1. 계산에 지친 당신, 진짜 수학의 본질을 만나라!
- 경험할 수 없는 세계를 꿈꾸는 극한
- 직관과 상상력을 자극해 무한의 신비와 한계를 재발견하다
- 계산 너머 수학적 직관으로 우주와 양자의 세계를 탐험하다

미분은 인간의 인식이 닿을 수 없는 미세한 변화의 본질을 해결하려는 시도다. 극한을 통해 우리는 직접 경험할 수 없는 ‘순간’을 정의하고, 이를 통해 세상의 변화를 포착하는 여정을 시작한다. 변화의 순간을 분석하는 도구인 미분의 핵심은 극한 개념에 있다. 극한을 통해 곡선의 기울기와 접선을 정의하고, 변화를 포착할 수 있기 때문이다. 수학의 전 과정은 인류가 맞닥뜨린 세상을 해명하고 새로운 세상을 펼치려는 노력에서 시작되었다. 복잡한 공식과 계산 과정을 내리 써가며 저리는 손을 주무르는 것은 수학의 시작이 아니었다. 제대로 된 수학 학습이란 균형을 이룬 논리와 직관의 조화다. 통찰과 함께하는 추론이야말로 새로운 수학을 만들어내는 원동력이자 세상을 이해하는 핵심이다. 저자는 계산 너머에 있는 직관이라는 진짜 수학과 함께 우리를 우주와 양자의 세계로까지 데려다준다.

1부 〈끝없는 세계를 직관한다: 극한〉은 무한과 한계 사이의 경계를 탐구한다. 제논의 역설, 순환소수 0.999… 등 다양한 사례를 통해 수렴과 발산, 그리고 극한 상황에서 드러나는 자연과 우주의 미묘한 경계를 직관적으로 느끼게 한다. 무한은 인간이 직관적으로 이해하기 어려운 개념이다. 우리는 무한히 넓은 우주, 끝없는 숫자의 나열, 무한히 작은 입자들을 상상하지만, 이를 명확히 정의하기란 쉽지 않다. 이 책은 무한에 직관적으로 접근하는 다양한 사고 실험을 살펴보고, 우리가 무한을 어떻게 인식하는지 탐구한다. 무한은 단순히 ‘끝이 없는 것’이 아니다. 수학에서는 무한을 엄밀하게 정의하고 다룬다. 칸토어는 무한의 크기를 비교하는 방법을 제시했고, 현대 수학은 유한과 무한을 구별하는 도구를 발전시켜 왔다. 경계 없는 무한은 실은 모두 같은 크기가 아니다. 가산 무한과 비가산 무한의 개념, 수학에서 구분되는 무한의 위계, 극한을 활용해 0.999…=1임을 보이는 과정 등을 통해 우리는 극한 개념이 어떻게 작용하는지 ‘손이 아닌 눈으로’ 이해할 수 있다.

인간은 끝없는 공간과 시간을 상상하며 무한의 개념을 철학적으로도 탐구해왔다. 우주는 무한한가, 아니면 유한한가. 우주의 무한성과 수학적 무한은 어떻게 연결될 수 있는가. 1부에서는 극한을 활용한 사고 실험을 수행하며 극한을 통해 우주적 규모를 이해하려고 시도한다. 더 나아가 오늘날 그 어떤 과학보다 화제인 양자역학과 원자보다 작은 미시 세계를 직관이라는 방법론을 통해 탐험하며, 그 안에서 극한이 어떤 역할을 하는지까지 살펴본다.

2. 개념이 만들어지는 과정을 ‘직관’하다
- 잠시나마 내가 아르키메데스, 뉴턴, 라이프니츠가 된 기분!
- 미분법을 향한 뉴턴과 라이프니츠의 치열하고도 우연한 레이스
- 압축된 개념 뒤에 숨은 수학의 서사를 만나다

2부 〈변화를 직관하다: 미분〉은 독자가 “잠시나마 내가 아르키메데스, 뉴턴, 라이프니츠가 된 것 같은 기분”(한도윤, 고등학생)을 느끼게 한다. 매 수업마다 학생들이 “어설프게나마 수학을 직접 만들어보는 경험을 할 수 있도록 다양한 시나리오를 만들고 적용”해온 저자는 독자가 뉴턴과 라이프니츠의 혁신적 발견부터 현대적 응용으로 발전하는 과정을 차근차근 따라가며 스스로 한 명의 수학자가 되어 미분의 의미를 드러내는 듯한 경험을 만끽하게 해준다.

수학자들은 고대부터 16세기에 이르기까지 미분에 대한 기초 개념을 발전시켜왔다. 그러다 17세기에 들어서면서부터 여러 수학자가 독립적으로 미분법의 기본 원리를 발견했다. 초기 미분법의 발전사에는 미적분의 탄생에 기여한 수많은 선구자들이 있다. 페르마의 극대·극소 문제, 데카르트의 해석기하학, 무한소 등 미적분의 개념적 기원이 되는 이야기가 이어진다. 여기서는 그 가운데서도 특히 미적분의 창시자로 알려진 뉴턴과 라이프니츠를 상세히 다룬다. 두 수학자는 각기 독립적으로 미적분을 발견했으며, 각자의 방식으로 체계를 정립했다. 운동을 분석하는 도구로 접근한 뉴턴과 함수의 변화를 연구하는 방법으로 접근한 라이프니츠의 방식을 비교하며 현대 미분법의 기초를 살펴보고 현대적인 미분 개념까지 이어서 이해할 수 있다. 저자의 말대로 많은 사람들은 “수학이 원래부터 완벽하게 태어나 영원히 지고지순하게 존재하는 학문인 줄 안다.” 하지만 극한의 개념을 완성하기까지 걸린 200년의 시간을 떠올려보자. 수학 또한 인류의 거듭된 시행착오 끝에 나온 결과물이며 지금 이 순간에도 수많은 수학자들의 직접적인 대화와 간접적인 경험으로 구성되어가고 있다.

3. 미분, 끊임없이 변화하는 현대 사회의 언어
- 명징하게 직관하는 일상 속의 미분
- 상대성이론부터 별의 진화까지, 미분으로 설명하는 우주의 법칙
- 세계를 해석하는 가장 아름다운 시선으로

미분은 천문학, 공학, 경제학, 생물학 등 다양한 분야에서 활용되고 있다. 실생활에 응용하는 데 핵심적인 개념은 ‘접선’이다. 가장 효율적으로 물건을 생산하기 위한 비용을 계산하거나 일상적으로 사용하는 전자제품에 전류를 가하는 순간들은 접선을 구하는 과정을 포함하고 있다. 누군가 무엇을 미분하고 있을 때, 그는 한계비용을 따져보고 있을 수도, 전류를 측정하고 있을 수도 있다. 인류의 문제 해결엔 늘 미분이 함께하고 있다. 곡선 위 한 점에서 접선을 찾는 것은 미분의 기본적인 응용이다. 여기서 저자는 접선 개념을 직관적으로 이해하는 방법을 탐구한다. 특히 1부에서 제시한 극한 개념을 활용하여 곡선의 변화를 이해하는 과정을 탐색하고 이를 종합해 접선을 향해 극한 여행을 떠난다. 곡선의 접선을 찾는 과정은 결국 극한을 이용하는 과정이다. 한 점에서 접선을 정의하는 방법을 단계적으로 설명하며, 극한과 미분의 관계를 강조한다.

우주에서 지구를 바라보면 지구는 하나의 작은 점처럼 보인다. 마찬가지로, 미분을 사용하면 복잡한 세상도 하나의 일관된 원리로 이해할 수 있다. 우주와 빛은 떼어놓을 수 없는 관계다. 우주의 근본 법칙을 밝혀내는 수학적 모델 속에서 빛은 파동과 입자 이중성을 동시에 설명하며, 미적분과 물리 공식으로 에너지 흐름을 정밀하게 해석하는 결정적 원동력이다. 이러한 빛을 연구하는 광학에서 미분은 특히나 중요한 역할을 하는데, 빛의 반사와 굴절을 분석하는 과정에서 그 개념이 사용된다. 빛의 경로는 페르마의 원리를 따르며, 이는 미분의 개념과 연결되어 미분을 통해 빛이 어떻게 최단 경로를 찾는지 분석할 수 있다. 수많은 우주의 현상인 천체의 움직임, 상대성이론, 블랙홀의 구조 등 많은 법칙이 미분을 통해 설명된다. 별의 진화 과정 마지막에서 별이 폭발할 때 일어나는 초신성 현상과 함께 이 책 또한 마무리된다. 결국, 이 책은 ‘미적분을 배워야 하는 이유’를 단순히 지식의 축적이 아니라, 세상을 바라보는 새로운 관점을 얻는 과정으로 안내한다. 우리 삶과 우주를 해석하는 가장 아름다운 언어, 미분의 세계에 당신을 초대한다.