1987년 1월, 우루과이 살토에서 태어났다. 7살 때 가족과 함께 우루과이의 수도 몬테비데오로 이사했다. 몇 년의 노력 끝에 나시오날 1군으로 승격되었고 네덜란드로 진출했다. 흐로닝언에서 뛰다 아약스로 이적해 그곳에서 100호 골을 기록했으며 2010년 올해의 선수로 뽑혔다. 2011년 1월, 리버풀이 2,280만 유로를 지불하고 수아레스를 안필드로 데려왔다. 당시 이적료는 리버풀이 지불한 역대 2위에 해당하는 액수였다. 수아레스는 데뷔전에서 콥(리버풀의 팬)이 지켜보는 가운데 골을 넣었고 그 후 단 133경기 출장에 82골이라는 기록을 세우며 리버풀에서 자신만의 새로운 역사를 써나갔다. 33경기 31골로 2013-14 시즌을 마무리한 수아레스는 크리스티아누 호날두와 함께 유러피언 골든슈를 거머쥐고 FWA(영국축구기자협회)와 PFA(잉글랜드프로축구선수협회)가 각각 주관하는 올해의 선수상을 받았다. 바르셀로나는 2014년 7월 11일에 수아레스와의 계약 사실을 발표했다. 수아레스는 우루과이 대표팀 역대 최다 득점 선수이며 2011년에는 고국에 코파 아메리카 우승컵을 안겼다. 첫사랑 소피아와 결혼하여 현재 딸 델피나와 아들 벤자민 등 두 자녀를 두고 있다.