미분·적분이 어렵다는 편견을 버리자
미분·적분은 수학을 배우는 과정에서 가장 큰 고비이다. 난해한 기호에 계산은 복잡한데다 애당초 그 개념부터 어렵다고 생각하는 사람이 많다.
그러나 이것은 큰 오해이다. 미분·적분은 그렇게 어렵지 않다. 그렇다면 대체 왜 ‘미분·적분은 어렵다’라는 오해가 생겨난 것인지 확인해보자.
그 이유 중 하나는 학교에서 가르치는 문제나 계산 방법이 복잡하기 때문이다. 특히 대학입시 문제 등은 극단적으로 말해서 우열을 가리는 것이 목적이기 때문에, 문제를 어렵게 만들 필요가 있다. 따라서 목적의 본질보다 복잡하게 만든 수단 및 계산술을 우선적으로 가르쳐서 어렵고 특이한 문제가 주를 이룬다.
또 보통, 학교에서는 ‘미분→적분’의 순서로 배우는데 계산이 단순한 미분부터 시작하는 것이 효율적이기 때문이다.
그러나 사실 이해하기에는 적분이 더 쉽다. 수학의 역사를 보아도 미분보다 적분이 먼저 생겨났다. 따라서 이번 장에서는 ‘적분→미분’의 순서로 설명하고 있다. 수학의 독특한 수식이나 증명 등 딱딱하고 왠지 모를 거리감이 드는 부분은 제쳐두고, 우선 큰 그림을 전체적으로 파악해 이해를 극대화하는 것도 목표이다.

적분과 비슷한 플립북
혹시 학교 수업이 지루해서 교과서 귀퉁이에 연속적인 그림을 그려본 적이 있는가? 페이지마다 아주 조금씩 변화하는 그림을 그려 넣고 빠르게 넘기면 움직이는 것처럼 보이는 플립북 놀이 말이다. 만약 해본 적이 있다면 당신은 자신도 모르게 적분을 실천했던 것이다.
예를 들어 컵에 우유를 따르는 플립북을 만들기 위해서는 뒤, 또는 앞으로 갈수록 컵 속의 우유가 조금씩 늘어나는 그림을 그릴 것이다. 그리고 마지막 쪽에는 우유가 가득 찬 컵을 그린다. 이렇게 여러 장의 그림을 차례차례 모아서 책 한 권으로 우유를 한 잔 따르는 모습을 표현할 수 있다. 이는 우유를 따르는 움직임을 구하기 위해 각 쪽의 그림을 더한, 즉 고 할 수 있다.
사각형의 면적은 ‘세로의 길이’ב가로의 길이’, 상자의 부피는 여기에 ‘높이’를 곱하면 구해진다. 그러나 구불구불한 호수의 면적이나 복잡한 모양을 하고 있는 물체의 부피 등은 좀처럼 값을 구하기 힘들다. 하지만 이러한 물체들의 전체량도 적분을 이용하면 구할 수 있다.
적분을 이용해 구하려는 값이 다루기 쉬워지면 이후부터는 덧셈으로 전체량을 구할 수 있다.

지구를 발밑의 한 점으로 미분한다면?
우리의 발밑은 편평한 지면으로 되어 있다. 집 바닥도 건물 바닥도 완전히 편평하다. 그런데 잠시 생각해보자. 지구는 둥근 행성인데 왜 바닥이 편평한 것일까? 이는 거대한 지구에 비해 우리 눈앞이나 집은 그 크기가 매우 작기 때문이다. 즉 우리가 서 있는 아주 좁은 범위는 평면으로 인식된다.
이 평면은 바로 둥근 지구를 미분한 것과 같다. 앞서 미분은 ‘순간의 변화량을 구하는 것’이라 설명했다. 이 표현은 시간으로 미분하는 경우이며, 우리가 서 있는 위치로 미분할 경우에는 ‘한 점의 변화량을 구하는 것’이라는 표현이 더 정확하다. 즉 . 만약 우리가 지구를 한바퀴 돈다면 지구의 둥근 면에 따라 발밑의 지면도 조금씩 기울어질 것이다.

변화량의 미분과 전체량의 적분 사이의 관계
미분과 적분은 늘 짝꿍처럼 붙어 있다. 눈치가 빠른 사람이라면 앞서 미적분의 예를 보면서 일찌감치 알아챘는지도 모른다. 즉 적분한 것을 미분하면 다시 원래대로 돌아온다.
앞서 플립북 만화에서 적분하는 이미지와 카메라의 셔터를 눌러 미분하는 이미지를 떠올려보자. 비슷하지 않은가? 같은 움직임을 예로 들어 생각해보자.
A교과서 귀퉁이에 그린 그림을 B그림이 그려진 쪽으로 적분하면C우유를 따르는 모습이 구해진다. 반대로 우유를 따르는 모습을 B시간으로 미분하면C우유를 따르는 순간의 모습이 구해진다. 즉 ‘우유를 따르는 순간의 정지화면’과 ‘우유를 따르는 모습의 영상’은 미분과 적분을 통해 왕복할 수 있다.
‘순간의 변화량’을 적분하면 ‘전체량’이 되고, ‘전체량’을 미분하면 ‘순간의 변화량’이 되는 것이다. 쉽게 이해하기 힘들 수도 있지만, 전철이 정차할 때의 흔들림이나 구불구불한 곡선으로 둘러싸인 면적 등의 예도 사실은 모두 미분과 적분을 통해 거꾸로 되돌릴 수 있다. 찰나의 순간이나 대량의 덧셈을 어떻게 인식해서 구체적으로 실행하는가의 문제는 수학의 세계가 하는 일이다.