암기 대신 개념과 배경 이해하기
규칙을 이해하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 답은 간단합니다. 왜 이런 규칙이 나왔는지 묻는 거예요. 수학책을 펴면 공식부터 외울 것이 아니라 그 공식을 만든 수학자들의 이야기에 귀 기울여야 하는 거죠.
‘원주율 π(파이)는 3.1415926…’을 외우기 전에 적국 병사에게 죽임을 당하는 순간에도 ‘내 원을 망치지 말라’고 했다는 아르키메데스의 절실함을 엿봐야 합니다. ‘무리수는 유리수가 아닌 수’라는 말장난을 외우기 전에 무리수의 가능성을 논했다가 살해당한 히파소스(Hippasus)의 억울함에 공감해야 하지요. 어떤 수학 개념도 태고부터 존재하지 않았습니다. 누군가에 의해 정의되거나 발견된 것들이에요. 이 규칙을 왜 만들었는지 한 번쯤 그들에게 물어봐야 하지 않을까요?
--- pp. 25~26

누가 십진법을 당연하다고 했는가?
바빌로니아인들의 육십진법은 나누기에서 그 위력을 발휘하죠. 예를 들어 사과 한 상자가 10개 포장인 경우와 60개 포장인 경우를 각각 비교하면 알 수 있어요. 사과 한 상자를 열어 사람들에게 나누어 준다고 하면 10은 나누기가 어렵지만 60은 쉽게 나누어지거든요. 예를 들어 4명에게 나누는 상황을 생각해 보면 10개 포장은 2.5개씩 나누어 줘야 하지만 60개 포장은 15개씩 나누어 줄 수 있는 거죠.
물론 분수의 개념을 알면 사과를 잘라서 나눠 줄 수도 있겠지요. 하지만 현실에서 분수는 쉽지 않아요. 저도 분수를 알지만 딸과 아들에게 사과를 반으로 나눠 주기는 포기했거든요. 어떻게 나누어도 공평하지 않더라고요.
--- pp. 38~39

수를 만드는 재료가 있을까?
음식에 관심이 있는 사람이라면 으레 재료와 레시피가 궁금해지기 마련이지요. 수학자들도 마찬가지입니다. ‘수(數)’의 발견 뒤에 궁금했던 것은 재료였습니다. 수는 어떤 재료로 만들어졌을까요? 수를 쪼개고 쪼개면 더는 쪼개지지 않는 수의 재료가 있지 않을까요? 어떤 수의 근본이 되는 수가 바로 ‘소수(素數)’입니다.
소수는 근본이 되는 수이기에 더는 쪼개지지 않습니다. 쪼개지지 않는다는 표현을 조금 더 수학적으로 표현하면 ‘1과 자기 자신 외에는 나누어지지 않는다’라고 하지요. 예를 들어 2는 1과 자기 자신 2로만 나누어지기 때문에 소수입니다. 반면에 4는 1과 자기 자신 4로 나눌 수 있지만 2로도 나눌 수 있으므로 소수가 아니에요. 즉, 2가 음식의 재료라면 4는 2를 재료로 삼아 만들어 낸 요리와 같습니다. 재료는 소수, 요리는 합성수에 해당하지요.
--- pp. 43~44

정체불명의 수를 문자가 대신하다
알파벳은 26개나 되는데 왜 그중 x가 미지수의 대표가 된 걸까요? x를 처음 사용했던 사람은 1600년경 프랑스의 르네 데카르트입니다. ‘나는 생각한다, 고로 존재한다’라는 명언으로 유명한 분이지요. 어느 날 데카르트는 자신의 수학 논문을 인쇄소에 맡기러 갔습니다. 논문을 받아 든 인쇄소 주인은 숫자보다 문자가 더 많은 수학 논문을 보고 의아했어요.
“수학 논문인데 문자가 많네요?”
“알지 못하는 수를 문자로 표기해서 그렇소.”
“그렇군요. 그럼 혹시 그 문자를 x로 바꿔도 될까요?”
“왜 그러시오?”
“같은 문자가 계속 사용되니 활자 수량이 부족할 것 같아서요. 지금 인쇄소에 x가 가장 많이 남는데 모르는 수를 x로 표기해도 괜찮을까요?”
--- pp. 87~88

방정식은 3800년 전부터 ‘노잼’이었다
수학 교육의 반 이상은 방정식이라는 말이 있습니다. 교과 과정 전반에 걸쳐 방정식은 어디에나 등장하니까요. 심지어 초등학교 1학년도 방정식을 배워요. ‘친구에게 사과 2개를 줬는데 3개 남아 있으면 원래 몇 개를 가지고 있었나?’ 식의 문제가 모두 방정식이니까요.(중략)
약 3800년 전의 방정식 문제도 지금과 크게 다르지 않게 억지스러웠다는 사실이 놀라울 뿐입니다. 이 점토판의 기록이 어떤 용도인지는 모르겠습니다. 당시 교과서일 수도 있고 귀족들이 노예들 앞에서 잘난 체하려고 만든 것일 수도 있겠죠. 확실한 것은 아주 오래전부터 방정식은 억지스럽고 쓸모없어 보인다는 거예요.
--- pp. 115~119

너만 알고 있어야 했던 비밀
아무리 졸업한 지 오래되었어도 이차 방정식 근의 공식은 기억하고 계실 거예요. 학창 시절 마치 한 편의 시를 암송하듯 입에 달고 살아야 했으니까요. 그다지 아름다운 운율의 시는 아니었지만요.
이차 방정식 근의 공식은 역사가 꽤 깊어요. 고대 바빌로니아 시절에도 이차 방정식의 해법이 논의되었다고 하니까요. 이차 방정식은 영어로 ‘Quadratic Equation’이라고 하는데, 사전을 찾아보면 ‘quadratic’은 사각형과 관련된 용어입니다. 이름이 주는 의미처럼 사각형의 넓이와 관련된 문제들이 이차 방정식으로 표현되는 경우가 많거든요. 넓이 하면 가장 먼저 떠오른 것이 있지요? 바로 땅입니다. 땅이 돈이 되는 농경 사회부터 토지의 넓이를 구하는 문제는 중요한 관심사가 되었고 이차 방정식 해법도 자연스레 등장하게 된 거지요.
--- pp. 131~132

탈레스의 정리로 뻥튀기 자르기
원주각이 중심각의 절반이라는 법칙에서 탈레스의 정리가 나옵니다. 반원의 중심각은 180°, 따라서 반원의 원주각은 90°가 되죠. 이것이 탈레스의 정리입니다.
탈레스의 정리를 이용하면 아이들에게 동그란 모양의 물건을 반으로 잘라 줄 때 좋아요. 동그란 뻥튀기 같은 것들 말이에요. 만약 여러분의 자녀가 절반의 뻥튀기에 의문을 제기한다면 공책처럼 직각의 모서리를 가진 물건을 대보세요. 만약 공책이 뻥튀기의 양 끝과 둥근 부분, 총 세 부분에서 닿으면 뻥튀기는 정확히 반으로 나눈 것이 맞아요. 그렇지 않고 뻥튀기의 한 끝이 닿지 않거나 둥근 부분에 공책 모서리가 닿지 않으면 정확한 절반의 뻥튀기가 아닌 거예요.
--- p. 178

원을 닮은 마음으로 아이들 품어 주기
평범한 삼각형 안에서 특별한 가치를 발견하는 것, 그것이 내심과 외심의 핵심입니다. 일반적인 예각, 둔각 삼각형들은 특징을 찾기 쉽지 않아 수학자들의 관심 밖에 있었지만, 원을 만나면서 그동안 보이지 않던 자신만의 새로운 가치를 드러내게 되었어요. 어느 누가 평범한 삼각형 안에서 그 많은 직각 삼각형을 발견하리라 생각했겠어요?
마치 우리 아이들을 키우는 과정과 비슷한 것 같아요. 아이에게 특별한 재능을 바라는 것은 어느 부모나 마찬가지겠지요. 그래서 조급해지는 것도 사실이고요. 기대만큼 재능을 보여 주지 못하면 실망도 하겠지요. 하지만 그럴수록 부모가 할 수 있는 것은 그저 둥근 마음으로 아이들을 안아 주고 그들의 말에 귀 기울여 주는 것일 거예요. 그러면 아이들은 스스로 자신의 특별한 가치를 발견하게 되겠지요. 이 세상에 특별함을 품지 않은 아이는 없거든요.
--- pp. 187~188

기하 세상의 유일한 도구
기하학 시험이 있는 날, 도형의 길이를 구하는 문제를 내면 꼭 이런 학생이 있습니다. 일단 시험지의 끝을 길게 찢어요. 그리고 그 위에 인간이 그릴 수 있는 가장 정교한 눈금을 연필로 그리죠. 그러고 나서 시험지 위에 대고 직접 길이를 잽니다. 삼각형이나 원의 성질 따위 몰라도 직관적으로 문제를 풀 수 있는 참 창의적인 학생들입니다.
여기서 더 발전한 학생은 각도를 묻는 문제도 가볍게 해결해 냅니다. 시험지의 모퉁이를 접어 ‘모서리 각도기’를 만드니까요. 시험지 모서리가 직각이라는 사실과 도형의 닮음을 응용한 학생들이죠. 이 학생들의 전략은 어느 정도 효과가 있습니다.
--- pp. 261~262

불확실한 세상을 설명하는 숫자
평균과 분산은 다른 의미로 ‘기대치’와 ‘불확실성’으로 해석할 수 있어요. 다시 두 맛집의 경우를 예로 들어 보겠습니다. A 가게와 B 가게 모두 평균 별점은 3점이었어요. 그 뜻은 우리가 두 가게에서 기대하는 음식 맛이 3점이라는 의미죠.
그런데 분산이 큰 A 가게는 변량의 분포가 넓어서 맛도 복불복이에요. 3점짜리 맛을 기대했지만 어느 날은 5점짜리 맛을, 어느 날은 1점짜리 맛을 봐야 할 수도 있거든요. 반면에 분산이 작은 B 가게는 예상했던 맛에서 크게 벗어나지 않을 가능성이 높아요. 따라서 분산은 기대하는 정도(평균)에 대한 ‘불확실성’으로 정의할 수 있습니다.

<b>“우리 애가 기초 문제는 제법 푸는데 항상 응용 문제에서 약하더라고요.”<br/>“옆집 애는 벌써 고2 과정까지 다 마쳤다는데 우리 애는 어떡하죠?”<br/>“우리 애는 대체 누굴 닮아서 저렇게 수학을 싫어할까요? 저는 수학과 담쌓고 살았지만 아이는 수학에 흥미를 가졌으면 좋겠어요.”</b><br/><br/>14년 차 현직 수학 교사이자 초등학생 쌍둥이 엄마인 저자는 교육 현장에서 수많은 수포자 학생과 엄마를 상담하면서 한 가지 깨달은 것이 있다. 엄마가 수학과 친하지 않으면서 아이는 수학 우등생이 되기를 바라는 건 어불성설이라는 사실이다. 수학의 ‘수’ 자만 들어도 인상을 찌푸리는 엄마 옆에서 지겹도록 공식을 달달 외우고 문제 풀이만 반복하다 보면 아이는 도저히 수학과 친해질 수 없다. 그래서 저자는 자녀의 수학 교육을 고민하는 엄마들에게 항상 이렇게 당부했다. 엄마가 먼저 수학에 한발 다가가라고, 그러면 수학을 대하는 아이의 태도도 달라진다고 말이다. 하지만 그럴 때마다 엄마들은 입을 모아 하소연했다. <br/><br/>“중고등학교를 졸업한 지 수년이 지난 엄마들도 쉽게 이해할 수 있는 친절한 수학책이 있으면 좋겠어요. 재밌으면 더 좋고요!” <br/>그래서 저자는 직접 엄마들을 위한 수학책을 쓰기로 결심했다. 수와 연산, 문자와 식, 도형, 함수와 좌표평면, 기하학, 확률과 통계 등 중학교 교과 과정을 따라가며 꼭 알아야 할 필수 개념들을 엄마의 눈높이에 맞춰 설명했다. 이해를 돕는 시각 자료는 그림 그리기 취미를 가진 남편에게 도움을 청했다. 그렇게 마련된 200컷이 넘는 일러스트는 읽는 재미를 더하고 있는데, 서울대학교 수학교육과 최영기 교수는 “아기자기한 손그림들 곳곳에 숨은 개그 코드 덕분에 몇 번을 미소 지으면서 이 책을 읽었다”며 감탄하기도 했다.<br/><br/>엄마가 수학을 두려워하지 않으면 그 자신감은 그대로 아이에게 전해지고 아이는 수학을 편안하게 대할 수 있다. 그런 의미에서 이 책은 “자녀가 수학과 좋은 관계를 맺도록 엄마가 먼저 읽는 수학 교육의 첫 단추 같은 책”이다.(15쪽) 아이가 수학 문제를 물어 오면 숨부터 턱 막히고 아이 수준에 맞게 설명해 주고 싶지만 학창 시절에 배웠던 것들이 도무지 기억나지 않아서 답답하고 아이에게 미안했던 엄마라면, 그동안 문제 풀이와 점수 올리기에 연연해 무작정 아이를 다그친 엄마라면 꼭 이 책을 읽어 보길 바란다.<br/><br/><b>엄마의 수학 자존감을 높이고 <br/>아이를 수학 우등생으로 키우는 필수 특강 </b><br/><br/>초등학생일 때 수학을 꽤 하던 아이들이 중학교, 고등학교에 올라가면 뒤처지는 이유는 개념과 공식을 이해하기보다 암기해서 문제를 푸는 데 급급하기 때문이다. 고등 수학은 기초 내용을 서로 연결하고 응용하는 과정인데(16쪽) 제대로 된 이해가 바탕이 되지 않으면 그저 문제 푸는 기계가 될 뿐이다. 그러면 아이는 수학에 대한 흥미를 완전히 잃어버리고 만다. 이것은 많은 엄마가 학창 시절에 똑같이 겪었던 문제이기도 하다.<br/><br/>하지만 “어떤 수학 개념도 태고부터 존재한 것이 아니라 누군가에 의해 정의되거나 발견된 것들이다. 그러므로 수학책을 펴면 공식부터 외울 것이 아니라 그 공식을 만든 수학자들의 이야기에 귀를 기울이고 왜 이런 개념이 생겨났는지”(25쪽) 들여다봐야 한다. 무작정 외워서 풀기보다는 공식이 탄생하게 된 배경과 뒷이야기, 세계적인 수학자들의 에피소드, 일상에서 접할 수 있는 수학 이야기 등을 통해 접근하면 필수 개념과 핵심 원리를 한층 더 깊이 이해하고 더 넓은 범위를 파악할 수 있다.<br/><br/>여기 이 책에 수록된 에피소드 몇 가지를 소개한다. 엄마와 아이가 함께 읽어 보고 이야기를 나눠 보자. 쪽지 시험과 학습지 채점 결과가 아닌, 색다른 수학 이야기를 주고받는 경험은 엄마와 아이를 더 흥미진진한 수학의 세계로 이끄는 마중물이 될 것이다. 수학 우등생이 되는 첫걸음도 바로 여기서 시작된다.<br/><br/><b>· 방정식 문제는 3800년 전부터 ‘노잼’이었다?</b><br/>서로 다른 방향으로 공원을 걷는 철수와 영희의 속력을 구하거나, 작년과 올해의 수확량으로 토지 면적을 구하는 것처럼 방정식 문제들은 하나같이 억지스럽다. 그런데 놀라운 점은 약 3800년 전 고대 바빌로니아의 점토판에도 이런 ‘노잼’ 문제가 발견되었다는 사실이다. 그럼에도 불구하고 우리가 방정식을 배우는 이유는 방정식이 ‘문제 해결력’을 높여 주는 최고의 방법이기 때문이다.(117쪽)<br/><br/><b>· 알파벳 26자 중에서 왜 하필 ‘x’가 미지수의 대표가 되었을까?</b><br/>‘나는 생각한다, 고로 존재한다’라는 명언으로 유명한 프랑스의 철학자 르네 데카르트는 훌륭한 수학자이기도 했다. 그는 자신의 수학 논문을 인쇄하기 위해 인쇄소를 방문했는데, 그 논문에는 숫자보다 문자가 더 많았다. ‘알지 못하는 수’ 즉, 미지수를 문자로 표기했기 때문이다. 인쇄소 주인은 활자 재고가 가장 많았던 ‘x’로 미지수를 표기했고 이후부터 미지수 ‘x’가 널리 쓰이기 시작했다.(86쪽)<br/><br/><b>· 근의 공식이 수학자들의 부와 명예의 수단이 된 배경은?</b><br/>르네상스 시기의 유럽에서는 이자 복리 계산이나 무역 세금 계산 때문에 근의 공식을 아는 수학자가 큰 인기를 얻었고, 상인 자녀를 대상으로 수학 과외도 성행했다. 그러다 보니 당시 수학자들에게 근의 공식은 부와 명예를 거머쥘 수 있는 보물이자 무기와 같았고 그들 사이에서는 삼차 방정식 문제를 푸는 대결이 벌어지기도 했다.(132쪽)<br/><br/><b>· 동전 던지기는 어쩌다 수학의 한 분야가 되었을까?</b><br/>1494년 이탈리아의 수학자 루카 파치올리가 쓴 책에는 내기 도중에 중단되어 버린 동전 던지기 이야기가 나온다. 17세기 수학자 블레즈 파스칼은 동시대 수학자인 페르마와 함께 이 중단된 게임의 해법이 무엇인지에 관해 편지를 주고받았다. 그리고 이 내용은 훗날 확률론 탄생의 밑거름이 되었으니, 확률이 도박장을 떠나 수학의 세계에 들어온 순간이었다.(283쪽)<br/><br/><b>· 땅바닥에 그린 원이 목숨보다 소중했던 수학자는?</b><br/>기원전 200년경 아르키메데스는 다각형의 둘레 길이를 이용해 원둘레를 계산하려고 했다. 원과 접하는 다각형의 각이 많아질수록 원둘레 길이의 범위를 좁혀 나갈 수 있고, 보다 정확한 근삿값을 얻을 수 있기 때문이다. 그렇게 그는 무려 96각형까지 계산하는 데 성공했다. 그러던 중 로마가 그의 고향을 침략했고, 로마 병사는 그의 집까지 쳐들어왔다. 아르키메데스는 자신이 땅바닥에 그린 원을 로마 병사가 짓밟자 ‘내 원을 망치지 말라’며 호통을 쳤고, 화가 난 병사는 그 자리에서 그를 베어 버리고 말았다.(161쪽) 이는 위대한 수학자의 안타까운 죽음이지만, 한편으로는 자신의 연구를 지키겠다는 집념이 돋보이는 숭고한 죽임이라고도 할 수 있겠다.

이 책은 독자를 보다 쉽고 편안한 마음으로 수학과 수학 교육에 다가갈 수 있도록 이끌어 줍니다. 그리고 수학이 어떻게 ‘엄마의 무기’가 될 수 있는지 진솔하고 명쾌하게 알려 주고 있지요. 그래서 수학 잘하는 아이로 키우고 싶은 엄마들을 위한 필독서로 손색이 없다는 생각이 듭니다. 누구에게나 기쁜 마음으로 추천할 수 있는 책을 만나 저도 무척 반갑습니다.