확장메뉴
주요메뉴


소득공제
미리보기 공유하기

신의 방정식 오일러 공식

: 세상에서 가장 아름다운 공식 다섯 숫자의 비밀을 풀다

리뷰 총점9.3 리뷰 4건 | 판매지수 1,938
베스트
자연과학 top100 7주
정가
15,000
판매가
13,500 (10% 할인)
YES포인트
배송안내
서울특별시 영등포구 은행로
지역변경
  • 배송비 : 무료 ?
  •  해외배송 가능
  •  최저가 보상
  •  문화비소득공제 신청가능
YES24 북클럽 24일 이용권 (북클럽 가입 후 등록 가능)
과학의달 동아엠앤비 브랜드전!
9월 전사
예스24현대카드
1 2 3 4 5

품목정보

품목정보
출간일 2020년 03월 30일
쪽수, 무게, 크기 248쪽 | 426g | 145*220*15mm
ISBN13 9791163631873
ISBN10 1163631876

책소개 책소개 보이기/감추기

신의 방정식이라고 불리는 수학 공식!
단순해 보이는 5개의 숫자 안에 숨겨진 연결고리


『신의 방정식 오일러 공식』은 수학 공식의 중요성을 알리는 데 앞장서고 있는 전 세계 수학자들이 모여 오일러 공식을 선정하고 직접 집필한 기획 도서이다. 학생 및 일반인에게 오일러 공식을 어떻게 설명하는지, 미적분학을 쓰지 않고도 어떻게 오일러 공식을 이해할 수 있는지에 대해 잘 설명하면서 오일러의 공식이 가장 쉽고 아름다운 이유들에 대해 소개하고 있다. 또한 오일러의 생애 외에도 수많은 유명 과학자, 수학자들이 오일러에게 보냈던 찬사와 비유, 그들과 오일러과의 에피소드들이 담겨있다. 이 책을 토대로 오일러에 대한 내용들을 좀 더 깊숙이 들여다보면서 오일러 공식을 충분히 감상하다보면, 일반 수학 지식을 넓힐 수 있을 뿐만 아니라 수학을 조금 더 가깝게 느낄 수 있을 것이다.

목차 목차 보이기/감추기

서론
1장 신의 방정식
2장 변화를 나타내는 상수
3장 이것은 심지어 굴뚝을 넘어 찾아오기도 한다
4장 존재와 비존재 사이의 숫자
5장 대가의 초상화
6장 웜홀을 지나서
7장 삼각형에서 시소까지
8장 아들이 낸 문제
9장 모든 것을 하나로 조합해 보자
10장 오일러 공식의 재해석
11장 모든 것의 의미
부록1 오일러의 유도식
부록2 왜 i은 실수일까?
감사의 말
수학 용어 사전
참고 문헌
색인

저자 소개 (2명)

책 속으로 책속으로 보이기/감추기

수학을 공부하는 어린 학생들은 이 공식의 e iπ라는 기괴한 수식이 단순한 정수 -1과 같다는 사실에 매우 놀랄지도 모른다. 그러나 서로 연관되어 있지 않은 다섯 가지 숫자들(e, i, π, 1, 0)이 퍼즐 조각처럼 깔끔하게 맞아떨어지게 되는 것에서 더 놀라워할 수도 있다. 어떤 이들은 우주적인 조율자가 어느 날엔가 이 퍼즐 조각들을 맞추어 놓고 짓궂게도 감질나게 만드는 힌트를 오일러의 책상 위에 남겨 두어 이 이해할 수 없는 숫자들의 조합을 암시했다고 생각할지도 모른다. --- p.28 「신의 방정식」 중에서

다큐멘터리 영화를 찍는 듯한 자세로 글을 쓴다면 오일러 공식의 역사를 탐험하는 사람이 환각을 일으키는 무한대의 영역에 들어가 본 후 이 익숙한 작은 수학적 표현에 놀라운 힘이 숨겨져 있음을 깨닫고, 이후 다른 수학자, 과학자, 기술자 들이 이것을 사용하여 세상을 어떻게 바꾸었는지에 대한 내용으로 요약할 수 있었을 것이다.
--- p.45 「변화를 나타내는 상수」 중에서

바젤 문제(Basel Problem)라고 알려진 이 문제는 당시에 가장 중요한 수학적 질문 중 하나라고 여겨졌다. 이때 젊은 오일러는 이 문제의 답을 π2/6이라고 풀어내어 사람들을 놀라게 하였고 국제적인 명성을 얻게 되었다. 또한 그는 π의 요상한 능력에 대한 놀라운 증거를 제시하였다.
--- p.63 「이것은 심지어 굴뚝을 넘어 찾아오기도 한다」 중에서

1702년 라이프니츠는 즐거운 마음으로 “허수는 신성한 지성의 정교하고 훌륭한 재료이며, 존재와 비존재 사이에 존재하는 양서류라고 할 수 있다.”라고 평했다. 몇십 년 뒤 오일러는 “어느 누구도 우리가 허수를 계산에 포함하는 것을 막을 수 없다.”라고 평가하면서 허수를 숫자로 도입하였다.
--- p.73 「존재와 비존재 사이의 숫자」 중에서

오일러는 20대에 오른쪽 눈이 감염되어 시력을 잃었고, 이후 왼쪽 눈 또한 백내장 수술에 실패하면서 사람의 얼굴이나 근처의 물건조차 볼 수 없게 되었다. 하지만 시력을 잃은 상황에서도 그의 연구는 조금도 늦춰지지 않았다. 실제로 오일러는 시력을 잃은 것에 대하여 “마음을 산만하게 하는 것이 하나 줄었다.”라고 쾌활하게 반응했다고 한다.
--- p.82 「대가의 초상화」 중에서

역사상 가장 유명한, 다섯 가지 숫자만으로 이루어진 공식, 그렇게 수학의 다른 분야에 사용되는, 중요하지만 완전히 연관성이 없어 보이는 다섯 개의 숫자들이 하나의 방정식을 이룬다는 것은 믿을 수 어려운 일이기 때문에 오일러 공식이 화제의 중심이 되었던 것이기도 하다.
--- p.100 「웜홀을 지나서」 중에서

많은 수학의 개척자들이 종종 그래 왔던 것처럼 쉽게 받아들여지는 개념과 숫자를 조작하여 참신한 방정식을 도출한 다음 그 참신한 생각을 수학적, 정신적으로 확장하여 결과를 얻었다. 오일러는 이 전략을 사용하여 허수 지수가 예측하지 못하는 친숙한 숫자로 해석될 수 있다는 것을 증명했다.
--- p.104 「삼각형에서 시소까지」 중에서

‘세상에서 가장 아름다운 방정식’을 얻는 것은 공원을 산책하는 것만큼이나 쉬운 일이다. 우선 e iπ = cosθ + i sinθ의 모든 θ에 π를 대입하면 e iπ = cosπ + i sinπ가 된다.
cosπ = -1과 sinπ = 0을 대입하면 e iπ = -1을 얻을 수 있다.
--- p.142 「모든 것을 하나로 조합해 보자」 중에서

e를 허수로 제곱한다는 것은 복소평면의 회전 연산자라고 생각할 수 있다. 그러한 기하학적 해석을 ‘e를 i 곱하기 π로 제곱한다.’는 것을 뜻하는 오일러 공식에 적용해 보면, 이것은 반원 회전을 모형화하는 것을 의미한다.
--- p.164 「오일러 공식의 재해석」 중에서

현대 수학자들에게 오일러 공식은 기초적인 것으로 보일 수 있지만, 아직도 많은 수학자들은 이것이 기이할 정도로 아름답다고 느낀다. 나는 이 공식이 전형적인 ‘초월하는 것에’ 대한 느낌으로 가득하기 때문이라고 생각한다. 이 속에는 누구도 다다르지 못했던 깊으면서도 간결한 진리를 천부적인 천재가 어떻게 발견했는지에 대한 이야기가 담겨 있다. 그러므로 수학자들이 이 공식을 잘 알고 있느냐는 중요한 문제가 아니다. 오일러 공식은 그들과 나에게 영원한 즐거움으로 자리할 것이다.
--- p.177 「모든 것의 의미」 중에서

출판사 리뷰 출판사 리뷰 보이기/감추기

전 세계 수학자가 극찬한

수학 공식 가운데
가장 아름다운 공식!
eiπ+1=0

신의 방정식이라고 불리는 수학 공식!
단순해 보이는 5개의 숫자 안에 숨겨진 연결고리



이 책은 수학 공식의 중요성을 알리는 데 앞장서고 있는 전 세계 수학자들이 모여 오일러 공식을 선정하고 직접 집필한 기획 도서이다. 그러면서 수학 기초 공식에 대해 학생 및 일반인에게 오일러의 공식이 가장 쉽고 아름다운 이유들에 대해 소개하고 있다. 위대한 문학 작품이나 예술 작품과 마찬가지로, 위대한 수학도 흥미를 불러일으키고 아름다우며 깊이가 있다는 사실을 알리는 데 목적을 두고 있는 것이다.
수학은 어렵고 복잡한 학문이라는 인식이 많다. 수많은 수포자들이 생기는 이유가 “수학=골치 아프고 어려운 과목”이라는 선입견 때문일 것이다.
그러나 오일러Leonhard Euler에게 수학은 일상이었다.

“사람이 호흡하듯, 독수리가 공중을 날듯, 겉보기에는 별달리 애쓰는 흔적도 없이 계산을 해낸” 인물이었다.
- 도미니크 프랑수아 장 아라고Dominique Francois Jean Arago

일반인은 이해하지 못하겠지만, 오일러는 어린아이를 무릎에 안고 큰 아이들은 그의 둘레를 뛰놀게 하면서 연구 보고를 쓰는 일도 흔히 있었다. 가장 어려운 수학을 얼마나 수월하게 써 나가고 있었는가를 알려 주는 일화이다.
전설과도 같은 이야기도 전한다. 물론 과장이 섞인 말이지만, 오일러는 식사하라는 재촉을 두 번 받는 동안인 반 시간 남짓이면 한 편의 수학 논문을 써냈다고 한다.
그런 오일러가 ‘eiπ + 1 = 0’이라는 어려워 보이면서도 단순하게 해석할 수 있는 공식을 만들어 내었다.
이 공식은 사람들이 ‘신의 방정식’이라고 부르고 있다. 겉으로는 단순하고 간결해 보이지만 수학에서 중요한 다섯 개의 상수(0, 1, ??, π, e)와 중요한 세 개의 연산(더하기, 곱하기, 지수)만으로 하나의 공식을 완성시켰다.
수학 전문가들이 오일러 공식을 가장 아름다운 수학 공식이라고 꼽은 것처럼, 오늘날 오일러 공식은 전기 공학자들과 물리학자들에게는 없어서는 안 될 기본 도구로 자리 잡았다. 또한 회로 설계 및 분석을 단순화한 것에 머물지 않고 20세기 동안 진행된 전기 발전의 혁신을 가속화하는 데 공헌했다고도 할 수 있다. 그래서 오일러의 공식은 그 자체로도 매우 아름다워 ‘수학자들이 내놓은 보석’으로 불리지만, 복소 해석에서 오일러의 공식은 약방의 감초처럼 절대 빠질 수 없는 존재이며 활용 빈도가 아주 높다고 할 수 있다.
그렇다면 오일러 공식은 어떻게 증명할까? 미분을 쓰면 오일러 공식을 쉽게 증명할 수 있다고 수많은 교재와 웹사이트에서는 그렇게 설명하고 있다. 하지만 복소수 함수의 미적분학을 알아야 한다거나, 미분 방정식을 알아야 한다면 골치 아픈 이야기가 되어 버린다. 더구나 왜 그런 공식이 나오는지 선뜻 와 닿지는 않는다. 그래서 이 책에는 오일러 공식을 어떻게 설명하는지, 미적분학을 쓰지 않고도 어떻게 오일러 공식을 이해할 수 있는지에 대해 잘 설명되어 있다.
아름다운 것에 대한 이유를 설명하면 오히려 아름다움을 해치기 마련인 것처럼, 아름다움을 설명하기보다는 이 책을 토대로 독자 여러분이 오일러 공식을 충분히 감상할 시간을 주는 것이 바람직할 것이라 생각된다. 쉽기 때문에 아름답다는 말로 표현한다면 억측일까?
모쪼록 이 책에 나오는 오일러에 대한 내용들을 좀 더 깊숙이 들여다보면서 일반 수학 지식을 넓히는 데 큰 힘이 될 뿐만 아니라 수학에 대해 한걸음 더 나아가는 데에도 큰 도움이 될 수 있었으면 한다.

■ 전 세계 수학자가 극찬한 수학 공식 중 가장 아름다운 신의 방정식!
eiπ + 1 = 0


수학 교과서에서는 ‘오일러의 공식’이라고 불리지만 어떤 이들은 이 공식에서 발견되는 가장 매력적이고 놀라운 수학적 진실을 부르기에는 너무 흔한 이름이라고 여겨 이것을 ‘신의 방정식’이라고 부른다. 1750년 이 사실을 발견한 오일러는 다음과 같은 말을 했다고 한다.
“이것은 창조주의 언어이다.”
그런데 방정식을 살펴보면 지수에 복소수가 있다. 이것이 왜 아름다울까? 진짜 아름다움은 아무나 쉽게 느낄 수 없다.
오일러는 지수를 복소수까지 넓히고 있는데, 이는 어쩌면 기적에 가까운 공식이라 부를 수도 있겟다. 양수의 거듭제곱이 음수(-1)가 될 수 있다는 것을 살펴보자. 실수 세계에서 양수를 거듭제곱하면 항상 양수가 된다. 그런데 e를 ??π번 곱하면(eiπ) -1이 나온다. 오일러 공식을 통해서 지수에 허수가 들어가면 양수의 거듭제곱도 음수가 된다는 사실이 밝혀진 것이다. 어찌 기적이 아닐 수 있겠는가! 더욱이 그 속에는 수학 자체를 표현하는 아름다움이 느껴질 뿐만 아니라 그 이전까지는 느낄 수 없었던 수학의 새로운 맛을 우리에게 선사해 준다.
때문에 세계적인 수학자들도 오일러 공식을 극찬하였다.
리처드 파인먼Richard Phillips Feynman은 오일러 공식을 보고 “우리의 보석!”이라는 감탄사를 연발하였고, 스탠포드대학의 수학자 키스 데블린Keith Devlin도 “오일러의 방정식은 흡사 사랑의 정수를 포착한 셰익스피어의 소네트나 인간 육체의 아름다움을 표면적 차원 이상으로 표현한 회화 작품같이 존재의 가장 근원적인 곳을 파헤치고 있다.”라고 말하며 오일러 상수에 혀를 내둘렀다.
폰 린데만Carl Louis Ferdinand von Lindemann도 오일러 공식을 대입하여 π가 초월수라는 것을 증명함으로써 수천 년 동안 수학의 난제로 꼽혔던 문제를 해결하기도 했다.

■ 오일러의 생애
오일러는 18세기에 가장 영향력 있는 천재 수학자였다. 그는 이론 수학자로서 대수학, 기하학, 미적분학, 정수론 분야에 상당히 의미 있는 많은 업적을 남겼으며, 응용수학자와 과학자로서 역학, 천문학, 광학, 조선학 분야에서도 중요한 발견을 이루어 냈다. 오일러는 병균에 의한 눈 질환을 앓게 되었고, 2년 후에는 오른쪽 눈의 시력을 완전히 잃었다고 알려져 있다. 이 무렵 오일러의 초상화가 대부분 왼쪽 옆모습으로 그려진 것은 이런 속사정이 숨어 있었기 때문이다.
그러나 이런 신체적 결함 역시 그의 긍정적인 삶의 자세를 한 치도 흐트려 놓을 수는 없었다. 예전과 다름없이 왕성한 연구를 계속한 오일러는 다면체라고 부르는 구조에 대한 ‘모서리+2’ 공식을 발견했는데, 다면체는 삼각형, 사각형, 육각형과 같은 다각형의 면을 갖는 상자, 피라미드, 혹은 축구공 같은 물체를 말한다. 모서리 개수를 최초로 발견한 것은 데카르트Rene Descartes였지만, 데카르트는 자신이 발견한 것에 대해 증명하지 못했다. 이것을 100여 년이 흐른 뒤에 오일러가 증명해 낸다. 이처럼 규칙을 완벽하게 만족하는 수학의 아름다움을 증명한 것이 바로 오일러이다. 삼각함수의 기호 sin, cos, tan 등을 비롯하여 자연 대수의 근에 쓰이는 e, 허수의 기호 i도 처음으로 오일러가 사용한 기호이다.
오일러는 마지막 17년을 앞이 안 보이는 채로 살았음에도 그의 능력은 어느 때보다도 눈부신 빛을 발하였다. “한 눈으로 보니 모든 현상이 또렷이 보인다.”라고 했던 그는 양 눈의 시력을 다 잃고 난 후에 “이제야 양쪽이 같아져서 덜 혼란스럽다.”라고 했다.
시력을 잃은 상황에서도 그의 연구는 조금도 늦춰지지 않았고, 조수들의 도움으로 자신의 전체 업적 중 절반 이상을 작업했다. 그는 복잡한 계산들을 암산으로 해결한 후, 조수들이 받아 적도록 하는 방식으로 연구를 진행하였다. 오일러는 모든 계산을 암산으로 척척 해낼 만큼 암기력에서는 타의 추종을 불허하였다. 종이 수십 장에 적힌 숫자들을 하나도 틀리지 않고 정확히 기억했으며, 여든 살이 넘었어도 막히거나 실수하는 법이 없이 단어 하나 틀리지 않고 통째로 책을 암송했다고 한다.
1883년 9월 7일 오후 오일러는 가족들과 차를 마시면 담소를 나누고 소파에 앉아 손자와 장난스럽게 놀면서 부인에게 두 번째 차를 부탁한 뒤 갑자기 피고 있던 파이프 담배를 던지고 일어서더니 “나는 죽어 가고 있다.”라고 외친 뒤 조용히 눈을 감았다. 너무나 인간적이고 너무나 긍정적인 그는 수학으로 세상을 보는 눈을 우리에게 준 셈이다.
오일러의 생애 외에도 이 책에는 수많은 유명 과학자, 수학자 들이 언급된다. 그들이 오일러에게 보냈던 찬사와 비유, 그들과 오일러과의 에피소드 등을 살펴보는 것도 색다른 즐거움이 될 수 있을 것이다.

■ 짚고 넘어가야 할 수학 서적
요즘 서점에 가 보면 초ㆍ중학생 눈높이에 맞춘 수학 관련 책을 많이 볼 수 있다. 한동안 과학 관련 책이 쏟아져 나오더니 그 바통을 수학 서적이 이어받는 모양새이다. 대부분은 수학자와 역사 속 에피소드, 만화 등을 동원하여 수학 개념을 쉽게 풀이하는 내용이다. 오일러에 관한 책들을 살펴보면 먼저 출판사 자음과모음에서 각각 60권과 100권까지 펴낼 계획인 ‘천재들이 만든 수학 퍼즐’과 ‘수학자가 들려주는 수학 이야기’ 시리즈가 눈에 띈다. 둘 다 피타고라스, 오일러, 피보나치 등 수학자가 직접 학생 눈높이에 맞춰 수학 개념을 쉽게 들려주는 형식이다.
비슷한 형식으로 일출봉 출판사의 ‘가르쳐주세요!’ 시리즈도 있다. 과학과 수학 전반을 포함하는데 한붓그리기, 도형, 백분율, 사칙연산 등 수학 서적이 상당수이다. 이 밖에 ‘수학 뇌를 만드는 수학 퍼즐’ 시리즈(사이언스북스), ‘이야기 수학 퍼즐 아하!’(사계절), ‘꼬물꼬물 수학 이야기’(뜨인돌어린이) 등이 있다. 예전의 수학 서적이 수학과 관련한 역사적 이야기를 들려주는 쪽이었다면, 요즘은 수학적 사고력을 키워 실제 수학 실력을 높여 주려는 목적을 가지고 있다. 실제 수학 교과 과정과 어떻게 연결되는지를 앞부분에 적어 놓는 경우도 많다. 이 때문에 수학 개념이 실생활에서 어떻게 도출되었는지를 익히고, 이를 토대로 깊이 있는 부분까지 들어가는 수학 교재가 필요하다. 내년부터 단계적으로 적용될 8차 교육과정에서는 수학 과목의 목표로 ‘수학적 의사소통 능력 향상’이 추가되었다. 따라서 학생들에게 수학을 말로 설명하고 논리적으로 설득하는 능력이 요구될 전망이므로 ‘기원과 맥락’을 아는 수학 교육이 중요하다고 수학자들은 강조하고 있다. 다만 책을 고르는 데 주의할 점이 있다. 연령대별로 수학적 이해력에 차이가 있기 때문에 본인의 학년보다 훨씬 나중에 배우게 될 수학 개념을 다룬 책을 미리 보는 것은 도움이 안 된다. 만화와 이야기 형식으로 쉽게 풀어져 있다고 해도 마찬가지이다. 오히려 아이가 “쉬워 보이는 책인데 이해가 안 간다.”라는 생각에 겁에 질릴 수도 있다.
여하튼 이 책을 통해서 많은 수학자들과 수학을 처음 접하는 이들에게 공감이 되었으면 한다.

회원리뷰 (4건) 리뷰 총점9.3

혜택 및 유의사항?
간단하고 명료한 방정식애 대한 다소 장황한 이야기 내용 평점4점   편집/디자인 평점4점 스타블로거 : 블루스타 J**e | 2021.08.15 | 추천0 | 댓글0 리뷰제목
리만 가설을 알고, 구체적으로 오일러 공식 (Euler's formular)를 좀더 알고 싶어 읽게 되었다.     알고 보면 쉽고 매우 간단한 공식이다.   책을 읽다 보면 발견한 오일러 보다 그 이후에 전기공학 부분에 사용하게 되면서 아주 유용한 방정식이 되었다.     e^iπ + 1 = 0  e^ix = cosx + isinx     1) 자연 상수 e&n;
리뷰제목

리만 가설을 알고, 구체적으로 오일러 공식 (Euler's formular)를 좀더 알고 싶어 읽게 되었다. 

  

알고 보면 쉽고 매우 간단한 공식이다.  

책을 읽다 보면 발견한 오일러 보다 그 이후에 전기공학 부분에 사용하게 되면서 아주 유용한 방정식이 되었다. 

  

e^iπ + 1 = 0 

e^ix = cosx + isinx 

  

1) 자연 상수 e 

이 책에서는 오일러 상수로 설명하고자 하는데, 여러 의견이 있어서 자연상수 e로 지칭한다. 

이 책을 보면서 e에 대해서 정확하게 알게 되었는데, 왜 고등학교 시절에는 좀더 쉽게 개념을 배우지 않았는지 모르겠다. 

이 책에서 설명하는 이자율 100 퍼센트의 복리 문제를 이해한다면 e 값의 내용을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 

π에 버금가는 무리수라 할 수 있다. 

  

2) π 

가장 사랑하는 무리수라고 생각한다. 

원주율은 원의 길이나 넓이, 원통, 구 등에 사용되는 상수이다. 

기대와는 달리 여러 수학 공식에 등장하여 흔하게 볼 수 있는 상수이다. 

오일러 공식에서는 특별한 의미가 없고, 각도가 180도를 나타난다. 

하지만 책에서는 여러 파이에 대한 설명을 많이 하고 있다. 

  

3) 0과 1일 

아마 가장 많이 사용되는 숫자이고, 어려운 수식을 잘 계산하면 0혹은 1로 끝날 것이다. 

공식에서 굳이 0과 1을 넣었다. 

  

4) 무한수열 

오일러는 여러 함수를 무한 수열로 등치하여 만들었다. 

이 책에서는 삼각함수인 sin cos을 무한 수열로 만들었으며 근사값을 구할 수 있다. 

파이에 대한 무한 수열도 나온다. 

그래서 아래 수식을 완성하였다. 

e^ix = cosx + isinx 

  

5) 복소평면 

가로로 실수 축과 세로로 허수 축을 가지는 평면이다. 

e^ix = cosx + isinx 

위의 함수는 길이 1을 가지는 원을 그리게 된다. 

0도 일때는 (1+0i) 90도 일때는(0+1i) 180도 일때는 (-1+0i), 270도 일때는 (0-1i)이다. 

  

6) 허수 i에 허수 i를 제곱하면 

허수 i를 90도의 호프만 공식에 넣는다. 

e^i(π/2)^i = e^(i*i*π/2) = e^(-π/2)  

는 약 0.207879576 인 무리수이다. 

  

오일러 공식은 비교적 이해하지 쉬운 공식이다. 그리고 멋진 상수들의 모임으로 나타난다. 

재미있는 공식에 대한, 이것 저것 설명이 많은 책이다. 
 

댓글 0 이 리뷰가 도움이 되었나요? 공감 0
포토리뷰 신의 방정식 오일러 공식[서평] 내용 평점5점   편집/디자인 평점5점 따***덕 | 2020.05.06 | 추천1 | 댓글0 리뷰제목
<신의 방정식 오일러 공식>은 5개의 숫자로 이루어진 간단한 수식 하나가 한편의 불후의 명작이 될 수 있음을 가르쳐 주는 책이다. 제목에서 처럼 이 책의 주인공인 오일러 공식은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 발견한 수식, 'e^(iπ)+1=0'를 말한다. 컴퓨터 자판으로 쓰다보니 지수표현을 삿갓(^)으로 쓸수 밖에 없어 본래 수식의 아름다움이 줄어 아쉽지만 책 표지에 딱 하고;
리뷰제목


<신의 방정식 오일러 공식>은 5개의 숫자로 이루어진 간단한 수식 하나가 한편의 불후의 명작이 될 수 있음을 가르쳐 주는 책이다. 제목에서 처럼 이 책의 주인공인 오일러 공식은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 발견한 수식, 'e^(iπ)+1=0'를 말한다. 컴퓨터 자판으로 쓰다보니 지수표현을 삿갓(^)으로 쓸수 밖에 없어 본래 수식의 아름다움이 줄어 아쉽지만 책 표지에 딱 하고 자리잡고 있으니 그걸 보고 음미하면 되겠다.


전기전공자인 나에게 이 수식은 굉장히 익숙하다. 하지만 수학 관련된 전공이 아닌 일반인이라면 분명 생소할 수 밖에 없다. 수학이라면 치가 떨려 일찍부터 소위 '수포(수학포기자)'를 선언한 사람들 수가 적지 않아서 일 수 있지만 고등학교 때 수학 좀 했다하더라도 이 식은 알기 어렵다. 왜냐하면 고등학교 수학책에는 나오지 않기 때문이다. 그럼에도 불구하고 이 수식을 알 수도 있는 것은 이 식으로 소설과 영화가 나온 적 있기 때문이다. 2004년에 발표된 '오가와 요코'의 소설 <박사가 사랑한 수식>은 그 뜨거운 인기에 2006년 영화로도 개봉되었다. 물론 나도 그 영화를 봤었다. 당시 학부생이었던 나는 너무나 친숙한 저 수식에 끌려 영화를 보게 되었고 이번 책도 그런 반가움에 끌려 읽게 되었다.


불필요한 사족을 잠깐 달자면, 위의 식은 일반형이 아니다. 원래 일반형은 'e^(iθ)=cosθ+isin(θ)'이고 위의 식은 θ가 π인 경우에 한 한다. 나는 저 공식을 'Euler's identity(오일러 항등식)'로 배웠는데, 오일러 공식, 오일러 방정식, 오일러 항등식으로 다양하게 부르지만 저자도 책에서 밝히듯 엄밀히 수학적으로 따지면 의미가 구분되어야 하나 교양서적이기에 스무스하게 넘어가자.


저자는 서두에 분명하게 밝히고 있다. 이 책을 쓴 것은 수학이 최고의 수면제라고 여기는 수많은 사람들이 자신이 오일러의 공식에서 느꼈던 그 엄청난 감정들을 고스란히 느끼게 해주고 싶어서이며, 위대한 수학이 위대한 문학이나 예술처럼 흥미롭고 아름다운 것임을 공감하고 싶어서라했다. 하지만 뒤에 유명한 물리학자 스티븐 호킹의 "책에 방정식을 하나 쓸 때마다 독자가 반으로 준다"던 말을 인용하며 수십 개의 식이 담긴 이 책을 읽을 독자는 아마 100만분의 1만큼 귀한 사람들이 아닐까하며 작은 우려도 내비쳤다.



나는 저자의 용기와 포부에 정말 큰 찬사를 보내면서도 내심 걱정이 되었다. 특히 7장에서는 sin, cos의 삼각함수나 좌표계가 본격적으로 등장하기 시작하는데 그나마 용기내서 이 책을 잡은 독자들마저 좌절의 늪에 빠지지 않을까 염려되었다. 내가 해줄 수 있는 말은 인내심을 갖고 끝까지 읽어낸다면 분명 얻어가는 게 많을 것이라는 것과 생소하다는 것은 그만큼 내가 새롭게 배울 것이 많다는 신호라는 크게 도움 안되는 소리뿐. 한 가지 위안이 되는 말을 해준다면, 저자는 이 책의 독자층을 수학은 오래도록 잊고 산(어쩌면 애시당초 배운적 없는) 일반인들의 눈높이에 맞추어 썼다고 '분명히' 밝혔고 그의 초등학교 6학년 딸을 대상으로 한 마루타 실험에 성공했다 하니 너무 겁먹지 않았으면 좋겠다. 그리고 한가지 더 첨언하면 이 책을 읽고 "사람이 숫자 다섯 개 달랑 들어 간 짧은 수식 하나로 이렇게 책 한권 쓸 만큼 수학과 사랑에 빠질 수도 있구나, 수학이란 게 생각했던 것 만큼 소름돋게 징그러운 학문은 아닌가봐"하는 정도의 독자들의 인식변화만 있어도 저자의 용기 있는 도전은 성공이 아닐까 생각한다.


내용을 조금 살펴보자. 우전 책은 공식에 들어가기 앞서 이 공식을 만든(아니, 발견했다는 것이 더 옳은 표현일지 모르겠다.) '오일러'라는 수학자에 대해 조명한다. 오일러가 살았던 18세기 유럽은 소위 계몽주의 시대라 불리던 시기로 모든 분야가 가릴 것 없이 폭발적으로 인류의 지성이 꽃피우던 시기였다. 당대 인물들의 이름을 열거해보자면 모짜르트, 하이든, 헨델, 볼테르, 디드로, 몽테스키외, 임마누엘 칸트, 루소, 라부아지에, 애덤 스미스, 제레미 벤담 등 자세히는 몰라도 이름만 들으면 '아~'하는 역사적인 인물들이 활발하게 활동했던 시기다. 저자는 그런 쟁쟁한 천재들 가운데 유명세로 치면 볼테르와 함께 1, 2위를 다투던 '오일러'였지만 당대 그의 뛰어난 업적과 명성에 비해 후대에 상대적으로 알려진 것이 적다며 아쉬워한다.


우리에게 와닿는 오일러의 업적으로는 원주율을 π로 쓰는 것이나 삼각함수의 sin, cos 표기, 자연상수라 불리는 e의 표기도 오일러가 한 일이다. 특히 e는 그의 이름 'Euler'의 첫자를 딴 것으로 '오일러의 수'로도 불리며 오일러가 사랑했던 숫자라 전해진다. 그러고 보면 지금 우리가 익숙하게 쓰고 있는 표기들 속에는 우리도 모르게 오일러의 흔적이 있었다는 것을 알 수 있다. 여기서는 오일러가 수학자로 등장하지만 그는 물리학, 천문학, 공학 분야에서도 놀라운 직감과 함께 뛰어난 천재성을 드러냈으며 18세기 출간된 모든 수학, 과학분야 연구의 4분의 1은 오일러가 집필했다는 평가를 받을 정도로 많은 연구를 했다 한다. 또한 역사상 가장 다작한 수학자로 무려 2만 5000페이지에 달하는 80여 권의 책을 집필하는 기록을 세우기도 했다. 덧붙이자면 그는 언어능력도 탁월했는데 무려 5개 국어를 구사했다 한다.


개인사적으로 그는 특별한 이력이 있었는데, 너무도 연구에 몰두했기 때문일까 28세에 우측 눈 시력을 잃고 59세에는 좌측 눈 시력마저 잃는다. 천재 작곡가 베토벤도 청각을 잃었음에도 그의 작곡은 계속되었듯, 오일러도 시력을 완전히 잃고 죽기 전까지 17년의 세월동안 평생의 업적 절반을 이뤄낸다. 그래서 이 책의 새로운 장마다 그의 초상화가 나오는데 잘 보면 실명한 오른 쪽 눈을 가리려 왼쪽 얼굴이 보이도록 고개를 돌린 것을 알수 있다. 앞이 보이지 않자 그는 연구실에 있던 커다란 둥근 탁자의 모서리를 잡고 돌면서 운동을 했다고 하며 시력을 잃은 후 "마음을 산만하게 하는 것이 하나 줄었다"고 말했을 정도로 긍정적 마인드의 소유자였다. 그는 머리뿐 아니라 가슴도 훌륭했던 사람이었다.



드디어 본론으로 들어가서 오일러의 공식을 살펴보자. 'e^(iπ)+1=0'라는 식이 신의 방정식이라는 이름을 얻게 된 가장 큰 이유는 아무것도 관계없는 5개의 숫자들이 너무도 간단한 식으로 묶여진다는 것이다. e는 자연상수로 무리수이자 초월수이다. 이것 외에도 자연계에서나 통계학에서 e는 다양하게 등장하는데, 전기공학에서는 이상적 배터리와 저항이 연결된 회로의 시간에 대한 배터리 방전 전압 그래프가 e를 밑으로 하는 지수의 형태로 나타난다.우리에게 친숙한 π는 원주율을 나타내며 원의 반지름만 알면 둘레는 물론 넓이를 구할 수 있는 원과 깊은 관련이 있는 숫자다. π도 무리수이자 초월수이다. 궁금해 할 것 같아 짧게 이야기하면 무리수는 분수로 표현할 수 없는 수를 말하며, 소수로 표현하면 끝이 나지 않는 수이다. 초월수는 정수를 계수로 하는 다항식의 해가 될 수 없는 수이다. 잘 몰라도 괜찮다. '아, 그렇구나'하고 넘어가도 책을 읽는 데 문제가 없다.


i는 '-1'의 제곱근을 의미하며 허수를 만들어 주는 수이다. 허수는 과거 많은 수학자들에게 외면과 공포의 대상이었는데, 미적분을 발명한 천재 수학자 라이프니츠가 허수를 보고 "존재와 비존재 사이에 존재하는 양서류"라고 표현한 것이 유명하다. 이런 허수는 19세기나 가서야 제대로 이해가 되기 시작했기에 오랜 세월 미지의 영역에 감춰져 있었던 숫자다. 1도 특별한 숫자인데, 모든 숫자에 곱해도 값이 변하지 않는 유일무이한 특징을 가지며 덧셈을 통해 모든 자연수를 만들어 낼 수 있다. 0은 비어있음(空), 없음(無), 시작을 의미하고 좌표계에서는 양과 음을 가르는 기준이 되며, 곱셈으로 어떤 숫자든 사라지게 할 수 있는 마법같은 숫자이다. 특히 0과 1은 2진법으로 모든 수를 나타낼 수 있어 이 숫자들로 디지털 세상이 만들어졌다. 출신 성분상 아무 관련 없는 이런 숫자들이 한데 어우러져 아름다운 꽃과 같은 식을 피워낸 것이다.


이 식에는 두 가지 무한의 의미가 들어있는데, 첫 번째는 위에서 e, π는 끝없이 이어지는 무리수인 것에 무한의 의미가 있고, 두 번째는 오일리 공식을 유도하는 과정에서 반드시 필요한 무한급수(무한한 수열의 합)에 무한의 의미가 들어 있다. 또 오일러의 공식의 일반형을 보면 허수를 포함한 지수함수가 복소수 형태의 삼각함수의 합으로 나타나는데 여기서도 무관할 것 같은 지수와 삼각함수가 하나의 등식으로 그려진다. 무한의 상상력에 존재와 존재 아님의 허수가 붙고 서로 관계없는 개념들이 한데 어우러져 놀라움과 신비함을 자아내는 것이다. 저자의 표현을 빌리자면 단순히 작은 숫자들이 깔끔하게 배치되었기 때문에 아름다운 것이 아니라 수많은 개념들을 간결하고 단순하게 나타내면서도 속의 숨겨진 복잡성을 매력적으로 혼합하고 이질적인 것들을 서로 잇고 있기 때문에 아름다운 것이라 했다.


그리고 이 수식은 단순히 심미적 형태와 심오한 수학적 의미뿐 아니라 실용성까지도 갖췄는데, 이는 내가 이 수식에 익숙한 것과 연관있다. 오일러 공식은 그 자체로 훌륭한 교류전기회로 해석모델링의 도구가 된다. 이는 미분을 해도 적분을 해도 형태가 같은 e의 지수함수 특징과 연관되며 복소평면에서 오일러 공식의 기하학적 의미와도 연관된다. 오일러 공식의 'e^(iπ)'는 기하학적으로 복소평면에서 180도 반시계 방향의 벡터회전을 의미하는데, 저자가 이것을 두고 여명부터 황혼까지의 태양의 움직임, 계절의 변화, 인생 역전같은 이미지를 연상하여 오일러 공식에 문학적 의미를 더해주는 것이 인상적이다.



이 책은 오일러와 오일러의 공식에 대해 이야기하면서 자연스럽게 수학적인 지식에 대해서도 습득할 수 있도록 한다. 마지막에는 오일러 공식의 유도과정과 i^i가 실수임을 보이는 증명을 부록으로 담고 있어 책을 읽으며 자신감을 기른 독자들에게는 좋은 도전거리가 될 것 같다. 끝으로 앞에서 소개한 영화 <박사가 사랑한 수식>에서 나온 대사가 나의 감정과 저자의 마음을 잘 나타내고 있는 것 같아 그것을 소개하며 글을 마치고자 한다.


"밤하늘에 빛나는 별 하나의 아름다움, 들에 핀 한 송이 꽃의 아름다움, 그런 것들을 설명하기 어려운 것처럼 이 수식의 아름다움을 설명하는 것도 어렵습니다. 하지만 여러분도 이 아름다움은 반드시 느낄 수 있습니다. 그러기 위해서 수학에 애정을 가지고 함께 노력해 주시길 바랍니다."

- 영화 <박사가 사랑한 수식> 중.

댓글 0 1명이 이 리뷰를 추천합니다. 공감 1
오일러 공식 내용 평점5점   편집/디자인 평점4점 스타블로거 : 블루스타 k****e | 2020.04.27 | 추천0 | 댓글0 리뷰제목
? 수학은 미학이다.?"수학은 현상 속에 숨겨진 패턴을 찾아서 이를 공식이라는 고도로 함축적인 언어로 표현하는 학문이다."수학은 만국공통의 약속된 기호와 정의로 표현되며, 실생활과 연계된 현상과 감추어진 패턴을 수학적인 언어로 논리적으로 표현하는 학문이다. 따라서 수학을 잘한다는 것은 수학적 개념과 원리를 정확하게 이해하고, 일상생활과 접목하여 논리적인 사고의 과정을;
리뷰제목
? 수학은 미학이다.

?"수학은 현상 속에 숨겨진 패턴을 찾아서 이를 공식이라는 고도로 함축적인 언어로 표현하는 학문이다."

수학은 만국공통의 약속된 기호와 정의로 표현되며, 실생활과 연계된 현상과 감추어진 패턴을 수학적인 언어로 논리적으로 표현하는 학문이다.

따라서 수학을 잘한다는 것은 수학적 개념과 원리를 정확하게 이해하고, 일상생활과 접목하여 논리적인 사고의 과정을 통해서 문제를 해결하는 능력이 우수하다는 것을 의미한다.
?
4차 산업혁명을 이끌고 있는 인공지능 로봇, 빅데이터, 사물인터넷, 3D 프린팅, 드론, 무인자동차, 스마트시티 등의 분야는 모두 수학과 ICT 기술의 접목을 통해서 일상의 문제를 해결하는 것이라고 할 수 있다.

산업에서 해결해야 하는 난제를 푸는데 수학은 많은 기여를 하고 있다. 그러므로 수학적 능력은 곧 부를 축적할 수 있는 결정적인 역할을 하는 경우가 많다. 그래서 세계적인 부호들도 수학자이거나 천재 수학자와 공동 창업자인 경우가 많다.

애플의 스티브잡스, 구글 공통창업자 세르게인 브린, 마이크로소프트 빌 게이츠 등이 대표적인 경우다. 이들은 기업이 부딪치고 있는 난제들을 수학을 통해서 해결하여 단기간에 부를 축적하고 있다.

#신의방정식 이라 불리는 오일러 공식

이 책은 수학 공식의 중요성을 알리는 데 앞장서고 있는 전 세계 수학자들이 모여 오일러 공식을 선정하고 직접 집필한 기획 도서이다.

위대한 문학 작품이나 예술 작품과 마찬가지로, 위대한 수학도 흥미를 불러일으키고 아름다우며 깊이가 있다.

평소 수학과 거리가 멀고 #수포자 를 위해 잠시 설명하면 #오일러 공식 은 오일러의 수를 밑으로 하는 지수함수와 코사인 사인 함수 사이의 관계를 서술한 공식이다.

이 공식에서 변수에 π를 대입하면 수학에서 중요한 여러 상수와 연산이 등장하는 간단한 식이 된다.

오일러 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수와의 관계를 나타낸 오묘한 식이다.

이 공식을 사용하면 코코싸싸 해가면서 고등학교 때 외웠던 삼각함수 공식이 아주 자연스럽게 유도된다.

오일러공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 붙인 수학공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 된다.

식은 자연상수 e와 허수 i, 그리고 sin, cos을 사용하여 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타내고 있는데 이를 통해 실수와 순허수를 복소평면이라는 공간에서 나타낼 수 있고, 좌표를 나타낼 수 있는 범위를 일반 좌표평면에서 복소수까지 확대하여 나타낼 수 있다.

오일러공식, 오일러등식을 아름답다고 하는 이유는, 우선 오일러공식에는 수학에서 가장 중요한 5가지 상수가 쓰이고 있다

e, i, π, Θ, 1. 그리고 4가지 연산이 모두 쓰였다. 지수, 곱셈, 덧셈, 등호. 이 오일러 등식은 결국 무리수인 자연상수 e의 지수에 허수 i, 무리수 π의 곱이 자리 잡고 있고 이렇게 구성된 수가 자연수인 1과 합쳐져 무(無)의 상태인 0으로 돌아간다는 것인데, 수체계의 오묘함을 드러내는 등식이라는 것이다.

실수 중 순환하지 않는 무한소수를 의미하는 π, e와 수학적 개념에 의한 값이라 할 수 있는 i, Θ가 서로의 관계를 표현하고 있다는 사실 또한 가히 천재적 발견이라 할 수 있다.

마지막으로 우리의 뇌는 자기합리화의 달인이다. 자신과 상관없는 학문이라고 생각하면 외면하면서 수학을 포기하기 십상이다.

이공계 출신은 문학 작품을 읽고, 문과출신들은 과학, 공학 서적 책을 읽어야 한다.

통합교육의 시대를 맞이하여 문과출신들이 꼬옥 한번은 정독해야 할 책이다.

?? 책속으로:


오일러는 20대에 오른쪽 눈이 감염되어 시력을 잃었고, 이후 왼쪽 눈 또한 백내장 수술에 실패하면서 사람의 얼굴이나 근처의 물건조차 볼 수 없게 되었다.

하지만 시력을 잃은 상황에서도 그의 연구는 조금도 늦춰지지 않았다. 실제로 오일러는 시력을 잃은 것에 대하여 “마음을 산만하게 하는 것이 하나 줄었다.”라고 쾌활하게 반응했다고 한다.


#수학 #신의방정식오일러공식 #데이비드스팁 #추천책 #책리뷰 #동아엠엔비 #책 #글
댓글 0 이 리뷰가 도움이 되었나요? 공감 0

한줄평 (1건) 한줄평 총점 10.0

혜택 및 유의사항 ?
구매 평점5점
흥미로운 주제에요. 재밌어요.
이 한줄평이 도움이 되었나요? 공감 0
s******e | 2020.09.02
  •  쿠폰은 결제 시 적용해 주세요.
1   13,500
뒤로 앞으로 맨위로 aniAlarm