수의 진법. 진법은 수를 표기하는 기수법의 하나로, 한 묶음을 몇 개로 해서 모양이나 자릿수를 변경할 것인가에 따라 수를 표기하는 방법이다. 현재는 주로 10진법을 사용하고 있지만 그 외에 2진법, 5진법 등도 여전히 활용되고 있다. 진법은 수를 표현하고 연산할 때 기준이 되는, 자와 같은 것이다. 길이를 측정할 때 자가 있어야 정확한 길이를 잴 수 있듯이, 수를 표현하고 연산을 할 때 진법을 기준으로 계산한다. 우리가 사용하고 있는 10진법을 예로 들어보자. 10개가 한 묶음이 되면 더 큰 모양으로 표현하거나 위치를 변경해 더 큰 수를 나타낸다. 또다시 10개가 한 묶음이 되어도 마찬가지다. 이러한 방법으로 12진법, 60진법 등도 우리의 실생활에서 여전히 다양하게 사용되고 있다. 12개월이 모여 1년이 되고, 1분은 60초, 1시간은 60분이며, 하루는 24시간이다. 한 묶음을 몇 개로 할 것인가에 대한 고민은 실생활 속에서도 이어졌고, 물건을 세는 단위에 그 결과가 많이 남아 있다.
---「수의 역사는 어떻게 되나요?」중에서

부등식이란 무엇일까?
· 부등식: 부등호를 사용해 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식
2+1〈 4, x+2〉 3
· 절대부등식: 항상 참이 되는 부등식
x2$0(미지수 x에 어떤 값을 넣어도 부등식은 항상 참이 된다.)
· 조건부등식: 미지수 x의 범위에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 부등식(즉 특정 범위에 있는 값일 때만 성립하는 부등식)
x+1〉 3(x 〉 2일 때는 부등식이 참이 되지만, x≤2일 때는 거짓이 된다.)
절대부등식이나 조건부등식은 중학교 교육과정에서는 사용되지 않는 용어다. 다만 여기에서는 방정식과 부등식을 비교하고 정확한 개념을 이해하도록 하기 위해 설명했다. 또한 x+1〉 3과 같은 부등식은 조건부등식이지만, 미지수의 차수에 따라 (일차식)〉 0의 형태인 일차부등식이라 부른다.
---「방정식과 부등식은 무엇인가요?」중에서

문장이나 도형 문제에서 대소 관계를 의미하는 표현이 있다면 이 문제는 부등식을 활용해 해결하는 유형이다. 부등식의 활용 문제를 풀이하는 과정을 알아보고 단체입장료, 긴 의자와 관련된 문제 등 대표적인 부등식 활용 문제 유형에서 부등식을 적용해 풀어보자. 부등식을 활용해 문제를 풀이하는 단계. 1단계는 문제를 파악하는 것이다(미지수 결정). 주어진 글이나 문장, 도형을 보고 문제의 뜻을 파악하고, 미지수 x를 구체적으로 결정한다. 미지수 x를 결정할 때는 미지수의 범위와 단위까지 정확하게 결정해야 한다. 2단계는 부등식을 세운다. 주어진 문제에서 대소 관계의 의미를 포함하고 있는 내용을 통해 일차부등식이나 연립부등식을 세운다. 3단계는 일차부등식 또는 연립부등식을 풀이한다. 부등식의 성질이나 이항을 이용해 일차부등식을 풀이하고 수직선 위에 나타내 연립부등식의 해를 구한다. 4단계는 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다(검산). 구한 값이 미지수의 범위 안에 있는지 확인하고 정확한 단위까지 써준다.
---「부등식의 활용, 어떻게 할까요?」중에서

함수는 일정한 규칙을 만족하는, 변하는 수 사이의 관계라고 할 수 있다. 예를 들어 음료수 자동판매기가 있다고 하자. 돈을 넣고 콜라를 선택하면 자판기에서 콜라가 나오고, 사이다를 선택하면 사이다가 나온다. 만약 콜라를 선택했는데 사이다가 나오거나 아무것도 나오지 않는다면 당황스러울 것이다. 또 콜라를 선택했는데 콜라와 사이다가 동시에 나온다면 이것 또한 당황스러운 일이다. 이런 일이 발생한다는 것은 일정한 규칙이 없다는 뜻이다. 우리가 배울 함수의 개념은 내가 고른 음료수가 일정한 규칙에 따라 자판기에서 나오는 것과 같은 의미다. 이것을 변하는 수의 관계로 설명하면 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있다. 어떤 수가 들어가면 일정한 규칙에 따라 연산한 후 새로운 수를 내보내는 요술 상자가 있다고 하자. 예를 들어 1이 들어가면 2가 나오고, 2가 들어가면 4가 나오고, 3이 들어가면 6이 나온다. 즉 이 요술 상자에는 어떤 수가 들어오면 그 수를2배로 내보내는 일정한 규칙이 있다.
---「함수란 무엇인가요?」중에서

함수는 두 변수 사이의 관계에 따라 정비례함수와 반비례함수로 나누어진다. 우선 정비례와 비례 관계가 무엇인지 알아보고, 각 함수의 정의와 특징, 그래프에 대해 알아보자.
· 정비례: x, y가 서로 일정한 비율로 늘거나 줄어드는 관계두 변수 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배, …가 되면 y의 값도 2배, 3배, 4배, …가 되는 관계에 있을 때 y는 x에 정비례한다고 하고, 이러한 대응규칙을 가지고 있는 함수를 정비례함수라 한다.예 함수 y=2x에서 x=1일 때 y=2이고, x=2일 때 y=4이므로 x, y는 정비례관계이며 y=2x는 정비례함수다. 물론 y=-2x와 같은 대응관계에 있는 함수도 정비례함수다.
· 반비례: x와 y의 곱이 일정할 때의 관계두 변수 x, y에서 x의 값이 2배, 3배, 4배, …가 되면 y의 값이 21 배, 31 배, 41배, …가 되는 관계에 있을 때 y는 x에 반비례한다고 하고, 이러한 대응규칙을 가지고 있는 함수를 반비례함수라고 한다.예 함수 yx2= (x≠0)에서 x=1이면 y=2이고, x=2이면 y=1이므로 x, y는 반비례관계이며, yx2=는 반비례함수다. 물론 yx2=- (x≠0)와 같은 대응관계에 있는 함수도 반비례함수다.
---「관계에 따른 함수의 종류를 알아보자」중에서

함수의 유형에 따른 최댓값과 최솟값 구해보자. 최댓값과 최솟값은 이름 그대로 가장 큰 값과 가장 작은 값을 말한다. 함수에서도 마찬가지로 함숫값 중에서 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값이라 하고, 가장 작은 값을 그 함수의 최솟값이라 한다. 최댓값과 최솟값을 구하기 위해서는 먼저 주어진 x의 범위를 확인해 함숫값을 구해야 한다. 그중에서 가장 작은 값이 최솟값이고, 가장 큰 값이 최댓값이 된다. x의 범위를 제한하지 않은 일차함수인 경우 그래프가 직선이 된다. 직선은 양쪽 방향으로 무한히 늘어나기 때문에 x에 대한 함숫값이 무수히 많다. 무한히 많은 함숫값 중에서는 최댓값이나 최솟값을 구할 수 없다. 그러나 x의 범위를 제한하지 않은 이차함수의 그래프는 포물선의 형태가 되므로 가장 작은 값이나 가장 큰 값이 존재한다. 따라서 이차함수에서는 x의 범위를 제한하지 않더라도 최솟값 또는 최댓값이 존재한다. 일반적으로 중학교 교육과정에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때, x의 범위를 제한하지 않으므로 이차함수는 최솟값이나 최댓값만을 갖는다.
---「함수식에서 최댓값과 최솟값을 구해보자」중에서

도수분포표를 그림으로 나타내는 방법은 직사각형 모양의 그래프로 나타내는 히스토그램이나 연속적인 변량을 나타내는 도수분포다각형으로 나타내는 방법이 있다. 히스토그램은 도수분포표를 그림으로 나타내기 위한 방법으로, 가로축을 계급, 세로축을 도수로 나타낸 그래프다. 도수분포표를 히스토그램으로 나타내면 각 계급의 도수와 도수의 분포상태를 쉽게 확인할 수 있다. 도수분포다각형을 그리려면 우선 히스토그램에서 각 직사각형 윗변의 중앙에 점을 찍는다. 이 점은 계급의 중앙값인데, 중앙값은 자료를 대표하는 대푯값 중 하나이며, 계급을 대표하는 계급값은 중앙값의 한 종류다(예를 들어 30 이상 40 미만의 계급값은 35). 그리고 히스토그램의 양 끝에 도수가 0인 계급을 하나씩 더 만들어 그 중앙에 점들을 찍고, 각각의 찍은 점들을 선분으로 연결한다. 히스토그램이나 도수분포다각형은 자료의 분포상태를 그림으로 잘 보여주는 그래프다. 특히 도수분포다각형은 자료의 변화상태를 확인할 수 있고, 2개 이상의 자료의 분포상태를 비교할 때 편리하다.
---「자료의 정리와 관찰, 이렇게 하면 좋아요」중에서

사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수를 구하는 문제는 사건 A가 일어나는 경우의 수와 사건 B가 일어나는 경우의 수를 더하는 방식으로 풀어준다. 그러나 먼저 확인해야 할 것은 두 사건이 동시에 일어나는 경우가 존재하는가이다. 만약 두 사건이 동시에 일어나는 경우가 존재한다면 각각의 사건의 경우의 수를 더해 동시에 일어나는 경우의 수를 빼주어야 한다.
Q. 1부터 10까지의 수가 적힌 10장의 카드가 있다. 이 중에서 1장의 카드를 뽑을 때 3의 배수 또는 4의 배수가 나오는 경우의 수를 구해라.
A. 카드에서 3의 배수가 나오는 사건을 A라고 하고, 4의 배수가 나오는 사건을 B라고 하자. 사건 A의 경우의 수는 3, 6, 9(3가지)이고, 사건 B의 경우의 수는 4, 8(2가지)이다. 두 사건이 동시에 일어나는 경우는 3과 4의 공배수인 12의 배수일 때다. 그런데 1부터 10까지는 12의 배수가 존재하지 않으므로 사건은 동시에 일어나지 않는다. 그러므로 3의 배수 또는 4의 배수가 나오는 경우의 수는 3+2=5(가지)다.
---「경우의 수란 무엇이고 어떻게 구하나요?」중에서

우리가 중.고등학교 수학시간에 배우는 도형에 관한 개념과 성질 등을 다루는 분야를 기하학이라 한다. 기하학은 영어로 ‘geometry’라 하는데 ‘geo-’는 땅이나 토지를 의미하고, ‘-metry’는 측정. 측량을 의미한다. 기하학은 고대 그리스. 이집트. 중국 등 여러 문명에서 땅을 측량하고 측정하는 것으로부터 시작되었고, 이것을 학문으로 발전시킨 사람은 고대 그리스의 수학자 유클리드(Euclid)다. 유클리드는 13권으로 된 『원론(Element)』을 저술한 기하학의 창의자로 불리며, 현재 우리가 배우고 있는 내용은 유클리드의 『원론』에 있는 내용들이다. 도형을 이루는 기본요소인 점, 선, 면, 각에 대한 개념과 성질을 이해하면 평면도형과 입체도형을 관찰할 때 많은 도움이 된다. 다음은 기본도형의 개념에 대한 설명이다.
점: 위치를 나타내기 위한 기본도형
점은 위치를 나타내기 위한 수단으로 사용하기 때문에 길이, 넓이, 부피가 존재하지 않는다. 두 도형이 만날 때도 점이 생긴다. 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점을 교점이라 한다.
선: 길이만 존재하고 폭이 없는 기본도형
선은 길이를 나타내는 수단으로 사용되고, 넓이와 부피가 존재하지 않는다. 두 도형이 만날 때도 선이 생긴다. 면과 면이 만날 때 생기는 직선 또는 곡선을 교선이라 한다.
면: 길이와 폭만 존재하는 기본도형
면은 입체도형을 만드는 기본요소로, 길이와 넓이는 존재하지만 부피는 존재하지 않는다. 면에는 평면과 곡면이 있고, 평면은 직선이 그 위에 무수히 많이 놓인 것이다.
각: 한 점 O에서 시작되는 2개의 반직선 OA, OB에 의해 만들어지는 도형
이 도형을 각AOB라 하고, 기호로 ∠AOB 또는 ∠BOA, ∠O 또는 ∠a와 같이 나타낸다.
---「기본도형의 개념에 대해 알아보자」중에서

일상적으로 사용하는 닮음의 의미와 수학에서의 닮음의 의미는 다르다. 일상생활에서 “아빠와 아들이 닮았다.” 또는 “두 건물이 닮았다.”라고 하면 ‘비슷하다’의 의미를 담고 있다. 그러나 수학에서 “두 도형이 닮음이다.” 또는 “닮은 도형이다.”라고 하면 ‘비율이 일정하다’의 의미를 담고 있다. 즉 수학에서는 합동을 포함해 일정한 비율로 축소하거나 확대하는 것을 닮음이라고 한다. 오른쪽 그림과 같이 작은 직사각형을 일정한 비율로 확대해 큰 직사각형을 만들었다. 이와 같이 한 도형을 일정한 비율로 축소하거나 확대해 얻은 도형과 처음 도형은 서로닮음이라고 하며, 서로 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라 한다. 만약 두 삼각형△ABC와 △A'B'C'가 닮은 도형이라고 한다면 기호로 △ABC∽△A'B'C'와 같이 나타낸다. 두 도형이 합동일 때도 두 도형은 닮음이 된다. 이렇게 합동인 두 도형을 1 : 1 닮음이라고 한다. 즉 닮음은 일정한 비율로 축소. 확대한 것과 합동(1 :1닮음)을 포함하는 개념이다.
---「도형의 닮음이란 무엇인가요?」중에서

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 나타낸 명제다. 고대 이집트나 메소포타미아, 인도, 중국 등의 문서에서 피타고라스 정리를 사용한 흔적을 볼 수 있는데, 고대 건축이나 토지의 측량 등 생활 속에서 정확한 직각을 찾을 때 사용되었다. 예를 들어 고대 이집트에서는 긴 끈을 일정한 간격으로 3칸, 4칸, 5칸짜리 삼각형을 만들면 3칸과 4칸 사이가 직각이 된다는 사실을 알았다. 피타고라스 정리를 일반화하고 증명한 사람은 피타고라스이지만, 그 이전부터 피타고라스 정리에 대한 개념은 실생활 속에서 사용되었다. 피타고라스 정리의 기본 원리는 다음과 같다. ∠C가 직각삼각형 ABC에서 세변을 a, b, c라 하면 a²+b²=c²(c: 빗변)이다. 피타고라스 정리는 여러 가지 방법으로 증명이 가능하다. 대부분 증명은 직각삼각형으로 새로운 도형을 만들고, 도형의 넓이나 성질을 이용해 대수의 개념으로 바꾸어 세 변 사이의 관계식 a²+b²=c²이 만족함을 보이는 것이다.
---「피타고라스 정리란 무엇인가요?」중에서

원은 우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 매우 친숙한 모양이다. 동전이나 자동차 바퀴뿐만 아니라 시계, 컵, 탁자 등 생활 속에서 다양하게 만들어진 원을 볼 수 있다. 그럼 물건들을 원으로 왜 만드는 것일까? 또 원으로 만들었을 때 좋은 점은 무엇일까? 물건을 원으로 만들면 어느 위치에서 보든지 같은 모양이고 힘을 일정하게 받는다. 바퀴를 원 모양으로 할 때 바퀴는 항상 일정한 힘을 받고, 지면과 한점에서 만나기 때문에 마찰력을 최소화할 수 있다. 그래서 같은 힘으로 가장 멀리 갈 수 있다. 또한 동전, 탁자, 시계 등을 원 모양으로 만들면 어디에서 보든 지름의 길이가 일정하기 때문에 안정적이고 아름다운 모양이 된다.
원: 평면 위의 한 정점 O로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임(자취)
이때 한 정점을 원의 중심이라 하고, 원의 중심이 O이면 원 O라고 부른다. 일정한 거리를 원의 반지름이라고 하고,radius의 약자인 ‘r’이라고 부른다. 자취는 도형이 남긴 표시나 자리의 흔적을 말한다.
---「원과 부채꼴이란 무엇인가요?」중에서

각뿔은 밑면은 다각형이고 옆면은 삼각형으로 이루어진 입체도형이다. 특징은 다음과 같다. 첫째, 옆면의 모양이 삼각형이다. 둘째, 밑면의 모양은 입체도형의 이름에서 알 수 있으며 밑면은 1개다. 셋째, 옆면의 개수는 밑면의 다각형의 변의 개수에 따라 결정된다. 각뿔대는 각뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 입체도형이다. 각뿔대는 다음과 같은 특징이 있다. 첫째, 각뿔대의 두 밑면은 평행하면서 닮음이므로 옆면의 모양은 사다리꼴이다. 둘째, 밑면의 모양은 입체도형의 이름에서 알 수 있으며 밑면은 2개다. 셋째, 옆면의 개수는 밑면인 다각형의 변의 개수에 따라 결정된다. 예를 들어 사각뿔대라면 옆면의 개수는 사각형의 변의 개수와 같은 4개가 된다. 넷째, 꼭짓점의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 2배다. 각뿔대는 두 밑면의 꼭짓점을 연결해 만든 입체도형이기 때문이다. 다섯째, 모서리의 개수는 밑면인 다각형의 변의 개수의 3배다. 각뿔대는 두 밑면의 꼭짓점을 선분으로 연결해 만든 입체도형이기 때문이다.
---「다면체란 무엇이고 어떻게 이해해야 하나요?」중에서

겉넓이란 무엇이고 어떻게 구할까? 평면도형에서 평면의 크기를 양으로 나타낸 것을 면적 또는 넓이라고 한다. 그렇다면 입체도형에서도 넓이를 구할 수 있을까? 입체도형에서는 넓이라는 용어 대신 겉넓이라는 용어를 사용한다. 즉 입체도형에서 겉 표면의 넓이를 표면적 또는 겉넓이라고 한다. 넓이는 평면의 개념이므로 입체도형의 겉넓이를 구할 때 입체도형을 평면의 형태로 만들면 쉽게 구할 수 있다. 입체도형의 표면을 적당히 잘라 평면 위에 펼쳐놓은 것을 입체도형의 전개도라고 한다. 즉 각각의 입체도형에 대해 전개도를 그릴 수 있다면, 겉넓이는 전개도의 넓이로 구할 수 있다. 각기둥과 원기둥의 겉넓이 각기둥과 원기둥의 겉넓이는 전개도를 펼친 후 각각의 넓이의 합을 구해 구할 수 있다. 사각기둥은 두 밑면이 평행하면서 합동이고 옆면은 직사각형으로 이루어진 입체도형이다. 사각기둥의 겉넓이를 구하기 위해 전개도를 그리면, 마주보는 면끼리 서로 넓이가 같다. 각 면의 넓이가 ab, bc, ca이므로 사각기둥의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)다.

<b>어렵기만 했던 수학이 쏙쏙 이해되는 책!</b><br/><br/>문제를 푼다는 것은 단순히 풀이하는 식을 암기하는 데 그치지 않는다. 오히려 그 문제와 풀이하는 식을 얼마나 이해하고 있느냐가 좌우한다. 즉 필요한 기본 개념을 이해해야만 제대로 된 암기를 할 수 있다. 특히 수학 문제를 푸는 데 있어 공식과 풀이 방법에 대한 기본 개념의 이해는 점수를 좌우하는 중요한 키포인트다. <br/><br/>총 7장으로 이루어져 있는 이 책은 중학 수학의 기본 개념을 이해하고 적용하는 데 필요한 공부법을 담고 있다. 1장 ‘수와 연산에 대해 알아보자’에서는 수의 종류와 역사를 짚어주면서 각각의 수를 연산하는 방법을 이해할 수 있도록 돕는다. 또한 소수·합성수·약수·배수의 개념을 이해하고, 소인수분해로 수를 분해해 다양하게 활용하는 방법까지 소개한다. 2장 ‘식의 계산, 이보다 더 쉬울 수 없다’에서는 사칙연산을 다룰 때 알아야 할 개념, 동류항과 분배법칙, 지수법칙 등으로 해결하는 방법 등을 설명한다. 또한 곱셈공식과 인수분해를 이용해 식을 전개식이나 곱의 형태로 변형해 활용하는 방법도 함께 제시한다. 3장 ‘방정식과 부등식, 이보다 더 재미있을 수 없다’에서는 방정식과 부등식의 기본 용어와 개념을 이해하고, 일차방정식과 일차부등식에서 해를 구하는 방법을 설명한다. 그리고 각각의 식을 확장해 연립일차방정식과 연립일차부등식의 해를 구하는 방법도 전수한다. 더 나아가서 이차방정식에서 근의 공식을 유도하고, 다양한 방법을 통해 해를 구하는 기회를 제공한다. 4장 ‘함수, 이보다 더 즐거울 수 없다’에서는 함수의 개념을 이해하고 함수의 그래프를 그려보는 방법을 제공한다. 5장 ‘통계와 확률, 이보다 더 알찰 수 없다’에서는 주어진 통계 자료를 정리·관찰·비교·분석하는 단계를 거침으로써 대푯값과 산포도의 개념을 이해할 수 있게 돕는다, 6장 ‘평면도형, 이보다 더 분명할 수 없다’에서는 다각형과 원의 성질을 이해하고 관찰하면서 각 도형의 정의를 포함한 개념과 성질을 살펴본다. 7장 ‘입체도형, 이보다 더 명확할 수 없다’에서는 도형을 종류별로 살펴보면서 꼭짓점·모서리·면 등을 찾아 입체도형의 특징을 배우고, 입체도형의 특징과 성질을 바탕으로 겉넓이와 부피를 구해볼 수 있도록 유도한다.

저자의 수학사랑은 한결같다. 그의 열정으로 빚은 논리의 정교함과 표현의 간명함은 수학이 얼마나 아름다울 수 있는지를 웅변한다. 이 책을 통해 학생들이 ‘수학의 맛’을 진하게 경험할 수 있기를 기대한다. 그럴 만한 내용이 차고 넘친다.

중학교에 비해 급격히 어려워지는 고등학교 수학 수업을 이해하고 싶지만 어디서부터 공부해야 할지 몰라 방황하는 많은 학생들을 보며, 중학 수학 개념의 중요성을 절실히 느낀다. 중학생 때부터 눈앞에 있는 문제 풀이에 급급하기보다 수학 개념에 담긴 이야기에 귀를 기울인다면 고등학교에서도 자신감을 가지고 수학을 공부할 수 있을 것이라 믿는다. 이 책을 읽으며 학생들이 이 과정에 한발짝 다가갈 수 있기를 기대한다.

수학 문제를 해결하는 것에 있어 제일 중요한 부분은 개념이다. 처음 기초를 다지는 시기에 오개념을 습득해 나중에 재정립을 하기에는 너무 비효율적이다. 따라서 중학교 수학 내용의 개념을 제대로 공부하고 싶은 학생들에게 이 책을 추천하고 싶다.

현재 많은 사람들이 바라보는 수학은 유형으로 쌓이고 쌓인 문제 덩어리이다. 그러나 수학 개념의 그 본질을 안다면 특정 개념에서 그 문제 유형이 나오게 된 이유를 알 수 있고, 더욱 본질적인 개념에서 문제들을 이해하며, 단지 암기로 문제를 푸는 수학이 아닌 스스로 알아가보는 수학에 더 가까워질 수 있게 된다. 이 책은 독자들에게 스스로 알아가는 과정에 있어 첫걸음을 선물해줄 것이다.