패러독스는 히랍어 para(초월)과 doxa(의견)의 합성이다. 어원의 일반적 견해를 넘어섰다는 의미이다. 또한 퍼즐(puzzle)은 어려운 문제나 깊이 생각하게 만드는 문제이다. 패러독스와 퍼즐은 수학자들의 가장 훌륭한 농담이다. 좋은 패러독스는 완전히 믿을 수 없는 것들을 들을 만한 대목(Punch line)에 도달 할 때까지는 쉽고, 그럴듯하고, 명백하게 논리적으로 전개 된다. 좋은 농담 같은 좋은 패러독스는 잘 전달해야 하며, 이내 눈살을 찌푸리다가 허탈한 웃음 부터 박장대소를 일으키게 하는 것이다. 퍼즐 또한 직관적인 결과와 동떨어진 믿을 수 없는 수학적 계산에 의한 결과에 놀라워하고 믿을 수 없다는 표정을 짓는다.

마틴 가드너가 말한 것과 같이, 패러독스 또한 요술을 부리는 것처럼 느껴진다. 마법사는 청중들에게 빈 모자를 보여준 후, 마술 지팡이를 흔들고 모자에서 토끼를 꺼낸다. 이 속임수는 어떻게 부렸을까? 토끼는 어디에서 나왔을까? 수학은 마술과 같지 않다. 단순한 연쇄 추리가 어떻게 잘못된 결론을 가능하게 했을까? 마술사들은 절대 그들의 묘기를 설명해 주지 않지만, 수학자들은 마지막 세부 사항까지 모든 것을설명하려고 한다.

패러독스는 단순한 계산의 실수 혹은 오류에 의존하고 있고, 일반적인 정의와 수학적인 정의에서 오는 혼란에도 의존하고 있다. 아주 어려운 것과 쉬운 것이 들쭉날쭉한 하기도 하다. 매우 깊이가 있고, 좋은 패러독스의 본질은 그 어떤 설명도 완전히 만족스럽지 않다. 예를 들어 무한의 패러독스는 풀기가 특히 어렵다. 어쩌면 무한의 개념이 완전히 추상적이고 실제 경험이 아니기 때문일 수도 있다. 이 중에는 ‘아킬레스와 거북이’ 패러독스 처럼 무한을 다룬 고대의 위대한 패러독스도 있다.

패러독스와 퍼즐은 재미있지만 또한 진지하게 받아들여야 하는데, 왜냐하면 패러독스는 수학자들이 주제의 기초에 대해 진지하게 생각하게 해주는 강력한 힘이 있기 때문이다. 정수의 이론 안에 모든 수학을 포함 시킬 수 있다는 피타고라스의 생각은 제곱근이 정수 또는 분자 분모 모두 정수인 분수 형태로 나타낼 수 없다는 발견으로 조롱 당하였다. 비교적 최근에 미적분학의 발달은 영국의 수학자인 아이작 뉴톤(Isaac Newton, 1642~1727)과 독일 수학자 길포드 라이프니츠(Gottfried Leibniz, 1646~1716)를 무자비하게 공격했던 영국 아일랜드 철학자 조지 버클리(George Berkeley, 1685~1753)의 무한한 패러독스에서 영향을 받았다. 그리고 나중에 독일수학자 고트로브 프레게(Gottlob Frege, 1848~1925)가 집합론의 수학 기초로 한 시도는 러셀(Russell)의 패러독스에 의해 짓밟히었다.

수학은 패러독스와 퍼즐로 가득 차 있고, 절대 그것에서 벗어날 수 없다. 패러독스와 퍼즐은 역설적이지만 충분히 그것을 엄밀히 검증 할 수 있다. 1930년대 오스트리아의 논리학자 쿠르트 괴델(Kurt G.del, 1906~1978)은 기초 대수학을 포함하는 수학 시스템에서 결정 불가능한 표현이 있음을 증명하였다. 다시 말하면 현 논리체계로는 같은 논리체계로 구축된 이론이 옳다고 증명하거나 틀렸다고 증명할 수는 없었다는 것이다. 괴델 이론은 수학자의 연구가 끝나지 않았다는 것을 증명을 한 것이다.

이것이 바로 궁극적인 패러독스일 것이다. 마지막으로 기원전 400년 경 밀레토스(Miletus)의 그리스 철학자 유빌리데스(Eubulides)의 ‘거짓말 쟁이(Liar Paradox) 패러독스’를 이야기하고 마치도록 하자.

어느 누군가 “나는 거짓말을 하고 있다.”라고 말하였다. 만약 그의 말이 거짓이라면, 사실 그는 말은 참이다. 만약 그의 말이 참이라면, 사실 그의 말은 거짓이다. 다시말해, 그는 거짓말을 하고 있다. 그리고 그는 참말을 하고 있다.