론은 언제나 옳다. 수학이 신뢰할 수 있고 안정적이며 영원한 진리를 제공한다고 믿는 이유도 바로 그 때문이다. 그러니까 수학에는 이른바 ‘아데나워 학습효과’(“어제 내가 내뱉은 허튼 소리에는 관심 없어!”)란 없다. 물론 그 유명한 아데나워 인용은 실제로 그가 한 이야기는 아니다. 아데나워가 연설 중에, ‘더 현명해질 권리’(기본권이라고 했다)와 정치적인 적들에게서 배울 권리를 들먹인 적은 있지만, 그렇다고 자기가 내놓았던 견해를 ‘허튼 소리’라고 표현한 적은 없었다니 말이다. 「차이트Die Zeit」지에 실린 칼럼에서 크리스토프 드뢰서Christoph Dr?sser가 전하는 바에 따르면 그렇다. 하여간 유클리드에게는 어제 유효했던 것이 오늘 유효하지 않게 되는 일은 없다. --- ‘아직도 유클리드는 옳다’ 중에서

페르마 소수가 흥미로운 이유는 무엇일까? 그것은 바로 페르마 소수가 기하학에서 이어져 내려오는 커다란 수수께끼와 연결되어 있기 때문이다. “자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있는 정다각형은 어떤 것들일까?” 하는 질문이 그 수수께끼다. 여기에 해답을 내놓은 사람은 카를 프리드리히 가우스였다. 그리고 그 해답은 그가 젊은 시절에 달성한 중요한 업적에 속하는데, (이 해답을 둘러싼 이야기는 이 책 어디선가에 나온다…….) 정n각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있을 필요충분조건은, n이 서로 다른 페르마 소수의 곱이거나, 그런 수에 2의 거듭제곱을 곱한 수라는 것이다. 따라서 정17각형은 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있지만 정7각형이나 정9각형은 그렇게 그릴 수 없다. 그리고 정4,294,967,297각형도 자와 컴퍼스만으로는 그릴 수 없다. 오늘날에는 처음으로 본격적인 대수학 강의를 듣는 수학과 학생들도 가우스의 이 정리를 배운다. 이 정리를 이용한 증명은 더 이상 복잡하지 않기 때문이다. 하지만 가우스의 해답도 여전히 완벽하지 않다. 알려진 것 이외에는 페르마 소수가 없다고 확언할 수 없기 때문이다. --- ‘천재 페르마가 틀렸다’ 중에서

옥외행사, 야외음악회, 선거운동, 시위 등에서는 실내공연보다 추정치를 내기가 어려운데, 그 이유는 두 가지다. 첫째, 숫자를 추정하기가 더 어렵고, 둘째, (적어도 선거운동과 시위에서는) 정치적인 이해관계 때문에 참가자 숫자를 원하는 방향으로 높이거나 터무니없이 낮추기 때문이다. 미국 대통령 후보 버락 오바마가 2008년 베를린의 전승기념탑에서 연설을 했을 때를 생각해보자. 오스트리아 아페아통신(Austria Presse Agentur)은 이렇게 보도했다. “버락 오바마, 베를린 전승기념탑에서 200,000이 넘는 청중을 열광시키다.” 이 제목을 읽은 사람은 ‘200,000이 넘는’이라는 부분을 인상 깊게 받아들인다. 기사는 이렇게 이어진다. “200,000이 넘는 청중의 환호성을 들으며, 버락 오바마는 미국과 유럽이 갈등을 뒤로 하고 지구온난화와 테러리즘 같은 전 지구적인 문제를 해결하는 데 함께 나설 것을 요구했다.” 먼저 숫자에 깊은 인상을 받은 독자는 오바마의 이야기에 공감할 수밖에 없을 것이다. 독일의 중도보수 신문인 ＜프랑크푸르터 알게마이네 차이퉁(FAZ)＞은 같은 일을 두고도 훨씬 의심스런 톤으로 기사를 쓸 수 있음을 잘 보여주었다. “미국 민주당 상원의원 오바마는 수만 명 청중에게 외쳤다. ‘세계의 민족들이여, 베를린을 보라!’ 그는 1948/1949년 베를린 봉쇄 때 제국의회 광장에서 당시 베를린 시장 에른스트 로이터Ernst Reuter가 300,000이 넘는 시민들에게 한 연설을 상기시켰다.”--- '추정치라는 함정' 중에서

실제로는 평균보다 중앙값(메디안)이 훨씬 도움이 되고 의미가 있는 경우가 많다. 여러 숫자로 이루어진 집단에서 중앙값을 구하려면, 숫자를 크기 순서대로 늘어놓고 한가운데 잇는 것을 찾는 것이다. 이때 문제를 단순하게 하기 위해, 그 집단이 들쭉날쭉하고 개수가 많으며 서로 다른 숫자로 이루어져 있으면 명확한 결과가 나온다고 가정한다. 평균소득 대신 중앙값을 보면, 소득의 반은 그 값 위에, 그리고 소드그이 반은 그 아래 있을 것이다. 달리 말하면, 중앙값은 사람들을 두 부류로 나눈데, 반은 중앙값보다 소득이 높은 사람들이고, 나머지 반은 중앙값보다 소득이 낮은 사람들쳀다. 최상위 소득자 가운데 누군가가 몇 십억 유로를 더 벌거나 덜 번다고 해도, 중앙값에는 전혀 변화가 없다. 앞의 학급에서 한 학생이 만점을 받았다고 해도, 중앙값은 변함없이 50에 머문다. 중앙값은 예를 들어 빈곤층의 비율을 확인할 때도 쓰인다. 소득의 중앙값이 절반에 못 미치는 경우 빈곤하다고 정의하는 거싱 보통이다. 이 정의는 상당히 쓸모가 있지만, 단점도 있다. 소득이 생활에 충분하닞 등을 '절대적'이 아니라 '상대적'으로만 알려주기 때문이다. 그럴 일이야 없겠지만 모든 사람의 소득이 갑자기 두 배로 늘어난다고 해도, 빈곤이라는 상황에는 통계적으로 아무런 변동이 없다. 소득은 변화가 없는데 물가가 급격히 올라가는 경우도 마찬가지다. --- '평균이라는 거짓말' 중에서

수학에서는 얼마나 자주 오류가 나올까? 수학자들은 남녀를 불문하고 인간이다. 그러니 끊임없이 잘못을 저지르게 된다. 증명이라는 작업은 창의적이고, 창의적인 작업에는 오류의 가능성이 늘 따라다니게 마련이다. 뭔가 새로운 것을 찾아냈다는 확신이 들면, 나는 먼저 동료들과 박사과정에 있는 사람들 앞에서 칠판에 적어가며 그것을 설명한다. 그 전이나 그 후에 찬찬히 정리해서 적어놓고 다시 한 번 꼼꼼히 따져본다. 이 과정에서 아무도 결정적인 오류를 찾아내지 못하면 그 내용을 학술지에 보낸다. 그러면 학술지 측에서는 그것을 검토자들에게 전달해서 오류를 걸러낼 수 있도록 한다. 이런 과정을 거쳐 학술지에 게재되는 단계까지 오면 그 작업은 아주 안정적이고 오류가 없는 것이 보통이다. 권위 있는 수학 학술지에 실린 논문의 주요 결론에 오류가 있는 경우도 없지는 않지만 아주 드물다. 그 이유 가운데 하나는, 흥미로운 수학적 결과물이 다른 것들과 관계없이 고립되어 얻어지는 일이 없기 때문이다. 따라서 그런 결과물들은 세상에 알려짐과 이미 알려져 있는 사례, 사실, 이론 등에 합치하는지 검증을 받게 된다. 그 과정에서 모순이 발견되면 경고등이 켜지고, 그러면 수학자들은 교묘하게 숨어 있는 오류를 찾아낼 때까지 포기하지 않고 집요하게 파고든다.
이때 큰 몫을 하는 것이 경험이다. 수학자들은 자신이 하는 일에 도사린 위험과 오류의 근원을 잘 알고 있다. 그런 위험과 오류의 근원으로는 경솔함이 있고, 하나를 더 든다면 칠판일 것이다. 칠판에 일련의 논거를 써놓고 동료들을 설득하기란 무척 쉽다. 설득하는 사람이나 설득 당하는 사람 그 누구도 빈틈이나 오류를 알아채지 못하기 십상이다. 얼마 전에 작고한 워싱턴대학 기하학 교수 빅터 클리Victor Klee가 다음과 같이 주장한 것도 그런 이유에서다. “증명은 성인끼리, 그리고 남들에게 공개하지 말고 주고받아야 한다.” --- '오류 이야기' 중에서

도대체 왜 노벨상에는 수학상이 없을까? 우리가 아는 것이라고는, 알프레드 노벨과 예스타 미탁 레플러가 서로 아는 사이였고, 서로를 특별히 좋아하지는 않았다는 사실 정도다. 그런 관계에 소냐 코발렙스카야가 정말 어느 정도 원인을 제공했는지는 알려져 있지 않다. 다만 노벨과 미탁 레플러가 껄끄러운 사이였다는 것은 소냐의 종신교수직을 둘러싸고 벌어진 갈등을 통해서도 알 수 있다. 어느 편지에서 미탁 레플러는 노벨에게 소냐의 종신교수직을 위한 재정 지원을 요청했다. 미탁 레플러가 내세운 이유는 계약직으로 있는 소냐가 계약기간이 끝나면 러시아로 돌아갈지도 모른다는 것이었다. 노벨은 경멸하는 투로, 고향으로 돌아간다면 소냐에게는 오히려 잘 된 일일 수도 있다, 어차피 스톡홀름의 수학이란 건 정말 변두리 수준에 지나지 않으니까, 하고 답장을 보냈다.
아무리 그래도 그 정도 갈등이 노벨상에서 수학상이 빠지는 원인이 되기까지 했을까? 아마도 그렇지 않았을 것이다. 노벨이 수학상을 만들지 않은 이유는, 유언에서도 상을 주는 결정적으로 기준으로 언급한 것처럼 학문이란 ‘인류의 행복에 기여하는’ 것인데, 수학은 그런 학문에 속하지는 않는다고 여겼기 때문일 것이다. 그래서 오로지 물리학, 화학, 의학, 문학, 평화 활동만 상을 주는 대상으로 한 것이다. 노벨 경제학상은 노벨상이 제정되고 오랜 세월이 지난 뒤인 1968년에 스웨덴 제국은행이 기금을 내놓아 제정되었는데, 스웨덴 학술원 내부에서는 그 상의 제정을 실수로 여기는 분위기다. ‘진정한 노벨상’은 아니라는 것이다. --- ‘코발렙스카야가 노벨 수학상을 날렸다고?’ 중에서

폴 에르되시는 1913년 헝가리 부다페스트의 유대계 가정에서 태어났다. 누나 둘은 그가 태어나기 바로 전에 성홍열로 죽었다. 그 바람에 그는 교사였던 부모의 보호와 귀여움을 독차지하는 독자로 자라면서 홈스쿨링으로 공부했다. 그의 재능은 일찍이 눈에 띄었고, 재능에 맞는 교육을 받았다. 황금 새장에 갇힌 이 천재 소년은 어린 나이부터 다른 어린 천재들과 교류하면서 지냈다. 주로 유대계 출신으로 수학자와 물리학자로 자란 헝가리의 이 특별한 세대는 극한값 그래프라는 매혹적인 도박의 세계를 열고(폴 에르되시, 알프레드 레니, 폴 투란) 원자폭탄과 수소폭탄의 개발을 포함해서 현대물리학을 개척하는 등(1902년생인 유진 비그너, 1903년생인 존 폰 노이만, 1908년생인 에드워드 텔러) 다양한 분야에서 활약했다. 20세기의 정치적 혼란, 어리석음, 범죄 또한 에르되시의 인생을 좌우했다. 헝가리 호르티 정권, 반유대주의, 제2차 세계대전, 스탈린 치하의 동구권 봉쇄, 공산주의자 사냥을 낳은 미국의 매카시즘 광풍 등이 그것이었다. 에르되시는 스무 살의 나이로(당시에는 헝가리에 있었다.) ‘베르트랑 공준c 렊??새롭고도 지극히 간단하게, 그리고 대단히 우아하게 증명해서 이름을 날렸다. 베르트랑 공준이란, ‘어떤 수와 그 수에 2를 곱한 수 사이에는 적어도 하나의 소수가 있다’는 것이다. (“1보다 큰 임의의 자연수 n에 대하여, n과 2n 사이에는 적어도 하나의 소수가 존재한다.”) (…) 이렇게 에르되시는 쉬지 않고 돌아다녔고, 언제 어디서나 사람들의 이야기에 귀를 기울일 줄 아는 사람이었다. 나는 에르되시를 자주 만났고 그가 하는 강의도 많이 들었다. 그의 강의는 유머 넘치는 멋진 것이었다. 강의 중에 그는 종종 자신을 늙어빠진 남자로 조롱하고, 문제를 내고는 그 해결에 5 달러에서 5,000 달러까지 상금을 걸었다. 언제, 어디서 처음으로 그를 만났는지는 기억이 나지 않는다. 어쨌든 나는 1992년 11월 어느 주간, 오버볼파흐에서 회의가 열리는 동안 그와 함께 지냈다. 그는 작고 상냥하면서 친절한 노인이었다. --- ‘폴 에르되시, 영원한 방랑자’ 중에서

내 연구실에는 아인슈타인 포스터가 걸려 있는데, 거기에는 이런 인용문이 있다. “수학 때문에 당신이 겪는 어려움에 너무 골치 아파하지 마시오. 분명히 말하지만, 내가 겪는 어려움은 더 크다오.”
이 말은 너무 아름다워서, 진짜 인용문이 아닐 것이라는 생각이 든다. 아인슈타인이 정말 이렇게 말했거나 썼을까? 그런데 이것은 진짜 아인슈타인의 말이다. 아인슈타인이 1943년 1월 7일 바바라 윌슨이라는 여중생에게 보낸 편지에 쓴 것이다. 여기서 우리가 알게 되는 사실은, 몇 십 년 전에도 학생들은 수학 때문에 골머리를 앓았다는 것이다. 또 한 가지는 아인슈타인 같은 사람이 어린학생들이 보낸 편지에 일일이 답장을 썼다는 것이다.
봉두난발을 한 물리학자 아인슈타인이 역할모델로 성에 안 찬다면, 헝가리 태생인 미국 수학자 존 폰 노이만John von Neumann의 말을 인용해보자. “사람들이 수학이 간단하다는 사실을 믿지 못하는 이유는 인생이 얼마나 복잡한지 모르기 때문이다.”
이 또한 너무나 멋진 말이어서 실제 인용문인지 확신이 서지 않는다. 하지만 이것 또한 1947년에 열린 제1회 미국컴퓨팅기계협회 전국회의 간담회에서 정말로 그가 한 말이다. 사진에 등장하는 폰 노이만은 언제나 완벽하게 딱 맞는 정장을 입고 있다.

<b>괴짜 수학자 치글러, 매력적인 공격을 시도하다 </b><br/><br/>귄터 치글러는 총명하고 재기 넘치는 젊은 수학자다. 서른 한 살의 나이에 베를린공과대학교 교수에 임용되었고, 과학계에서 상금이 가장 많은 “라이프니츠상”을 수상함으로써 학계의 부러움을 한몸에 받았을 정도다. 그는 이 책의 서론에서 자신의 전공인 ‘수학’을 위해 ‘매력적인 공격’을 감행하겠다고 포부를 밝힌다. 그리고 마침내 목적을 달성한다. 진부하게 수학의 역사를 논하거나 수학의 어려운 난제들을 설명하려고 애쓰는 대신 ‘수학을 한다’는 것은 무엇인가, 수학은 우리 일상에 과연 도움이 되는가, 어떤 연결 고리를 갖고 있는가에 초점을 맞춤으로써. 그래서『수학여행자를 위한 안내서』는 전체적으로 재미있고 분위기도 매우 밝다. 읽다가 멈추거나 머리를 싸매고 고민하지 않아도 된다. TV대담 프로에 출연해서 “내가 하는 수학 이야기 좀 들어보실래요?” 하고 너스레를 떠는 괴짜 수학자답게 그는 아주 재미있고 실용적인 예들을 통해 우리가 수학과 친해지는 게 왜 좋은지, 얼마나 편해지는지를 이야기한다. 그리고 흔히 아는 수학자들 외에 어떤 사람들이 현재에 이른 수학계의 놀라운 발전을 이끌어냈는지, 그들은 과연 어떻게 ‘수학을 하고 수학을 사랑’했는지 들려준다. 커피향이 그득한 고적한 카페에 앉아 친구와 일상의 이야기를 사이좋게 나누듯이. 학계에 몸담은 사람들에게는 놀라운 공격이 되겠지만, 수학에 접촉할 기회가 별로 없었던 일반 독자들에게는 신선한 자극이 될 것이다. <br/><br/><b>통찰력 있는 테마를 따라가는 즐거운 수학여행 안내서 </b><br/><br/>치글러 박사는 독자들이 본론에 들어가기 앞서 ‘몸과 머리를 풀 수’ 있도록 일상적이고, 대중적인 일화들로 이야기의 포문을 연다. 이 책은 프롤로그와 총 9장의 본문으로 구성되었다. 1장은 ‘소수의 끝없는 역사’를 통해 수학에서 가장 잘 알려진 영역인 ‘소수(Primzahlen)’를 다룬다. 그는 매혹적이고 복합적인 영역이긴 하지만 어렵게 느껴질 법한 ‘수’ 이야기를 의미심장하게 통찰한다. 대중에게 쉽게 다가서기 위해 여러 가지 신문기사나 일화들을 곁들인다. 3장과 4장은 수학의 방법론과 연구에 대한 저자의 관점을 보여준다. 물론 이 내용은 7장에서 다시 다루어진다. 내용적인 측면에서 보자면 4장이 최고의 챕터라고 할 수 있다. 수학에 대한 연구과정, 상황들을 설명하고 또 ‘수수께끼’처럼 인식되는 일련의 연구에 이를 테면 ‘신분증’을 부여하는 장이기 때문이다. 수학이론의 발생 문제를 다루는 5장과 수학자들의 전설적인 이야기들을 담은 6장, 7장은 수학과 연관된, ‘수학에 근거한 수학’을 관찰하는 장이다. 치글러는 부드럽고 유쾌하게 수학자들이 일하고 아이디어를 얻은 다양한 휴식처(침대, 성당, 카페, 해변 등등)에 대하여 묘사한다. 더불어 익숙하지 못한 수학자들을 소개한 전설 같은 이야기 몇 가지도 즐겁게 맛볼 수 있다. 8장에서는 역사적으로 조명 받지 못했던-여자라는 이유로 누락되었던-여성수학자를 비롯한 다섯 명의 수학자가 소개된다. 여기에서 특히 재미있는 것은 이 부분이 그들의 전기를 범상하게 서술한 게 아니라 저자 치글러가 그들 모두를 하나하나 개인적으로 알고 있다는 점이다. 치글러는 “수학은 추상적인 것들로만 이루어진 게 아니다. 또 머리 하얀 교수들에 의하여 사무적으로만 처리되는 복잡한 학문도 아니다.”고 강조한다. 9장은 수학자가 할 수 있는 게 무엇인지를 이야기한다. 일상에서, 가정에서, 스포츠에서, 그리고 기상에서 수학을 어떻게 받아들일 것인가 그 의미를 찾는다. 치글러에 따르면 수학은 논리적이고 따분한 계산이 아니라 ‘놀이이자 농담이며, 매우 효과적인 과학이고 미학’이기 때문이다. <br/><br/><b>수학은 모험으로 가득한 사색의 여행이자 지적인 오락이다</b><br/><br/>저자가 보여준 수학의 세계는 이처럼 공포와 잔혹사로 얼룩진 예전의 수학과 다르다. 이제는 칠판 가득 써놓은 숫자 때문에 골치를 썩이거나 복잡한 계산을 하느라 애를 먹을 필요가 없다. 그저 저자가 제시한 안내도―수학을 ‘한다’는 건 뭘까?―를 따라가면 된다. 그러면 그가 서문에서 강조하듯 ‘복잡한 숫자 뒤에 있는 인간의 모습, 수학이 이루어지는 장소, 정확성을 얻어내기 위한 싸움, 수학을 둘러싼 인내와 실패와 사랑의 구체적인 모습, 깊은 감성, 싸움을 값어치 있게 만드는 난관, 인정과 보상’ 등의 이야기를 커다란 여행 가방에 꼼꼼하게 담아갈 수 있다. 수학이라는 세계는 우리에게 낯설지 않다. 우리가 날마다 신문과 잡지에서 읽는 기사들―인물 동정, 역사, 여행, 정치, 경제, 기술, 밀교密敎소식, 날씨, 알쏭달쏭 퀴즈, 미래 이야기―에도 실은 수학이라는 분야가 숨어 있으니까. 이제 독자 여러분은 이 책을 맞춤형 안내서 삼아 모험을 떠나면 된다. 그러므로 “나는 수학에 문외한이다. (…) 그런 나에게 치글러의 책이 매력적인 이유는, 이 책이 수학 이야기를 다룬 다른 책들처럼 극적이지도, 친절하지도 않기 때문이다. 수학의 속살보다는 수학자의 속살, 수학의 고민보다는 수학하는 사람들의 고뇌와 땀과 우여곡절에 초점을 맞춘 책이다. 숫자와 방정식으로 수학을 보여주기보다는 수학하는 인간의 세계를 열어 보여준다.”고 말한 역자의 이야기는 귀담아 들을 만하다.