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미적분의 쓸모

: 미래를 예측하는 새로운 언어

[ 양장 ]
리뷰 총점9.6 리뷰 53건 | 판매지수 38,973
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자연과학 11위 | 자연과학 top20 19주
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[단독]『미적분의 쓸모』 블랙 머그 증정
9월 전사
예스24현대카드
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품목정보

품목정보
출간일 2021년 05월 18일
쪽수, 무게, 크기 204쪽 | 468g | 161*230*18mm
ISBN13 9791165215491
ISBN10 1165215497

카드 뉴스로 보는 책

책소개 책소개 보이기/감추기

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스페이스X, 주식, 기후변화, 의료진단, 인공지능까지
미적분은 어떻게 세상을 움직이고 있는가


미적분은 어렵다. 사실이다. 미적분을 현장에서 직접 활용하는 공학자들도 미적분을 수학에서 가장 어려운 분야로 꼽는다. 전문 분야에서 쓰이는 미적분은 실제로도 그 계산이 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없다. 하지만 사람들이 생각하는 것과 달리 미적분의 개념만큼은 보통 사람들도 충분히 이해할 수 있다. 미적분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분을 활용할 수 있다. 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것과 같은 이치다.

베스트셀러 『수학의 쓸모』 후속작 『미적분의 쓸모』는 로켓 발사, 차량 속도 측정, 딥러닝, 단층촬영 등 첨단 과학기술 분야를 비롯해 경제예측, 기상예보와 같이 앞으로 일어날 미래를 예측하는 데 미적분이 어떻게 활용되는지 우리에게 익숙한 사례를 통해 보여준다. 학창 시절 배운 미적분 공식이 기억나지 않는 사람도 다양한 그림자료를 이용한 설명을 보면 미적분을 다시 보게 될 것이다.


목차 목차 보이기/감추기

들어가며
세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005

I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011
세상에 움직이지 않는 것은 없다·015│세기의 발견과 가속도의 관계·017│물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020│뉴턴의 가속도법칙으로 떠나는 우주선·031│도로의 무법자를 잡는 미분·034│뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·038│통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·040
[미적분이 만든 미래] 새로운 우주탐사 시대, 회전 가속도를 측정하라·044

II. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화·053
현실적인 타협점을 구하라·056│최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·062│아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·065│현실을 반영한 모델, 인공신경망·069│인공지능을 학습시키는 최적의 방법, 경사하강법·074│학습, 과한 것은 부족한 것만 못하다·082
[미적분이 만든 미래] 인공지능이 발달할 수 있었던 또 다른 요인들·085

III. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다: 기하학·089
원의 면적을 구하는 고대 수학·092│특명, 코로나 확진자 발생률을 파악하라·098│적분을 활용한 오늘날의 측정 방법들·104│적분이 이끈 의학 발전, CT 촬영·110
[쓸모 있는 미적분 개념] 세상은 곡선이다! 세상을 설계하는 곡선 기하학·117

IV. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법: 나비에-스토크스 유동 방정식·127
자연현상을 설명하는 미분 방정식들·131│유체 변화를 가장 잘 표현한 방정식·137│해가 없는 방정식을 활용하라! 전산유체역학 ·141│유동 방정식을 활용한 수학자, 오스카상을 받다·144
[미적분이 만든 미래] 대용량 데이터 압축이 가능해진 비결, 푸리에 변환·149

V. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?: 미적분의 예측하는 힘·157
한계효용, 가장 만족스러운 결과가 나오는 순간·159│어디에 재난지원금을 지급해야 효용을 극대화할 수 있을까?· 161│미래는 어떻게 움직이는가·164│변화가 큰 삶 vs 안정적인 삶·169 │내 미래자산은 언제 두 배가 될까? 근사계산법·175│단타 vs 장투, 미적분이 알려주는 안전한 투자 전략·180
[쓸모 있는 미적분 개념] 미적분으로 이해하는 경제학·191

저자 소개 (1명)

책 속으로 책속으로 보이기/감추기

뉴턴의 꿈은 천체의 움직임, 즉 우주라는 공간상에서 시간에 따른 천체의 위치 변화로 만유인력을 이해하는 것이었다. 뉴턴에게 남은 숙제는 이 가속도를 이해하고 수학적으로 기술하는 것이었다. 그리고 이 가속도를 수학적으로 정확히 표현하기 위해서 만든 개념이 바로 미분이다. 미분은 근대에 탄생한 움직임에 관한 수학이다. (중략) 분명한 것은 뉴턴이 자신의 꿈을 이루기 위해 고안한 이 수학 개념이 과학혁명을 이루는 데 일조하고, 300년을 넘어 최첨단 기술을 만나 다양한 방면에 쓰이고 있다는 사실이다. 대표적인 예가 로켓 엔진과 그것을 장착한 우주선이다.
--- 「Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라」

어떤 선택이 최적의 선택인지 수학 공식을 이용해 알아내는 것을 최적화라고 한다. 주로 제조, 물류, 교통, 마케팅 등 수학적으로 표현이 가능하고 최적의 해결책이 필요한 분야에서 가장 적합한 타협점을 찾는 데 사용한다. 실제로 LG CNS는 이러한 최적화를 전문으로 컨설팅해주는 팀이 따로 있기도 하다. 그리고 최적화 문제는 결국 함수의 극댓값 또는 극솟값을 구하는 문제로 귀결된다.
--- 「Ⅱ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법」

오크통은 가운데가 불룩하여 포도주 양이 오크통의 깊이에 비례하지 않는다. 과거에는 포도주를 거래할 때 이러한 사실을 알고 있었다. 포도주 상인들은 꽉 차지 않은 오크통 안으로 긴 막대를 넣어 포도주가 묻어나는 높이를 측정해서 부피를 측정하곤 했다. 이때 부피를 재기 위해 매번 적분하는 수고를 하지 않으려면 막대자의 눈금을 미리 조절해놓아야 했다. 막대자가 위아래 끝 쪽보다 중간 부분의 눈금이 촘촘하게 매겨져 있게 한 것이다.
--- 「Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다」

직선과 달리 곡선은 부드럽다고 생각한다. 하지만 곡선이라 해서 모두 부드러운 것은 아니다. 연속적이면서 자연스럽게 휘어져야 부드럽다고 할 수 있다. 수학적으로 곡선이 완벽하게 부드럽기 위해서는 함수값이 연속이고 미분 가능한 해석함수여야 가능하다. 연결되는 지점에서 함수값과 기울기는 물론 고차도함수가 연속적이어야 한다는 뜻이다.
--- 「Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다」

픽사의 성공 비결에는 장편 애니메이션을 제작할 비용을 투자해준 디즈니도 있었지만 스티브 잡스가 채용한 수학자와 전산 과학자들의 공이 컸다. 〈토이 스토리〉는 100퍼센트 컴퓨터 그래픽으로 만든 세계 최초의 극장용 장편 애니메이션이다. 개봉 당시 사람들은 액션이나 인물에서 전혀 이질감을 주지 않는 이 새로운 영상에 열광했다. 모두 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 눈송이, 해일 같은 ‘움직이는’ 자연 현상을 자연스럽게 구현해내기 위해 고안한 3D 애니메이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이었다. 그리고 이 모든 제작 과정 뒤에는 하나의 미분 방정식이 있다.
--- 「Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법」

그렇다면 아직 이론 해조차 밝혀지지 않은 방정식은 어떻게 활용할 수 있을까? 바로 컴퓨터를 써서 방정식의 근사해를 구하면 된다. 컴퓨터가 발달하면서 더 이상 수학식에 의존하지 않고 수치를 써서 유체의 동적인 움직임을 해석하는 방법들이 개발되었다. 그중 N-S 방정식을 컴퓨터로 수치해석하는 것을 전산유체역학, CFD라 한다. CFD는 기상 예측이나 항공기 설계 등 다양한 실무 분야에서 널리 활용되고 있다.
--- 「Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법」

배가 고플 때 피자 한 조각을 먹으면 그렇게 맛있을 수가 없다. 이때 한계효용은 최고치가 된다. 그러나 피자를 한 조각씩 더 먹을 때마다 한계효용은 점점 떨어진다. 하지만 한계효용이 감소하더라도 총 효용은 계속 증가한다. 즉 총 효용은 한계효용을 적분한 것이고 총 효용을 미분한 것이 한계효용이다. 처음에는 총 효용이 급격히 증가하다가 한계효용이 감소하면서 총 효용의 증가율은 둔화된다.
--- 「Ⅴ. 우리는 어떤 미래를 향해 나아가고 있는가?」

공급의 탄력성을 활용하여 설명할 수 있는 것 중에 하나가 서울 아파트 가격의 상승이다. 서울 아파트에 대한 수요가 항상 존재할 뿐만 아니라 오히려 증가하는 상황에서 서울 아파트에 대한 공급은 비탄력적이므로 아파트 가격이 계속 상승하는 것이다. 즉 서울 아파트는 토지의 한계 등으로 공급의 가격탄력성이 매우 비탄력적이므로 가격이 아무리 상승해도 공급량이 크게 늘어날 수 없다. 그러므로 수요가 늘어나면 가격에 곧바로 영향을 받는다.
--- 「Ⅶ. 다음 혁신이 일어날 곳은?」

출판사 리뷰 출판사 리뷰 보이기/감추기

〈겨울왕국〉 〈라이온 킹〉의 전 세계 흥행 비결
뉴턴이 고안하고 과학혁명을 견인한 방정식
인공지능을 학습시키는 최적의 방법
재난지원금을 가장 효과적으로 배분하는 방법은?
단타 vs 장투, 미적분이 권하는 안전한 투자 전략

베스트셀러 《수학의 쓸모》 후속작

“미적분의 본질을 꿰뚫는 책”

_최영기, 서울대학교 수학교육과 교수, 《이런 수학은 처음이야》 저자

미적분까지 알아야 할 필요가 있냐고 묻는 당신에게
과거를 적분하면 현재가 보이고
현재를 미분하면 미래가 보인다


세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다. 미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회 변화까지 선명하게 드러난다. 미분으로 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다.
예컨대 코로나 19 확진자 발생률을 미적분으로 파악할 수 있다.

일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 한국에서는 코로나19 일일 확진자 수가 갑자기 증가해 최댓값을 보이다가 2021년 3월 말에 들어서면 일일 확진자 수는 여전히 높은 편이지만 변화 기울기는 완만해진다. 물론 누적 확진자 수가 꾸준히 증가하는 것은 변함이 없다. _Ⅲ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다

적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량(기울기)를 통해 내일의 확진자 발생률을 예측할 수 있다. 새로운 변수가 등장하지 않는 한, 한 달 후의 확진자 발생률까지 예측할 수 있다. 기후 변화, 주식 시장, 아파트 가격의 추세도 마찬가지다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 미적분을 이해한다는 것은 변화를 읽는 일이다.

미적분으로 열린 새로운 시대, 미적분으로 예측하는 미래
변화를 읽는 힘을 길러주는 수학 교양서

인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 시대는 상상하기 어려웠을 것이다. 이 책은 그러한 미적분을 이용해 미래를 읽고 움직인 사람들의 이야기를 담았다.

스페이스X의 로켓 추진체 재활용 사업은 그동안 많은 실패를 겪고 드디어 성공을 거두기 시작했다. (중략) 무엇보다도 마지막 순간에 로켓 추진체를 안전하게 착륙시키는 기술이 중요한데, 바로 하강속도 제어와 자세 제어 기술이다. 질소 분사 장치가 소량의 질소를 수평으로 분사하여 미세한 회전력을 만들어내면, 일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조절한다. 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라

인공신경망 모델은 기존의 미분방정식 모델과 달리 과학법칙이나 규칙이 아니라 현실 데이터에 기반한 모델이다. 하지만 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 앞서 이야기한 뉴턴의 법칙 또는 질량보존의 법칙 등 물리법칙에 기반하여 수식화된 미분방정식을 이용하지만 않을 뿐, 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. _Ⅱ. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법

해일이 치는 장면이나 물이 튀어오르는 유동과 같이 서로 충돌하거나 물체 표면과 상호작용하는 불규칙한 운동을 정확하게 모사하기 위해서는 오일러 방법보다 흩어지는 입자들을 따라가면서 모사하는 라그랑주 방법이 더 적합하다. 디즈니 영화 〈겨울왕국〉에서는 이와 관련된 수학 모델을 이용해 생동감 있는 눈의 움직임을 표현했다. 주요하게 사용된 MPM 알고리즘은 입자를 개별적으로 보지 않고 연속체로 해석하는데, 눈이 녹은 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려하기에 최적의 모델이다. _Ⅳ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법

또한 적분의 원리를 통해 인체에 칼을 대지 않고도 염증 및 암의 위치를 알 수 있게 되었고, 한 줄의 미분방정식을 통해 애니메이션 제작사 픽사는 전 세계를 사로잡았다. 이 밖에도 도로 설계, 데이터 압축 등을 통해 엿본 미적분의 쓸모는 무궁무진하다. 변화의 최전선에는 수학의 꽃 미적분이 있다.
오늘날 미적분의 쓸모는 고속연산이 가능한 컴퓨터를 만나 더욱 확장되고 있다. 훨씬 똑똑해질 인공지능부터 무인자동차, 게임, AI펀드 등 미적분이 우리에게 선사할 미래는 예측 불가능하다. 이렇게 급변하는 사회에서 미적분을 이해하는 것이야말로 새로운 교양이 아닐까.

이제는 미적분 수식을 풀 필요가 없다
미적분으로 사고하는 것이 중요하다

그동안의 미적분 교양서는 ‘미적분을 얼마나 쉽게 이해하고 풀 수 있는가’에 초점이 맞춰져 있었다. 《미적분의 쓸모》는 다르다. 이 책은 수학의 쓸모에 눈 뜬 사람들 그리고 여전히 ‘계산’이라는 말만 들어도 머리가 지끈지끈한 사람들도 쉽게 읽고 이해할 수 있는 미적분 활용법을 담았다. 무엇보다 도통 읽기조차 어려운 수식이 보이더라도 직접 풀 일이 없도록 했다. 반갑게 들릴지는 모르겠지만, 미적분 계산은 너무 복잡해서 컴퓨터에 맡길 수밖에 없는 것이 현실이다.

CT의 적분 원리를 알아보기 위해서 단순화된 신체 단면을 생각해보자. 신체를 4X4의 격자로 나누었을 때 뼈(2)와 장기(1)가 (그림과 같이) 분포되어 있다고 가정하고 광선을 신체의 네 방향으로 투과하면 네 장의 필름을 얻을 수 있다. 필름상에 나타난 영상을 사이노그램이라 한다. 사이노그램은 광선 방향으로 합산된 광량의 적분 결과를 보여준다. 여기서 네 장의 사이노그램에 나타난 적분 결과를 수학적으로 계산해서 신체 내부의 16개 격자값 f(x,y)를 알아낼 수 있다. 쉽게 얘기해서 16개의 방정식을 풀어 16개의 미지수를 계산하는 과정이라 생각하면 된다. _Ⅲ. 데이터의 홍수에서 살아남기

이외에도 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법인 경사하강법을 설명할 때는 산에서 내려오는 일에 빗댄다거나 미분의 기초 개념을 설명할 때는 과속방지카메라를 이용하는 등 일상 속 사례를 끌어와 최대한 이해하기 쉽게 설명한다. 또한 알아야 할 수식이 있다면 최대한 그래프와 다양한 그림자료를 통해 직관적으로 이해할 수 있도록 해놓았다.
이 책은 평생 미적분을 다뤄온 공학자가 썼다. 미적분 활용의 최전선에 있는 저자가 금융공학, 의료공학, 항공우주공학, 천체물리학 등의 최신 경향들과 함께 일상 속에서 보통 사람들도 미적분을 어떻게 활용할 수 있는지 보여준다. 전작 《수학의 쓸모》와 마찬가지로 수학적 사고가 얼마나 쓸모 있는지 보여주는 책이다. 그동안 쓸모는 알고 있었지만 제대로 미적분을, 나아가 수학을 사용해보고 싶은 사람에게 이 책을 추천한다. 세상의 변화를 읽는 눈을 가지게 될 것이다.

추천평 추천평 보이기/감추기

한화택 교수는 천재적이다. 본인의 전문 분야에서 뛰어난 업적을 보였을 뿐만 아니라 어려운 전공 지식도 기발할 정도로 재미있게 설명한다는 점에서 인기가 많다. 그런 저자가 풀어낸 미적분 책이라면 공학도뿐만 아니라 일반인도 유익할뿐더러 재미있게 읽을 수 있을 것이다.
- 임홍재 (국민대학교 총장, 자동차공학과 교수)

이 책은 미적분의 본질적인 개념을 꿰뚫어보는 저자의 안목을 기반으로 쓰였다. 미적분은 자연현상 및 사회 변화를 이해하고 분석하는 데 중요한 개념으로 풍부하게 응용되고 있지만, 그 개념을 제대로 이해하기는 쉽지 않다. 이 책에 실린 흥미롭고 창의적인 예를 통한다면 미적분의 핵심 원리들을 깊게 체험할 수 있을 것이다.
- 최영기 (서울대학교 수학교육과 교수)

학생들을 지도하면서 가장 많이 듣는 질문은 “이렇게 배운 수학은 어디에 사용할 수 있나요?”다. 이에 대한 대답은 참 쉽지 않은데, 특히 나조차도 어려워하는 미적분을 가르칠 때 이런 질문을 들으면 곤혹스럽다. 그런데 바로 그러한 질문에 훌륭한 대답이 될 수 있는 책이 나왔다.《미적분의 쓸모》는 수학 공부가 어렵더라도 도전할 동기를 불러일으키리라 확신한다. 수학의 쓸모는 알수록 보인다.
- 고대원 (『대치동 수학 공부의 비밀』 저자)

회원리뷰 (53건) 리뷰 총점9.6

혜택 및 유의사항?
주간우수작 일상 속 활용 사례로 미적분과 친해지기 내용 평점5점   편집/디자인 평점5점 스타블로거 : 골드스타 토* | 2021.05.26 | 추천31 | 댓글48 리뷰제목
이 책은 2020년 수학 열풍 한 가운데 있었던 '수학의 쓸모'의 시리즈 겪인 책으로 '미적분'에 집중하고 있는 책이다. 수학의 쓸모가 한창 열풍일 때 관심은 많으면서도 소화할 자신이 없어 망설이다. 연말에 결국 읽기는 했지만, 읽는 동안 여전히 어렵다는 생각을 떨칠 수 없었다. 데이터 분석과 통계 관련 다양한 책들을 읽으며 반복해서 등장하는 '수학'이야기를 접하다 보니 알;
리뷰제목

이 책은 2020년 수학 열풍 한 가운데 있었던 '수학의 쓸모'의 시리즈 겪인 책으로 '미적분'에 집중하고 있는 책이다. 수학의 쓸모가 한창 열풍일 때 관심은 많으면서도 소화할 자신이 없어 망설이다. 연말에 결국 읽기는 했지만, 읽는 동안 여전히 어렵다는 생각을 떨칠 수 없었다. 데이터 분석과 통계 관련 다양한 책들을 읽으며 반복해서 등장하는 '수학'이야기를 접하다 보니 알긴 알아야 겠는데.. 하면서도 '수학과 어떻게 친해지고 그것에 익숙할 수 있을까?' 보다는 '내가 이걸 배워서 어떻게 활용하겠다는 거지? 라고 순서가 뒤바뀐 고민을 하고 있었다. 수학의 쓸모에서는 수학의 주요 7공식을 주로 데이터 분석과 통계 부분에 중점을 두고 그 공식들이 우리의 일상속에서 혹은 각 기업의 주요 서비스에서 어떻게 활용되고 있는지 설명하고 있었다. 그럼에도 내겐 쉽지 않았다. 그런 내가 그 책 속의 공식들보다 더 어려운 '미적분'을 주제로 한 책을 보겠다고 집어 들었다.

 

작년 여름에 'DX코드(디지털 트랜스포메이션)란 책을 읽었었다. 그 책은 DX로 사업 영역을 변환하며 경쟁하는 미국 주요 기업들(넷플릭스, 아마존, 디즈니 등)의 이야기를 다룬 책으로 그 중심엔 그들이 고객을 잡기위해 데이터 분석을 어떻게 활용하는지에 대해 꽤 구체적으로 다루고 있었다. '수학의 쓸모'에서도 이 책에서 다룬 내용과 유사한 내용들이 반복해서 등장을 해서 어려운 와중에도 견디며 읽을 수 있었는데, '미적분'을 다룬 이 책을 읽으려고 했을때 아마도 흥미 진진한 이 책의 책소개 속에서 앞서 본 두 권의 책을 떠올리며 그와 유사한 내용일 거라고 생각했었던 것 같다. 그런데, 이 책은 그 책들과는 좀 달랐다. '디즈니'의 사례가 그 한 예이다. 앞선 두 권의 책이 데이터 분석을 통해 디즈니가 고객을 확보하는 부분에 중점을 두 었다면 이 책에서는 '디즈니 컨텐츠 자체가 미적분을 활용해 어떻게 만들어 지는지를 그 사례로 들고 있다. 예를 들면 '겨울 왕국', '토이 스토리' 등의 애니메이션에서 컨텐츠 속 모든 움직임들을 자연스럽게 구현하기 위해 미분 방정식들이 활용되는 부분들을 설명하는 식이었다.

 

 

우리 주위에서 찾을 수 있는 미적분 사례

 



 

뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분 - 과속방지 카메라 (p.38~41)

 

도로 위에서 과속을 단속하기 위해 만들어진 '과속방지 카메라'는 3가지 종류가 있다고 한다. 고정식 단속카메라는 미분의 원리를 이용해 순간 속도(순간변화율)를 측정하고, 구간 단속카메라는 평균 속도(평균변화율)를 측정한다. 이동식 단속카메라는 주파수 변이에 따른 도플로효과를 이용해 과속하는 자동차를 단속한다고 한다.

 

이 3종류 중 '이동식 단속카메라' 첫 등장 당시 어설픈 수학 상식으로 단속을 피하려 했던 한 운전자의 에피소드가 등장한다. 이동식 단속카메라는 다가오는 차량을 향해 레이저나 초음파를 발사한 후, 반사되어 돌아오는 주파수의 변화를 측정하는데, 이 원리는 야구장에서 투수가 던진 공의 속도를 측정하는 스피드건의 원리와 같다고 한다. 소리나 빛과 같은 파동의 발생원과 관찰자의 상대 속도에 따라서 주파수나 파장이 바뀌는 현상을 '도플러효과'라고 하는데, 구급차나 소방차의 사이렌 소리가 다가올 때는 실제보다 더 크게(고주파수) 들리고 멀어질 때는 작게(저주파수)로 들리는 것이 한 예이다. 이 에피소드에서 운전자는 출발시각과 도착시각이 찍히기 때문에 평균 속도가 규정 속도를 초과한 건 인정했지만, 자신은 운전 중 한 번도 규정 속도 위반을 하지 않았다고 우긴다. (책에는 '구간 단속카메라' 첫 등장 당시의 어설픈 수학 상식으로 단속을 피하려 했던 사례와 풀이도 있다.)

 

운전자 : 경찰관님! 도플러효과를 아시는지 모르겠지만, 저는 분명히 녹색 신호에 교차로를 통과했습니다. 그런데 아마 도플러효과 때문에 신호등에 다가가면 실제색(적색)보다 파장이 짧은 녹색으로 보인 것 같습니다. 그러니까 신호 위반이라 할 수 없습니다.

경찰관 : 아! 그렇군요. 저도 학교 다닐 때 물리 시간에 배워서 도플러효과를 잘 알고 있습니다. (잠시후) 신호위반 대신 과속 딱지 받아가세요. 빛의 속도는 초속 3X10^8미터니까 적색으로 보이기 위해서는 5.5X10^7 헤르츠(Hz)의 속도로 운전했다는 말이네요. 이 속도는 이 도로의 규정 속도인 시속 80킬로미터를 훨씬 초과하거든요.

 


 

자연 현상을 설명하는 미분 방정식 - 디즈니 애니메이션, 삼성역 파도 스크린 (p.131~)

 

[영상] 삼성역 K-POP 광장 파도 스크린

[출처] https://www.youtube.com/watch?v=ZzxuftgFuoE, 유튜브 업로더 : d'strict

(책 p.145에 위 스크린의 흑백사진이 있었으나, 좀 더 생생하게 보기위해 유튜브에서 영상을 가져와봤습니다. 만약 영상 게시가 저작권에 문제 될 경우 알려주시면 바로 삭제하겠습니다.)

 

2020년 5월 서울 삼성역 K-POP 광장에 설치된 스크린이 전세계적으로 주목 받았다. 코로나 상황으로 외부 활동이 제약된 상황이라 여름이 다가오는데도 해수욕장들이 개장할지 여부는 불투명한 상황이었다. 그런 상황에서 도심 한 복판에서 만날 수 있는 저 생생한 파도는 사람들의 시선을 끌기에 충분했다. 이 생생한 파도 속에도 '라그랑주 승수법'으로 알고 있는 '라그랑주 미적분' 공식이 활용되었다고 한다. 이  중 SPH 기법은 각 입자별 질량 분포를 정의하고 자유로이 움직이는 입자의 상호작용을 통해 속도를 계산한다고 한다. 오일러 방식에 비해 계산 속도도 빠르고 움직임도 훨씬 자연스럽다고 한다. 이 공식에 대해 더 찾아 보니 '라그랑주 미적분'은 어떠한 문제의 최적점을 찾는 것이 아니라, 최적점이 되기 위한 '최적해의 필요 조건'을 찾는 방법이라고 한다.

 

뿐만 아니라 디즈니 애니메이션 '겨울왕국'에서 눈의 움직임을 표현할 때도 활용되었다고 한다. 이 컨텐츠에서는  MPM 알고리즘을 활용했다고 하는데, 눈의 입자를 개별이 아닌 연속체로 해석하여 녹는 정도에 따라 눈이 가지는 물성의 변화를 고려해서 충돌시 튕겨나가거나 눌려지는 압축성 등을 생생하게 표현할 수 있었다고 한다.

 

이제는 이러한 도전들이 모두 딥러닝으로 옮겨가는 상황이라 특수 분야 아니면 미적분의 활용성이 점점 줄어들고 있다고 하나, 분명한 것은 인공지능이나 딥러닝 역시 그 시작에는 미적분이 있었다는 점이다.

 



 

 

tvN 드라마 응답하라 1988에서 주인공 덕선이의 수학 정석 책을 보면 맨 앞부분 방정식 근처만 책이 쌔까맣게 되었었다. 나 역시 그랬었던 경험이 있어 어찌나 찔리던지 그러면서도 한참을 웃었다. 내 수학 실력도 그정도로 엉망이었다. 그런 내가 이제 겨우 수학의 중요성을 인지하고 그 장벽을 깨보겠다고 발버둥 치고 있다. 요즘 말로 이제 막 '수린이'가 되어가는 중이다. 나는 수학에 관심만 우주만큼인 수포자였다.(간절히 과거형이길 바라며..) 그런 나도 이 책을 끝까지 읽었다. 결론은 수학의 꽃으로 불리지만, 어쩌면 가장 어려운 '미적분을 다룬 이 책이 개인적으로는 '수학의 쓸모'보다 읽기 수월했다. 이해하기 쉽게 비유하자면 그 동안 관련  다른 책들을 볼 때 내용 자체를 이해하지 못했다면, 이 책은 그래도 읽는 동안 내용은 이해가 됐지만, 덮는 순간 휘발되어 사라져 버리는.. 으로 조금은 수학에 더 다가가게 만들어 준 책이다.

 

이 책을 읽는 독자의 수학 지식 수준에 따라 달라지겠지만, 흥미로운 내용이 가득 담겨있다. 과속방지 카메라에 미적분이 활용되고, 과속 단속에 걸린 운전자가 경찰관 앞에서 어설픈 수학 지식으로 변명하다 망신 당했던 사례, 디즈니의 애니메이션 속 생생한 움직임들이 미적분 활용 덕분이라는 사실, 코로나로 외부 활동이 (지금보다 훨씬 더) 어려웠던 작년 이맘즈음 코엑스 광장에 설치되었던 파도 스크린 역시 미적분이 활용 되었고, 주식 예측에도 미적분이 활용되는 등 다양한 생활 속 미적분 활용사례를 만날 수 있다. 이런 사례들은 미적분에 대한 두려움을 떨치는 데 많은 도움이 되었다.

 

과거를 적분하면 현재가 보이고, 현재를 미분하면 미래가 보인다.

 

그럼에도 불구하고 '미적분이 생활 속에서 유용하게 쓰이는 건 알겠는데.., 그래도 관련자 아니면 쓸일이 있을까?'라는 의문을 여전히 갖고 있는 사람이 있을 것이란 생각이 들기도 한다. 기술 발달로 그것을 개발하는 과정은 점점 더 힘들어 지겠지만, 그렇게 만들어진 결과물들의 사용법은 점점 더 간편하고 쉬워질 테니까 말이다. 그렇게 손쉬운 사용법에 익숙해진 소비자들이(우리들이) 기본 원리를 생각하게 될까? 미래 예측의 강력한 도구 중 하나로 대두된 '인공지능' 역시 미적분 방정식을 토대로 탄생되었지만, 그러한 인공지능이 오히려 미적분을 사라지게 만들고 있다고 우려를 표하며 책을 마무리 하는 저자의 글을 보니 '미적분' 뿐만 아니라 수학의 중요성을 인지하면서도 어렵다는 핑계로 쉽게 다가가지 못하거나 미리 포기해 버리는 사람들이 왜 그 장벽을 넘지 못하는지 생각해 보게 된다. 나 역시 그 중 한 명일지도 모르겠다.

 

책을 읽는 동안 등장했던 다양한 미적분 공식들은 페이지를 넘길수록 그 길이가 계속해서 늘어났다. 글자로 서술된 어려운 풀이는 우려와 달리 이해했지만, 그 공식을 보면 무슨일 있었냐는 듯 이해했던 내용들이 휘발되어 버렸다. 그렇지만, 이 책을 읽으면서 아주 간단해도 좋으니 그 공식을 스스로 풀어보고 싶은 욕구가 생겼다. 다시 수학의 정석을 잡는 일이 생길 것 같지는 않지만, 또 다른 미적분 관련 책을 만나 공식을 만나면(물론 기초적이어야 겠지만..) 그 때는 꼭 공식을 풀어보고 싶다. 만약에 그 일이 성공한다면, 미적분에 흥미를 갖게 해준 이 책 덕분일 것이다.

 

 

** 본 게시글은 YES24 리뷰어클럽 서평단 자격으로 작성한 리뷰입니다. **

 

 

댓글 48 31명이 이 리뷰를 추천합니다. 공감 31
구매 미적분의 쓸모 내용 평점4점   편집/디자인 평점4점 j*****7 | 2021.09.08 | 추천0 | 댓글0 리뷰제목
수학의 쓸모라는 책을 너무 흥미롭게 읽어서수학의 쓸모라는 연장선에 있는 이책을 구매 했다미적분학은 누구나 접하고 배우게 되는 수학 분야이지만참 어지간히 공부 하기 싫은 분야였던것으로 거억된다하지만 이 책을 접하면서 학창시절 생가지도 못했던 이해력과 깨달음이 오는것을 몸소 체함하고 있는중이다미래를 예측하는 새로운 언어 라는 말이 전혀 거부감이 없게 느껴지는것은;
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수학의 쓸모라는 책을 너무 흥미롭게 읽어서
수학의 쓸모라는 연장선에 있는 이책을 구매 했다
미적분학은 누구나 접하고 배우게 되는 수학 분야이지만
참 어지간히 공부 하기 싫은 분야였던것으로 거억된다
하지만 이 책을 접하면서 학창시절 생가지도 못했던 이해력과 깨달음이 오는것을 몸소 체함하고 있는중이다
미래를 예측하는 새로운 언어 라는 말이 전혀 거부감이 없게 느껴지는것은 나만의 생각은 아닐거라고 확신한다
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구매 미적분의 쓸모 내용 평점4점   편집/디자인 평점4점 t***i | 2021.09.05 | 추천0 | 댓글0 리뷰제목
"세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분"  미적분은 변화를 예측하기 위해 만들어진 수학이다. 고대 이집트에서 땅의 면적을 정확하게 계산하기 위해 만들어진 적분 덕분에 나일강 범람으로 땅의 형태가 바뀌여도 자신의 몫을 주장할 수 있었고, 아이작 뉴턴은 날아가는 포탄의 착탄 위치를 정확하게 알기 위해 미분을 발명했다. 이처럼 변화하는 것에 대응할 수 있;
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"세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분" 

미적분은 변화를 예측하기 위해 만들어진 수학이다. 고대 이집트에서 땅의 면적을 정확하게 계산하기 위해 만들어진 적분 덕분에 나일강 범람으로 땅의 형태가 바뀌여도 자신의 몫을 주장할 수 있었고, 아이작 뉴턴은 날아가는 포탄의 착탄 위치를 정확하게 알기 위해 미분을 발명했다. 이처럼 변화하는 것에 대응할 수 있게 해준 수학이 바로 미적분이다. 

미적분은 현대 거의 모든 기술에 응용되는 필수 학문이다. 날아가는 로켓이나 인공위성의 궤도 예측과 같은 최첨단 항공우주 기술에서 사용되기도 하면서, 동시에 과속 단속 카메라에 미적분이 사용되기도 한다. 또한 4차 산업혁명을 이끌어 간다고 말하는 인공지능은 모두 미적분 없이는 절대 만들어질 수 없었다. 이처럼 미적분은 이미 우리 생활에 알게 모르게 깊게 자리잡고 있다.

한 가지 아쉬운 점은, 대한민국에서 가장 중요한 시험인 대학수학능력시험에서 미적분을 선택과목으로 바꾸었다는 것이다. 나는 미적분이 문과, 이과에게 모두 필수였던 시절에 학창시절을 보냈기 때문에 약간의 추가적인 공부를 통해 대학교(컴퓨터공학)에서 말하는 미적분을 어느 정도 이해할 수 있었다. 하지만 현재 수능을 준비하는 세대에게는 미적분, 통계학, 기하 중 적어도 2과목을 추가적으로 가르쳐야 하는 번거로움과, 그에 따른 교육적 손실이 있을 것이라 생각한다. 미적분은 변화를 예측하는 학문인데, 아이러니하게도 변화를 주도해야 할 학생들은 미적분을 배우고 있지 않다. 

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한줄평 (27건) 한줄평 총점 9.2

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구매 평점5점
미적분 이해에 한발 더 다가간듯 합니다
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j*****7 | 2021.09.15
구매 평점3점
아이가 수학관련 서적에 관심이 많은데 읽기 어려운건지 흥미가 없는건지 잘 보지않네요ㅠ
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j*****p | 2021.09.12
구매 평점5점
기대하고 있습니다, 문과라서 미적분을 배워본적이 없어서 늘 궁금했었는데 ㅎㅎ
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내***라 | 2021.09.02
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