왜 수학을 공부해야 할까?
수학을 잘하면 논리적인 사고를 할 수 있게 되고, 인과관계를 잘 이해할 수 있게 됩니다. 다시 말해 수학은 모든 생각의 엔진이자 인과관계를 이해해 깨달음에 이르도록 하는 학문입니다. 수학을 잘하면 일정한 가정에 근거해 논리적인 결론을 낸 것과 그렇지 않은 것을 분별할 수 있게 되고 이치에 맞지 않는 거짓에 현혹되지 않을 수 있습니다. 같은 사안을 두고 정반대의 주장이 펼쳐질 때도 그 옳고 그름을 판단하려면 당연히 논리적인 사고를 할 수 있어야 합니다. 그래서 수학을 잘 하게 되면 살면서 어떤 일을 만나든 일희일비하지 않고 마음의 평안을 얻고 궁극적으로는 행복한 삶을 살 수 있습니다.
--- p.17

학교에서도 가르쳐주지 않는 곱셈법
학교에서 교과서를 가지고 하는 여러 가지 연산 방법은 표준적인 방법이 대부분입니다. 교과서에서는 지면상 제약이나 수업 중 다루어야 할 내용의 분량으로 인해 모든 연산 방법을 다 다루기가 쉽지 않습니다. 그래서 아주 제한된 연산 알고리즘을 이용한 계산법을 다루는 것이 일반적입니다. 그리고 문제 해결 연구의 대가인 버클리대학의 앨런 쇤펠트Alan H. Schoenfeld 교수가 지적한 대로, 대부분의 학생들은 수학 문제의 답은 오직 하나이고 해결하는 방법도 제한적이라는 생각을 가지고 있습니다. 다양한 문제를 유연하게 생각하면서 해결하기 위해서는, 학생들로 하여금 수학에 대해 가지고 있는 경직된 생각을 바꾸도록 할 필요가 있습니다. 다양한 방법으로 계산해 보도록 하면, 학생들의 창의성 향상은 물론 연산의 의미를 보다 깊게 이해하도록 하고, 간단한 계산 방법에도 “아, 이런 방법도 있구나!” 하며 호기심을 가지도록 할 수 있을 것입니다. 교과서에서 제시하고 있는 방법 이외에 학생들에게 호기심을 줄 수 있는 곱셈 등의 연산 방법은 다양합니다.
--- pp.35~36

고정관념을 깨면 해법이 보인다
“어떤 여행자가 자신이 있는 곳에서 남쪽으로 1마일을 간 후 왼쪽으로 90° 돌아 동쪽으로 1마일 갔다. 그리고 다시 왼쪽으로 90° 돌아 북쪽으로 1마일 갔더니 원래 출발했던 지점에 도착했다. 그곳에서 곰을 만났다면, 그 곰은 무슨 색인가?”
이 문제는 언뜻 보면 수학 문제 같아 보이지 않습니다. 왜 포여는 이 문제를 제시했을까요? 아마도 문제를 해결할 때, 우리가 평면에서만 생각하는 고정된 사고에 매몰되면 안 된다는 것을 말하고 싶어서일 것입니다. 이 문제는 평면에서 생각하면 풀 수가 없기 때문입니다.
--- p.99

초등학생도 이해하는 분수 셈의 원리
수학을 배운다는 것은, 단순히 주어진 문제를 잘 푸는 훈련에 집중하기보다는 왜 결과가 그렇게 나오는지를 이해할 수 있도록 하는 과정이어야 합니다. 더 나아가 결과가 어떻게 나왔는지 자신이 이해한 내용을 설명할 수 있도록 하는 것이 좋습니다. 다른 사람에게 자신이 알고 있는 것을 자신의 말로 잘 설명하기 위해서는 그만큼 그 개념을 잘 이해하고 있어야 하기 때문입니다. 더 나아가 그 내용을 잘 이해하지 못한 친구들이 이해할 수 있도록 가르친다면 더 좋을 것입니다. 수학에서는 잘 푸는 것보다 잘 설명하는 것이 더 이해를 잘한 것이고, 잘 설명하는 것보다 잘 가르치는 것이 더 이해를 잘한 것이기 때문입니다.
--- pp.150~151

인공지능에 활용되는 수학의 원리
“인공지능이 … 을 학습한다”는 것은, 바로 이런 식으로 수많은 데이터들의 행렬식을 계산해 오차가 최소가 되는 최적의 값이 나오도록 성분을 조정해 가는 과정을 뜻합니다. 이런 기술을 지도학습Supervised Learning이라고 합니다. 예를 들어 ‘이런 것이 고양이다’라고 가르쳐 주기 위해, 인간이 다양한 고양이를 보면서 그 공통점을 통해 고양이를 인식하는 것처럼 수천만 개 이상의 고양이 이미지를 통해 고양이를 인식할 수 있도록 학습을 시키는 것입니다. 이런 학습 과정까지도 기계가 자동으로 수행하도록 하는 딥러닝에서는 데이터들 사이의 연결의 강도를 조정하거나 변경할 때 선형대수학과 편미분을 활용합니다.
--- pp.227~228

수학과 인문학의 아름다운 만남
모든 현상을 수학의 눈으로 바라본다면, 더 깊은 의미를 이해할 수 있습니다. 수학의 힘은 눈으로 보이는 것뿐 아니라 눈에 보이지 않는 것까지도 논리적인 사고를 통해 추론하는 데 있기 때문입니다. 당장 눈으로만 봐서는 그렇게 보이지 않는 일이라도 논리적인 추론으로 눈에 보이지 않는 새로운 사실을 이끌어낼 수도 있습니다. 그래서 수학 공부를 통해 주어진 조건에 맞는 답을 찾는 연습을 꾸준히 해서 추론 능력을 기르게 되면, 세상이 돌아가는 현상을 이해하고 나아가 그 현상 이면의 숨겨진 이치를 깨닫는 밑거름이 됩니다. 그렇게 되면 조급해하거나 일희일비하지 않고 마음의 평안을 얻고 행복한 삶을 살아갈 수 있을 테니, 수학이 우리를 행복한 삶으로 이끌어주는 셈입니다.

<b>“내 사전에 더 이상 ‘수학 포기’는 없다!”<br/>외우지 않고, 눈으로 익히며, 내 머리로 생각하는 수학 시간</b><br/><br/><b>“수학 공부의 비결은 근거 없는 자신감이다”<br/>2022년 필즈상 수상자 허준이 교수의 통찰</b><br/><br/>2022년 7월 한국 최초로 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상을 수상한 허준이 교수가 연신 화제에 오르고 있다. 수학자들에게도 평생의 난제로 꼽히는 ‘11개의 수학 난제’를 해결한 허준이 교수의 업적은 우리의 미래를 책임질 매우 중요한 연구에 활용될 것으로 전망된다. 허준이 교수의 연구 성과가 정보통신, 반도체, 통계물리, 빅데이터 등 현대의 많은 기술에 적용된다는 사실은, 갈수록 복잡해지는 네트워크와 빠른 속도로 발전하는 인공지능에 둘러싸인 우리의 일상에서도 수학적 사고가 필수적인 덕목이 되어가고 있음을 여실히 보여주고 있다.<br/><br/>그럼에도 여전히 ‘수포자’들이 넘쳐나는 현실에서, 허준이 교수는 수학을 잘하는 비법으로 ‘근거 없는 자신감’을 꼽았다. 다른 어떤 학문보다도 인과관계와 논리적인 사고를 바탕으로 하는 수학 분야에서 어떻게 ‘근거 없는’ 덕목을 내세울 수 있을까? 허준이 교수는 당장 시험 문제에서 요구하는 답을 얻을 수 없을지라도, 정해진 답을 구하는 데 실패했을지라도, 확실한 능력이 없어 미래가 불안정할지라도 꾸준히 공부하는 ‘용기’야말로 수학을 잘하는 비결임을 강조한다. 오로지 입시만을 위해 공식을 암기하여 ‘문제은행’에 있는 수백 가지 문제를 반복적으로 푸는 것은 수학에 대한 흥미를 떨어뜨릴 뿐이다. 단 한 문제를 풀더라도 자신의 머리로 그 문제의 원리를 이해하고, 일상에서도 수학의 원리를 발견하려 노력하는 것이 수학 공부의 첫걸음이라고 허준이 교수는 강조한다.<br/><br/><b>“외우지 않아도 되는, 원리로 이해하는 수학”<br/>눈에 보이는 대로 문제가 풀리는 신기한 수학 공부</b><br/><br/>주입식으로만 수학을 배우는 것을 넘어, 어떻게 수학의 원리를 이해하고 적용할 수 있을까? 수학 때문에 고통받는 사람들을 위해 오랫동안 최적의 수학교육 방법을 개발해온 박만구 교수는 신간 《보이는 수학책》을 통해 어른과 아이 모두에게 필요한 수학적 사고의 기초를 담아냈다. 학교에서 한번쯤 배워봤을 법한 수학 공식이나 개념?용어부터 우리의 실생활과 연결되는 수학적 아이디어에 이르기까지, 이 책은 다양한 시각적 도구로 수학의 논리적인 바탕을 풀이하며 그간 우리가 수학 공부에서 간과해왔던 ‘왜’라는 질문에 집중한다. ‘문제풀이집’이나 ‘수학익힘책’으로 풀이과정까지 외우며 공부해왔던 우리에게 이 책은 그저 눈으로 보고 익히는 과정 속에서 ‘내 머리로’ 수학 원리를 단숨에 이해하고 적용하도록 안내한다.<br/><br/><b>단순한 계산부터 복잡한 공식까지<br/>학교에서도 배워본 적 없는 독특한 셈의 비밀</b><br/><br/>간단한 덧셈이나 뺄셈에서도 수학적인 원리를 알면 다양한 방법으로 풀어나갈 수 있다. 예를 들어 17-8을 할 때 어른들은 일의 자리끼리 뺄 수가 없으니 십의 자리에서 빌려오는 것(받아내림)을 당연하게 생각하지만, 아이들은 숫자를 구슬의 묶음 단위로 생각해서 10개 구슬 묶음에서 8을 빼고 남은 2를 7개 구슬에 더해 9라는 답을 얻기도 한다. 이 책은 이러한 수학적인 사고를 발전시켜 단순히 하나의 답으로 귀결될 수 없는, 여러 가지 풀이 방법이 동원되는 다양한 문제와 명제들을 소개한다. 4를 네 번 사용하여 답을 이끌어내는 포포스 게임, 10진법을 넘어 3진수, 5진수의 원리를 시각적으로 이해하기, 수를 0으로 나누면 안 되는 이유, 분수의 나눗셈이 역수의 곱셈이 되는 이유, 1+1=2를 증명하는 법 등 이 책은 우리가 당연하게만 여겨왔던 셈의 원리를 다시 들여다보며 계산기에게만 맡겨둘 수 없는 수학적 사고의 풍성한 비밀을 파헤친다.<br/><br/><b>공간 감각을 익히는 기하학부터 인공지능에 쓰이는 수학까지<br/>일상의 다양한 분야에서 쓰이는 수학적 사고의 원리</b><br/><br/>기하학은 도형들의 다양한 특징을 이해하고 2차원이나 3차원의 영역에서 공간적인 감각을 익히는 데 쓰인다. 설계사나 건축가들, 수술을 하는 의사들뿐만 아니라 거리를 어림하거나 건물의 모양을 짐작해야 하는 운전사들에게도 기하학적인 공간 감각은 반드시 필요하다. 이 책은 도형을 자르고 해부했을 때 어떤 모양이 나타나는지, 원이나 사다리꼴 등 다양한 도형의 넓이를 구하는 공식이 왜 그렇게 만들어졌는지, 피타고라스의 정리를 어떻게 증명할 수 있는지 등을 시각적으로 보여주면서 ‘그림’으로 단박에 수학을 이해하고 활용할 수 있도록 안내한다. 나아가 종이접기나 테셀레이션 놀이 등으로 특정한 패턴이나 규칙 속에 숨겨진 수학을 알려주고, 인공지능에서 활용되는 빅데이터 학습 방법을 소개하는 등 놀이부터 첨단 산업에 이르기까지 논리적 사고의 엔진이 되는 수학 활용법을 제시한다.<br/><br/><b>“수학에서도 답은 하나가 아닌 여럿이 될 수 있다”<br/>인생의 문제를 해결하는 창의적인 학습법을 찾아서</b><br/><br/>저자는 창의적인 사고를 일으키는 수학 학습법으로 문제를 푸는 것을 넘어 다른 수학 문제를 만들어보는 것을 추천한다(허준이 교수도 아들에게 자주 사용하는 수학 교육법이다). 다양한 수학 영재교육에 참여해왔던 저자는 정해진 답을 구하는 방식을 넘어 문제의 의도와 원리를 정확하게 이해하고 이를 다양한 방법으로 표현하는 훈련을 거쳤을 때 수학적인 사고가 한층 더 발전할 수 있다고 강조한다. 교과서에서 배운 것을 그대로 적용하는 방식으로는 고난이도의 수학 문제를 해결할 수 없다는 것이다. 우리의 고정관념을 깨는 기상천외하면서도 신기한 문제들을 다루면서 이 책은 스스로 생각하고 풀어나갈 수 있는 수학적 사고의 기초를 제공한다.<br/><br/>저자는 복잡해 보이는 인생의 문제도 수학적으로 사고하면 단순?명확해진다고 강조한다. 수학의 힘은 보이는 것뿐만 아니라 보이지 않는 것까지도 논리적인 사고를 통해 추론하는 데 있기 때문이다. 이는 수학과 인문학의 아름다운 만남을 통해 가능하다. 일례로 인생에서 최대의 행복을 얻는 공식은 우리가 배운 분수의 성질을 통해 표현할 수 있다. 바로 ‘행복의 크기=내가 이미 성취한 것/내가 바라는 것’이라는 공식이다. 이 공식에 따르면 아무리 많은 것을 성취하더라도 바라는 것이 그보다 크면 만족할 수 없고, 비록 성취한 것이 적더라도 바라는 것이 그보다 적다면 충분히 만족할 수 있다. 이 같이 수학적인 아이디어에 근거할 때 우리는 어떤 철학자도 쉽게 정의 내리지 못한 행복의 비결을 알게 되고, 어떤 어려운 문제 앞에서도 끝내는 최적의 해결책을 제시하는 ‘근거 없는 자신감’을 가질 수 있을 것이다.