이 소설의 무대는 주인공 '사각형' 이 사는 이차원의 세계인 평면 나라와 차원이 바뀌기 하루 전인 1999년 마지막 날 주인공이 여행하는 또 다른 신비한 차원의 세계이다. 제1부에 해당하는 '평면 나라는 이차원 세계로서 기하학적 도형들이 살고 있다. 여기서는 각 도형들의 삶의 방식과 존재의 차별, 계급과 계층 간의 갈등 등이 잘 묘사되어 있다. 하층계급들의 반란과 지배자들의 지배 이념에 의한 사회 통제 등도 묘사되어 있다. 제2부의 '또 다른 세계' 는 평면 나라의 주민인 주인공 '사각형' 이새 천년이 오기 하루 전날 하룻밤과 낮 동안 경험한 삼차원 세계와 '점의 나라(pointland)'와 '직선 나라(lineland)' 등을 여행하는 세계이다. 여기서 주인공은 새로운 차원인 삼차원을 경험하고 "아, 이것은 놀라운 경험이었다. 내가 사는 평면의 세계 (flatland)' 밖에 또 다른 신비한 세계가 존재하다니….” 하고 감탄한다. 고차원의 비밀을 체득한 그는 이차원의 나라로 돌아와 이웃 주민들인 도형들에게 우리가 살고 있는 세계와는 다른 신비한 세계가 있다는 진실을 말한다. 그러나 지배자들은 유언비어를 유포한다는 혐의를 씌워 그를 종신형에 처한다. 감옥에 갇힌 사각형은 끝내 자신의 신념을 7년이 지나도록 굽히지 않으며 이 글을 남긴다.