수학은 이론철학과 실천철학 둘 다에 요긴한 연장이다. 이를테면 인식론은 기하학과 확률론의 핵심인 공간과 우연 같은 주제를 다루고, 윤리학은 게임이론을 차용하여 공정과 사회계약 같은 개념을 다루며, 그 밖에도 여러 분야가 있다. 다른 한편으로 수학 자체는 더없이 알쏭달쏭하고 흥미진진한 철학적 질문들의 원천 중 하나다. 수학은 분명 경험과학이 아닌데도 왜 이토록 실용적일까?
---「머리말」중에서

기하학은 수학을 통틀어 처음으로 승승장구한 분야다. 아마도 건축가, 선원, 측량사에게 분명한 쓸모가 있기 때문인지도 모르겠다. 더 그럴듯한 이유는 아름다움이다. 기하학적 도형은 삼각형 같은 가장 단순한 도형조차도 매혹적이다. 음악의 삼각형(트라이앵글)은 관현악단 뒤쪽 어딘가에 숨은 변변찮은 악기이지만 수학의 삼각형은 맨 앞 줄에서 빛난다.
---「1장 기하」중에서

음에 음을 곱하면 왜 양이 될까? 당신은 학교에서 요긴한 비유를 배운 적이 있을 것이다. “적의 적은 친구다.” 하지만 산술의 토대는 마키아벨리가 아니므로 이 비유는 좀 뜬금없다. 음수를 양수의 거울상으로 보면 -1을 곱하는 것은 점 0을 기준으로 뒤집기를 하는 것으로 해석할 수 있다. 그러므로 (-1)×(-1)은 뒤집기를 두 번 하는 셈이니 원래 자리로 돌아와 1이 된다. 이런 설명은 아이의 의심을 잠재우기에는 충분할지도 모른다. 하지만 수학자들은 “음수 곱하기 음수는 양수다”의 ‘진짜’ 이유는 자연수에서와 같은 규칙을 보전하고 싶기 때문이라고 말할 것이다.
---「2장 수」중에서

조약돌은 매우 이른 시기부터 셈에 쓰였다. 조약돌 한 개는 가축 무리 중 한 마리에 해당한다. 이렇게 하면 가축이 전부 목초지에서 돌아왔는지 확인하기 편리하다. 로마인들은 이런 조약돌을 ‘칼쿨루스(calculus)’라고 불렀는데, 어원은 ‘분필’을 뜻하는 ‘칼크스(calx)’다. 그러므로 우리가 하는 계산의 기원은 조약돌이며, 전 세계 수학과에서는 여전히 칠판에 분필로 계산 과정을 필기했다가 이튿날 새벽에 지운다
---「3장 무한」중에서

비트겐슈타인은 “모순에 대한 수학자의 미신적인 공포와 숭배”를 조롱했다. 그는 이렇게 물었다. 어떻게 모순을 찾을 수 있을까? 어떻게 모순을 공략할 것인가? (원했든 원치 않았든) 만일 부정합성이 나타난다면 어떻게 할 것인가? 힘겹게 얻은 수학 정리들을 모조리 포기할 각오가 되어 있는가? 그럴 리 없다! 형식화는 게임에 불과하다. 게임 규칙이 모순으로 이어진다는 사실이 드러날 때마다 수학자들은 규칙을 바꿔 모순을 해소할 것이다.
---「4장 논리」중에서

수학은 회의주의의 성채로 여겨진다. 수학에서는 무엇도 믿음으로 받아들이지 않는다. 모든 정리가 증명되어야 하는 까닭은 바로 이것이다. 의심이 불가능하다면 믿음은 필요 없다. 세상에 확실한 것이 하나라도 있다면 그것은 바로 수학 지식이다. 하지만 파란만장한 200년간 이 확실성은 몽유병자의 확실성이었다. 기이하게도 이 시기는 해석학과 천문학이 손을 맞잡고 이성의 시대를 열어젖힌 바로 그때였다. 해석학이 승리를 거둔 발판은 무한소 개념이었다. 0보다 크지만 어떤 양수보다 작으며 따라서 자신보다 작은 수 말이다.
---「6장 극한」중에서

오늘날 물리학, 화학, 경제학, 생물학은 확률론 없이는 상상할 수도 없다. 제임스 클러크 맥스웰은 확률론을 “세계의 진정한 논리”로 치켜세웠으며 피에르 시몽 라플라스는 “인생에서 가장 중요한 문제”라고 말했다. 물론 알베르트 아인슈타인이 “신은 주사위 놀이를 하지 않는다”라고 주장한 것은 사실이다(누군가 재치 있게 대꾸했다. “하지만 주사위 놀이를 했다면 이겼을 것이다”). 하지만 양자물리학은 사방에서 우연을 본다.
---「7장 확률」중에서

가상의 내기에서는 다양한 사건의 확률이 대체로 잘 알려져 있다. 하지만 일상적 현실에서는 그런 경우가 드물다. 우리는 확률을 알지 못한다. 한 미국 정치인의 명언을 인용하자면 “아는 모르는 것이 있고 모르는 모르는 것이 있다.” 우리는 다양한 선택지의 확률을 막연하게조차 모를 때가 많다. 그럼에도 결정을 미룰 수는 없다. 이런 결정을 위험한 상황에서의 결정(확률이 알려진 경우)과 대조적으로 ‘불확실한 상황에서의 결정’이라고 부른다.
---「10장 결정」중에서

공유지의 비극은 널리 알려져 있다. 공유지는 마을 전체에 속한 목초지다. 이 땅은 종종 과도하게 방목되어 쑥대밭이 된다. 한 목부가 할당량 이상의 가축을 공유지에서 먹이면 그로써 얻은 젖과 고기는 그에게만 유익한 반면에 목초지의 훼손은 모두가 부담하기 때문이다. 요즘은 공유지가 얼마 남지 않았다. ‘공유재’로는 맑은 공기, 황금어장, 대중교통 등이 있는데, 이것들은 언제나 무임승차자의 먹잇감이 된다.
---「12장 사회계약」중에서

수학 자체가 언어다. 이것은 널리 받아들여지는 견해다. 우리 시대 최고의 수학자 두 명인 유리 마닌과 알랭 콘의 말을 인용하겠다. 마닌이 말한다. “모든 인류 문명의 바탕은 언어이며 수학은 특수한 형식의 언어 활동이다.” 콘은 한술 더 뜬다. “수학은 의심할 여지없이 유일무이한 보편 언어다.” 갈릴레이 이래 물리학자들은 이 견해를 당연하게 받아들였다. “우주는 수학의 언어로 쓰였으며 이 언어의 글자는 삼각형과 원 같은 수학 도형이다.”
---「14장 언어」중에서

철학자가 고를 수 있는 분야 중에서 수학철학보다 나은 것은 거의 없다. 수학철학에는 거창한 질문이 넘쳐난다. 우선 칸트를 인용해보겠다. “순수 수학은 어떻게 가능한가?” 계속해보자. 수학이란 무엇인가? 무엇에 대한 것인가? 수학자들이 말하는 ‘참’이나 ‘존재’는 무슨 뜻인가? 증명이란 무엇인가? 무엇이 우리를 확신시키는가? 수란 무엇인가? 집합이란 무엇인가? 논리란 무엇인가? 발견되는 것은 무엇이고 발명되는 것은 무엇인가? 수학은 왜 유용한가? 왜 그토록 독특한가? 하지만 으뜸가는 질문은 이것이다. 왜 우리가 수학에 관심을 가져야 하는가?
---「15장 철학」중에서

수학은 어떤 즐거움을 선사할까? 무엇보다 통찰의 쾌감이 있음은 의심할 여지가 없다. 대개는 약 오르고 실망스럽고 심지어 괴로운 지지부진 뒤에 찾아온다. 이따금 포기하고 딴 날 다시 시도해야 할 때도 있다. 수학은 끈기를 가르친다. 겸손도 가르친다. 세상에는 나보다 훨씬 똑똑한 사람이 얼마나 많은지!

<b>왜 지금 수학책을 읽어야 하는가?<br/>“수천 년간 꾸준히 발전해온 유일한 학문이자 인류가 그동안 쌓아온 지성을 대표하는 학문.” _송용진(인하대 수학과 교수)<br/></b><br/>우리가 과학책을 읽는 것은 살아갈 힘을 주기 때문이다. 양자 얽힘, 빅뱅이론, 생명의 창발 등 인간 정신으로는 헤아릴 수 없는 방대하고 깊은 수수께끼는 우리를 겸허하게 만든다. 나라는 존재가 우주적 관점에서는 한낱 미물에 지나지 않으며 지금의 치열한 고민들도 사소한 것이라는 ‘절대적 소외의 감각’을 경험하게 된다. 이로써 삶을 관조하고, 굳이 발버둥치지 않아도 되는구나 하는 깨달음을 얻으며, 이는 역설적으로 삶의 원동력이 된다.<br/><br/>그렇다면 수학책을 읽는 이유는 무엇일까? 소립자든 블랙홀이든 돌연변이든 과학책이 말하는 수수께끼는 결국 우리의 밖에 존재하는 현실 세계에 대한 생각이다. 그런데 현실이 그토록 불가해한 것은 당연하다고, 우연히도 그러하다고 간주할 수 있고, 어찌 보면 그렇게 놀랄 일이 아니다. 그러나 바깥세상을 바라보지 않고도 우리 내면에서 똑같은 소외를 겪게 해주는 학문이 있으니, 바로 수학이다. 수학 개념은 손가락으로 쉽게 가리킬 수 있는 현실의 대상이 아니기에 훨씬 추상적이고, 그래서 때론 수학책이 과학책보다 더 어렵다고 평가받지만, 그만큼 더욱 깊고 풍성한 깨달음을 준다.<br/><br/>『어떻게 수학을 사랑하지 않을 수 있을까?』는 오스트리아 빈대학교의 수학과 명예교수이자 진화적 게임이론의 선구자 카를 지크문트가 쓴 수학철학서다. 50년 가까이 학생들을 가르치고 연구하며 철학을 이론적 실천적으로 사유해온 그는 이 책에서 논리부터 정치, 도덕까지 온갖 철학 문제에 수학이 어떻게 적용되는지 설명하고, 두 학문이 함께 얽히며 발전해온 유서 깊은 역사 속 재밌는 이야기를 풀어내며, 마침내 수학에 대하여 많은 사람이 던지는 근본적인 질문을 탐구한다. “왜 수학을 배우는가?” “왜 수학은 (우리 중 일부 사람들에게‘만’) 이토록 큰 즐거움을 선사하는가?”<br/><br/><b>“수학과 논리학과 철학이라는 거대 서사를 기초부터 차근차근 풀어나간다” _김상현(고등과학원 수학부 교수)<br/>수학의 의미와 가치를 깨닫는 흥미로운 역사 탐구<br/></b><br/>오늘날 분야를 막론하고 수학과 동떨어진 영역이 하나라도 있을까? 주위를 한번 둘러보라. 자동차 내비게이션의 GPS는 아인슈타인의 장방정식을 풀어 위치를 추적하고, 신용카드는 소인수분해를 거쳐 암호화된다. 경제학에서는 게임이론으로 합리적인 의사결정을 분석하고, 공중보건에서는 확률론으로 바이러스 감염률을 추정한다. 이 책은 우리가 무언가에 대하여 말하고자 할 때 수학이 언제나 일조한다고 설명한다. 수학이란 “부정확함을 불가능하게” 만드는 언어이기 때문이다.<br/><br/>역사를 살펴보자. 18세기 프랑스에서는 ‘정치 산술’로 민주주의의 명백한 오점을 밝혀내기도 했다. 당시 과학한림원 회원인 니콜라 드 콩도르세는 여성 참정권을 공개적으로 촉구하고 노예제 철폐까지 제안한 급진적 계몽주의자였다. 그는 모든 결선투표에서 이길 수 있는 후보가 정작 그 자리까지 올라가지 못하는 역설을 발견했다. 결선투표제란 1차 투표에서 어느 후보도 과반 득표를 못 하면 가장 많은 표를 얻은 두 후보가 2차로 결승전을 치르는 제도로, 1789년 이래 현재까지 프랑스 선거에서 쓰인다. “우리의 콩도르세가 이 사실을 알았다면 무덤에서 탄식했을 것”이라며 저자는 재치 있게 수학의 ‘썰’을 푼다.<br/><br/>오래전 갈릴레오는 이렇게 말했다. “우주는 수학의 언어로 쓰였으며 이 언어의 글자는 삼각형과 원 같은 수학 도형이다.” 그에 응답하듯 1974년 지구에서 메시지 하나가 외계인들에게 보내졌다. 발신처는 푸에르토리코에 있는 아레시보 천문대, 메시지는 십자말풀이나 노노그램 퍼즐처럼 보이는 1679비트 분량의 이미지로 배열되었다. 이 숫자가 두 소수 23과 73의 곱이라는 사실을 수신인이 금세 알아챌 거라는 기대감으로, 그 안에는 1부터 10까지 수, DNA를 이루는 수소·질소·산소·탄소·인 원자의 양성자 개수 등을 써넣었다. 저자는 수학의 의의를 이렇게 전한다.<br/><br/>“우리가 외계인과 소통하고 싶다면 수학 말고 무엇을 쓸 수 있겠는가? 외계인이 우리의 메시지를 알아들으려면, 손가락도, 귀도, 음악성도 필요 없지만, 산술은 조금 알아야 한다.”<br/><br/><b>“감춰진 수학 재능이 되살아나며 철학이 달리 보일 것이다.” _최재천(이화여대 에코과학부 교수)<br/>명료하고 치밀한 사고력을 기르는 교양 공부<br/></b><br/>저자는 고대의 플라톤이나 피타고라스부터 오늘날 쇼펜하우어나 튜링까지 2000년 넘는 시간 동안 수많은 학자가 밝혀온 수학 이론과 원리를 살피고 이를 철학적 사유로 발전시킨다. 서술과 수식을 곱씹으며 차분히 읽어나가면 이성적 사고를 날카롭게 벼릴 수 있다. 이는 인생에서 모호하고 복잡한 문제로 이리저리 헤매는 우리에게 고르디우스의 매듭을 끊어내는 칼이 되어줄 것이다. 특히나 폭발적으로 발전한 인공지능이 인류가 쌓아온 지성의 탑을 무너뜨리려 하는 지금, 인간 이성의 힘과 아름다움을 찾는다는 중요한 과제를 이 책으로 수행해보자.<br/><br/>우리에겐 매우 친숙한 음수(-) 개념도 과거엔 철학자들을 혼란스럽게 했다. 숫자 0이란 ‘없음’을 뜻하는데, 어떻게 없음보다 작은 것이 존재할까? “사과가 바구니에 한 개, 두 개는 있을 수 있어도, 마이너스 세 개가 있을 수는 없어!” 지금은 이 개념이 감소, 결핍, 빚 등 친숙한 비유로 쉽게 이해되는데, 오늘날까지도 아리송한 규칙이 하나 있다. 음에 음을 곱하면 왜 양(+)이 될까? (-1)×(-1)은 왜 1일까? <br/><br/>“적의 적은 친구다”라는 비유가 요긴하긴 하지만, 산술의 토대는 마키아벨리가 아니므로 좀 뜬금없다고 저자는 말한다. 아이들에게는 음수가 양수의 거울상이며 -1을 곱하는 것은 0을 기준으로 뒤집기를 하는 것이라고 설명하곤 한다. (-1)×(-1)은 뒤집기를 두 번 하는 셈이니 원래 자리로 돌아온다는 말이다. 하지만 수학자들은 그 진짜 이유를 이렇게 말할 것이다. “자연수에서와 같은 규칙을 보전하고 싶기 때문이다.”<br/><br/>책의 설명을 차근히 따라가보자. 임의의 자연수 a, b, c, d에 대해서 다음과 같은 규칙이 성립힌다. (b-a)×(c-d)=b×c+a×d-(a×c+b×d). 그렇다면 (-1)×(-1)은 (1-2)×(1-2)와 다름없고, 이는 규칙에 따라 1+4-(2+2)와 같아야 하며 이 값은 1이다. 그러므로 (-1)×(-1)=1이다. 수학자들은 ‘수란 무엇인가?’라고 물으며 개념의 참된 본질을 궁리하느라 골머리를 썩이기보다는 계산 규칙을 보전하려고 하며, 이는 ‘형식 불역의 원리(permanence principle)’로 통한다. 낱말의 의미가 쓰임새로 정해진다는 비트겐슈타인의 철학을 맛보는 순간이다.<br/><br/>저자는 고대의 플라톤이나 피타고라스부터 오늘날 쇼펜하우어나 튜링까지 2000년 넘는 시간 동안 수많은 학자가 밝혀온 수학 이론과 원리를 살피고 이를 철학적 사유로 발전시킨다. 서술과 수식을 곱씹으며 차분히 읽어나가면 이성적 사고를 날카롭게 벼릴 수 있다. 이는 인생에서 모호하고 복잡한 문제로 이리저리 헤매는 우리에게 고르디우스의 매듭을 끊어내는 칼이 되어줄 것이다. 특히나 폭발적으로 발전한 인공지능이 인류가 쌓아온 지성의 탑을 무너뜨리려 하는 지금, 인간 이성의 힘과 아름다움을 찾는다는 중요한 과제를 이 책으로 수행해보자.<br/><br/>“이성은 가장 중요한 인간적 특질이며 생각은 우리의 가장 고귀한 활동이다.”

수학은 수식과 도형으로만 푸는 문제가 아니다. 이 책은 수학 문법을 일깨워주며 우리의 감춰진 수학 재능을 되살린다.

태생이 같지만 안타깝게도 서로 점점 멀어지는 세 형제자매, 수학과 논리학과 철학 사이에서 이 값진 책은 화해의 활로를 제시한다.

왜 수학을 공부해야 할까? 이 책은 역사적으로 중요하고 지금도 알아두면 좋을 유익한 지식을 잔뜩 소개한다.

학교 다닐 때 수학에서 맛보았던 즐거움에서 출발해, 고대 그리스부터 20세기까지의 역사, 나아가 인공지능에 관한 수많은 이야기를 종횡무진 누빈다.

명쾌하고 술술 읽히며 매혹적이다. 수의 의미, 컴퓨터의 한계, 공정한 투표 시스템의 불가능성 등 다양한 주제로 우리를 친절 하게 안내한다.

이 책은 1979년에 출간된 전설의 철학서 『괴델, 에셔, 바흐』의 21세기 버전이다. 재밌는 입담으로 철학과 수학에 관한 폭넓은 담론을 펼친다.

수학은 인류 역사를 통틀어 언제나 철학의 훌륭한 댄스 파트너였다. 심오한 지식과 재밌는 산문이 결합한 이 책은 당신도 춤추게 할 것이다.

수학과 철학의 얽힘을 밝혀내는 유쾌한 역사 기행.

철학과 인간 행동을 탐구하길 좋아한다면 이 책에 매료될 것이다. 게임이론, 사회계약, 고전적인 수감자 딜레마는 물론, 컴퓨터가 진정으로 지능을 가지며 잠재적으로 의식이 있는지도 조사한다.

마음을 뒤흔드는 여정으로 독자를 안내한다. 수학의 다양한 분야가 합쳐져 어떻게 그 이상의 의미를 지니게 되는지 흥미롭고 자세하게 설명한다.