품목정보
발행일	2012년 02월 20일
쪽수, 무게, 크기	880쪽 \| 1181g \| 14019860mm
ISBN13	9788960511880
ISBN10	8960511889

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1권 미적분 I 적분부터 이해하자 01 미분과 적분을 처음 만나다 02 미적분이란 무엇을 하는 걸까? 03 적분은 넓이를 구하는 것이다? 04 세상은 울퉁불퉁하기 일쑤다 05 적분의 특기는 이러한 양을 다루는 방법에 있다 06 적분식을 찬찬히 보면 알 수 있다 07 적분은 디지털 세상에 걸맞은 개념이다 08 적분은 의외로 쉽다 II 미분은 적분의 도우미 09 적분의 딜레마 10 얼마나 복잡한 계산이 실제로 해 보자 11 계산에 목숨을 걸었던 기나긴 역사 12 미분은 해결사! 13 미적분의 역사를 돌이켜 보자 III 미분을 다시 생각하다 14 미분이란 무엇인가 15 미분과 직선의 기울기 16 미분식으로 생각해 보자 17 미분은 변화하는 것을 알기 쉽게 만드는 것 IV 미분과 적분의 관계 18 미분을 적분에 이용한다는 의미는? 19 적분한 것을 미분하면 왜 원래대로 돌아갈까? 20 적분보다 미분이 인간답다? 21 미분방정식 맛보기 22 컴퓨터 시대의 미분과 적분 2권 확률과 통계 I 확률은 조금 엉성하다 01 어떤 일이 일어나는 데는 두 가지 방식이 있다 02 확률은 우연에 점수를 매긴다 03 확률이란 무엇인가? 04 확률의 정체 05 또 하나의 확률 06 큰수의 법칙과 두 가지 확률 07 확률 개념 총정리 II 확률은 속기 쉽다 08 확률은 과거에 얽매이지 않는다 09 우연을 '지배'한다는 사람의 비밀 10 우연을 '예상'한다는 사람의 비밀 11 우연이 거듭 일어난다면? III 뜻밖의 재미를 주는 확률 계산 12 확률 계산의 기본 13 확률끼리 계산하기 14 제비뽑기 순서와 확률의 비밀 15 '적어도'라는 조건을 붙이면 뜻밖의 결과가 나온다 IV 통계란 무엇인가? 16 확률과 통계의 관계는? 17 기댓값이란? 18 기댓값과 여러 가지 도박 19 분산·표준편차·표준점수의 정체 3권 지수와 로그 I 세상은 지수로 이루어졌다 01 사람은 곱셈보다 덧셈을 좋아한다 02 연봉도 지수적으로 증가한다? 03 부풀리기와 혹 붙이기 04 지수적 세상은 필연적이다 II 지수의 원리 05 지수는 어떻게 계산할까? 06 지수는 이렇게 확장된다 III n제곱이 만들어 내는 놀라운 세상 07 10의 n제곱의 세계 08 2의 n제곱의 세계 09 수를 어떻게 나타낼까? IV 사람에게는 로그가 필요하다 10 로그란 곱셉을 덧셈으로 바꾸는 도구 11 로그의 원리 12 로그 눈금과 계산자의 원리 V 로그는 인간적이다 13 인간의 감각은 로그에 충실하다 14 진화하는 지수와 로그 4권 허수와 복소수 I 실수는 진짜, 허수는 가짜? 01 허수는 정말 가짜 수일까? 02 실수도 알고 보면 별나다 II 허수는 이렇게 인정받았다 03 음수의 힘겨운 성장과 정착 04 허수, 수학의 높은 장벽을 뚫다 III 허수의 참모습 05 복소수와 복소평면 06 복소수의 곱셈과 회전 07 복소수를 넘어서는 수는 존재할까? IV 이것이 허수의 힘이다 08 복소함수와 미분가능성 09 복소함수와 적분가능성 10 실제 세계와 허수

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저자 : 후카가와 야스히사 深川和久

교토대 이학부 수학과와 문학부 사회학과를 졸업했으며 동 대학 대학원에서 사회학 연구 석사 과정을 수료했다. 지은 책으로는 『두뇌의 수적 재구축』『퀴즈로 이해하는 중학 수학』『퀴즈로 이해하는 고교 수학』『방정식에 의존하지 않기』 등이 있다.

역자 : 전선영

한국외대 일본어과를 졸업하고 현재 출판 전문 번역가로 활동 중이다. 옮긴 책으로 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』(전 4권) 『우리 학교가 달라졌어요』『일상생활 속에 숨어 있는 수학』『바보는 항상 1등의 룰만 따른다』 등이 있다.

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지구 위의 땅이 실제로 평평하다는 것과 마찬가지로 일반적으로 곡선은 부분적으로 보면 직선이다. 이것은 곡선을 직선으로 어림한다는 말이 아니라 곡선을 점점 확대하다 보면 곡선을 직선이라고 생각할 수 있는 것이 된다는 뜻이다. 즉 범위를 점점 작게 해 가면 곡선의 구부러진 상태가 보이지 않게 되고 오로지 직선의 기울기만 남는다. 이렇게 해서 구부러짐이 있는 선인 곡선은 미분에 의해 기울기가 있는 직선으로 분해되고 차수 하나만큼 단순한 것으로 환원된다. 그리고 이 직선의 기울기에 관한 정보를 모으면 원래 곡선을 복원할 수 있게 된다. 물론 이 직선의 기울기는 한 점에서의 정보이고, 이러한 정보들을 모아 원래 곡선을 복원한다는 것은 곧 적분한다는 뜻이다. --- 『미적분』, pp.200-201

1의 눈이 10번이나 연속해서 나오는 '특별한' 경우나 아무런 특징 없는 '평범한' 경우나 확률은 결국 똑같다. 이 결론을 아무래도 납득하지 못하는 사람이 많을 것이다. 오히려 이 결론과 반대로 주사위 눈이 특별하게 나오는 장면은 좀처럼 보지 못했지만 평범하게 나오는 장면은 늘 보았다는 쪽이 자연스럽다. 그러면 어째서 이러한 생각이 자연스럽게 느껴질까? 여기에는 심리적인 요인이 크게 작용한다. 여기서 말하는 심리적인 요인이란 사물을 '특별한 것'과 '평범한 것'이라는 2가지 범주로 나누는 메커니즘을 뜻한다. 일반적으로 사람은 무언가 규칙성을 찾아낸 사물이나 사건을 '특별한 것'으로 여기고, 그렇지 않은 것과 구별하려는 경향이 있다. 이때 구별한 '특별한 것'과 '특별하지 않은 것'이라는 2가지는 언어 수준에서는 크기가 같다고 느낄 수도 있다. 그러나 실제로는 '특별한 것'이라고 생각하는 사물이나 사건의 수는 그리 많지 않은 반면, '특별하지 않은 것'의 수는 압도적으로 많다. 하나하나의 사건이 일어날 확률이 모두 똑같고 매우 작다 하더라도 '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 틀에서 생각하면 극히 소수인 '특별한 일'이 일어날 확률은 여전히 작은 데 반해 압도적으로 다수인 '그렇지 않은 일'이 일어날 확률은 커진다. 따라서 '특별한' 눈이 나올 확률과 '평범한'눈이 나올 확률이 같다는 결론을 납득하지 못하는 이유는 다음의 두 가지를 혼동하기 때문이다.
① 하나하나의 눈이 나올 확률
② '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 2개의 틀로 나누어 생각할 때의 확률 --- 『확률과 통계』, pp.82-83

악평이 자자한 '다단계'는 소문처럼 그렇게 나쁜 것일까? 예를 들어 '꽃 사랑 모임'이라는 단체가 있다고 하자. 이 단체는 1년에 여러 번 행사를 연다. 그때마다 유명 연예인의 공연도 있고 희귀한 꽃도 판매하기 때문에 즐거운 한때를 보낼 수 있다. 더구나 물품을 사라고 억지로 강요하지도 않는다. 모임의 회원은 적절한 요금을 내기만 하면 행사에 참가할 수 있다. 그런데 이 모임에는 다음과 같은 규칙이 있다.
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꽃 사랑 모임의 회칙
① 가입하려는 사람은 회원의 추천을 받아야 하고 모임에 가입비 5만 원을 지불한다.
② 회원(어버이 회원)은 신규 회원(자식 회원) 2명을 추천할 때마다 자식 회원 추천금을 1인당 2만 원씩 받을 수 있다.
③ 회원(어버이 회원)은 해당 회원의 추천을 받고 들어온 회원(자식 회원)이 새롭게 회원(손자 회원) 2명을 추천할 때마다 1인당 1만 원씩의 손자 회원 추천금을 받을 수 있다.
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가입비 5만 원을 내야 하지만 회원이 되면 신규 회원을 2명 끌어들일 때마다 1인당 2만 원씩 벌 수 있고, 끌어들인 회원이 새롭게 2명을 데려올 때마다 손자 회원 추천금이라는 명목으로 1인당 1만 원씩 받을 수 있다. 그러면 가입비 5만 원쯤은 금세 회수할 수 있고 앞으로도 승승장구할 것만 같다. 그러나 처음의 이런 장밋빛 생각은 곧 맥없이 무너지고 만다. 추천금을 받으려면 신규 회원을 1명이 아니라 2명 데려와야 하기 때문이다. 왜 2명이 문제일까? 2의 지수적 증가를 떠올리면 금세 이해가 될 것이다. 사람 수가 금세 엄청나게 불어나기 때문에 새로운 회원을 더 이상 찾을 수 없게 된다. 참고로 10대손 회원이 가입할 무렵이면 회원 수가 1000명을 넘어선다. 주위에는 온통 회원뿐, 새로운 회원을 찾기가 모래밭에서 바늘 찾기다. 따라서 회원들은 대부분 가입비 5만 원만 날릴 뿐, 추천금 같은 건 아예 기대하기 어렵게 된다. --- 『지수와 로그』, pp.134-135

실수란 현실에 당연히 존재하는 수일까? 이 문제를 진지하게 파고들려면 현실이니 상상이니 실재니 하는 것이 무엇인지까지 되짚어야 하겠지만 어려운 문제이므로 여기서는 다루지 않는다. 정확히는 몰라도 적어도 "실수는 현실에 당연히 존재하는 수라고 딱 잘라 말할 수 없다."?고는 할 수 있다. 수라는 것은 당연히 현실에 존재하는 것이라고 순순히 단정 지을 수 없다. 예를 들어 가장 당연해 보이는 1, 2, 3, 4 등의 자연수 개념도 사람이 날 때부터 몸에 지닌 것은 아니다. 눈앞에 나무가 한 그루, 두 그루, 세 그루 있다는 것을 시각적으로만 인식하던 단계에서 그로부터 1, 2, 3…이라는 수의 개념을 획득하는 단계로 나아가는 것만으로도 인간은 추상화 능력에 있어 대단한 도약을 했다라고 할 만한 것이었다. 그러니 실수가 당연히 실재하는 수로 받아들여지기까지는 숱한 고난의 과정을 거쳐야 했다. 실수에는 자연수, 0, 음수, 분수, 소수, 유리수, 무리수 등 다양한 수들이 있는데, 허수와 마찬가지로 대부분 처음에는 좀처럼 인정받지 못했다. 특히 음수는 받아들여지기까지 허수 못지않은 갈등의 역사를 거쳐야 했다. '실수는 당연히 존재하는 수'라는 개념 또는 감정은 처음부터 존재해 온 당연한 것이 아니라 역사적으로 만들어진 것이다.

--- 『허수와 복소수』, pp.26-27

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개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책 수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다. 수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 '수포자'(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. '국포자', '영포자', '과포자' 등의 비슷한 조어들에 비해 '수포자'가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다. 이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 '개념 중심의 수학책'이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 '개념'에 모든 것을 바쳤다. "개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념만' 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 '사고하는 방법'에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이라 할 수 있다. 간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. '연습 문제 풀이' 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 '적어도 개념만큼은 확실히 잡았다'라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 '수학 개념 책'이라 할 수 있다. 수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책 이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다. 이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데 '확률과 통계' 정도만 중학교 수학 시간에 '경우의 수' 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 허수와 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다. 따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 '수포자'들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다. 또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다. 각 권 주요 내용 1권 미적분 대부분의 학생들이 어려워하는 개념인 미적분을 좀 더 쉽게 접근할 수 있도록 적분의 기본 개념을 먼저 설명하고 미분으로 나아가는 방식을 취한다. '미분은 복잡하게 변화하는 것을 한 차원 아래로 끌어내려 알기 쉬운 형태로 조사하는 것'이라든지 '적분은 영화나 TV의 영상 출력 방식과 비슷한 개념이다' 등 여러 비유를 통해 미적분 개념을 쉽게 설명하고자 했다. 계산의 복잡함과 불가피한 오차 등 적분의 딜레마 문제는 미분을 이용해 간단히 해결할 수 있다는 것도 보여 주고, 나아가 미분과 적분은 역연산의 관계가 성립된다는 것을 밝힘으로써 미분과 적분의 본질에 더욱 다가갈 수 있도록 했다. 2권 확률과 통계 많은 학생들이 의외로 까다로워하는 확률 계산에서 자주 빠지게 되는 함정이나 오해를 다룬다. 이를 위해 먼저 일반적으로 말하는 확률과 수학적 확률이 어떻게 다른지, 확률에서 말하는 '우연한' 사건이란 무엇인지 알아본다. 또 확률 계산 시 주의할 점이나 요령을 제비뽑기와 주사위, 복권 당첨 등 쉽고 흥미를 끌 만한 예시를 통해 설명한다. 후반부에서는 통계의 주요 개념을 풀이하는데, 기댓값이 평균과 비슷한 개념이라는 점, 분산 값이 필요한 이유와 제곱을 이용한 계산이 이루어지는 이유 등을 설명함으로써, 피상적으로만 알고 있는 주요 용어들을 명확하게 이해하도록 돕는다. 3권 지수와 로그 많은 이들에게 수학 단원의 하나로만 알려져 있는 지수와 로그가 실생활에서 어떻게 응용되는지를 보여 줌으로써 지수와 로그 개념을 현실감 있게 이해하도록 유도한다. 세상은 곱셈의 원리, 지수의 원리에 따라 급격하게 움직이는 경향이 있지만, 사람들은 이를 덧셈의 원리에 따라 완만한 흐름으로 파악한다. 이로 인한 오해와 착각을 설명하면서 지수의 본질에 더욱 다가간다. 또 이렇게 덧셈에 더욱 친숙한 사람의 성향이야말로, 지수의 역인 로그의 기본 성질과 부합한다는 점을 살펴본다. 4권 허수와 복소수 허수와 복소수의 개념을 알면 알수록 실수 개념이 명확해지고 수의 체계가 잡힌다. 실수는 자연적인 수, 허수는 인공적인 수라는 이분법을 걷어내고 고찰하면, 수의 본질이 무엇이고 한 가지 수가 '수로서 인정'받기 위해 어떤 조건들을 갖춰야 하는지도 생각해 볼 수 있다. 이 책에서는 유리수와 무리수, 음수와 허수가 인정을 받는 과정을 살피면서 수의 체계에 대한 이해를 도모한다. 또 실수와 허수의 상위 체계인 복소수를 복소평면 위에 나타내거나 극형식으로 표현했을 때 수학적으로 어떤 놀라운 일이 벌어지는지 보여 준다.

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