위에서 언급한 문제, 즉 페르마의 문제와 삼체문제는 거의 정반대의 극인 것같이 보입니다. 전자는 추상적인 수론의 영역에 속하는 문제로서 순수한 추론에서 생겨난 문제이고 후자는 천문학과 자연의 가장 간단하고 기본적인 현상을 이해하려는 필요에서 생겨난 문제입니다.
그러나 어떤 특별한 문제는 이것과 거의 연관성이 없어 보이는 다른 분야에까지도 응용되는 일이 가끔 있습니다. 예를 들어 ‘최속 강하선의 문제’는 기하학의 기초와 곡선론, 곡면론 그리고 역학과 변분학에 기본적, 역사적으로 중요한 역할을 했습니다. 또 펠릭스 클라인이 그의 이십면체에 관한 연구에서 정다면체에 관한 문제가 초등기하학, 군론, 방정식론, 선형미분방정식 등의 여러 분야에 중요하다는 것을 자세히 설명했는데 이것도 좋은 보기입니다.
--- p.137 '수학의 미래' 중에서
모든 수학적 문제는 반드시 해결할 수 있다는 신념이 수학자들에게는 강력한 자극제가 됩니다. 우리는 우리 자신에게 끊임없이 속삭입니다. “여기에 문제가 있다, 그 해를 찾아라. 너는 순수한 추리로 그것을 찾을 수 있다. 왜냐하면 수학에는 무지(無知)란 없기 때문입니다.
수학에서 진정한 발전이 있을 때마다 앞선 이론의 이해에 도움이 되고, 옛날의 복잡한 이론을 필요 없게 만드는 더 예리한 기구와 간단한 방법이 발명되었습니다. 다라서 이 더 예리한 기구와 간단한 방법을 체득한 사람은 다른 과학에서보다 더 용이하게 수학의 여러 분야를 이해할 수 있을 것입니다.
--- 다비트 힐베르트, 본문 중에서
만일 ‘파리의 문제’의 용어들이 전문적이 아니었더라면 나의 임무는 단순히 힐베르트가 제출한 문제를 가지고 오늘날까지 이 문제 중의 어떤 문제가 풀렸고, 어떤 문제가 부분적으로나마 해결되었다는 것을 말하면 끝날 것이다.
--- 헤르만 바일, 20세기 전반의 수학사를 정리해 달라는 미국 수학회의 요청을 받고
철학자 오귀스트 콩트는 언젠가 해결 불가능한 문제의 보기로서 ‘과학의 힘으로는 우주에 있는 천체의 화학적 구조의 비밀을 밝힐 수 없을 것이다.’라고 주장했지만 몇 년 후에 이 문제가 해결되었습니다. 저의 생각으로는 왜 콩트가 정말로 해결 불가능한 문제를 발견할 수 없었느냐 하면 이 세상에는 해결 불가능한 문제란 존재하지 않기 때문이다. 우리는 알아야 한다. 그리고 우리는 알게 될 것이다.
--- 다비트 힐베르트, 쾨니히스베르크의 라디오 방송 강연에서