복소수까지 수의 범위를 넓혀서 생각하면 우리가 중학교 3학년 과정에서 배운 이차방정식의 해를 보는 관점도 바뀝니다. 허근만 두개인 이차방정식도 존재하는 것이죠. 이차방정식의 해가 실근인지 허근인지를 판별하는 식은 이미 다 알고 있습니다. 뿐만 아니라 이 놀라운 판별식은 이차함수의 그래프는 물론이고 직선과의 위치 관계도 알려줍니다.
--- p.18, 「1일차 복소수와 이차방정식」 중에서

케플러의 법칙이 발표된 후 얼마 지나지 않아 데카르트는 타원의 방정식을 구했으며, 좌표평면에 그래프를 그려가면서 타원의 성질을 연구했습니다. 그 이후에 위대한 뉴턴이 발견한 미적분에 의해 타원 궤도를 쓸고 가는 넓이 SA, Sª, S￡를 정확히 구할 수 있었습니다. 물론 넓이를 구하기 위해서는 조금 복잡한 삼각함수의 미적분법을 이용해야 합니다. 티코 브라헤가 남겨준 관측 자료를 통해 케플러가 경험적으로 분석한 내용을 뉴턴이 미적분을 이용해 완벽하게 계산한 것이지요. 뉴턴은 케플러의 법칙이 옳다는 것을 증명한 후 본인이 발견한 미적분에 더욱 확신을 갖게 되었습니다.
--- p.49, 「2일차 도형의 방정식」 중에서

큰 수의 계산에서 아주 중요하게 사용되는 개념이 로그입니다. 16세기 말과 17세기 초는 천문학 분야에서 큰 발전이 있었습니다. 케플러나 갈릴레이와 같은 천문학자들이 행성의 운동에 대해 많은 사실을 알아낸 시기이지요. 천문학자들은 지루하고 고단한 계산에 긴 시간을 써야 했는데요. 계산기가 발명되기 전에 천문학자들은 로그를 이용해 별까지의 거리와 같은 큰 수의 계산을 쉽게 할 수 있었습니다. --- p.99~100, 「5일차 지수와 로그」 중에서

극한을 공부하다 보면 작은 변화가 불러오는 놀라운 성장을 확인할 수 있습니다. 1년은 365일입니다. 나의 지금의 상태가 a이고 매일 1%씩 성장한다고 해봅시다. 그럼 내일은 내 상태가 (1.01)a가됩니다. 이튿날은 (1.01)2승a, 한달이 지나면 (1.01)30승a가 되어 있겠네요. 1년 후엔 (1.01)365승a=37.8a입니다. 1년 뒤에 무려 37.8배 성장한 것입니다. 반대의 경우는 (0.99)365승a=0.03a입니다. 1%씩 줄어들면, 처음의 상태가 100이었다면, 1년 뒤엔 3으로 줄어듭니다. 만일 매 순간 성장한다면 어떻게 될까요? 시간을 1년 365일이 아닌 매 순간으로 보는 것입니다. 365가 아닌 상당히 큰 수가 들어가겠네요.
--- p.144, 「6일차 극한과 연속」 중에서

아이작 뉴턴과 그의 스승인 아이작 배로우Isaac Barrow는 미분과 적분의 관계인 미적분의 기본정리를 이용해 곡선의 길이, 곡선과 곡면으로 둘러싸인 도형의 넓이와 부피 등을 이전과는 달리 쉽고 정확하게 구하는 방법을 제시했습니다. 적분은 현대인의 실생활에 널리 이용되고 있습니다. 건축 및 토목, 움직이는 물체의 운동 상태의 파악, 첨단 의료기기의 설계 등에 직접적으로 활용되는 수학의 개념입니다.
--- p.171~172, 「8일차 적분」 중에서

종이비행기의 어느 한순간의 위치를 표현하기 위해선 세 개의 숫자가 필요합니다. 바닥에서의 위치를 나타내는 숫자 두 개와 높이에 해당하는 숫자 한 개를 합쳐 (a, b, c)로 좌표를 나타냅니다. 비행을 하는 동안 생기는 수많은 좌표를 연결하면 종이비행기의 경로가 만들어집니다.
이 경로를 식으로 표현할 수도 있습니다. 이미 배운 것처럼 세 개의 매개변수 함수 벡터로 말이죠. 물론 함수의 식을 구하는 것까지 요구하지는 않습니다. 다만 학생 수만큼의 비행기 경로가 나온다는 것을 이해하면 됩니다. 우리가 그린 곡선은 모두 다릅니다. 마치 천차만별인 우리의 인생과 마찬가지로요.