Ⅰ부 기하학을 이용한 연구

1장 생활 속의 사이클로이드 3

2장 ‘기하학자들의 헬렌’ 그리고 ‘불화의 사과’ 5
2.1. 세계를 변화시킨 사과 5
2.2. 황금 사과 5
2.3. 왕비 헬렌과 트로이 전쟁 7
2.4. ‘기하학자들의 헬렌’ 그리고 ‘불화의 사과’ 8

3장 사이클로이드 초기 역사 9
3.1. 사이클로이드 초기 연구 9

4장 로베르발 13
4.1. 로베르발의 사이클로이드 정의 13
4.2. 로베르발의 접선 작도 14
4.3. 로베르발의 구적 계산 16
4.4. 로베르발의 사이클로이드 곡선 구적의 해석기하학적 해석 19

5장 데카르트 22
5.1. 데카르트 접선 작도 22
5.2. 데카르트 접선 작도의 정당성 23

6장 페르마 25
6.1. 페르마 준상등 정의 25
6.2 페르마 접선 작도 26

7장 토리첼리 29
7.1. 토리첼리의 죽음에 대한 소문 29
7.2. 토리첼리 구적 31

8장 파스칼 34
8.1. 파스칼의 치통을 잊게 한 곡선 34

9장 렌 36
9.1. 사이클로이드 호의 길이 36
9.2. 사이클로이드 호의 길이 37


Ⅱ부 미적분학을 이용한 연구

10장 미적분학을 이용한 접선 설명 41
10.1. 요한 베르누이 접선 설명 42
10.2. 로피탈의 접선 설명 43
10.3. 뉴톤의 접선 설명 45
10.4. 바로우의 접선 설명 46

11장 갈릴레이 하강곡선 연구 47
11.1. 갈릴레이의 최단하강곡선문제 제시 47
11.2. 갈릴레이의 최단하강곡선에 대한 주장 48
11.3. 갈릴레이의 최단하강곡선에 대한 주장의 해석학적 증명 51
11.4. 갈릴레이의 최단하강곡선에 대한 주장의 확장 54
11.5. 갈릴레이의 사이클로이드 곡선의 해석 56

12장 등시곡선 문제 58
12.1. 등시곡선 문제의 역사 58
12.2. 자유낙하 운동으로부터 호이겐스 진자운동 주기 구하기 61
12.3. 해석학적 접근으로 호이겐스 진자운동 주기 해석학적 증명 62
12.4. 진자운동 주기의 라그랑쥬의 해 65
12.5. 진자운동 주기의 중력장을 이용한 해 66
12.6. 진자운동 주기의 라플라스 변환을 이용한 아벨의 해 68
12.7. 심슨의 등시곡선의 주기로부터 사이클로이드 방정식 유도 70

13장 최단하강곡선 문제 76
13.1. 최단 하강곡선 문제를 풀기 위한 기초 76
13.2. 요한 베르누이 1697년 출간된 논문의 해 79
13.3. 야곱 베르누이의 해 83
13.4. 베르누이 형제의 첫 번째 해의 현대적 표현 87
13.5. 라이프니츠 기하학적 해 91
13.6. 라이프니츠 기하학적 해의 설명 94
13.7. 뉴톤의 해 96
13.8. 데이비드 그레고리의 뉴톤 해에 대한 설명 99
13.9. 베르누이 형제 1718년 논문의 해 101
13.10. 베르누이 형제 1718년 논문의 해의 해석학적 해석 105
13.11. 최단하강곡선 해의 역사 이야기 107

14장 오일러-라그랑쥬 방정식을 이용한 일반화 해법 111
14.1. 오일러-라그량주 방정식이란 111
14.2. 오일러-라그량주 방정식 증명 112
14.3. 오일러-라그량주 방정식을 이용한 최단하강곡선의 해 114


Ⅲ부 사이클로이드의 다양한 성질

15장 현대 미적분학을 이용한 사이클로이드 성질 연구 119
15.1. 해석 기하학적 사이클로이드 정의 119
15.2. 사이클로이드 구적 121
15.3. 사이클로이드 호 길이 122
15.4. 사이클로이드 하강 시간 123
15.5. 최단하강곡선 구하기 125
15.6. 사이클로이드 등시곡선 성질 130
15.7. 사이클로이드 신계선 131
15.8. 사이클로이드 축폐선 133
15.9. 사이클로이드 축폐선의 벡터 해석 135
15.10. 사이클로이드 축폐선의 기하학적 해석 137

16장 직관적으로 사이클로이드 구적 구하기
16.1. 소개 141
16.2. 보조정리 증명 143
16.3. 사이클로이드 부채꼴 넓이(정리 1 증명) 145
16.4. 직관적으로 넓이 구하는 방법의 역사 147

17장 구분구적을 이용한 호의 길이 구하기 150

18장 직관적으로 호 길이 구하기 152

19장 직관적으로 구적 구하기 153

20장 사이클로이드 방정식의 급수 표현 156

21장 사이클로이드 극 해시계 157
21.1. 극 해시계의 시간선 작도 157
21.2. 극 해시계의 시간선 계산 158
21.3. 사이클로이드 극 해시계 159