조선시대에 우리나라 임금님은 식사 후 후식으로 꿀타래를 먹었대요. 꿀타래는 꿀과 엿기름이 섞인 덩어리를 사람의 손으로 16,000가닥 정도의 꿀실로 뽑아낸 것이기 때문에 많이 달지 않고 입에 달라붙지 않았어요. 덩어리를 길게 잡아당겨서 늘인 후에 양 끝을 합하면 2가닥이 되고, 이것을 다시 늘여서 합하면 4가닥, 똑같은 방법을 반복하면 8가닥, 16가닥으로 계속 늘어나죠. 짜장면의 면발을 만드는 것과 똑같아요. 그럼 16,000가닥으로 만들려면 늘였다 합치는 손동작을 몇 번이나 해야 할까요?
10번을 반복하면 1024가 되고, 이후 한 번씩 늘일 때마다 2,048, 4,096, 8,192, 16,384로 늘어나요. 그러니까 14번을 늘였다 합쳤다 하면 16,000가닥 이상의 꿀실이 만들어져서 입안에서 사르르 녹는 꿀타래를 만들 수 있어요.
이렇게 똑같은 수를 계속하여 곱하는 것을 거듭제곱이라고 해요. 2를 2번 곱할 때는 2_2=22, 2를 3번 곱할 때는 2_2_2=23으로 쓰면 간단하고 편리해요. 그러므로 2를 10번 곱할 때는 2_2_2 _2_2_2_2_2_2_2=210이라고 간단히 쓰기로 약속합니다. 이때 2를 거듭제곱의 밑, 2를 곱한 횟수인 2, 3, … 10을 지수라고 부르죠.
- ‘제1장 십진법과 이진법’ 중에서
3세기경 문자식을 발견한 디오판토스는 ‘대수학의 아버지’라고 불려요. 하지만 그 후 1000년 이상 대수를 돌보는 사람이 딱히 없다가 16세기경 프랑스의 수학자 베어드가 문자로 미지수와 기지수를 구별하기 시작했어요. a, b, c, y는 상수를, x, y, z, y는 미지수로 나타낸 거지요. 베어드의 기호 사용으로 대수학은 크게 발전했어요.
그 후 반세기가 지났을 때 데카르트는 선분의 길이와 넓이 등을 표시하는 데 과감하게 현대식 기호를 도입했고, 그 내용이 오늘날까지 이르렀죠. 결과적으로 문자를 사용함으로써 복잡한 계산을 아주 간단히 경제적으로 할 수 있게 되었답니다.
- ‘제3장 일차방정식’ 중에서
평면에 있는 점의 위치를 말할 때, 수학적으로 어떻게 표현하는 게 좋을까요? 수학에서는 위치를 설명하기 위해서 좌표라는 개념을 도입했어요. 좌표를 창안한 수학자 데카르트는 그 전까지 아무도 생각하지 못했던 것을 어떻게 만들 수 있었을까요? 우리 함께 데카르트의 생각을 따라가 봐요.
데카르트는 수학자, 철학자 그리고 과학자를 겸한 천재였고, 위대한 만큼 그와 관련된 전설도 한두 가지가 아니에요. 특히 좌표 발명의 동기에 관해서는 두 가지 설이 있는데 하나는 군대에서 야영 중에 별자리를 보면서 고안했다는 거예요. 또 다른 이야기는 데카르트가 늦잠꾸러기였기 때문이래요. 그는 잠에서 깨어나서도 침대에서 일어나지 않고 천장을 쳐다보며 생각하는 일을 즐겼대요. 그러던 중 파리가 천장을 왔다 갔다 하는 것을 보고 파리가 얼마나 움직였는지 계산하다가 좌표를 생각해 냈다는 거지요. 어때요? 둘 다 그럴싸한 이야기죠? 과연 어느 쪽이 맞는 걸까요?
파리의 움직임을 나타낼 때는 직각좌표가 제격이에요. 처음 파리가 있던 자리를 원점으로 하고, 직각으로 만나는 x축과 y축을 그린 후에 파리가 움직인 눈금의 칸을 세면 간단히 계산해 낼 수 있죠.
별은 북극성을 중심으로 원운동을 해요. 야영 중 별 운동을 관찰했다면, 원점을 북극성으로 잡았을 때 x축과 y축이 직각으로 만나는 직각좌표보다는 북극성을 중심으로 각도와 거리(원점에서부터 점까지의 거리)를 나타내는 극좌표로 생각했을 거예요.
여기서 우리는 두 가지 좌표계를 생각해 봤어요. 대한민국의 수도 서울의 도시 계획은 종로를 가로축으로, 세종로를 세로축으로 하는 직각좌표이고, 데카르트의 고국 프랑스의 수도 파리는 개선문을 중심으로 12개의 방사선이 별 모양을 이루는 극좌표polar coordinate system예요. 그러나 이 좌표들은 수학적인 목적이 아니라 지리적인 이유에서 만들어진 거지요.
예를 들어, 평면 위에 있는 점 P를 표시할 때 직각좌표로 P(1, 1)로 표시하는 점을 극좌표로는 P(√2, 45°)로 표시해요. 이때 (1, 1)은 점 P에서 x축과 y축에 각각 수직선을 내렸을 때 대응하는 수예요. 하지만 (√2, 45°)에서 √2는 원점에서 점 P까지의 거리이고, 45°는 x축에서 선분까지의 각도를 의미해요.
- ‘제4장 함수’ 중에서
--- 본문 중에서