제1장❘수와 공간
공간을 표현한다고 생각해 봅시다. 지금 카페의 창문을 통해 보면 도로에는 자동차들이 달리고 나무의 가지들은 바람에 흔들립니다. 검은 자동차의 위치는 검은색으로, 빨간 차의 위치는 빨간색으로, 그리고 햇빛에 빛나는 차 유리의 한 곳은 흰색으로 표현할 수 있고 흔들리는 가지에 달린 나뭇잎은 초록색으로 표현할 수 있습니다. 이를 문학적으로 표현하는 것이 아니라 각 순간에 정확한 위치에 정확한 색으로 표현하려면 우리는 3 차원 공간의 각 점에 대한 표현이 필요합니다.
공간의 각 점에 대한 위치의 표현은 17세기의 데카르트가 찾은 수직선의 결합으로 해결할 수 있습니다. 수직선은 초등학교 저학년에서 배우는 내용으로 무척 쉬운 것이지만 이를 결합함으로써 공간의 각 위치를 표현한다는 것은 획기적인 것입니다. 공간의 위치를 수로 표현하는 것을 넘어 직선과 평면도 수로 표현됩니다. 이 책에서는 다루지 않지만 구나 포물선과 같은 곡면이나 곡선도 간단한 수로 표현할 수 있습니다. 직선이나 원을 직접 그려서 다루던 기하학을 수만으로 표현하는 것이 가능해졌습니다.
평면 위의 점 위치와 공간 속에서의 점 위치를 이해하고, 간단한 방정식이 직선과 평면을 표현하는 것을 살펴보겠습니다. 공식을 외워야 한다는 강박관념에서 벗어나 공간 속의 점들과 즐거운 대화를 하시길 바랍니다.
다양한 입체 영상을 통해 3 차원 상황을 실질적으로 감상할 수 있게 하였습니다. 3 차원 영상을 보여주는 장치는 이미 다양하게 개발되었지만 이를 활용한 교육 콘텐츠가 많지 않은 점은 안타까운 일입니다. 본 서적을 통해 다양한 개발자가 나와 다양한 콘텐츠가 개발되기를 기대해 봅니다.
01 수와 수직선 그리고 변수
우리는 일상에서 많은 것을 수로 표현합니다. 산의 높이라든가 아파트의 면적이라든가 우리나라의 인구 등도 숫자로 표현합니다. 현재 내가 가지고 있는 돈도 숫자로 표현할 수 있고 기온이나 습도도 숫자로 표현합니다. 인공지능의 기능을 빌리면 어쩌면 아름답다는 말이나 고풍스럽다는 말도 수로 표현될 수도 있을지 모릅니다.
어떤 수를 직선 위의 한 점으로 표현하는 경우가 있습니다. 그런 직선을 수직선이라고 합니다. 우선 직선 위의 한 점의 위치를 정해 “0”이라고 하고 그 점에서 조금 떨어진 점의 위치를 “1”이라고 하면 직선 위의 모든 점의 위치는 하나의 수로 표현됩니다. 이를 다음과 같은 수직선으로 표현합니다.
직선을 하나 긋고 “0”인 점의 위치를 원점으로 하고 “0”의 오른쪽으로 이동된 위치를 “1”을 정합니다. 수직선 위의 수는 왼쪽에 있는 숫자보다 오른쪽에 있는 숫자가 항상 큽니다. “0” 과 “1” 사이의 거리에 두 배인 오른쪽 점의 위치는 “2” 로 표현하며 이는 0 보다 2만큼 더 큰 수의 위치를 나타내며 다음과 같습니다.
-1은 0 보다 1 만큼 작은 수를 나타내며 “-1”의 위치는 “0” 에서 왼쪽으로 1만큼 이동된 위치입니다. -3은 0 보다 3 만큼 작은 수를 나타내며 “-3”의 위치는 0에서 왼쪽으로 3만큼 이동된 위치이며 다음과 같습니다.
다음은 세 개의 수 “-3.2”, “1.5”, “4” 에 대한 위치를 표현하면 다음과 같습니다.
다음 그림의 점은 어떤 수로 표현될까요?
그렇습니다. “2.5”이죠. 이렇게 하나의 점 위치를 표현하기 위해서 하나의 수가 사용되는 직선을 1 차원이라 합니다.
수를 1, 2, 3 과 같은 숫자로 표현하지 않고 x, y, z 와 같은 문자로 표현하는 경우도 있습니다. 한겨울에 하루 동안의 기온이 -5℃에서 5℃까지 변한다고 합시다. 기온도 숫자로 표현하는 데, 때에 따라 기온이 변합니다. 이를 표현하기 위해 어떤 숫자를 사용해야 할까요? 만일 하나의 수로 기온을 표현하면 그 수는 변하지 않으므로 밤낮으로 바뀌는 기온을 표현하는 데에는 적합하지 않습니다. 그래서 x라는 문자를 사용하여 기온을 표시한다고 합시다. x는 숫자이지만 변할 수 있는 숫자입니다. 이러한 숫자를 변수라 합니다. 변수를 다음과 같은 수직선 위에 표현하는 것을 생각해 봅시다. 이를 “온도 축” 혹은 “x축”이라고 합시다.
오전 7시에는 기온이 -2℃ 이라고 합시다. 이는 “오전 7시에는 x=-2”라고 표현합니다. 이를 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있습니다.
그리고 오후 1시에는 4.2℃ 이고 저녁 9시에는 -1.5℃ 라면 다음과 같이 표현합니다.
다음의 경우를 살펴봅시다.
여기에는 오전 오후 혹은 몇 시라는 표현이 없습니다. 그리고 x축에 온도라는 표식도 없어요. 그냥 점이 하나 찍혀 있습니다. 즉 x=2.3입니다. 변수 x의 값이 2.3일 때 x축의 한 위치에 한 점이 찍혀 있는 것입니다. 변수 x는 무게일 수도 있고 속도일 수도 있고 그 무엇도 될 수 있고 어떤 의미를 부여하지 않을 수도 있습니다.
우리 주변의 상황에 수를 부여함으로써 생각하기 쉽게 만듭니다. 그런 수 자체는 그 어떤 것도 아니고 그 무엇이라도 될 수 있습니다. 이것이 수가 가지는 추상성입니다. “3” 이라는 것은 사과 세 개를 의미할 수도 있고 자동차 3대를 의미할 수도 있습니다. “3”은 자체로 사과나 자동차의 의미를 갖지 않습니다. 그러나 사과뿐 아니라 배나 감이 될 수도 있고 자동차뿐만 아니라 배나 비행기도 될 수 있습니다. 이것이 수의 추상성이 갖는 큰 장점인 것이지요.
앞에서 수직선의 다양한 점의 위치를 수로써 설명했습니다. 각 점의 위치에 대한 수학적 이름을 붙이는 방법을 생각해 봅니다. 이를 위해 괄호를 사용합니다. 3이라는 수를 괄호로 감싸면 (3)이 됩니다. (3)을 x=3이라는 점의 이름이라고 하고 좌표라 합니다. 하나의 수일 경우에는 단순하게 느껴지겠지만 수직선의 결합에서 나타나는 좌표는 매우 중요한 의미를 갖습니다.
한 가지만 더 설명하고 싶습니다. 예를 들어 좌표 (3)인 경우 (0)에서 (3)까지의 화살표로 좌표 (3)을 나타내는 것입니다. 이것을 벡터라고 합니다. (3)을 벡터로 표현한 것이 다음 그림입니다.
벡터는 크기와 방향을 갖습니다. 이 화살표, 즉 이 벡터를 ax 라고 표현합시다. 벡터의 크기는 화살표의 길이인 3을 의미하고 방향은 오른쪽 방향입니다.
좌표 (-3)에 대한 벡터는 다음과 같습니다.
이 화살표는 ax와 길이는 같고 방향은 정반대인 왼쪽입니다. 그래서 이 벡터는 -ax라 합니다.
좌표 (2)에 대한 벡터는 다음과 같습니다. 그리고 이 벡터를 bx라 합시다.
좌표 (-2)에 대한 벡터는 다음과 같습니다.
번거로운가요? 그리 어렵진 않죠? 좀 복잡한 문제를 다루기 위한 도구를 익힌다고 생각하고 편하게 생각하세요.
이 벡터들의 덧셈과 뺄셈을 생각합니다. 무척 당연하고 쉬운 것이니 편안하게 받아들이세요.
여기서 bx와 b’x는 같은 벡터입니다. 크기와 방향이 같기 때문입니다. ax와 b’x는 방향이 같아 두 벡터를 더하면 같은 방향에 크기는 더해집니다. 따라서 같은 방향의 크기가 5인 벡터 cx가 됩니다.
두 벡터의 빼기를 생각합니다. ax에서 bx를 빼는 것은 ax에 -bx를 더하는 것과 같습니다.