Cox & Ross & Rubinstein (1979)이 처음으로 이항나무모형을 사용해서 옵션가치를 평가한 것으로 알려져 있으나, Rendleman & Bartter (1979)도 같은 결과를 발표하였다. 그 이전에, Sharpe (1978)가 이항나무모형법을 재무이론에 적용하였다. 경제학에서 이항나무모형이 사용된 것은 그보다 훨씬 이전으로서, 1950년대에 이미 Arrow와 Debreu가 경제현상을 설명하는 데 이항나무모형을 사용하였다. 그러나, 최근 본저자는 Bachelier (1901)가 이 기법을 사용한 것을 발견하고, Bachelier가 이룬 업적에 다시 한번 경의를 표하지 않을 수 없었다. Higham (2002)은 이항나무모형을 사용한 옵션의 가치평가에 대해 자세히 그리고 아주 쉽게 설명하고 있다. ---p.9

Black-Scholes식을 유도하는 가장 고전적인 방법은 편미분방정식(partial differential equation: PDE)을 이용하는 것이다. 이러한 방법을 만기시점 T 전에도 권리를 행사할 수 있는 미국형옵션이나 경로독립적인(path- independent) 다중원자산옵션(multi-asset option)의 가치평가에도 적용할 수 있다. 그러나, 경로의존형(path- dependent) 옵션이나 원자산과정이 Markov성을 갖지 않는 경우에는 이 방법을 적용할 수 없다. 편미분방정식법은 Black & Scholes (1973)와 Merton (1973)에 의해서 제시되었다. ---p.33

금융파생상품의 가치를 평가하는 고전적 방법은 복제, 헤지 그리고 무재정조건을 이용해서 편미분방정식을 유도하고, 그 편미분방정식의 해를 구하는 것이다. 그러나, 오늘날에는 금융파생상품의 가치과정을 마팅게일로 나타내는 방법이 널리 사용되고 있다. 이러한 마팅게일법은 Girsanov정리를 바탕으로 한다. Girsanov정리는 확률과정의 추세를 바꾸는 데 사용되는 강력한 무기로서, 금융공학뿐 아니라 확률해석(stochastic analysis)에서 매우 중요한 정리이다. Girsanov정리를 간단히 설명하면 다음과 같다. 비퇴화(nondegenerate) 확산계수를 갖는 Ito확산과정의 추세항을 변경해도, 이 확률과정의 확률측도는 크게 바뀌지 않는다. 이 경우에 새로운 확률과정의 확률측도는 원래 확률과정의 확률측도에 대해 절대연속(absolutely continuous)이다. 따라서, Radon-Nikodym밀도를 사용해서 이 새로운 확률측도를 구할 수 있다. Cameron & Martin (1944)이 처음 Girsanov정리를 제시하였고, 그 후 Girsanov (1960)가 이를 좀 더 체계적으로 발전시켰다. 이 절에서는 Girsanov정리를 직관적 이해하는 데 도움이 되는 요점추출법(importance sampling method)을 살펴보자. ---p.391-392

금융자산가치를 나타내는 연속시간형 확률과정으로서 가장 널리 사용되는 것은 Ito확산과정(Ito diffusion process)이다. 시장에 존재하는 각 금융자산의 가치를 Ito확산과정으로 나타낼 수 있는 시장은 완비(complete)라고 할 수 있을 것이다. 완비시장에서는 새로운 금융상품의 가치를 기존의 금융상품가치들로 복제할 수 있고, 그 결과 이 새로운 금융상품의 가치를 공정하게 평가할 수 있다. 즉, Ito확산과정으로 표현되는 금융상품가치를 공정하게 평가할 수 있다. Ito적분은 이러한 Ito확산과정에 관한 적분이다. Ito적분을 포함해서 확률적분(stochastic integration)을 연구하는 분야를 확률해석(stochastic calculus)이라 한다. Ito적분이 보통 적분인 Riemann- Stieltjes적분과 다른 근본적 이유는 Brown운동의 2차변분(quadratic variation)이 0이 아니기 때문이다. 이 장에서는 Ito확산과정과 Ito적분을 정의하고, Ito적분의 성질에 대해서 살펴보자. 또한, Ito-Doeblin보조정리를 사용해서 편미분방정식인 Black-Scholes방정식을 유도하고, 이 Black-Scholes방정식을 풀어서 유럽형옵션의 Black-Scholes식을 유도하자. 이 장의 내용은 Øksendal (2003), Shreve (2004), 그리고 Karatzas & Shreve (1998a, 1998b)를 바탕으로 한 것이다. 또한, Revuz & Yor (1999)도 참조했다.