제1장 표현
표현의 사실적인 표기

수학적인 개념들에 초점을 맞추기 전에, 표현의 일반적인 개념을 논의하는 것으로 시작하자. 철학적 측면에서, 이것을 표현하느냐 또는 다른 것을 표현하지 못하느냐의 개념이 중심적인 관심이다. 진리와 외견 사이의 차이 그리고 그 자체와 그 표현이 철학의 중점사항이다. 그것은 플라톤, 칸트, 쇼펜하우어, 그리고 니체와 같은 인물들의 업적들에서도 중요한 역할을 한다. 일반적으로 말해서, 이 철학자들에 대하여 어떤 것에 대한 “외견(appearance)”은 방해나 장막으로 생각된다. 그것을 우리가 그 현실적인 배후의 실재를 통해 관통하기를 바란다. 그러나 수학에서, 일들이 약간 다르게 나타낸다.

추상적인 방법으로, 한 가지가 다른 것을 표현한다고 할 때 나타나는 관계를 생각해보자. B가 A를 나타낸다고 하자. 우리는 두 가지와 어떤 종류의 관계 세 가지 항들: A,B 그리고 B가 A를 표현하는 사실이다. 이것을 X로 부를 수 있다. 한 표현에서 이 세 조건들 A,B,X은 항상 서로 다르다는 것을 기억하는 것이 중요하다. 예를 들어, A는 매사추세츠의 시민이라 하고, B는 그 주 의원이라 하고, X는 B가 입법부에 투표에 의해서 A 의견을 표현하는 법률적인 사실을 말한다. 또는, 다르게 말해보자. A는 추상적인 군이고, B는 행렬군이다. 그리고 X는 A를 B로 가는 사상이라 하자(이 관계는 나중에 정의할 것이다).

그렇지만, A=B가 될 수도 있다. 예를 들어, B 주입법부에서 자기자신을 표현할 수도 있다. 또는 A가 행렬군이고 B가 같은 행렬군일 수도 있다. 그러나 A=B 이거나 또는 A≠B이면, 우리는 이 관계를 “표현(representations)”이라 부른다. 이 표현의 사실, X는 항상 A와 B가 서로 다를 것이다. 왜냐하면 A와 B는 대상들이고 X는 한 표현을 말하기 때문이다. 이제, A,B 그리고 X의 좋은 그림은 무엇일까? 우리는 X를 A에서 B로 가는 한 화살표로 볼 수 있다. 이것은 B가 A를 표현한다는 것을 보여주는 한 방향의 관계를 보여주고, 그 역은 아니다: A→B 만약 A와 B의 이름을 밝히지 않고 그 관계만 보기를 원한다면, 더 추상적으로 할 수 있다. 우리는 점들로 표시한다. 그러면 그 그림은 추상적인 표현의 극치로 다음 그림과 같다.
ㆍ→ㆍ

그 점들은 그 대상들의 이름에 대한 장소표현에 불과하다. 그 두 점들은 두 개의 다른 대상 또는 같은 대상을 나타낼 수도 있다. 화살표가 나오는 점을 원천(source)라 하고 화살표가 도달하는 점을 표적(target)라 한다. 정상적인 삶속에서, 만약 A가 B를 표현한다고 하면, B와 A는 서로 아주 다를 수 있다. 예를 들어, 한 깃발이 한 국가를 나타내고, 티셔츠에 있는 표어가 한 생각을 나타내고, 심상(mental image)이 사랑하는 사람을 표현할 수가 있다. 수학에서는, 상황은 다르다. 우리가 접하거나 발명한 수학적인 존재하는 것들(entities)은 모두 다 같은 평면위에 있고 같은 차수를 같고 실제나 이상적인 타입으로 고려된다: 그것들은 모두 다 수학적인 실체들이다.

사용되는 표현들은 무엇일까? 그것들은 한 가지를 다른 것의 수단으로 설명한다. 우리가 이해하고자 하는 대상은 “어떤 것(thing)” 그것 자체인 원천이다. 우리가 이미 약간 잘 알고 있는 대상, 이것을 우리는 표준 대상(standard object)라 부르는 한 표현에 의해서 원천에 비교한다. 그 외관 현장이 표적이 된다. 우리의 관습은 당신의 예상과 대등하지 않을 수도 있다. 그 화살표 머리에 있는 표적은 더 잘 이해하는 그림의 한 조각이다. 화살표와 표적 둘 다의 성질들을 사용하여 원천에 대한 정보를 끌어내게 될 것이다.
예: 셈하기

가장 단순한 가능한 예를 찾아보자, 선사시대의 셈하기를 생각해보자. 만약 토마토 한 꾸러미와 한 양떼 무리가 있다고 하자. 우리가 갖고 있는 토마토 개수와 양들의 수를 알고자 한다. 이것은 토마토 개수와 또는 한 양떼 수와 같은 수인가의 진위를 알아보는 것 보다 훨씬 복잡한 질문이다. 우리는 덜 복잡한 질문으로 시작해보자. 만약 저녁때 집에 들어온 양떼 무리들이 아침에 목장을 나간 수효가 같다는 것을 알고자 한다면, 아침에 우리는 주머니에 작은 조약돌을 우리 밖으로 나갈 때 하나씩 넣는다. 이제 각 양들이 우리로 되돌아올 때 조약돌을 주머니에 꺼낸다.

우리는 시작하기 전에 아침에 주머니가 비워있다는데 유의해야 하고, 낮 동안에 아무것도 들어가지 않도록 유의해야 한다. 따라서 만약 마지막 양떼가 돌아올 때 주머니가 꼭 비워진다면 우리는 행복하다. 수학자는 아침의 양떼와 저녁의 양떼 사이에 일대일 대응(one-to-one correspondence)이 존재한다고 말한다. 이것을 수학적으로 명확하게 하기 위해서, 두 가지 정의를 한다.

정의: 한 집합(set)이란 어떤 것들의 한 모임이고, 그것들을 그 집합의 원소(elements)라 부른다.
예를 들어, 모든 홀수들의 모임은 한 집합이고, 홀수 3은 이 집합의 원소이다.
정의: 집합 A에서 한 집합 B로 가는 일대일 대응은 A의 각 원소에 B의 원소를 꼭 하나씩만 대응하는 규칙이다. 이와 같이 해서 B의 각 원소는 A의 단 하나의 원소에 대응된다.
여담: 정의들

수학자들은 비수학자를 놀라게 하는 한 방법으로 “정의(definition)”라는 용어를 사용한다. 옥스퍼드영어사전(Oxford English Dictionary)에서 “정의”를 “어떤 것에 대한 본질적인 성질의 명확한 진술(a precise statement of the essential nature of a thing)”이라 정의한다. 수학자들은 한 정의는 “명확(precise)”해야 한다는 것에 동의하지만, 우리는 “본질적인 성질essential nature”를 갖는 것에 대해서는 확신이 없다. 위에서 말한 일대일대응에 대한 정의는 당신이 만약 그것을 보여주면 일대일대응을 깨닫게 해줄 것이다. 만약 A는 집합 {red, blue, green}라 하고 B는 집합 {1,2,3}이라 가정하자. 그러면 두 집합사이에는 일대일대응이 다음과 같이 주어진다.

red→1
blue→2
green→3

당신은 집합 A의 각 원소에 대하여 집합 B의 다른 원소들이 대응됨을 확인할 수 있고, 집합 B의 각 원소들은 단 한번 씩만 사용되었다. 그러나, 일대일대응에 대한 이 정의는 일대일대응의 본질적인 성질을 말해 주지는 않는다. 우리는 왜 당신이 일대일대응에 대하여 관심을 가져야만 하는지 단서를 주지도 못하고, 또한 우리의 정의가 어떻게 일대일대응을 만들어야 하는지도 말해주지 않는다.

심지어 한 수학적인 정의가 전문용어로 그 성질들이 옥스퍼드 영어사전(OED)로 분류되면, 그것은 아주 심하게 비수학자들을 낯설게 한다. 수학적인 정의가 무슨 뜻인가를 알기위해서는 통상적인 용어로 다시 정의될 수 있다. 예를 들어, 수학자가 소위 말하는 “단순군(simple group)”은 사실상 특별히 단순한 것이 아니다. 그들이 정의하는 용어들 “나무(tree)”와 “떨림(quiver)”은 참나무나 화살과는 아무관계가 없는 것이다. 때때로 수학자들은 대상의 성질들의 용어로 정의한다. 그리고 단지 그 대상이 이런 성질들을 갖는 것을 증명한다. 한 예로: 두 양의 정수 α와 β에 대한 최대공약수(greatest common divisor)는 양의 정수 δ로 다음 조건을 만족하는 수로 정의한다:

1. δ가 α를 나눈다.
2. δ가 β를 나눈다.
3. 만약 γ를 α와 β를 나누는 임의의 수라면, γ가 δ를 나눈다.

이 정의로 보면, 최대공약수가 존재하는지 분명하지가 않다. 왜냐하면 임의의 수 δ가 세 가지 조건들을 모두만족하지 않을 수도 있을 것 같기 때문이다. 따라서 정의를 한 후에, 이런 성질을 갖는 수가 실제 존재한다는 설명이 증명되어야만 한다. 셈하기(계속)

앞의 예에서, 각 조약돌이 아침에 양 한 마리 그리고 저녁때 한 마리와 대응된다. 이것은 각 아침 양 저녁때 양이 그 조약돌을 공유하여 대응하는 규칙을 만든다. 이 규칙이 이야기의 조건에 따른 일대일대응이다. 그러나 우리는 아무런 집합론도 필요하지 않고, 또한 일대일대응이 무엇인가를 몰라도 이런 방법으로 양의 수를 셈할 수 있다. 사실상, 우리는 심지어 어떻게 셈하는지 알 필요도 없다!