1856년 서울에서 유진수의 둘째 아들로 태어났다. 16세 때 개화파 영수 박규수에게 가르침을 받아 해외 사정에 눈떴다. 1881년 어윤중의 수행원으로 신사유람단에 참가해 일본을 방문하였고, 후쿠자와 유키치가 경영하던 게이오 의숙에 입학해 한국 최초로 일본 유학생이 되었다. 28세 때 통리교섭통상사무아문의 주사로 임명, 보빙사 수행원으로 미국에 가서 한국 최초로 미국 유학생이 되었다.
미국 유학 중 갑신정변 소식을 듣고 귀국하여 연금 생활을 하면서 『서유견문』을 집필하였다. 통리교섭통상사무아문 참의, 군국기무처 회의원이 되었으며 동부승지, 형조참의, 예조참의를 거쳐 의정부 도헌에 임명되었다. 황제가 러시아 공사관으로 파천하자 일본으로 망명, 11년간 망명생활을 하였다. 흥사단과 융희학교를 설립하였고 노동야학회 고문, 국채보상금처리회장으로 활동하였다. 58세 때 중앙학교장으로 선임되었고 이듬해 노량진 조호정에서 숙환으로 세상을 떠났다.