기본적으로 곱셈식은 다른 성질의 것을 이용한 계산입니다. 곱셈식의 결과 면적이나 움직인 거리 등 새로운 성질의 어떤 것이 생겨납니다. 반면에 덧셈은 개수와 개수, 길이와 길이 등 원칙적으로 성질이 같은 것을 사용하는 계산이므로 그 답 역시 같은 성질의 것입니다. 덧셈의 결과에서 새로운 세계가 보이는 것은 극히 드문 일입니다.
(중략) 여기에 3cm와 4cm의 막대 두 개가 아무렇게나 놓여 있다고 가정해 봅시다. 이것을 단순히 ‘정리’하려 한다면 일직선으로 배치하는 정리 방법이 있겠지만, 그렇게 하면 7cm의 막대가 될 뿐입니다. 당연한 일이지요.
반면 하나를 가로로, 다른 하나를 세로로 놓는 ‘정리’를 하면 어떨까요? 이렇게 하면 면적이 12cm2인 직사각형이 보이게 되고, 두 개의 ‘길이’에서 ‘면적’이라는 새로운 세계가 보이게 됩니다. 이것이 곱셈식 정리의 좋은 점입니다.
다른 방법을 예로 들어 이해를 돕겠습니다. 수직선을 생각해 봅시다. 수직선 상의 점은 3이나 10처럼 그 값을 하나로 정하면 위치가 하나로 정해집니다. 이번에는 x축을 가로축으로, y축을 세로축으로 한 좌표를 생각해보세요. 좌표축 위의 점은 x와 y, 두 개의 값을 정해야 합니다. 즉 수직선 상의 점은 하나의 자유를, 좌표축 상의 점은 두 개의 자유를 가지는 것이죠. 이러한 자유도를 수학에서는 차원이라고 말합니다. 차원이 늘어나면 세계는 비약적으로 넓어집니다.
점프하지 못하는 개미는 2차원 세계에 살고 있지만, 개구리는 높이 점프할 수 있으므로 3차원 세계에 살고 있습니다. 개미와 개구리가 정면으로 마주했을 때, 다음 순간 개구리가 개미의 등 위로 뛰어오르면 개미는 아마도 ‘개구리가 순간이동 했다’고 놀랄 것입니다. 차원이 늘어난다는 것은 상상을 초월할 정도의 새로운 세계가 펼쳐진다는 것을 의미합니다.
만약 여러분에게 주어진 정보가 부족한 것 같다면 그 적은 정보를 곱셈식과 같이 정리함으로써 차원(자유도)을 늘릴 수 있는지를 생각해 보기 바랍니다. 분명 새로운 세계가 보일 것입니다. _ 새로운 세계를 여는 곱셈(112쪽)
예전에 한 친구가 “수학을 너무 싫어했었는데, 졸업할 때 수학 선생님이 해 주신 말씀은 아직도 기억하고 있어”라면서 너무나 멋진 이야기를 들려주었습니다. 그 친구의 선생님은 고등학교 마지막 수업에서 이렇게 말씀하셨다고 합니다.
“수학에서 증명하는 것이 가장 어려운 게 뭐라고 생각하니? 수학에서 제일 증명하기 어려운 것은 바로 불가능하다는 것을 증명하는 일이란다. 일반적으로 가능한 것을 증명하는 것이 불가능한 것을 증명하는 것보다 훨씬 간단하지. 오늘로써 수학 수업은 마지막이지만 꼭 잊지 않기를 바란다. 너희가 앞으로 어떤 것을 하려고 하든 그것이 너희에게 불가능하다고 증명하는 것은 굉장히 어렵다는 것을 말이야.”
멋진 선생님이죠. 정말 그 말씀 그대로라고 생각합니다. 저도 앞서 ‘있을 수 없다’와 ‘존재하지 않는다’는 것을 증명하기는 매우 어렵다고 말했습니다. 과거에 한 번도 성공한 적이 없다고 해서 앞으로도 영원히 성공하지 못한다고 단언할 수 없으며, 지금까지 발견되지 않았다고 해서 앞으로도 발견되지 않는다는 증거가 되지 않습니다. 그래서 수학에는 ‘가능성이 없는 것’과 ‘존재하지 않는 것’을 제시하기 위한 강력한 무기로써 ‘귀류법’(歸謬法)이라는 증명 방법이 있습니다. 귀류법은 증명하고자 하는 사항의 부정을 가정하여 모순을 이끌어 내는 증명의 방법입니다. 귀류법이라는 말에는 왠지 어렵다는 이미지가 있지만, 기본은 전혀 어렵지 않습니다. 범죄 드라마 등에서 경찰이 알리바이가 있는 사람을 용의 선상에서 제외하는 것도 바로 귀류법을 이용하는 것입니다. _ 수학의 최고 난제, 존재하지 않는 것을 증명하라!(256쪽)

세상에는 설명을 잘하는 사람과 그렇지 못한 사람이 있습니다. 제가 본 바로는 설명을 잘 못하는 사람은 아래의 둘 중 하나에 해당합니다.
? 구체적으로만 말한다.
? 추상적으로만 말한다.
예를 들어 지휘자에 대해서 아무것도 모르는 사람에게 설명하는 경우를 생각해 봅시다. 구체적으로만 말하는 사람은 이렇게 설명합니다.
“지휘라는 것은 모차르트나 베토벤도 했었어. 옛날에는 작곡가가 지휘자를 겸하는 것이 일반적이었지. 작곡가를 겸하지 않은 최초의 직업 지휘자는 한스 폰 뷰로(Hans Guido Freiherr von Bulow)라고 알려졌어.
카라얀(Herbert von Karajan)이나 번스타인(Leonard Bernstein)이라는 이름은 들어 본 적 있겠지? 그들은 20세기 후반에 활약했던 지휘자야. 그러고 보니 카라얀이 일본에 왔을 때 베를린 필하모니를 지휘했던 게 떠오르네. 그날 연주한 베토벤 교향곡은 정말 대단했지. 다른 지휘자들과는 완전히 달랐어.
일본에서는 지휘자로 오자와 세이지가 유명하지. 그는 카라얀의 제자이기도 해. 그러고 보니 드라마 〈노다메 칸타빌레〉의 치아키라는 캐릭터도 지휘자였지. 지휘자도 꽤 인기 있단 말이야.”
설명은 구체적이지만, 이 설명만으로는 지휘자가 무엇을 하는 사람인지 파악하기 어렵습니다. 그렇다고 해서 추상적인 설명으로만 지휘자를 설명한다면 어떻게 될까요?
“지휘자는 주로 손과 팔의 몸짓만으로 합주 음악을 총괄하는 사람이야.”
이 설명 역시 앞서 구체적인 예를 두서없이 나열하는 데 급급했던 설명과 마찬가지로 지휘자에 대한 이미지가 잘 떠오르지 않습니다. 지휘자에 대해서 제대로 이해하기 위해서는 아무래도 다음과 같은 설명이 필요할 것 같습니다.
“지휘자라고 하면 검은 연미복에 은발을 나부끼며 눈을 지그시 감고 춤추듯 손과 팔을 움직이는 베를린 필하모니의 종신 지휘자 카라얀의 모습을 떠올릴 수 있을 거야.
지휘자는 주로 오케스트라나 브라스 밴드, 합창단 앞에 서서 연주를 총괄하는 사람을 말해. 공연 전에 연습을 조화롭게 끝마칠 수 있도록 돕는 역할도 하지. 실제로도 이 역할을 제일 중요하게 생각하는 사람도 있다고 해.
아마추어 오케스트라에서는 합주를 맞추기 위해서 메트로놈 대신에 지휘자가 필요한 경우도 있데. 하지만 프로 오케스트라의 경우에는 음악을 맞추는 것보다는 구성원 전원에게 음악이 나아갈 길, 즉 영감을 불어넣는 역할이 더 중요해. 예를 들어 유명한 베토벤의 교향곡 〈운명〉의 앞부분 있잖아. “빰빰빰빠암~” 그 부분을 연주할 때 어떤 템포로 할지, 어떤 음을 제일 강하게 할지, 음의 마지막 부분은 얼마나 길게 늘일지, 음색을 어떻게 할 것인지 등 뉘앙스에 대해서 다양한 해석이 있을 수 있잖아. 지휘자에게 있어서 가장 중요한 역할은 작곡가가 악보에 다 적지 못한 세세한 뉘앙스를 하나하나 결정하는 것이라고 할 수 있어.
지휘자는 본인은 소리를 내지 못한다는 의미에서 경마 시합의 기수와도 닮았어. 경기에서 장애물을 뛰어넘는 것은 기수가 아닌 말이지. 그러니까 기수는 말이 장애물 앞까지 오면 편하게 점프할 수 있게 해 줘야 해. 지휘자 역시 마찬가지야. 오케스트라가 편하게 연주할 수 있는 환경을 마련해 주는 것이 중요해.”
지휘자를 설명하면서 구체적인 예를 들거나 추상화하거나, 또는 비유하는 등 추상과 구체 사이를 왕복하고 있다는 것을 느끼셨나요? 이처럼 구체와 추상을 왕복하면서 설명하면 듣는 사람도 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. _ 논리를 단단하게 만드는 구체와 추상의 왈츠(221쪽)

◎ 이 시대가 원하는 인재의 조건, 수학력!<br/>2004년 미국의 실리콘밸리 고속도로에 느닷없이 거대한 광고판이 걸렸다. 흰색의 광고판에는 큼직한 글자로 ‘{e의 연속하는 자릿수 중에서 맨 처음에 나오는 10자리의 소수}.com’이라는 기괴한 문구가 적혀 있었다. 광고주가 누구인지, 광고하는 대상이 무엇인지, 그 문구가 무엇을 뜻하는지 알 수 없었던 대다수의 사람들은 머리를 긁적이며 광고판을 지나칠 뿐이었다.<br/><br/>이것은 세계 최대 IT 기업 구글(Google)의 구인광고였다. 당시 소수점 이하가 영원히 계속되는 무리수 ‘e’라는 자연대수에서 맨 처음에 나오는 10자리 소수를 찾아내 인터넷 주소창에 입력하면 구글에 이력서를 보낼 수 있는 페이지가 열렸다. 10의 100제곱을 뜻하는 수학 용어 구골(googol)에서 유래한 사명을 가진 구글다운 발상이었다.<br/>구글은 어떤 인재를 채용하고자 이런 기상천외한 구인광고를 냈던 것일까. 구글은 아마도 전 세계에서 수학의 힘을 가장 잘 알고 있는 기업일 것이다. 구글은 자연대수 e를 알고 있을 정도의 수학적 소양을 갖추었으면서도, 신기한 문제를 보면 꼭 풀어보고야 말겠다는 강한 지적 호기심을 가진 인재를 원했던 것이다.<br/>직원을 채용할 때 수학력을 중요 판단 기준으로 삼는 것은 비단 구글에 국한된 현상이 아니다. 국내 대다수 대기업의 신입사원 필기시험에는 수능시험을 방불케 하는 수학 문제들이 등장하고 있다. 이른바 ‘4대 그룹’(삼성, 현대차, LG, SK)이 상반기에 채용한 신입사원 열 명 중 여덟 명은 이공계 출신이다(「동아일보」, 2014년 11월 1일). 또한 주요 그룹 사장급 임원의 46~57%가 이공계 출신으로 취업뿐만 아니라 진급에서도 ‘이공계 강세 인문계 약세’ 현상이 심화하고 있다.<br/>이처럼 기업들이 수학적 소양을 중요하게 생각하는 이유는 무엇일까? 우리를 둘러싼 사회와 현상을 이해하고, 업무에 수반되는 다양한 문제의 해결책을 논리적이고 합리적으로 도출하는 힘이 바로 수학에서 나오기 때문이다. 글로벌 경쟁이 심화하면서 기업에는 연구개발 등을 통한 기술혁신의 중요성이 날로 커지고 있다. 오늘날 기업 환경이 다양한 기술의 근간이 되는 수학을 강조할 수밖에 없는 쪽으로 변화하고 있다. <br/><br/>◎ 수학 강세시대에 수학 때문에 우는 사람들<br/>‘수학’(數學, mathematics)이라는 단어의 어원은 그리스어 ‘mathesis’이다. 이는 ‘정신 수양’이나 ‘배움’을 뜻한다. 한문에서 수(數)는 ‘셀 수’이기도 하지만, ‘배울 학’(學) 앞에 붙을 때는 사물의 이치를 뜻하고 사람의 도리를 뜻한다. 수학은 인류가 만든 가장 오래된 언어이며, 자연계 및 사회, 경제, 문화 등 우리 사회 전반을 이해할 수 있는 밑바탕이 되는 언어다. 수학은 사물이나 현상을 논리적으로 생각하는 힘을 기르기 위해서 배운다. 수업시간에 배우는 함수, 방정식, 벡터, 수열 등 수많은 공식과 해법은 논리력을 기르기 위한 도구에 불과하다. 이 모든 것을 잊어도 여전히 남는 문제 해결을 위한 접근법, 즉 논리력이야말로 우리가 수학을 통해 얻을 수 있는 것이다. 이 시대가 요구하는 수학력(數學力)은 암산을 정확하게 하거나 문제를 빨리 푸는 힘이 아니라, 자신의 언어로 대상을 정확하게 생각하고 문제를 논리적으로 해결하는 힘이다.<br/>학교 밖에서는 수학의 위상이 날로 높아지는 것과는 달리 우리 교실은 이러한 시대적 흐름을 역행하고 있다. 최근 조사를 보면 초등학생의 30%, 중학생의 50%, 고등학생의 70~80%를 넘는 학생이 수포자(수학을 포기하는 학생을 뜻하는 은어)가 된다고 한다. 예나 지금이나 수학은 학생들이 싫어하는 과목 부동의 1순위다. 본래 고등학교에서 문과와 이과를 나누는 기준은 어떤 분야에 더 흥미를 느끼는가였지만, 현실은 수학을 잘하고 못하느냐의 차이다. 많은 사람이 수학을 피해 문과로 몸을 숨겼고, 수식만 봐도 가슴이 벌렁거리고 등줄기에 식은땀이 나는 수학 울렁증 환자가 되어버렸다.<br/><br/>◎ 당신이 지금까지 공부했던 것은 수학이 아니라 산수다!<br/>입시, 취업, 승진에서 수학의 중요성이 커질수록 수포자들의 시름은 깊어진다. 수학에 발목이 잡혀 꿈을 향해 도전할 기회마저 박탈당했기 때문이다. 이 책은 수학 때문에 울어본 사람들을 위한 처방전이다. 수학력은 누구나 가지고 있는 힘이다. 수학을 못 하는 것은 수학적 재능이 없어서가 아니라 수학을 산수와 똑같이 공부하기 때문이다.<br/>산수는 기존의 문제를 신속하고 정확하게 푸는 힘을 기르는 과목이며, 수학은 미지의 문제를 풀기 위한 힘을 기르는 학문이다. 입시 중심의 수학 교육은 짧은 시간에 답을 내기 위해서 공식을 통째로 외우고 문제의 패턴을 암기할 때까지 문제를 반복해서 풀게 한다. 이는 수학이 아닌 산수 공부법이다. 수학을 잘할 수 있는 비결은 통째로 외우는 공부법에서 탈피하는 것이다. 공식이나 해법을 외우려고 하면 할수록 수학은 더 어려워진다. 우리가 수학을 배우는 목적은 논리력을 기르기 위해서이다. 논리력을 향상하려면 자신의 머리를 사용해서 생각해야 한다. 잘 모르는 것이 나오면 일단 외우려고 하는 자세는 생각하는 것 자체를 거부하는 사고법이다. 이런 사고 습관은 논리력을 키우는 데 방해가 될 뿐이다.<br/>패턴으로 분류 가능한 정형화된 문제를 빠르고 정확하게 푸는 것은 컴퓨터가 가장 잘한다. 인간의 힘이 필요한 영역은 아직 알고리즘(처리 수단)이 확립되지 않은 미지의 문제를 풀 때이며, 풀 수 없는 문제라도 해결하기 위한 실마리를 발견하는 것이다. “수학은 질문을 던지는 예술을, 문제를 푸는 기술보다 훨씬 더 높게 평가한다”는 게오르그 칸토어(Georg Cantor)의 말처럼 수학에서는 답보다 질문이 중요하다. 수학을 잘하기 위한 핵심은 끊임없이 ‘왜’라고 질문하는 것이다. ‘왜’라는 질문에서 미지의 대상을 향한 탐구 정신이 발아(發芽)한다.<br/>국어에는 강하지만 수학 앞에서는 한없이 약해지는 일명 ‘뼛속까지 문과형 인간’은 잠재된 수학 본능이 더 크다. 인간은 사고(思考)할 때 언어를 사용한다. 빈약한 어휘를 사용해서 힘 있는 논리를 쌓아나갈 수 없는 법이다. 개요를 중심으로 문장을 만들고 다른 사람이 한 말을 자신의 말로 바꿀 수 있는 능력은 대상을 논리적으로 생각하기 위한 기반이다. 국어를 잘한다면 수학력이 깊게 뿌리내릴 비옥한 토양을 갖춘 셈이다.<br/><br/>◎ 잠들어 있는 수학 본능을 깨우는 7가지 발상법<br/>정리한다, 순서를 지킨다, 변환한다, 추상화한다, 구체화한다, 반대 시점을 가진다, 미적 감각을 기른다 등 일곱 가지 수학적 발상법만 익히면 누구나 수학적으로 사고할 수 있게 된다. 수학적 발상법은 수식과 어려운 개념이 가득한 수학 교과서를 뛰쳐나왔을 때 더 폭넓게 만날 수 있다. 국어, 음악, 미술, 심리학, 경영이론에서부터 심지어 점심 메뉴를 선택하는 과정을 통해서도 훈련할 수 있다. 6개월 동안 방치해도 곰팡이가 피지 않아 사람들을 경악하게 했던 맥도널드 햄버거는 ‘순서를 지킨다’라는 수학적 발상법을 배울 수 있는 소재다. 일본의 천재 소설가 아쿠타가와 류노스케(芥川龍之介)가 결혼 전 아내에게 보낸 설렘 가득한 연애편지에는 ‘변환한다’라는 수학적 발상법이 담겨 있다. “노력은 반드시 보상받는다. 만일 보상받지 못하는 노력이 있다면 그것은 노력이라고 할 수 없다”라는 역대 일본 최고의 타자 오사다하루(王貞治)의 명언을 음미하다 보면 ‘반대 시점을 가진다’는 수학적 발상법을 체득할 수 있다. 이 밖에도 분노의 원인을 밝혀내는 ‘감정 유발 프로세스’(ABC 이론), MECE 분류, 조직 구성원을 의지(will)와 능력(skill)으로 분류해 관리하는 Will-Skill 매트릭스, 효율적인 생산관리를 위한 ‘ECRS의 원칙’ 등 심리학과 경영이론을 넘나들며 찾은 수학적 발상법은 수학력뿐만 아니라 비즈니스 교양을 쌓는 데도 도움이 된다.<br/>평생 피해 다니기만 했던 수학을 다시 공부하기 전에 꼭 기억해야 할 것이 있다. 수학에서 제일 증명하기 어려운 것은 불가능하다는 것을 증명하는 일이다. 우리가 앞으로 무엇을 하려고 하든 그것이 불가능하다고 증명하는 일은 굉장히 어렵다. 과거에 한 번도 성공한 적이 없다고 해서 앞으로도 영원히 성공하지 못한다고 단언할 수 없다. 일곱 가지 수학적 발상법을 익히면 여러분도 얼마든지 수학을 잘할 수 있다.