어른들이 저학년 아이에게 연산을 가르치는 데 어려움을 겪는 이유가 여기에 있어요. 연산이 당연하지 않다는 걸 모르거든요. 수학을 다룰 때 필요한 추상적 사고 능력은 초등학교 3~4학년 무렵에 본격적으로 발달하기 시작합니다. 그런데 많은 부모들이 초등 저학년 아이들을 가르칠 때 자꾸 추상적 사고가 가능하다는 전제를 하고 가르치는 오류를 범하곤 합니다. 아이의 인지발달을 고려하지 않고 아이를 어른처럼 대한다는 뜻입니다. 개념은 어른에게 말하듯이 가르치고, 문제집을 들이밀고, 뜻도 모르고 풀게 하고, 문제를 풀어내면 아이가 정말 이 개념을 이해했다고 착각합니다. 그렇게 수학 첫 단추를 잘못 끼운 아이가 수학을 잘하거나 좋아할 수 있을까요?
---p.7 수학적 사고력의 토대, 제대로 다져 주세요」 중에서

독일 교과서식으로 연산을 공부한 아이들은 빠르고 정확하게 계산함으로써 문제를 한 번 더 훑어볼 수 있는 시간을 확보합니다. 남들보다 문제를 생각할 시간이 많으니, 당연히 실수도 적어지고 성적도 잘 나오는 거예요.
---pp.18~19 「우리는 지금 연산을 놓치고 있다」 중에서

어렵지 않게, 힘들지 않게, 아이와 씨름하지 않고도 아이와 연산을 할 수 있다는 깨달음. 복잡한 개념 설명이나 어려운 문제를 풀지 않고, 체계적으로 구성된 문제를 풀어가며 수와 연산의 개념에 대해 깊고 넓게 생각할 수 있다는 통찰. 큰아이와 함께 독일 교과서로 공부하며 얻은 수확입니다.
---p.29 「연산 최하위 우리 아이, 독일에서 연산에 눈뜨다」 중에서

독일 수학 교과서를 보면 새로운 것을 가르칠 때 매우 조심스럽게 접근한다는 느낌을 받았습니다. 새로운 개념에 대한 첫인상이 ‘싫은 것’이 되지 않도록, 최소한 ‘할 만한 것’으로 인지될 수 있도록 애쓴 흔적들이 가득합니다. 마치 이유식을 처음 먹일 때 혹여나 아이가 싫어하게 될까 봐 이런저런 고민을 해서 만드는 것처럼, 독일에서는 수학에서 처음 새로운 개념을 제시할 때도 그렇게 합니다. 예전에 배웠던 익숙한 개념을 제시하고 그와 연계해 새로운 개념을 제시하죠. 마치 이렇게 말하는 것 같아요. “이건 네가 예전에 이해했던 거야. 이번에 배울 개념도 이거랑 비슷해. 어때, 해 볼 만하지?”
---pp.35~36 「수학 강국 독일, 연산을 이렇게 가르친다」 중에서

엄마표 수학에서는 흔히들 ‘수양일치’라고 부르는데, ‘합리적 수 세기’라는 용어로도 쓰여요. 중요한 이유는 어렵기 때문이에요. 사과 다섯 개와 돌멩이 다섯 개에서 5라는 추상적인 개념을 뽑아 ‘수가 같다’라고 인식한 것은 고작 수천 년 전의 일이에요. 수를 다루는 일은 생각보다 머리를 많이 써야 하는 어려운 작업이라는 뜻이죠.
수학은 추상적 세계를 다루는 학문이에요. 인간은 추상적 세계를 이해하기 어려워하고요. 독일의 교실에서는 구체적인 세계에서 출발해 추상적인 세계에 도달하는 프로세스를 제대로 경험하도록 이끌어요. 그 첫 단추가 0부터 10까지의 수를 이해하는 지금의 공부입니다.
---p.54 「0부터 10까지의 수를 알아보자」 중에서

등호는 등호를 기준으로 좌와 우가 같다는 뜻입니다. 그런데 잘못된 연산 학습으로 인해 등호를 어떤 문제에 대한 답을 요구하는 ‘물음표’와 같은 역할로 배우면 어떻게 될까요? 문장제 문제를 읽고 식을 세우는 것도 힘들어하고, 나아가 중학교에 진학해 방정식을 배울 때도 힘들어집니다. 그래서 독일에서는 등호와 더하기를 뭉뚱그려 가르치지 않고 시간차를 두고 가르칩니다. 각각의 의미를 확실히 익히도록 하기 위해서죠.
---p.101 「등호의 뜻과 쓰임을 배워 보자」 중에서

우리나라에서는 10의 배수 단위로 수를 배우고, 그 다음 21, 22… 50까지의 수 세기와 비교를 배웁니다. 그러고 나서 다시 100까지 배우고 두 자리 수 덧셈과 뺄셈을 배우죠. 하지만 독일에서는 우선 10의 배수 단위로 수를 100까지 가르친 다음, 10의 배수 단위로 덧셈 뺄셈부터 시킵니다. 왜일까요? 이유는 간단합니다. 10 단위로 자르면 일의 자리와 모양이 비슷하기에 비교하며 계산할 수 있습니다. 아이들 입장에서 더 이해하기 쉬워요. 앞서 배운 쉬운 개념을 적극적으로 활용하는 독일 교과서식 사칙연산의 특징입니다.
---pp.162~163 「100까지 더하고 빼 보자, 10 단위로 끊어서」 중에서

곱셈구구의 기본값이란 각 단에서 1, 2, 5, 10을 곱한 값을 말해요. 이 수들은 10의 약수입니다.
이 단계에서 배우는 곱셈구구 기본값은 곱셈과 나눗셈 계산에 있어 핵심적인 역할을 합니다. 곱셈의 기본 개념을 다지게 돕고, 각 단 사이의 관계를 이어 줍니다. 또 곱셈구구를 만만하게 만듭니다. 처음부터 2단 전체를 접하면, 아이들은 ‘아 어렵다. 너무 많다!’라고 느끼기 쉬워요. 반면 각 단에서 1, 2, 5, 10을 곱한 값을 먼저 익히면‘생각보다 할 만한데? 어렵지 않은데?’ 하고 받아들이죠.

마지막으로 곱셈구구 기본값은 시험에서 곱셈구구가 생각나지 않을 때, 1 곱한 값부터 외워서 찾지 않아도 그 값을 찾아갈 수 있게 돕는 길잡이 역할을 합니다.
---p.215 「곱셈구구 기본값 익히기」 중에서

나눗셈을 배운 아이에게 다음 질문을 한번 던져 보세요.
“1을 4로 나누면 몫은 어떻게 될까?”
이 질문을 이해하기 어려워한다면 질문을 바꿔서 해 보세요. 같은 의미의 질문이지만, 머릿속으로 상상할 수 있게 도와주는 것만으로도 아이는 훨씬 쉽게 답을 생각해 낼 수 있으니까요.
“초코파이 1개를 4명이 똑같이 나누려면 어떻게 해야 할까?“
그런데 만약 나눗셈의 개념이 잘 정리되어 있지 않다면, 이렇게 쉽게 바꾼 질문에도 당황스러운 감정부터 들 거예요.
반면 나눗셈의 개념이 머릿속에서 이미지로 잘 박혀 있다면, 아이는 이 질문을 듣고 초코파이를 ‘똑같이’ 나누기 위해 초코파이를 자르려고 들 거예요. 그게 바로 아이가 처음 접하는 분수의 개념이죠.
---pp.263~264 「곱셈구구 기본값을 바탕으로 나눗셈 이해하기」 중에서

아이가 문제를 풀 때 중요한 건 답을 내는 것이 아니라 문제를 풀 때 개념을 정확히 썼는지입니다. 아이에게 이 문제를 어떻게 풀었는지 물어보고, 개념을 정확히 알고 풀었는지 체크하세요. (참고로 독일 초등학교에는 발표 및 토론 시간이 있어 이 과정이 자연스럽게 이루어집니다.)
분수나 소수 같은 연산뿐 아니라 도형이나 측정같이 아이들이 어려워하는 영역을 공부할 때도 마찬가지입니다. 부모에게 개념을 설명할 수 있을 정도로 확실하게 이해하도록 도우세요. 그게 빠른 선행이나 많은 문제 풀이보다 훨씬 중요해요.
---pp.287~288 「정확히 알면 ‘통한다」 중에서

뇌과학자로서 또 아빠로서 독일 교과서를 공부하고 검토하며, 독일 교과서로 배운 아이들의 뇌 역시 많이 다를 것이란 생각이 들었습니다. 단편적으로 암기하고 계산하는 데 익숙한 아이들은 해당 기능에 필요한 뇌의 작은 부분만 사용합니다. 반면 전체에 대한 이해를 강조하는 독일 교과서는 뇌 전체를 사용하도록 유도하기에, 이렇게 공부한 아이들은 뇌 전체를 사용하는 종합적인 사고를 하는 데 익숙해집니다. 그토록 강조하는 ‘종합적 사고력’을 교과서를 통해 기를 수 있습니다.

<b>수학 강국 독일의 연산 교육은 다르다!<br/>일상생활과 연계한 쉬운 설명으로 연산에 재미를 더하다<br/></b><br/>독일은 근대에서 현대에 이르기까지 오일러, 가우스, 힐베르트, 쿠란트 등 수학과 수학교육 분야에서 많은 인재를 배출한 나라입니다. 독일 학생들은 기본적으로 수학에 거부감이 없고 자신이 있으며, 대학 및 기업에서 훌륭한 수학적 성과를 냅니다. 반면 우리나라 학생들은 높은 수학 성적에도 불구하고 자신의 수학적 능력에 대한 신뢰감이 낮으며 흥미도 떨어지는 것으로 나타났습니다. 초등 때는 성적이 잘 나오다가 어느 순간 수포자의 길로 들어서 버리곤 하는 수많은 학생들이 이 조사 결과를 뒷받침합니다. 독일식 교육은 이해의 과정이 동반되지 않은 반복적 문제풀이로 대표되는 ‘수포자 양산형’ 한국식 교육과 본질적 차이가 있습니다.<br/><br/>이 책은 독일 교과서식 사칙연산 학습법을 자세히 소개하고, 독일 교과서식으로 아이에게 연산을 가르치는 방법을 친절하게 알려 주는 안내서입니다. 우리나라의 수포자 양산형 연산 교육의 대안을 찾고 있는 부모라면 반드시 주목해야 할 책! 독일 교과서식으로 배우면 요령이 아닌 개념부터 정확히 배우니 제대로 된 수학 실력이 쌓이고, 쉽고 재미있게 배우니 수학에 관한 공부 정서가 좋아질 수밖에 없습니다. 알아가는 재미, 문제를 푸는 희열, 수학 자체에 대한 성취감이 쌓이는 경험을 연산 때부터 한 아이들은 수학이 쉽고 재미있고 할 만한 것으로 인식합니다. 더불어 이 책으로 아이를 가르치는 엄마도 그전에는 알지 못했던 연산의 진짜 개념과 원리를 배움으로써 앎 자체에 대한 재미와 기쁨을 한껏 누릴 수 있습니다.<br/><br/><b>설명과 계산이 아닌 개념 이해와 문제 해결<br/></b><br/>하루에 문제집 두 장씩 풀며 반복적으로 계산만 한 아이는 그냥 시키는 대로 할 뿐입니다. 이 문제를 왜 푸는지, 이 문제에 숨은 원리가 무엇인지, 이 문제를 풀어냄으로써 할 수 있는 것들이 무엇인지 모릅니다. 이런 전형적인 학습 방식이 아이를 수학 바보로 만들고 있습니다.<br/><br/>이 책은 뇌과학을 토대로 ‘수학적 사고력 향상’과 ‘수의 개념 형성’이라는 두 가지 목표를 엮어 하나의 프로세스로 만들었습니다. 덧셈부터 나눗셈까지 연산의 본질과 맞닿은 다양한 방식의 연산법과 그 원리를 아이에게 익히게 한 후, 한 문제를 다양한 방식에서 접근함으로써 주어진 문제를 해결하도록 유도합니다. 나아가 직접 문제를 만들고 실생활에 적용하며 수학을 ‘갖고 놀게 합니다. 그 과정에서 아이의 수학적 사고력은 깊고 넓어집니다.<br/><br/><b>원리는 철저하게, 교수법은 가볍게<br/></b><br/>이러한 독일식 연산 교육을 받은 저자들의 아이는 그 나이대 아이들이 성취해야 할 개념들을 익히는 것을 넘어 인수분해나 방정식 등 우리나라의 보통 초등학생은 엄두도 못 낼 개념까지 척척 이해할 수 있게 되었습니다. 그렇다고 이 책에서 가르쳐 주는 방법들이 ‘영재’나 소화할 수 있는 내용은 결코 아닙니다. 오히려 원리부터 알려주기 때문에 아이는 쉽게 익힐 수 있습니다. ‘완전학습’의 개념을 토대로 반드시 이전에 배운 개념을 바탕으로 새로운 개념을 알려주기 때문에 엄마 입장에서 설명도 쉽습니다. 여기에 다양한 실생활 비유, 손과 발로 익히는 재미난 연습문제 등이 아이와 엄마 마음속에 있는 수학에 대한 거부감을 씻어 주고 수학을 놀이처럼 즐기게 돕습니다.<br/><br/><b>그리하여, 엄마와 아이 모두 쉽고 재미있게!<br/></b><br/>이 책을 읽으면 다음과 같이 변합니다. 첫째, 아이와 엄마 모두에게 ‘연산? 쉽고 재미있고 할 만하지!’라는 인식이 생깁니다. 둘째, 아이의 수학적 사고력을 키우고, 이후 배우게 될 중고등 수학의 토대를 탄탄히 쌓을 수 있습니다. 셋째, 엄마는 연산을 배우는 아이의 머릿속을 뇌과학을 통해 이해할 수 있게 됩니다. 넷째, 나아가 엄마도 예전에 기계적으로 배웠던 연산을 색다른 방식으로 살펴보며 수학이 주는 재미와 기쁨을 함께 누리게 됩니다.